FUNZIONI GONIOMETRICHE - Zanichelli

TEORIA

T

697

Scarica GUARDA!

e inquadrami per accedere

alle risorse digitali

del capitolo

CAPITOLO 12FUNZIONI GONIOMETRICHE

→ La risposta a pag. 706

Angoli a New York

È possibile calcolare la lunghezza o l’altezza di oggetti molto lontani da noi, misurando alcuni angoli e alcune distanze vicine a noi. Questo ha contribuito a perfezionare sempre di più gli strumenti per la misurazione degli angoli, i goniometri. Ce ne sono di tutti i tipi: manuali, laser, elettronici ad alta precisione. Hanno nomi specifici a seconda dei dispositivi che utilizzano (universale, con nonio, con alidada…) o dei tipi di angolo che misurano (azimutali, ecclimetri, teodoliti…).

Sei a New York e hai a disposizione solo un

goniometro di precisione e un metro a nastro. Riesci

a calcolare l’altezza della Statua della Libertà?

Misura degli angoli

La trigonometria ha lo scopo di studiare i procedimenti di calcolo che permettono di determinare, con l’approssimazione che si vuole, la misura degli elementi di un triangolo (lati e angoli), noti alcuni di essi.Trova applicazione, in particolare, in astronomia, meccanica, navigazione aerea e marittima, topografia. «Trigonometria» deriva dal greco trígōnos, che significa «triangolo», e métron, ossia «misura».Lo studio della trigonometria è preceduto da quello della goniometria, ossia di quella parte della matematica che si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni.

Misura in gradi

Nel sistema sessagesimale, l’unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale, definito come la 360a parte dell’angolo giro.

Il grado sessagesimale viene indicato con 1° = 360

1 dell’angolo giro.

Il grado è suddiviso in 60 primi, che vengono indicati con un apice (l): 1° = 60l.

Ogni primo viene suddiviso in 60 secondi, indicati con due apici (m): 1l = 60m.

Queste suddivisioni in 60 parti danno il nome al sistema di misura.

1

→ Esercizi a p. 725

TEORIA

T

FUNZIONI GONIOMETRICHECAPITOLO 12

698

Un angolo di 32 gradi, 10 primi e 47 secondi viene scritto: 32° 10 l 47 m.

Il sistema di misura degli angoli con gradi, primi e secondi è il più antico. Risale ai Babilonesi (2000 a.C.), i quali dividevano anche l’anno solare in 360 giorni. Tut-tavia, questo sistema presenta il problema di non basarsi su un sistema decimale e di avere quindi procedimenti di calcolo più complicati.Anche soltanto il calcolo della somma o della differenza delle misure di due angoli non è immediato, come puoi vedere nell’animazione nell’eBook e negli esercizi.

Le calcolatrici scientifiche usano anche il sistema sessadecimale, in cui accanto ai gradi si usano decimi, centesimi, millesimi, f di grado. Per esempio, nel sistema

sessadecimale, 37,25° significa ° °

°37 102

1005

+ +b bl l .

Misura in radianti

Per semplificare i calcoli si usa il sistema che ha per unità di misura il radiante.Per definirlo, consideriamo due circonferenze di raggi r e rl e i due archi l e ll su cui insistono angoli al centro della stessa ampiezza a (figura a lato).Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro otteniamo

l : a° = 2rr : 360° e ll : a° = 2rrl : 360°,

°°

l r180a r

= e °°

l r180a r

=l l, dividiamo membro a membro⤻

l : ll = r : rl " l : r = ll : rl " rl

rl

=l

l,

cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto rl non varia al

variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a.Pertanto, se ogni volta che si misura un arco l si usa come unità di misura il raggio della circonferenza cui appartiene, si ottiene un numero che non dipende dalla circonferenza considerata, ma solo dall’angolo a che sottende l’arco.

Il rapporto rl viene quindi assunto come misura, in radianti, dell’angolo a,

rl

a = .

Come definizione di radiante possiamo allora dare la seguente.

DEFINIZIONE

Data una circonferenza, chiamiamo radiante l’angolo al centro che insiste su un arco di lun-ghezza uguale al raggio.

L’unità di misura viene indicata con rad, ma generalmente, se si esprime un angolo in radianti, si è soliti trascurare l’indicazione dell’unità di misura.

Poiché corrisponde all’intera circonferenza, l’angolo giro misura r

r2 2rr= .

L’angolo piatto, che corrisponde a metà circonferenza, misura r, l’angolo retto

misura 2r ecc.

› Calcola:

a. 25°12l37m + 13°51l41m;

b. 180° - 5°3l2m;

c. 9°30l50m $ 3.

Animazionenell’eBook

› Calcola la somma di °30 24 35l m e °59 35l25m.

È più o meno di un angolo retto?


O

r

α ℓ

O′

r′

α ℓ′

Listen to it

A radian is the measure of the angle at the centre of a circle that intercepts an arc whose length is equal to the radius of the circle.

r

r

1 radiante

MATEMATICA

E STORIA

› L’inafferrabile pi

greco

• Perché r affascina tanto i matematici?

Risposta

TEORIA

T

Misura degli angoli PARAGRAFO 1

699

Dai gradi ai radianti e viceversa

Date le misure di un angolo a in gradi e in radianti, valgono la proporzione e le seguenti uguaglianze.

a° : arad = 360° : 2r ° 180°rad" $a a

r= , ° °180rad $a a

r= .

› ESEMPIO

1. A quanti gradi corrisponde 1 radiante?Applichiamo la prima formula:

° ° °.1 180 180 57°$ -a

r r= =

2. A quanti radianti corrispondono 60°? Applichiamo la seconda formula:

3

1$°

°60

180 3radar r

= = .

Riportiamo in una tabella le misure in radianti e in gradi di alcuni angoli.

Misure degli angoli

Gradi 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

Radianti 0 6r

4r

3r

2r 2

3 r 43

r 65

r r

Lunghezza di un arco di circonferenza

Dalla relazione rl

a = ricaviamo che la lunghezza di un arco è:

,l ra= con a misurato in radianti.

Area del settore circolare

Esprimiamo anche l’area di un settore circolare.Dalla proporzione: : :A A 2settore cerchio a r= ,

ricaviamo: 2

A A r r2 2

12 2settore cerchio$

r

a

r

ar a= = = ,

o, tenendo conto che rl

a = : Arl

r lr21

212

settore $= = .

Angoli orientati

La definizione di angolo come parte di piano delimitata da due semirette con l’origine in comune non è adatta per descrivere tutte le situazioni. Per esempio, nell’avvitare o svitare una vite si descrive un angolo che può essere maggiore di un angolo giro.È più utile quindi collegare il concetto di angolo a quello di rotazione, cioè al mo-vimento che porta uno dei lati dell’angolo a sovrapporsi all’altro.

La rotazione è univoca quando ne specifichiamo il verso, orario o antiorario.

› Trasforma:

a. in radianti le misure di 10°, 18°, 270°;

b. in gradi sessagesimali

le misure di 9r , 2, 4

3r .


O

57°

1 radiante

…

settore

circolare

r

α

ℓ


TEORIA

T


700

Consideriamo la semiretta OA che ruota in senso antiorario intorno al vertice O, fino a sovrapporsi alla semiretta OB, generando l’angolo AOBa = W . La semiretta OA si chiama lato origine dell’angolo a, la semiretta OB si chiama lato termine.

DEFINIZIONE

Un angolo è orientato quando sono stati scelti uno dei due lati come lato origine e un senso di rotazione.Un angolo orientato è positivo quan-do è descritto mediante una rotazione in senso antiorario; è negativo quando la rotazione è in senso orario.

Un angolo orientato può anche essere maggiore di un angolo giro.

› ESEMPIO

Poiché 750° = 30° + 2 $ 360°, l’angolo di 750° si ottiene con la rotazione della semiretta OA di due giri completi e di altri 30°.

È possibile scrivere in forma sintetica un qualunque angolo a, minore di un angolo giro, e tutti gli infiniti angoli orientati che da a differiscono di un multiplo dell’an-golo giro nel seguente modo:

in gradi: a + k360°, con Zk ! ; in radianti: a + 2kr, con Zk ! .

Quando k = 0, otteniamo l’angolo a.Nel seguito, in espressioni del tipo k2a r+ , sottintenderemo che k è un numero intero, senza scrivere esplicitamente k Z! .

› ESEMPIO

La scrittura k4

2rr+ indica gli angoli: , 2 , 4 ,

4 4 4 46! ! !

r rr

rr

rr , …

› ESEMPIO Gira e svita

Uno svitatore sotto sforzo compie circa 180 giri al minuto.Per svitare una vite impiega 2 secondi.

▶ Qual è l’angolo, in gradi e in radianti, descritto dalla punta dello svitatore per svitare la vite?

Per trovare il numero dei giri fatti dalla punta in 2 secondi dobbiamo risolvere la proporzione:

3

: :x x180 60 260

180 26"

$= = = .

In 2 secondi i giri sono 6.Un giro equivale a un angolo di 360°, o 2r, quindi 6 giri sono equivalenti a

° °6 360 2160$ = , o 12r.

B

AO

α

α

Aβ

angolopositivo

angolonegativo

Olato origine

O

30° + 2 ∙ 360°

B

A

› Scrivi in gradi la misura di almeno 4 angoli che si possono ottenere dall’espressione

k2 2rr+ , con k Z! , per

particolari valori di k.

O

giri al minuto

1 minuto = 60 secondi

TEORIA

T

Funzioni seno e coseno PARAGRAFO 2

701

Circonferenza goniometrica

Nel piano cartesiano, per circonferenza goniometrica intendiamo la circonfe-renza che ha come centro l’origine O degli assi e raggio di lunghezza 1, ossia la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1.

Il punto E(1; 0) si dice origine degli archi.

Usando la circonferenza goniometrica, si possono rappresentare gli angoli orienta-ti, prendendo come lato origine l’asse x. In questo modo, a ogni angolo corrispon-de un punto di intersezione B fra la circonferenza e il lato termine.

› ESEMPIO

Rappresentiamo gli angoli , ,6 4

531 2 3a

ra r a

r= = =- .

Essi individuano sulla circonferenza i punti B1, B2 e B3 della figura.

E

a

x

y

O

B1

α1= –π

6

E

b

x

y

O

α2= –π

5

4B

2

E

c

x

y

O

B3

α3=Ð –

π

3

Osserviamo che nella circonferenza goniometrica, essendo la lunghezza di un arco l ra= e r 1= , se l’angolo EOBW è misurato in radianti, la misura della lunghezza dell’arco EB

$ è uguale alla misura di EOBW .

Funzioni seno e coseno

Introduciamo alcune funzioni goniometriche che alla misura dell’ampiezza di ogni angolo associano un numero reale.

DEFINIZIONE

Consideriamo la circonferenza gonio-metrica e un angolo orientato a, e sia B il punto della circonferenza associato ad a.Definiamo coseno e seno dell’angolo a, e indichiamo con cos a e sin a, le funzioni che ad a associano, rispetti-vamente, il valore dell’ascissa e quello dell’ordinata del punto B:

cos a = xB, sin a = yB.

Consideriamo una circonferenza 𝒞l con centro O e raggio qualsiasi rl ! 1.

Prendiamo un angolo a appartenente al primo quadrante individuato dal punto B

O

y

x

B

E(1; 0)α

MATEMATICA

E TOPOGRAFIA

› Rotolare per misu-

rare

• Come si misura con precisione la lunghezza di una strada?

Risposta

2 → Esercizi a p. 730

Listen to it

Let a be an oriented angle and B its associated point on the unit circle. The trigo-nometric functions cosine and sine are defined as follows:

cos xBa = , sin yBa = .

x

y

O

B

r = 1

yB

cos α = xB

α

sin α = yB

xB E

TEORIA

T


702

sulla circonferenza goniometrica. Su 𝒞l il punto corrispondente ad a sia Bl. Dalla similitudine dei triangoli OBA e AOBl l deduciamo:

cosOBOA

OBOA

a= =l

l, A sin

OBB

OBBA

a= =l

l l.

I due rapporti, e quindi sin a e cos a, non dipendono dalla particolare circonferen-za considerata, ma esclusivamente dall’angolo a.

Osserviamo inoltre che sin a e cos a sono numeri puri, perché rapporti di gran-dezze omogenee, quindi non hanno alcuna unità di misura.

Consideriamo ora un triangolo rettangolo OAB. Possiamo pensare all’ipotenusa OB come al raggio di una circonferenza di centro O, quindi il seno di a è uguale al rapporto fra il cateto opposto all’angolo a e l’ipotenusa, il coseno di a è uguale al rapporto fra il cateto adiacente ad a e l’ipotenusa.

α

ipotenusa catetoopposto

O A

B

cateto adiacente

cos α = ————————cateto adiacente

ipotenusa

α

ipotenusa

O A

B

a b

sin α = ———————cateto opposto

ipotenusa

Variazioni delle funzioni seno e coseno

Seno e coseno di un angolo a sono funzioni che hanno come dominio R, perché per ogni valore dell’angolo R!a esiste uno e un solo punto B sulla circonfe-renza goniometrica.Supponiamo che un punto B percorra l’intera circonferenza goniometrica, a par-tire da E, in verso antiorario.Se EOBa = W , come variano sin a e cos a al variare della posizione di B?Basta osservare che cosa succede all’ascissa di B (ossia il coseno dell’angolo a) e alla sua ordinata (ossia il seno).

a. Finché B percorre il primoquarto di circonferenza, lasua ascissa xB e la suaordinata yB sono positive.Man mano che B si avvicinaal punto F, l’ascissa diminui-sce e l’ordinata aumenta.In F, xF = 0, yF =1.

y

x

F

α

E

yB

O

B

xB

(+; +)

y

x

α

E

yB

O

B

xBG

(–; +)

b. Quando B percorre lacirconferenza nel secondoquadrante, la sua ordinataè ancora positiva, mentrel’ascissa diventa negativa.Mentre B si avvicina a G,sia l’ascissa sia l’ordinatadiminuiscono.In G, xG = – 1, yG = 0.

y

x

α

E

yB

O

B

xB

(–; –) H

c. Se B si trova nel terzoquadrante, la sua ordinatae la sua ascissa sononegative. Man mano che Bsi avvicina a H, l’ascissaaumenta e l’ordinatadiminuisce.In H, xH = 0, yH = –1.

y

x

α

E

yB

O

B

xB

(+; –)

d. Quando B percorrel’ultimo quarto dicirconferenza, la suaordinata è ancora negativa,mentre l’ascissa è positiva.Avvicinandosi a E, sial’ascissa sia l’ordinata di Baumentano.In E, xE = 1, yE = 0.

x

y

O

α

A

r'

A'

B'

1

'

B


Funzione seno


Funzione coseno

Nelle due animazioni trovi figure dinamiche per stu-diare:

• i grafici delle due funzioni;

• i loro domini e insiemi immagine;

• la periodicità;

• seno e coseno nei triangoli rettangoli.

TEORIA

T

Funzioni seno e coseno PARAGRAFO 2

703

Qualunque sia la posizione di B sulla circonferenza, la sua ordinata e la sua ascissa assumono sempre valori compresi fra -1 e 1, quindi:

-1 # sin a # 1 e -1 # cos a # 1.

L’insieme immagine delle funzioni seno e coseno è quindi [-1; 1].

Poiché cos a = cos(- a), allora il coseno è una fun-zione pari, mentre, essendo

sin (- a) = -sin a,

il seno è una funzione dispari.

Grafici delle funzioni y = sin x, y = cos x

Per costruire il grafico della funzione y = sin x in [0; 2r] riportiamo sull’asse x i valori degli angoli e, in corrispondenza, sull’asse y le ordinate dei punti B corri-spondenti sulla circonferenza goniometrica.

yY

O

1

xX—π

6—π

4—π

3—π

2—2π

3—3π

4—5π

6

π

—3π

2 2ππ

—5π

6

—3π

4

—2π

3

—π

2

—3π

2

0

–1

y = sin x

Procediamo analogamente, per ottenere il grafico della funzione y = cos x in [0; 2r]. In questo caso, tuttavia, essendo il coseno l’ascissa del punto B, ruotiamo la circon-ferenza goniometrica di 90°. Riportiamo poi sulle ordinate di un piano cartesiano le ascisse dei punti B della circonferenza goniometrica in corrispondenza degli angoli.

y

O

1

x—π

6—π

4—π

3—π

2

—2π

3—3π

4—5π

6 π

—3π

2

2π

π

0

—5π

3—7π

4——11π

6

—7π

6—5π

4—4π

3

–1

y = cos x

—π

6—π

4

—π

3

——11π

6—7π

4

—5π

3

—3

2π—

π

2Y

X

x

y

O

α

–α

cosα = cos(–α)

x

y

O

α

–α

sin (–α) = –sin α

sin α

sin (–α)

TEORIA

T


704

Periodo delle funzioni seno e coseno

Dopo aver percorso un giro completo, il punto B può ripetere lo stesso movimento quante volte si vuole.

Le funzioni sin a e cos a assumono di nuovo gli stessi valori ottenuti al «primo giro», ossia:

( ) ( )

( ) ( )

s n s n s n

cos cos cos

i i i2 2 2

2 2 2

$

$

f

f

a a r a r

a a r a r

= + = + =

= + = + =

Sappiamo che, in generale, una funzione y = f (x) è detta periodica di periodo p (con p 2 0) se per ogni x e per qualsiasi numero k intero si ha f (x) = f (x + kp).

Le funzioni seno e coseno sono quindi periodiche di periodo 2r e possiamo scri-vere, in modo sintetico:

( ) , ( ) , .sin sin cos cosk k k2 2 con Z!a r a a r a+ = + =

Sinusoide e cosinusoide

Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide. Le funzioni sono periodiche di periodo 2r, quindi i grafici si ottengono ripetendo ogni 2r i grafici relativi all’intervallo [0; 2r].

x

1 y = sin x3—2

y

π

–1O π 2ππ—

2x

Periodo: 2πPeriodo: 2π

y

O

π

1

–1π—2

y = cos x

3π—2

2π

I grafici delle due funzioni sono sovrapponibili con una traslazione di vettore pa-

rallelo all’asse x e di modulo 2r .

In sintesi

siny x=

Dominio: R .

Insieme immagine: [ ; ]1 1- .

Funzione dispari: il grafico è simmetri-co rispetto all’origine.

cosy x=

Dominio: R .

Insieme immagine: [ ; ]1 1- .

Funzione pari: il grafico è simmetrico rispetto all’asse y.

Prima relazione fondamentale

Poiché il punto B(cos a; sin a) appartiene alla circonferenza goniometrica, le sue coordinate soddisfano l’equazione x2 + y2 = 1:

cos s ni 12 2a a+ = .

Ox

y

B

E

α + 2π

α

O

y

xπ

2–

π

y = cos x

y = sin x

O

1

y

x

B

α

cosα

sinα

A

prima relazione fondamentale della goniometria

TEORIA

T

Funzione tangente PARAGRAFO 3

705

La relazione esprime il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OAB.

Da questa relazione è possibile ricavare sin a conoscendo cos a e viceversa. Infatti, se è noto cos a, si ha s n cosi 1 2

!a a= - . Viceversa, se si conosce sin a, si ha cos s ni1 2

!a a= - .

Come utilizzare la calcolatrice scientifica

Utilizzare la calcolatrice scientifica per calcolare il seno, il coseno o la tangente di un angolo può portare a risul-tati errati se la calcolatrice non è stata impostata corret-tamente.È importante scegliere con quale unità di misura si vuole inserire l’angolo.Se vogliamo calcolare il seno, il coseno o la tangente di un angolo espresso in gradi sessadecimali, sullo schermo della calcolatrice deve essere presente la scritta DEG.Se invece l’angolo è espresso in radianti, la calcolatrice deve essere impostata su RAD.

Funzione tangente

Tangente di un angolo

DEFINIZIONE

Consideriamo un angolo orientato a e chiamiamo B l’intersezione fra il lato termine e la circonferenza goniome-trica di centro O. Definiamo tangen-

te di a la funzione che ad a associa il rapporto, quando esiste, fra l’ordinata e l’ascissa dal punto B:

tan xy

B

Ba = .

Il rapporto xy

B

B non esiste quando x 0B = , ossia quando B si trova sull’asse y e l’an-

golo è uguale a 2r o a 2

3r o a un altro valore che ottieni da 2

r aggiungendo mul-

tipli interi dell’angolo piatto. Quindi la tangente esiste solo se:

k2

!ar

r+ , con k Z! .

Consideriamo ancora la circonferenza goniometrica, un suo punto B(xB; yB), la sua proiezione A sull’asse x e l’angolo orientato AOB a=W .Anche in questo caso, come per il seno e il coseno, si può dimostrare che il rapporto

OAAB , e di conseguenza x

y

B

B , dipende solo dall’angolo a e non varia se cambiamo

il raggio della circonferenza.

3

Listen to it

For an oriented angle a and its associated point B on the unit circle, the tangent func-tion is defined as

tanxy

B

Ba = .

We exclude from the domain

,k k2 Z!ar

r= + .


x

y

O

B

α

AxB

yB

tan α = —–xB

yB

TEORIA

T


706

Infatti, considerata una seconda circonferenza di raggio OBl, i triangoli OAB eOA Bl l sono simili, quindi vale la proporzione

: :AB OA A B OA= l l l,

ossia:

OAOAAB A B tan a= =

l

l l.

Pertanto, il rapporto considerato non dipende dalla particolare circonferenza scel-ta, bensì solo dall’angolo.

Anche tan a è un numero puro, essendo un rapporto tra grandezze omogenee.Consideriamo il triangolo rettangolo OAB.Possiamo pensare l’ipotenusa OB come raggio di una circonferenza di centro O.Pertanto la tangente di a è uguale al rappor-to fra il cateto opposto all’angolo a e il cateto adiacente.

Un altro modo di definire la tangente

Consideriamo la circonferenza goniometrica, la retta tangente a essa nel punto E, origine degli archi, e un angolo a. Il prolungamento del lato termine OB interseca la retta tangente nel punto T. La tangente di a può anche essere definita come il valore dell’ordinata di T: tan a = yT.Dimostriamo che le due definizioni date sono equivalenti.

› DIMOSTRAZIONE

I triangoli rettangoli OAB e OET sono simili, quindi:

: : : :TE BA OE OA y y x1T B B" "= = y xy

TB

B"=

tan xy

yB

BTa = = .

Vediamo con un esempio come è possibile misurare l’altezza di una costruzione molto alta utilizzando la funzione tangente.

› ESEMPIO Con il metro e il goniometro

Hai a disposizione le misure indicate in figura.

▶ Qual è l’altezza della Statua della Libertà?

Schematizziamo il problema. Essendo

AD AB 4= + ,

poniamo AC x= e AB y= .

Nel triangolo ABC è

, ,tanyx 76 6 4 20° -= ,

mentre nel triangolo ADC è: , ° ,tanyx

4 74 3 3 56-+= .

x

y

O

B

α

A

B'

A'

catetoopposto

cateto adiacente

α

tan α = ————————cateto opposto

cateto adiacente

B

AO

O x

y

B

E

T

tanαyTα

O E

T

A

B

y

x

76,6° 74,3°

4 m76,6°

x

y

74,3°

4 mA

C

B Dcon la calcolatrice⤻

TEORIA

T

Funzione tangente PARAGRAFO 3

707

Impostiamo e risolviamo il sistema.

,, ( )

,, ,

x yx y

x y

y y4 203 56 4

4 204 20 3 56 4" "

=

= +

=

= +^ h' ) ,

,

x

y

93 45

22 25

=

=*

La Statua della Libertà è alta circa 93 m.

Variazioni della funzione tangente

Studiamo come varia yT al variare dell’angolo a.

a. Finché B percorre il primoquarto di circonferenza,l’ordinata di T è positiva eaumenta man mano che B siavvicina al punto F. Quando

B ≡ F, α =

O

b. Quando B percorre lacirconferenza nel secondoquadrante, l’ordinata T ènegativa e aumenta fino a quando B ≡ G, in cui yT = 0.

c. Se B si trova nel terzoquadrante, l’ordinata di Tè di nuovo positiva eaumenta fino a quandoB ≡ H e T non esiste più.

y

x

F

T

Eα

+

O

y

x

B

G

α

–

O

y

x

H

B

E

α

O

y

x

B

E

αB

T

E

+

T

–T

d. Quando B percorrel’ultimo quarto dicirconferenza, l’ordinatadi T ritorna negativa eaumenta fino allo 0.

La tangente di — non esiste.3π2

— π

2e la tangente

non esiste.

A differenza delle funzioni seno e coseno, la funzione tangente può assumere qua-lunque valore reale. Il suo insieme immagine è quindi R, mentre, come abbiamo

visto, il suo dominio è: k2!ar

r+ , con k Z! .

Essendo ( )tan tana a- =- , la tangente è una funzione dispari.

Grafico della funzione tany x=

Tracciamo il grafico della funzione y = tan x nell’intervallo [0; r], riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le ordinate dei punti corrispondenti sulla retta tangente.

T

x

y

O π

2–

π

4–

π

6–

π

3–

3

4–π

π

5

6–π

T'

2

3–π

π

3–π

4–

π

6–

π

2–

3

4–π

5

6–π

2

3–π

O

y

x

tan (–α) = –tan α

tan α

tan (–α)

α

–α


L’animazione studia i due modi di definire la tangente e, con una figura dinamica, ti permette di vedere il suo grafico al variare dell’angolo fra 0 e 2r.

TEORIA

T


708

Notiamo come, man mano che x si avvicina a 2r :

• «da sinistra», cioè assumendo valori minori di 2r , i valori della funzione cre-

scono sempre di più; diremo che tan x " 3+ per x che tende a 2r - e scrivere-

mo tan x " 3+ per x 2"r - ;

• «da destra», cioè assumendo valori maggiori di 2r , i valori della funzione de-

crescono sempre di più, ovvero tan x " 3- per x 2"r + .

Il grafico della tangente, per valori di x che si approssimano a 2r , si avvicina sem-

pre più alla retta di equazione x2r

= , detta asintoto verticale del grafico.

Periodo della funzione tangente

La tangente è una funzione periodica di periodo r, cioè, qualunque sia l’angolo a del dominio, è:

tan tan ka a r= +^ h, con k Z! .

Questo si può vedere usando la definizione di tangente (figura a sinistra).Il grafico completo della tangente si chia-ma tangentoide. Ha infiniti asintoti ver-

ticali: le rette di equazioni x k2r

r= + .

In sintesi

La funzione y xtan= ha per dominio

Z,k k2

R !r

r- +& 0 e insieme immagine

R, ossia:

Z: ,tan x k k2R R"!r

r- +& 0 .

Ha infiniti asintoti verticali di equazione Z,x k k2

!r

r= + .

È una funzione dispari, quindi è simmetrica rispetto all’origine.

Seconda relazione fondamentale

Consideriamo la circonferenza goniometrica. Per definizione:

,tan sin cosxy

y xeB

BB Ba a a= = = .

Sostituiamo sin a e cos a nell’espressione della tangente e otteniamo che la tan-gente di un angolo sia data dal rapporto, quando esiste, fra il seno e il coseno dello stesso angolo.

tan cossin

aa

a= , con ,k k2 Z! !a

rr+ .

Significato goniometrico del coefficiente

angolare di una retta

Tracciamo la circonferenza goniome trica e la retta di equazione y = mx, da cui:

mx

y= .

O E

T

H

B

y

x

B'

G

F

αα + π

Periodo: π

y = tan x

y

π– —2

O

3π—2

π—2

x

xBO

1

y

x

B

α

yB

seconda relazione fondamentale


TEORIA

T

Funzioni secante e cosecante PARAGRAFO 4

709

In particolare, se x = 1, y = tan a e

tan tanm 1a

a= = .

Il coefficiente angolare della retta y mx= è ugua-le alla tangente dell’angolo fra la retta e l’asse x. Dalla geometria analitica sappiamo che due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficien-te angolare e che esse formano angoli congruenti con l’asse x. Ciò permette di estendere il risultato ottenuto anche a rette che non passano per l’origine (figura sopra a destra).

Ý ESEMPIO Nel decollo

Un aereo in fase di decollo forma un angolo di 10° con il suolo.

▶ Qual è l’equazione della semi-retta che approssima la traiet-toria dell’aereo in fase di de-collo?

Immaginiamo che il piano carte-siano sia disposto come in figura. La semiretta che descrive il decollo passa per l’origine, quindi ha equazione del tipo y mx= , con x 0$ .

,tanm 010 18° -= , perciò la semiretta cercata è ,y x0 18= , con x 0$ .

Funzioni secante e cosecante

DEFINIZIONE

Dato un angolo a, chiamiamo:

• secante di a la funzione che associa ad a il reciproco del valore di cos a, purché cos a sia diverso da 0. Si indica con sec a:

seccos

1a

a = , con k k2 e Z! !ar

r+ ;

• cosecante di a la funzione che associa ad a il reciproco del valore di sin a, purché sin a sia diverso da 0. Si indica con csc a:

csc sin1

aa

= , con k ke Z! !a r .

Secante e cosecante, come seno e coseno, sono funzioni periodiche di periodo 2r.

Un altro modo di definire la secante e la cosecante

Consideriamo la circonferenza goniometrica, l’angolo a e la tangente in B che interseca gli assi x e y rispettivamente in S e Sl.I triangoli OBA e OBS sono simili, quindi:

: : : : ,cosOA OB OB OS OS1 1" a= =

da cui: cos

secOS1

aa= = .

O

y

x

α

1

y=mx

tanα

x

y

O

αα'

r'

r

r // r'

α = α' " tan α = tan α' " m= m'

y

O x

10¡

4→ Esercizi a p. 739

O

y

x

B

α

A

α

S'

S

TEORIA

T


710

Analogamente, essendo simili i triangoli OAB e OBSl:

,: : : :sinBA OB OB OS OS1 1" a= =l l

da cui: csin scOS1

aa= =l .

La secante di a è quindi l’ascissa del punto S, intersezione della retta tangente nel punto B, associato ad a sulla circonferenza goniometrica, con l’asse x.Analogamente, la cosecante di a è l’ordinata del punto Sl, intersezione della retta tangente in B con l’asse y.

Grafico del reciproco di una funzione

Dal grafico di una funzione ( )y f x= è possibile ricavare l’andamento del grafico della funzione reciproca:

( ) ( )y g xf x1

= = , definita per ( )f x 0! .

1. Se il grafico di f(x) interseca l’asse x in x0, ossia se f(x0) = 0, per valori di x che tendono a x0, il valore del reciproco è:

• positivo e con valori sempre più grandi, man mano che ci si avvicina a x0, se ( )f x 02 ; diremo che ( )g x tende a 3+ ;

• negativo e con valori sempre più grandi in valore assoluto, se ( )f x 01 ; dire-mo che g(x) tende a 3- .

Avvicinandosi al punto x0 il grafico della funzione g(x) si avvicina a quello della retta x = x0, che viene detta asintoto verticale del grafico di g(x).

2. Quando f(x) tende a 3+ o a 3- , il suo reciproco g(x) si avvicina sempre più a 0, cioè g(x) tende a 0.

3. Se f(a) = 1, è vero anche che ( ) ( )g af a1

11 1= = = .

a è allora ascissa di un punto di intersezione dei grafici di f(x) e di ( )f x1 .

Analogamente, se ( ) ,f b 1=- abbiamo ( ) ( )g bf b1

11

1= =-=- , cioè b è ascis-

sa di un punto di intersezione.

Ý ESEMPIO

Consideriamo la funzione:

f x x 1= +^ h .

• f x 0=^ h se x 1=- . Il suo reci-

proco g x x 11

=+

^ h tende a 3+

quando x tende a 1- + , poiché ( )f x 02 e g(x) assume valori

sempre più grandi.Analogamente, g(x) tende a 3- per x che tende a 1- - , dove ( )f x 01 . La retta x 1=- è asintoto verticale per g(x).

• f(x) tende a 3+ quando x tende a 3+ , cioè quando x cresce; tende a 3- quando x tende a 3- . Allora g(x) tende a 0+ quando x tende a ,3+

mentre tende a 0- quando x tende a 3- .

1

x

y

O–1

y = ––––1x+1

y = x + 1

–2

–1

TEORIA

T

Funzione cotangente PARAGRAFO 5

711

• f a 1=^ h se a 0= , f b 1=-^ h se b 2=- . Allora anche g 0 1=^ h e g 2 1- =-^ h .

• Le informazioni raccolte permettono di tracciare il grafico probabile di g(x).

Grafici della secante e della cosecante

Possiamo utilizzare il metodo appena visto per disegnare i grafici della secante e della cosecante.

1

x

y

O

–1

y = sec x

π––π2

––3π2

y = cos x

2π

1

x

y

O

–1

y = csc x

π––π2

––3π2

y = sin x

2π

Il grafico di una funzione si ottiene da quello dell’altra con una traslazione di vet-

tore parallelo all’asse x e modulo2r .

I domini delle due funzioni, deducibili dalla loro definizione, sono:

R Z,k k2 !r

r- +& 0 per la secante; R Z,k k0 !r- +" , per la cosecante.

Dalla figura si deduce che l’insieme immagine, sia della funzione secante, sia della funzione cosecante, è R -] - 1; 1[.

Sono asintoti verticali le rette di equazione x k2r

r= + per il grafico della secante, x k0 r= + per il grafico della cosecante.

Come il coseno, la secante è una funzione pari; la cosecante è dispari, come il seno.

Funzione cotangente

DEFINIZIONE

Consideriamo un angolo orientato a e chiamia-mo B l’intersezione fra il lato termine e la circon-ferenza goniometrica. Definiamo cotangente di a la funzione che associa ad a il rapporto, quando esiste, fra l’ascissa e l’ordinata del punto B:

cot yx

B

Ba = .


L’animazione studia i due modi di definire la secante e la cosecante e fornisce figure dinamiche per osser-vare i loro grafici al variare dell’angolo fra 0 e 2r.

5 → Esercizi a p. 741

x

y

O

B

α

AxB

yB

cot α = —–x

B

yB

TEORIA

T


712

Il rapporto yx

B

B non esiste quando y 0B = , ossia quando il punto B si trova sull’asse

x, cioè quando l’angolo misura 0, r e tutti i multipli interi di r.cot a esiste solo se k!a r .

Dalla definizione di cotangente deriva che: cossincot aa

a= , con k!a r .

Poiché tan xy

B

Ba = e y

xcot

B

Ba = , risulta tan a $ cot a = 1, da cui:

tan1

cot aa

= , con k 2!ar .

La condizione posta deriva dal fatto che consideriamo tan1

a, quindi la cotangente

non è definita sia per gli angoli in cui non esiste tan a, cioè k2

ar

r= + , sia per

quelli in cui tan a = 0, cioè k0a r= + , perciò: k2

!ar .

Un altro modo di definire la cotangente

Consideriamo la circonferenza goniometrica e la retta tangente a essa nel punto F.

Il prolungamento del lato termine OB interseca la retta tangente nel punto Q.

La cotangente di a può anche essere definita come il valore dell’ascissa di Q:

xcot Qa = .

Dimostriamo che le due definizioni date sono equivalenti.

Ý DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i due triangoli rettangoli OAB e OFQ. Essi sono simili, essendo FQ OA' e quindi ,a al, perché alterni interni di rette parallele tagliate da una trasversale. Scriviamo la proporzione fra le misure dei cateti corrispon-denti,

: : , : :FQ OA FO BA x x y x yx

1Q B B QB

B" "= = = .

Pertanto: yx

xcotB

BQa = = .

Grafico della funzione coty x=

Come la tangente, anche la funzione co-tangente può assumere qualunque valore reale. L’insieme immagine della cotan-gente è quindi R, mentre il suo dominio è: x k $! r .Le rette di equazione x = kr sono asintoti verticali del suo grafico.

Periodo della funzione cotangente

In analogia con la tangente, la funzione cotangente risulta periodica di periodo r:

( )kcot cota r a+ = , con k Z! .

cot α

xQO

y

x

QF

α

B

O A

y

x

QF

α

α'B


Nell’animazione ci sono le due definizioni e una figura dinamica per osservare il grafico della cotangente fra 0 e 2r.

y

O π–––π

2––π2

3π2

y = cot x

2π–π ––x

O

cot α = cot (π + α)

y

x

απ + α

TEORIA

T

Funzioni goniometriche di angoli particolari PARAGRAFO 6

713

Funzioni goniometriche di angoli particolari

Mediante le proprietà delle figure geometriche riusciamo a calcolare il valore delle funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari.

L’angolo 6r

Consideriamo la circonferenza goniometrica e il triangolo OAB, rettangolo in A,

con AOB 6ar

= =W e OB 1= .

Poiché in un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari OBA 3r

=V .

Prolungando il lato BA, otteniamo sulla circonferenza il punto C.

Il triangolo OBC è equilatero, poiché ha gli angoli di 3r , quindi BC 1= .

AB è la metà di BC, ossia AB21

= .

Ricaviamo OA applicando il teorema di Pitagora al triangolo OAB:

OA OB AB 121

43

232 2 2

2

= - = - = =b l .

Pertanto: cossin 6 21

6 23er r

= = .

Ricaviamo la tangente e la cotangente di 6r :

tancos

sin

66

6

23

21

33r

r

r

= = = ; tan6

6

1

33

1 3cot r

r= = = .

Pertanto: tan 6 33

6 3e cotr r= = .

L’angolo 4r

Consideriamo la circonferenza goniometrica e il triangolo OAB, rettangolo in A,

con AOB 4ar

= =W e OB 1= . Anche OBA 4r

=V e il triangolo OAB è isoscele.

Con il teorema di Pitagora otteniamo

OA AB 22

= = ,

e quindi: sin cos4 22

4 22er r

= = .

Calcolando i rapporti che definiscono le due funzioni, otteniamo:

tan 4 1 4 1e cotr r= = .



Nell’animazione puoi seguire passo passo il modo con cui si ricavano seno e coseno di

6r , 4

r , 3r .

1

2—π

6— π

3—

π

3—O

y

x

B

C

A

2—3

Ý Verifica con il calcoloche:

6 32 3ecs r

= ;

csc 6 2r= .

O

y

x

B

1

A

π

4

π

4

2—2

TEORIA

T


714

L’angolo 3r

Nella circonferenza goniometrica consideriamo il triangolo OAB, rettangolo in A,

con AOB 3ar

= =W e, di conseguenza, OBA 6r

=V .

Congiungendo B con E, otteniamo il triangolo equilatero OEB.

BA è altezza e mediana del triangolo OEB, quindi OA 21

= .

Ricaviamo AB applicando il teorema di Pitagora al triangolo OAB:

AB OB OA 1 21

43

232 2 2

2

= - = - = =b l .

cos sin3 21

3 23er r

= = .

Calcolando i rapporti fra seno e coseno, otteniamo:

tan 3 3 3 33e cotr r

= = .

Angoli associatiConsideriamo un angolo a. Chiamiamo angoli associati (o archi associati) ad a i seguenti angoli:

, , , , , , ,2 2 23

23 2a

ra

ra r a r a r a r a r a- - + - + - + - .

Funzioni goniometriche di angoli associati

Determiniamo seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli associati ad a, in funzione di seno, coseno, tangente e cotangente dell’angolo a.

• I due angoli a e - a sono congruenti e orientati in verso opposto, ossia sono angoli opposti:

( ) ,

( ) .cos cos

sin siny y

x x

B B

B B

a a

a a

- = =- =-

- = = =

l

l

Pertanto:

,

,

,

.

( ) ( )

( ) ( )

sin sin tan tan

cos cos cot cot

a a a a

a a a a

- =- - =-

- = - =-

• a e 2r - a sono angoli esplementari, ossia la loro somma è un angolo giro. Per essi valgono considerazioni analoghe a quelle precedenti, quindi:

, ,

, .

( ) ( )

( ) ( )

sin sin tan tan

cos cos

2 2

2 2cot cot

r a a r a a

r a a r a a

- =- - =-

- = - =-

O

1

y

x

B

A E

2—3

π

3––

1

2––

π

6––

Ý Verifica con il calcolo che:

;3 2sec r=

3 32 3csc r

= .

7

Video

Le formule degli angoli

associati

• Quali sono le formule degli angoli associati?

• Come ricavarle senza doverle imparare a me-moria?


O x

y

α e – α

B

B'

α

–α

O x

y

α

2π – α

B

B'

α e 2π – α

TEORIA

T

Angoli associati PARAGRAFO 7

715

• a e r - a sono angoli supplementari.I triangoli rettangoli OAB e OA Bl l sono congruenti perché hanno congruenti l’ipotenusa e l’angolo acuto a:

( ) ,

( ) .cos

sin sin

cos

y y

x x

B B

B B

r a a

r a a

- = = =

- = =- =-

l

l

Pertanto:

, ,

, .

( ) ( )

( ) ( )

sin sin tan tan

cos cos cot cot

r a a r a a

r a a r a a

- = - =-

- =- - =-

• a e r + a sono angoli che differiscono di un angolo piatto. Con considerazio-ni analoghe a quelle del caso precedente otteniamo:

, ,

, .

( ) ( )

( ) ( )

sin sin tan tan

cos cos cotcot

r a a r a a

r a a r a a

+ =- + =

+ =- + =

• a e 2r

a- sono angoli complementari.

Nel triangolo rettangolo OA Bl l risulta A a=A OB OB2 era= -l l l lW X , perché

complementare del precedente.I triangoli OAB e OA Bl l sono congruenti perché hanno congruente l’ipotenusa e l’angolo acuto a, pertanto OA A B AB OAe, ,l l l:

,sin cosy x2 B Br

a a- = = =lb l

.cos sinx y2 B Br

a a- = = =lb l

Pertanto:

, ,

, .

sin cos tan

cos sin tan

2 2

2 2

cot

cot

ra a

ra a

ra a

ra a

- = - =

- = - =

bb b

bll l

l

• a e 2r

a+ sono angoli che differiscono di un angolo retto.

Nel triangolo rettangolo OA Bl l risulta A OB 2 2rr

ar

a= - + = -l l b lW e

A B O a=l lX . Quindi, in analogia con il caso precedente, tenuto conto che A B Ol l

è nel secondo quadrante, otteniamo:

, ,

, .

sin cos tan

cos sin tan

2 2

2 2

cot

cot

ra a

ra a

ra a

ra a

+ = + =-

+ =- + =-

bb b

bll l

l

• Se consideriamo a e 23

r a- , A OB 23

2r a rr

a= - - = -l lW e A B O a=l lX ,

quindi i triangoli AOB AOBe l l sono congruenti. Per angoli la cui somma è 23r

otteniamo dunque:

O x

y

α e π – α

α

AA'

π – α

BB'

O x

y

α e π + α

α

A

A'

π + α

B

B'

O x

y

α e — – α

α

AA'

B'

Bπ

2— – α

π

2

O x

y

α e — + α

α

AA'

— + απ

2

B

B'

π

2

3

2π – α

A

B'

B

A'

α e ––π – α3

2

x

y

O

Ñ

α

TEORIA

T


716

, ,

, .

sin cos tan

cos sin tan

23

23

co

23

23

t

cot

r a a r a a

r a a r a a

- =- - =

- =- - =

bb b

bll l

l

• Con ragionamenti analoghi, per angoli la cui differenza è 23r otteniamo:

, ,

, .

sin cos tan cot

cos sin tan

23

23

23

23

cot

r a a r a a

r a a r a a

+ =- + =-

+ = + =-

bb b

bll l

l

Animazione nell’eBook

Con pochi click, osserviamo le relazioni fra seno e coseno di:

ea a- ; 2ea r a- ;

ea r a- ; ea r a+ .

Animazione nell’eBook

Esaminiamo le relazioni fra seno e coseno di:

2ear

a- ; 2ear

a+ ;

23ea r a- ; 2

3ea r a+ .

Riduzione al primo quadrante

Usando le relazioni stabilite per gli angoli associati, è possibile determinare le fun-zioni goniometriche di qualunque angolo, conoscendo le funzioni goniometriche degli angoli che appartengono al primo quadrante.Il procedimento relativo viene detto riduzione al primo quadrante.

› ESEMPIO

Riduciamo al primo quadrante sin 110°. Poiché 110° = 90° + 20°:

sin 110° = sin (90° + 20°) = cos 20°.

Funzioni goniometriche inverse

Funzione inversa di siny x=

Una funzione è invertibile, ossia ammette la funzione inversa, solo se è biunivoca.

La funzione y = sin x non è biunivoca perché non è iniettiva. Infatti, se consideriamo una retta y = k, parallela all’asse x, con -1 # k # 1, essa interseca il grafico della funzione seno in infiniti punti, quindi ogni valore dell’insieme immagine [- 1; 1] di y = sin x è il corrispon-dente di infiniti valori del dominio R.

3

2π + α

A

B'

B

A'

α e ––π + α3

2

x

y

O

—

α


› Riduci al primo qua-drante cos 230°.


π

2π

2

y

O

1

π

–1

π –

Listen to it

To define the inverse of the sine function, we need to restrict the domain; we can define the function arcsin x^ hfrom ;1 1-6 @ to ;2 2

r r-9 C as

the inverse of the sine

function in ;2 2r r

-9 C. This

method can be used to define the inverse function of all the trigonometric functions.

TEORIA

T

PARAGRAFO 8

717


Restrizione del dominio

Se restringiamo il dominio della funzione seno all’intervallo ;2 2r r-: D, la funzio-

ne y = sin x risulta biunivoca e dunque invertibile.

La funzione inversa del seno si chiama arcoseno.

DEFINIZIONE

Dati i numeri reali x e y, con 1 1 ex y2 2

# # # #r r

- - , diciamo che y è l’arcoseno di x se x è il seno di y .

Scriviamo: y = arcsin x, oppure siny x1=

- .

› ESEMPIO

sin1 2 2 1arcsin )

r r= = ; sin2

16 6 2

1arcsin )

r r= = .

Per ottenere il grafico della funzione y = arcsin x, basta costruire il simmetri-co rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante del grafico della funzione

y = sin x, considerata nell’intervallo ;2 2r r-: D.

O 1

y

x–1

1

π

2—

π

2—π

2–—

y = sin x

–1

π

2–—

y = x

a. Grafico di y = sin x in – π–2

; π–2

e del suo

simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

b. Grafico di y = arcsin x.

y = arcsin x

O 1

y

x–1

π

2—

π

2–—

[ ]

Funzione inversa di cosy x=

Se consideriamo [ ; ]0 r come dominio, la funzione coseno è biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa del coseno si chiama arcocoseno.

DEFINIZIONE

Dati i numeri reali x e y, con x y1 1 e 0# # # # r- , diciamo che y è l’arco-

coseno di x se x è il coseno di y.Scriviamo: arccosy x= , oppure cosy x1

=- .

› ESEMPIO

( ) cos1 1arccos )r r- = =- ; cos23

6 6 23arccos )

r r= = .

Im = [–—; —]π

2π

2

D = [–1; 1]y = arcsin x

x = sin y

x = cos y

y = arccos x D = [–1; 1]

= [0; π]Im

› Qual è l’arcocoseno

di 21

- ?

› Qual è l’arcoseno di

23 ?

TEORIA

T


718

La figura illustra il grafico della funzione arcocoseno.

O 1

y

x–1

π

y = x

π2— π

π2—

1

–1y = cos x

y = arccos x

O 1

y

x–1

π

π2—

a. Grafico di y = cos x in [0; π] e del suo

simmetrico rispetto alla bisettrice del primoe terzo quadrante.

b. Grafico di y = arccos x.

Funzione inversa di tany x=

Se consideriamo ;2 2r r

- :D come dominio, la funzione tangente è biunivoca e di

conseguenza invertibile.

La funzione inversa della tangente si chiama arcotangente.

DEFINIZIONE

Dati i numeri reali x e y, con x R! e y2 21 1

r r- , diciamo che y è l’arco-

tangente di x se x è la tangente di y.Scriviamo: y = arctan x, oppure tany x1

=- .

› ESEMPIO

arctan tan1 4 4 1)

r r= = ; arctan tan3 3 3 3)

r r= = .

Studiamo il grafico della funzione arcotangente.

y = x

π

2—

π

2—

y

x

π

2–—

π

2–—

y = tan x

O

π

2—

y = arctan x

y

x

π

2–—

O

a. Grafico di y = tan x in – π–2

; π–2

e del suo

simmetrico rispetto alla bisettrice del primoe terzo quadrante.

b. Grafico di y = arctan x.


Nell’animazione vediamo, in pochi passi, come disegnare i grafici di:

• y = arcsin x;

• y = arccos x;

• y = arctan x;

• y = arccot x.

y = arctan x

x = tan y

D = R

= ]–—; —[π

2π

2Im

› Qual è l’arcotangente

di 33

- ?

TEORIA

T

Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche PARAGRAFO 9

719

Funzione inversa di coty x=

DEFINIZIONE

Dati i numeri reali x e y, con x R! e 0 1 y 1 r, diciamo che y è l’arcocotan-

gente di x se x è la cotangente di y .Scriviamo: y = arccot x, oppure coty x1

=- .

› ESEMPIO

0 2 2 0arccot cot)

r r= = ; 3

33 3 3

3arccot cot)

r r= = .

Disegniamo il grafico della funzione arcocotangente.

O

y

y = x

xπ

π

y = cot x

π

2—

π

2—

y = arccot x

O

y

x

π

π

2—

a. Grafico di y = cot x in ]0; π[ e del suosimmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

b. Grafico di y = arccot x.

Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche→ Esercizi a p. 757

Dai grafici delle funzioni goniometriche si ottengono grafici di altre funzioni me-diante traslazioni, simmetrie, dilatazioni e contrazioni. Ne proponiamo alcuni ne-gli esercizi, mentre qui ci occupiamo soltanto delle funzioni sinusoidali.

Funzioni sinusoidali

La funzione y 3= sin x2 3r

+b l, raccogliendo 2 all’interno della parentesi, si può riscrivere

siny x3 2 6r

= +a k9 C,quindi è possibile ottenere il suo grafico a partire da quello di y = sin x con le se-guenti trasformazioni geometriche:

• contrazione orizzontale y f mx

= a k, con m21

= ;

• traslazione di vettore ;v6

0r-b l;

= ]0; π[

D = Ry = arccot x

x = cot y

Im

› Qual è l’arcocotan-gente di 3 ?

9


Studiamo in modo dinamico il grafico di

siny A x~ {= +^ hal variare di A, ~, {.

TEORIA

T


720

• dilatazione verticale y f xn= ^ h, con n = 3.

y

x

y = sin x

O

π

2π

1

b. Grafico di . c. Grafico di y = 3 sin (2x + —).π

3

y = sin 2x

a. Grafico di y = sin 2x.

y

xO

1

y = sin 2 (x + —)π

6

y = sin 2 (x + —)π

6

y

xO

3

y = 3 . sin (2x + —)π

3

y = sin (2x + —)π

3

y = sin 2x

[ ]

[ ]

Una funzione di questo tipo è detta sinusoidale e viene applicata molto spesso nello studio di fenomeni fisici.

In generale, sono dette funzioni sinusoidali le funzioni del tipo:

( ),siny A x~ {= + ( ),cosy A x~ {= +

R, ,Acon !~ { e A e ~ diversi da 0.

Studiamo il grafico di ( )cosy A x~ {= + .

T = —2π

—

– —φω

a. Il cambiamento di ω modifica ilperiodo della funzione e genera unadilatazione e contrazione orizzontale.

c. Il cambiamento di |A| genera unadilatazione o contrazione verticale.

b. Il cambiamento di φ produce unatraslazione orizzontale.

2π

2π

y

x

y = cos x

O

1y = cos ωx

–1

y

xO

1

y = cos (ωx + φ )

–1

y

xO

|A|y = A . cos (ωx + φ )

|A|

y = cos ωx

y = cos (ωx + φ)

–|ω|

|ω|

L’insieme immagine di una funzione sinusoidale è ;A A-6 @ .Il numero A è detto ampiezza della funzione sinusoidale, il numero ~ pulsazio-

ne e { sfasamento o fase iniziale.

Il periodo T è: T 2~

r= .

Infatti, la funzione seno è periodica di periodo 2r, quindi possiamo scrivere:

sin sin sinA x A x k A x k2 2~ { ~ { r ~ r {+ = + + = + + =^ ^ ^h h h7 AsinA x k

2$~

~

r{+ +b l; E,

da cui deduciamo che il periodo è 2~

r .

Video

Funzione sinusoidale

Studiamo insieme l’equa-zione di una funzione sinu-soidale.

• Cosa rappresentano i parametri?

• Cosa sono il periodo, l’ampiezza e la fase di una funzione sinusoidale?


Studiamo in modo dinamico il grafico di

cosy A x~ {= +^ hal variare di A, ~, {.

TEORIA

T

PARAGRAFO 9

721

Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche

Allo stesso modo si ottiene che il periodo di tany x~= è ~

r .

Periodo delle funzioni goniometriche

Nella tabella riassumiamo i periodi delle principali funzioni goniometriche che abbiamo studiato.

Funzione Periodo

sin x, cos x 2r

( ), ( )cossin kx kxa a+ + k2r

tan x, cot x r

( ), ( )tan kx kxcota a+ + kr

Ý ESEMPIO Pupazzetti salterini

Roberto gioca con un pupazzetto a molla facendolo oscillare vertical-mente, partendo da una posizione di equilibrio a un’altezza di 90 cm dal pavimento. Sappiamo che per effettuare un’oscillazione completa, di ampiezza 30 cm, e ritornare nella posizione iniziale impiega 3 secondi. La funzione che descrive l’altezza dal suolo del giocattolo al tempo t è del tipo sinh t A t B~ {= + +^ ^h h .

▶ Quali sono i valori dei parametri che corrispondono alla situazione descritta?

Al tempo t 0= la testa del pupazzetto si trova a 90 cm da terra e per la stes-sa posizione passerà dopo 1,5 s (dato che per fare un’oscillazione completa impiega 3 s).Nella posizione più bassa, a 60 cm

dal suolo, passerà dopo ,43 0 75 s=

e in quella più alta, a 120 cm, dopo

,3 43 2 25 s$ = .

Si tratta di una funzione sinusoidale del tipo ( )siny A t~ {= + con periodo

T2 3 s~

r= = e ampiezza A 30= cm,

traslata verso l’alto di 90 cm. Quindi ( ) sinh tt90 30 3

2r{= + +b l.

Per determinare la fase iniziale { bisogna considerare che il giocattolo viene inizialmente tirato verso il basso, quindi

{ r= e sin sint t3

23

2"

rr

r+ =-b l ( ) sinh t

t90 30 32r

= - .

MATEMATICA

E MUSICA

• Qual è il legame tra le funzioni sinusoidali e la musica?

Cerca nel Web:

diapason, motoarmonico, frequenza, timbro, altezza

90 c

m

30 c

m

t

h

20

O

60

80

100

(cm)

120

140

0,5

(s)

40

1 1,5 2 2,5 3

TEORIA

T


722

Il grafico di ( )f xy 2=

Dato il grafico della funzione y = f(x), cerchiamo di ricavare da esso l’andamento di quello di y = f 2(x).Tenendo conto che elevando al quadrato un numero, sia positivo sia negativo, si ottiene un numero positivo che non dipende dal segno del numero iniziale ma soltanto dal suo valore assoluto, disegniamo il grafico di ( )y f x= e teniamo conto delle seguenti proprietà:

1. se ( ) ( )f x f x1 12"= = ;

2. se ( ) ( )f x f x0 02"= = ;

3. se ( ) ( ) ( )f x f x f x1 2"1 1 ;

4. se ( ) ( ) ( )f x f x f x1 2"2 2 .

Esaminiamo un esempio.

1

x

y

O

2

3

4

y = f(x)

1

x

y y

O

2

3

4

y = f(x)

1

xO

2

3

4

y = f2(x)a b c

Ricaviamo anche l’andamento del grafico di ;tany x 2 2in2 r r= - :D .

a by = tan x y = tan2 x

1

x

y

O

y = tan x

–1

π

2–π

2– –

1

x

y

O

–1

π

2–π

2– –

1

x

y

O

–1

π

2–π

2– –

c

Il grafico di ( )y f x=

Dato il grafico della funzione y = f(x), ricaviamo l’andamento di quello di ( )y f x= .

Sfruttiamo queste informazioni:

1. se ( ) , ( )f x f x01 non esiste;

2. se ( ) , ( )f x f x0 0= = ;

3. se ( ) , ( )f x f x1 1= = ;

4. se ( ) , ( ) ( )f x f x f x0 1 11 1 1 1 ;

5. se ( ) , ( ) ( )f x f x f x1 12 1 1 .

A fianco, come esempio, riportiamo il grafico di ;tany x 2 2in r r= - :D .

1

x

y

O

y = tan(x)

y = tan(x)

π

2Ð

IN SINTESI

723

TEORIA

T

IN SINTESI

Funzioni goniometriche

continua È

Misura degli angoli

Un angolo può essere misurato in gradi oppure in radianti.

• Passaggio da gradi a radianti: si moltiplica la misura espressa in gradi per °180r .

• Passaggio da radianti a gradi: si moltiplica la misura in radianti per °180r

.

Funzioni goniometriche

• Consideriamo un angolo orientato a e chiamiamo B l’intersezione fra il suo lato termine e la circonferenza goniometrica. Si dice:

• seno di a (sin a) il valore dell’ordinata di B;

• coseno di a (cos a) il valore dell’ascissa di B;

• tangente di a (tan a) il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di B; è definita per ( )k k

2Z! !a

rr+ ;

• cotangente di a (cot a) il rapporto fra l’ascissa e l’ordinata di B; è definita per ( )k k Z! !a r .

• Relazioni fondamentali della goniometria:

.sin cos tan cossin1 e2 2

a a aa

a+ = =

• Secante di a : , .sec cos k1 con 2!a

aa

rr= +

• Cosecante di a : ,csc sin k1 con !a

aa r= .

SINUSOIDE

1 y = sin x3—2

y

π

–1O π 2ππ—

2x

Periodo: 2πPeriodo: 2π

y

O

COSINUSOIDE

π

1

–1π—2

y = cos x

3π—2

x2π

Periodo: π

y = tan x

yTANGENTOIDE

π– —2

O

3π—2

π—2

x

Funzioni goniometriche di angoli particolari

• ; ; .sin cos tan6 21

6 23

6 31r r r

= = =


4 22

4 1r r r= = =


3 21

3 3r r r= = =

cos α = xB

tan α = —y

B

xB

A

y

xO xB

yB

Bsin α = y

B

α

1

x2 + y2 = 1

cot α = —yB

xB


724

TEORIA

T

Angoli associatiDisegnando gli angoli associati sulla circonferenza goniometrica, possiamo ottenere le relazioni fra le loro funzioni goniometriche.

ESEMPIO:

O

y

x

α

+ α—π

2

O

y

x

α

– απ


• Arcoseno: y xarcsin= .

: [ ; ]; : ;ImD 1 1 2 2r r

- -: D.

y = arcsin x

O 1

y

x–1

π

2—

π

2–—

• Arcotangente: y xarctan= .

R: ; : ;ImD 2 2r r- :D .

π

2—

y = arctan x

y

x

π

2–—

O

• Arcocoseno: arccosy x= .

: [ ; ]; : ;ImD 1 1 0 r- 5 ?.

y = arccos x

O 1

y

x–1

π

π

2—

• Arcocotangente: y xarccot= .

R: ; : ] ; [ImD 0 r .

y = arccot x

O

y

x

π

π

2—

Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche

Funzioni sinusoidali: sono funzioni del tipo ( ), ( ),cossiny A x y A x~ { ~ {= + = + con R, ,A !~ { e

A è l’ampiezza, ~ la pulsazione e { lo sfasamento. Il periodo è T 2~

r= .

sin �

ra+` j = cos a

2

cos �

ra+` j = – sin a

2

sin (r – a) = sin a

cos (r – a) = – cos a

ESERCIZI

E

725

ESERCIZI

Misura degli angoli

Misura in gradi Attività interattiva

AL VOLO Scrivi il complementare e il supplementare dei seguenti angoli

30°; 64°. 50°; 45°. 20°; 15°.

Le operazioni fra angoli espressi in gradi

ESERCIZIO GUIDA Eseguiamo la sottrazione 90° - 32° 46l 22m.

Scriviamo 90° in termini di primi e secondi.

Poiché 1° = 60l, scriviamo:

90° = 89° 60l.

Poiché 1l = 60m, scriviamo:

90° = 89° 59l 60m.

Ora è possibile eseguire la sottrazione in colonna, fra gradi, primi e secondi:

89° 59l 60m - 32° 46l 22m =

57° 13l 38m

Esegui le seguenti operazioni fra le misure di angoli.

15° 32l 52m + 2° 12l 8m [17° 45l]

185° 2l + 6° 59l 12m [192° 1l 12m]

27° 2l 3m + 42° 12l 56m + 1° 2l 4m [70° 17l 3m]

270° - 120° 29l 32m [149° 30l 28m]

360° - 322° 40l 50m [37° 19l 10m]

26° - 1° 1l 1m [24° 58l 59m]

Trova il complementare e il supplementare dei seguenti angoli.

36° 25l 55° 2l 25m 42° 11l 80m

Dai gradi sessagesimali ai gradi sessadecimali

ESERCIZIO GUIDA Esprimiamo 25° 32l 40m in forma sessadecimale.

Poiché °

1 601

=l a k , scriviamo °

32 32 601$=l a k .

Poiché °

1 601

36001

= =mla ak k , scriviamo

°40 40 3600

1$=m a k .

Trasformiamo la misura:

° °° , , , .° ° ° ° °25 32 40 25 60

323600

40 25 0 53 0 01 25 54-= + + = + +l m a ak kLa trasformazione richiesta è la seguente:

° , °25 32 40 25 54-l m .

Inquadrami

per fare

le attività

interattive

1

→ Teoria a p. 697

1■ ■

2■ ■

3■ ■

4

5■ ■

6■ ■

7■ ■

8■ ■

9■ ■

10■ ■

11■ ■

12■ ■

13■ ■

14

°1 601

=l a k

°1 601

36001

= =mla ak k

ESERCIZI

E


726

Esprimi in forma sessadecimale le seguenti misure di angoli.

0° 59l 59m; 0° 30l. [1°; 0,5°]

1° 59l 30m; 2° 40m. [1,99°; 2,01°]

15° 30l 30m; 30° 30l 30m. [15,51°; 30,51°]

44° 59l 32m; 45° 59l 60m. [44,99°; 46°]

Dai gradi sessadecimali ai gradi sessagesimali

ESERCIZIO GUIDA Trasformiamo 28,07° in gradi, primi e secondi.

Possiamo scrivere 28,07° = 28° + 0,07°.

Trasformiamo 0,07° in primi, moltiplicando 0,07 per 60 (poiché 1° = 60l):

0,07° = (0,07 $ 60)l = 4,2l.

Scriviamo 4,2l = 4l + 0,2l.

Trasformiamo 0,2l in secondi, moltiplicando 0,2 per 60 (poiché 1l = 60m):

0,2l = (0,2 $ 60)m = 12m .

Pertanto: 28,07° = 28° 4l 12m.

Esprimi in gradi, primi e secondi le seguenti misure di angoli, espresse in forma sessadecimale (arrotondando

eventualmente i secondi).

28,3° [28° 18l]

2,23° [2° 13l 48m]

120,36° [120° 21l 36m]

90,5° [90° 30l]

90,05° [90° 3l]

1,567° [1° 34l 1m]

Misura in radianti Attività interattiva

Dai gradi sessagesimali ai radianti e viceversa

ASSOCIA

a. 90° 1. 35

r

b. 30° 2. 2r

c. 300° 3. 43

r

d. 270° 4. 6r

e. 135° 5. 23

r

TEST L’angolo 4r :

A è metà dell’angolo retto.

B è metà dell’angolo piatto.

C è un quarto dell’angolo giro.

D corrisponde a 90°.

COMPLETA la seguente tabella.

Gradi 0° 180° 270°

Radianti 3r

32

r 45

r

15■ ■

16■ ■

17■ ■

18■ ■

19

20■ ■

21■ ■

22■ ■

23■ ■

24■ ■

25■ ■

→ Teoria a p. 698

26■ ■

27■ ■

28■ ■

Trasforma in radianti le misure dei seguenti angoli, espresse in gradi sessagesimali.

15°, 36°, 210°, 300°.In 2 passi

Applica la proporzione ° : ° :360 2rada a r= .

Sostituisci il valore di °a e calcola il valore di rada .

20°, 80°, 100°, 160°.

70°, 5°, 150°, 225°.

121° 3l, 200° 36l, 15° 12l 58m.

29■ ■

1

2

30■ ■

31■ ■

32■ ■

ESERCIZI

E

Misura degli angoli PARAGRAFO 1

727

Trasforma in gradi sessagesimali le misure dei seguenti angoli, espresse in radianti.

54

r , 125

r , 97

r , 35

r .

32 ,

32

r , 59

r , 23

r .

4r , 4, 25 ,

25

r .

27

r , 56

r , 53

r , 3.

COMPLETA la seguente tabella.

Gradi

sessagesimali 22° 30l 31° 12l

Radianti 83

r 8

Gradi

sessadecimali12,5° 120,34°

Un angolo a misura 73

r . Trova la misura del suo supplementare in gradi. [102° 51l 36m]

In un triangolo rettangolo trova le misure in gradi degli angoli acuti a e b utilizzando la condizione indicata.

31

a b= [a = 22° 30l, b = 67° 30l]

°20a b= - [a = 35°, b = 55°]

a supera il doppio di b di 15°. [a = 65°, b = 25°]

Un triangolo isoscele ha ciascun angolo alla base di 27°. Trova l’angolo al vertice in radianti. [2,2]

Un triangolo ha due angoli che misurano 52° e 20°. Calcola la misura del terzo angolo in gradi e radianti.

°;108 53

r: DUn angolo di un triangolo misura 32°, un secondo angolo è

32

r radianti. Calcola la misura del terzo angolo in gradi e in radianti. [28°; 0,49]

Un triangolo ha un angolo doppio di un altro e il terzo angolo misura 24°. Trova la misura in radianti dei tre angoli del triangolo. [0,42; 0,91; 1,82]

Trova la misura, in gradi o in radianti, di due angoli supplementari a e b, utilizzando la condizione indicata.

a - 3b = 27° [a = 141° 45l, b = 38° 15l]

b - 2a = 80° [a = 33° 20l, b = 146° 40l]

3a b

r= + ,

32

3a r b

r= =: D

Lunghezza di un arco di circonferenza

Calcola la misura, in gradi sessagesimali e in radianti, di un angolo al centro di una circonferenza il cui raggio è uguale a 5 cm e che insiste su un arco lungo 23 cm. [263° 33l 38m; 4,6]

Calcola la lunghezza di un arco di circonferenza, con il raggio lungo 7 cm, che corrisponde a un angolo al centro uguale a 4,2 radianti. [29,4 cm]

33■ ■

34■ ■

35■ ■

36■ ■

37■ ■

38■ ■

39■ ■

40■ ■

41■ ■

42■ ■

43■ ■

44■ ■

45■ ■

46■ ■

47■ ■

48■ ■

49■ ■

50■ ■

FUNZIONI GONIOMETRICHE - Zanichelli

Documents

Transcript of FUNZIONI GONIOMETRICHE - Zanichelli