LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE

ELEMENTARI

Prof Giovanni Ianne

DEFINIZIONE

Equazione goniometrica

Un’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una funzione

goniometrica dell’incognita.

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

1. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE

2x cos – 1 = 0 non è un’equazione goniometrica perché non contiene

funzioni goniometriche dell’incognita x.

L’espressione cos , che compare nell’equazione, è una quantità

costante.

ESEMPIO

2 cos x – 1 = 0 è un’equazione goniometrica perché contiene la funzione

cos x.

2. L’EQUAZIONE sen x = a

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

ESEMPIO

Risolviamo .

Percorrendo la circonferenza goniometrica,

.

E, in generale: ,

troviamo:

,

.

ESEMPIO

Risolviamo .

ESEMPIO

Risolviamo .

: l’equazione non ha soluzione .

3. L’EQUAZIONE cos x = b

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

ESEMPIO

Risolviamo .

.

E, in generale: ,

Percorrendo la circonferenza goniometrica,

troviamo:

,

.

ESEMPIO

Risolviamo .

: l’equazione non ha soluzione .

4. L’EQUAZIONE tg x = c

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

ESEMPIO

Risolviamo .

.

E, in generale: .

Percorrendo la circonferenza goniometrica,

troviamo:

,

cos x = b

–1 ≤ b ≤ 1

L’equazione è

determinata.

sen x = a

–1 ≤ a ≤ 1

L’equazione è

determinata.

tg x = c

L’equazione è

determinata.

5. LE EQUAZIONI ELEMENTARI IN SINTESI

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

Due serie di

soluzioni distinte.

Periodicità: 2p.

a < –1 o a > 1

L’equazione è

impossibile.

Due serie di

soluzioni distinte.

Periodicità: 2p.

b < –1 o b > 1

L’equazione è

impossibile.

Una serie di

soluzioni distinte.

Periodicità: p.

L’equazione sen a = sen a'

6. EQUAZIONI PARTICOLARI

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

ESEMPIO

Risolviamo l’equazione .

a = a' + 2kp .

a + a' = p + 2kp .

sen a = – sen a'

Si riconduce a

sen b = sen b'

ponendo

b = a e b' = –a' .

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

sen a = cos a'

Equivale a

sen a = sen

e si riconduce a

sen b = sen b'

ponendo

b = a e b' = .

sen a = – cos a'

Equivale a

sen a = – sen

e si riconduce a

sen b = sen b'

ponendo

b = a e b' = – .

6. EQUAZIONI PARTICOLARI

L’equazione cos a = cos a'

6. EQUAZIONI PARTICOLARI

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

L’equazione cos a = –cos a'

Si riconduce a

cos b = cos b'

ponendo

b = a e b' = p – a' .

6. EQUAZIONI PARTICOLARI

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

tg a = tg a'

All’interno di un singolo giro, due angoli

hanno la stessa tangente.

La loro differenza è p .

In generale:

a' = a + kp .

tg a = tg –a'

Si riconduce a

tg b = tg b'

ponendo

b = a e b' = –a' .

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

7. ESERCIZI: L’EQUAZIONE sen x = a

Risolvi le seguenti equazioni in .

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

8. ESERCIZI: L’EQUAZIONE cos x = b

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

9. ESERCIZI: L’EQUAZIONE tg x = c