ESERCITAZIONE 15 : FUNZIONIGONIOMETRICHE

Giacomo Tommei

e-mail: tommei@dm.unipi.it

web: www.dm.unipi.it/∼tommei

Ricevimento: su appuntamentoDipartimento di Matematica, piano terra, studio 114

12 Marzo 2013

Circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica e una circonferenza di raggio unitariocentrata nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali.

A

B

C

D

O P’

P’’

OP=1

P(x , y )P P

x = cosP

y = sinP

α

α

α

y

x A

B

C

D

Ο

P T

Q

y = tanT

α

x = cotQ

α

α

α

x

y

Giacomo Tommei

Funzioni goniometriche - Valori

Principali valori delle funzioni goniometriche per angoli compresi tra 0 eπ/2; ND sta per “non definita”.

cosα sinα tanα cotα

0 1 0 0 ND

π/6√

3/2 1/2√

3/3√

3

π/4√

2/2√

2/2 1 1

π/3 1/2√

3/2√

3√

3/3

π/2 0 1 ND 0

Giacomo Tommei

Funzioni goniometriche - Grafici

| cos(x)| ≤ 1, cos(−x) = cosx ∀x ∈ R| sin(x)| ≤ 1, sin(−x) = − sinx ∀x ∈ R

Giacomo Tommei

Funzioni goniometriche - Grafici

Il grafico di sinx e spesso chiamato sinusoide e qualunque altra curvaottenuta da una sinusoide tramite traslazioni, o piu in generale tramiteaffinita, si chiama curva sinusoidale, grafico di una funzionesinusoidale.Una funzione sinusoidale f : R→ R e caratterizzata da quattro grandezze,espresse da numeri reali:

il periodo T (per seno e coseno vale T = 2π);

l’ampiezza A, data da A = (M −m)/2, dove M e il valore massimo em il valore minimo assunto da f (per seno e coseno vale A = 1);

il valor medio y, dato da y = (M +m)/2, che rappresenta il puntocentrale dell’intervallo di variazione di f (per seno e coseno si hay = 0);

la fase x0, che e l’ascissa positiva del primo punto di massimo (ilcoseno ha fase x0 = 0, mentre il seno ha fase x0 = π/2).

Una generica funzione sinusoidale f(x) con periodo T , ampiezza A, valormedio y e fase x0 si puo scrivere

f(x) = A cos

(2π

T(x− x0)

)+ y

Giacomo Tommei

Esercizio 1

Determina una funzione sinusoidale che descriva la quantita di una certa

sostanza nella corteccia di un albero, che varia nel tempo periodicamente

con periodo 48 ore, con valore minimo 60 mg alle ore 8 e valore massimo

120 mg alle ore 16.

Giacomo Tommei

Esercizio 1Sappiamo che il periodo T e uguale a 48 ore, l’ampiezza vale

A =M −m

2=

120− 60

2= 30

il valor medio e dato da

y =M +m

2=

120 + 60

2= 90

mentre la fase e x0 = 16. Quindi, tenendo conto dell’espressione (??), la funzione cercata e

f(x) = 30 cos

(2π

48(x− 16)

)+ 90

Giacomo Tommei

Esercizio 2

Calcola il periodo e disegna il grafico delle seguenti funzioni a partire daigrafici di y = sinx e y = cosx:

a) y = sin 4x b) y = cosx

2c) y = 4 sin(2x+ 1) d) y = 2 + sin

x

2

Giacomo Tommei

Funzioni goniometriche - Grafici

Sinistra: grafico della funzione y = tanx.Destra: grafico della funzione y = cotx.

Giacomo Tommei

Funzioni goniometriche inverse - Grafici

Sinistra: grafico della funzione y = arccosx.Destra: grafico della funzione y = arcsinx.

Giacomo Tommei

Funzioni goniometriche inverse - Grafici

Grafico della funzione y = arctanx. Tale funzione presenta due asintotiorizzontali, ovvero due rette orizzontali, y = π/2 e y = −π/2, alle quali lafunzione si avvicina indefinitamente quando la variabile indipendente xcresce verso +∞ o descresce verso −∞ rispettivamente.

Giacomo Tommei

Formule varie - Addizione e sottrazione

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ

cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ

sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ

tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ

tan(α− β) =tanα− tanβ

1 + tanα tanβ

Giacomo Tommei

Formule varie - Duplicazione e bisezione

cos 2α = cos2 α− sin2 α

sin 2α = 2 sinα cosα

tan 2α =2 tanα

1− tan2 α

cos(α

2

)= ±

√1 + cosα

2

sin(α

2

)= ±

√1− cosα

2

tan(α

2

)= ±

√1− cosα

1 + cosα

Giacomo Tommei

Formule varie - Parametriche

Le formule parametriche permettono di esprimere il seno, il coseno e latangente di un angolo α (α 6= π + 2 k π) come funzione razionale dellavariabile t = tan(α/2).

cos α =1− t2

1 + t2

sin α =2 t

1 + t2

tan α =2 t

1− t2

Giacomo Tommei

Formule varie - Prostaferesi e Werner

Le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme di funzionigoniometriche in prodotti.

cosα+ cosβ = 2 cos

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

)cosα− cosβ = −2 sin

(α+ β

2

)sin

(α− β

2

)sinα+ sinβ = 2 sin

(α+ β

2

)cos

(α− β

2

)sinα− sinβ = 2 cos

(α+ β

2

)sin

(α− β

2

)Le formule di Werner si utilizzano per trasformare prodotti di funzionigoniometriche in somme.

cosα cosβ =1

2[cos(α+ β) + cos(α− β)]

sinα sinβ =1

2[cos(α− β)− cos(α+ β)]

sinα cosβ =1

2[sin(α+ β) + sin(α− β)]

Giacomo Tommei

Esercizio 3

Risolvi le disequazioni

a) sinx ≥ 1

2b) sinx ≤

√3

2c) sin 3x ≥ −

√2

2

d) cosx ≤√

2

2e) cosx ≤ −1

2f) cos 2x ≥

√3

2

g) tanx ≥ 1 h) tanx ≤ −√

3

3i) tan

x

2≥ −√

3

Giacomo Tommei

Esercizio 4

Risolvi l’equazione2 cos2 x− 5 cosx+ 2 = 0

L’equazione contiene solo la funzione goniometrica cos x, la quale compare al grado 2, al grado1 e al grado 0. Operando la sostituzione t = cos x si ottiene un’equazione di secondo grado in t

2 t2 − 5 t + 2 = 0

che sappiamo facilmente risolvere

t =5±√

25− 16

4=

5± 3

4

ottenendo le due soluzioni t1 = 1/2 e t2 = 2. Per trovare quindi le soluzioni dell’equazione dipartenza dobbiamo adesso risolvere

cos x =1

2e cos x = 2

La seconda non ammette soluzioni in quanto −1 ≤ cos x ≤ 1, mentre la prima ha come soluzioni

x =π

3+ 2 k π ∨ x =

5

3π + 2 k π k ∈ Z

Giacomo Tommei

Esercizio 4

Risolvi l’equazione2 cos2 x− 5 cosx+ 2 = 0

L’equazione contiene solo la funzione goniometrica cos x, la quale compare al grado 2, al grado1 e al grado 0. Operando la sostituzione t = cos x si ottiene un’equazione di secondo grado in t

2 t2 − 5 t + 2 = 0

che sappiamo facilmente risolvere

t =5±√

25− 16

4=

5± 3

4

ottenendo le due soluzioni t1 = 1/2 e t2 = 2. Per trovare quindi le soluzioni dell’equazione dipartenza dobbiamo adesso risolvere

cos x =1

2e cos x = 2

La seconda non ammette soluzioni in quanto −1 ≤ cos x ≤ 1, mentre la prima ha come soluzioni

x =π

3+ 2 k π ∨ x =

5

3π + 2 k π k ∈ Z

Giacomo Tommei

Esercizio 5

Risolvi la seguente equazione

tanx =cosx

1 + sinx

Giacomo Tommei

Esercizio 5L’equazione da risolvere contiene tre funzioni goniometriche distinte che e possibile ridurre adue esprimendo la tangente come rapporto tra seno e coseno:

sin x

cos x=

cos x

1 + sin x

Poiche abbiamo delle frazioni dobbiamo imporre che i denominatori siano diversi da zero:

cos x 6= 0 ⇔ x 6=π

2+ k π

1 + sin x 6= 0 ⇔ sin x 6= −1 ⇔ x 6=3

2π + 2 k π

Quindi l’insieme di esistenza della nostra equazione e

{x ∈ R : x 6=π

2+ k π}

Riducendo allo stesso denominatore le due frazioni e portando tutto a primo membro si ottiene

− cos2 x + sin x + sin2 x

(1 + sin x) cos x= 0

Quest’ultima equazione e equivalente a

− cos2x + sin x + sin

2x = 0

in quanto abbiamo gia escluso i casi in cui il denominatore si annulla. Utilizzando la relazionefondamentale (− cos2 x = sin2 x− 1) si ottiene

sin2x− 1 + sin x + sin

2x = 0 ⇔ 2 sin

2x + sin x− 1 = 0

Giacomo Tommei

Esercizio 5

Ci siamo cosı ricondotti ad un’equazione di un tipo gia visto: operando la sostituzione t = sin xsi ha l’equazione di secondo grado in t

2 t2

+ t− 1 = 0

che ammette le soluzioni t = −1 e t = 1/2. Per trovare quindi le soluzioni dell’equazione in xdobbiamo adesso risolvere

sin x = −1 e sin x =1

2

La prima ha come soluzioni

x =3

2π + 2 k π

ma tali soluzioni non appartengono all’insieme di definizione dell’equazione e pertanto nonsono accettabili; infatti se sin x = −1 si annulla il denominatore del secondo membrodell’equazione di partenza. La seconda equazione ha come soluzioni

x =π

6+ 2 k π ∨ x =

5

6π + 2 k π k ∈ Z

che appartengono all’insieme di definizione e sono quindi accettabili.

Giacomo Tommei

Esercizio 6

Risolvi la seguente equazione lineare in sinx e cosx√

3 sinx+ cosx = 1

In questa equazione sono presenti, al grado 1, due funzioni goniometriche dello stesso angolo x(seno e coseno). Ci sono almeno due possibili metodi per ridursi ad un’equazione elementare:

utilizzando le formule di addizione e sottrazione;

utilizzando la relazione fondamentale.

Giacomo Tommei

Esercizio 6

Risolvi la seguente equazione lineare in sinx e cosx√

3 sinx+ cosx = 1

In questa equazione sono presenti, al grado 1, due funzioni goniometriche dello stesso angolo x(seno e coseno). Ci sono almeno due possibili metodi per ridursi ad un’equazione elementare:

utilizzando le formule di addizione e sottrazione;

utilizzando la relazione fondamentale.

Giacomo Tommei

Esercizio 7

Risolvi le seguenti equazioni in R:a) sinx = 1/(4 cosx) b) 4 sin2 x− 1 = 0

c)√

3 sinx− cosx = 1 d) sinx+ cosx = 1e) 2 sin(2x)− 3 tanx = 0 f) 2 sinx/x = 0g) sinx− cosx− cos(2x) = 0 h) tan3 x− 1 = 0i) cos2 x+ 4 sinx cosx+ sin2 x = 1

l) 2√

3 sin2 x− 2 sinx cosx−√

3 = 0

Giacomo Tommei

Esercizio 8

Risolvi le seguenti disequazioni in R:a) 2 cos2 x ≤ 1 b) 4 sin2 x > 3c) cos 2x+ 5 sinx− 3 ≤ 0 d) sin 2x < cosx

e)√

1− sin2 x ≤ cosx f) 2 cos 2x− 1 ≥ 0g) cosx/(1 + 2 sinx) > 0 h) −3 cosx/x ≤ 0i) cos 2x− 2 cosx+ 1 > 0 l) (1− 2 | sinx|)/(2 sinx+ 1) > 0

Giacomo Tommei