Capitolo 12 funzioni goniometriche 12. Funzioni goniometriche 668 ORIA T Essi individuano sulla...

664

T

Capitolo

12 funzioni goniometriche

Misura degli angoli

■ Misura in gradi

Nel sistema sessagesimale, l’unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale, definito come la 360a parte dell’angolo giro.

Il grado sessagesimale viene indicato con 1° = 360

1 dell’angolo giro.

Il grado è suddiviso in 60 primi, che vengono indicati con un apice (l): 1° = 60l.

Ogni primo viene suddiviso in 60 secondi, indicati con due apici (m): 1l = 60m.

Queste suddivisioni in 60 parti danno il nome al sistema di misura.

Un angolo di 32 gradi, 10 primi e 47 secondi viene scritto: 32° 10 l 47 m.

Il sistema di misura degli angoli con gradi, primi e secondi è il più antico. Risale ai Babilonesi (2000 a.C.), i quali dividevano anche l’anno solare in 360 giorni. Tut-tavia, questo sistema presenta il problema di non basarsi su un sistema decimale e di avere quindi procedimenti di calcolo complicati.

Anche soltanto il calcolo della somma delle misure di due angoli non è immediato.

esempio

Per ottenere

30° 20l 54m + 2° 45l 24m

sommiamo i secondi e trasformiamo il risultato in primi e secondi:

54m + 24m = 78m " 78m = 1l 18m,

sommiamo i primi e trasformiamo il risultato in gradi e primi:

20l + 45l + 1l = 66l " 66l = 1° 6l,

sommiamo i gradi:

30° + 2° + 1° = 33°,

e otteniamo così il risultato finale:

33° 6l 18m.

1

|▶ Esercizi a p. 693

▶ Calcola la somma di °30 24 35l m e °59 35l25m.

È più o meno di un angolo retto?

▶ Calcola:

a. 25°12l37m + 13°51l41m;

b. 180° - 5°3l2m;

c. 9°30l50m $ 3.

Animazione

Paragrafo 1. Misura degli angoli

665

TEORIA

TLe calcolatrici scientifiche usano anche il sistema sessadecimale, in cui accanto ai gradi si usano decimi, centesimi, millesimi, f di grado. Per esempio, nel sistema

sessadecimale, 37,25° significa ° °

°37 102

1005

+ +b bl l .

■ Misura in radianti

Per semplificare i calcoli si usa il sistema che ha per unità di misura il radiante.Per definirlo, consideriamo due circonferenze di raggi r e rl e i due archi l e ll su cui insistono angoli al centro della stessa ampiezza a (figura a lato).Dalla proporzionalità fra archi e angoli al centro si ricava

l : a° = 2rr : 360° e ll : a° = 2rrl : 360°,

°°

l r180a r

= e °°

l r180a r

=l l,

da cui, dividendo membro a membro, si ottiene

l : ll = r : rl " l : r = ll : rl " rl

rl

=l

l,

cioè gli archi sono proporzionali ai rispettivi raggi e il rapporto rl non varia al

variare della circonferenza, ma dipende solo dall’angolo al centro a.Pertanto, se ogni volta che si misura un arco l si usa come unità di misura il raggio della circonferenza cui appartiene, si ottiene un numero che non dipende dalla circonferenza considerata, ma solo dall’angolo a che sottende l’arco.

Il rapporto rl viene quindi assunto come misura, in radianti, dell’angolo a,

rl

a = .

Come definizione di radiante possiamo allora dare la seguente.

definizione

Data una circonferenza, chiamiamo radiante l’angolo al centro che insi-ste su un arco di lunghezza uguale al raggio.

L’unità di misura viene indicata con rad, ma generalmente, se si esprime un angolo in radianti, si è soliti trascurare l’indicazione dell’unità di misura.

Poiché corrisponde all’intera circonferenza, l’angolo giro misura r

r2 2rr= .

L’angolo piatto, che corrisponde a metà circonferenza, misura r, l’angolo retto

misura 2r ecc.

Dai gradi ai radianti e viceversa

Date le misure di un angolo a in gradi e in radianti, vale la proporzione a° : arad = 360° : 2r, da cui ricaviamo le seguenti uguaglianze.


O

r

α ℓ

O′

r′

α ℓ′

Listen to it

A radian is the measure of the angle at the centre of a circle that intercepts an arc whose length is equal to the radius of the circle.

r

r

1 radiante

matematiCa e storia

L’inafferrabile pi greco

▶ Perché r affascina tanto i matematici?

La risposta

Capitolo 12. Funzioni goniometriche

666

TEORIA

T

° 180°rad $a a

r= , ° °180rad $a a

r= .

esempio

1. A quanti gradi corrisponde 1 radiante?Applichiamo la prima formula:

° ° °.1 180 180 57°$ -a

r r= =

2. A quanti radianti corrispondono 60°? Applichiamo la seconda formula:

3

1$°

°60

180 3radar r

= = .

Riportiamo in una tabella le misure in radianti e in gradi di alcuni angoli.

Misure degli angoli

Gradi 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

Radianti 0 6r

4r

3r

2r 2

3 r 43

r 65

r r

Lunghezza di un arco di circonferenza

Dalla relazione rl

a = ricaviamo che, se a è misurato in radianti, la lunghezza di un arco è:

.l ra=

Area del settore circolare

Esprimiamo anche l’area di un settore circolare.Dalla proporzione: : :A A 2settore cerchio a r= ,

ricaviamo: 2

A A r r2 2

12 2settore cerchio$

r

a

r

ar a= = = ,

o, tenendo conto che rl

a = : Arl

r lr21

212

settore $= = .

■ Angoli orientati

La definizione di angolo come parte di piano delimitata da due semirette con l’origine in comune non è adatta per descrivere tutte le situazioni. Per esempio, nell’avvitare o svitare una vite si descrive un angolo che può essere maggiore di un angolo giro.È più utile quindi collegare il concetto di angolo a quello di rotazione, cioè al mo-vimento che porta uno dei lati dell’angolo a sovrapporsi all’altro.

La rotazione è univoca quando ne specifichiamo il verso, orario o antiorario.

Consideriamo la semiretta OA che ruota in senso antiorario intorno al vertice O, fino a sovrapporsi alla semiretta OB, generando l’angolo AOBa = W . La semiretta OA si chiama lato origine dell’angolo a, la semiretta OB si chiama lato termine.

▶ Trasforma:

a. in radianti le misure di 10°, 18°, 270°;

b. in gradi sessagesimali

le misure di 9r , 2, 4

3r .

Animazione

O

57°

1 radiante

É

settorecircolare

r

αℓ


B

AO

α

Paragrafo 1. Misura degli angoli

667

TEORIA

T

definizione

Un angolo è orientato quando sono stati scelti uno dei due lati come lato origine e un senso di rotazione.Un angolo orientato è positivo quan-do è descritto mediante una rotazione in senso antiorario; è negativo quan-do la rotazione è in senso orario.

Un angolo orientato può anche essere maggiore di un angolo giro.

esempio

Poiché

750° = 30° + 2 $ 360°,

l’angolo di 750° si ottiene con la rotazione della semiretta OA di due giri com-pleti e di altri 30°.

È possibile scrivere in forma sintetica un qualunque angolo a, minore di un angolo giro, e tutti gli infiniti angoli orientati che da a differiscono di un multiplo dell’an-golo giro nel seguente modo:

in gradi: a + k360°, con Zk ! ; in radianti: a + 2kr, con Zk ! .

Quando k = 0, otteniamo l’angolo a.Nel seguito, in espressioni del tipo k2a r+ , sottintenderemo che k è un numero intero, senza scrivere esplicitamente k Z! .

esempio

La scrittura k4

2rr+ indica gli angoli:

, 2 , 4 ,4 4 4 4

6! ! !r r

rr

rr

r , …

Circonferenza goniometrica

Nel piano cartesiano, per circonferenza goniometrica intendiamo la circonfe-renza che ha come centro l’origine O degli assi e raggio di lunghezza 1, ossia la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1.

Il punto E(1; 0) si dice origine degli archi.

Utilizzando la circonferenza goniometrica, si possono rappresentare gli angoli orientati, prendendo come lato origine l’asse x. In questo modo, a ogni angolo corrisponde un punto di intersezione B fra la circonferenza e il lato termine.

esempio

Rappresentiamo gli angoli , ,6 4

531 2 3a

ra r a

r= = =- .

α

Aβ

angolopositivo

angolonegativo

Olato origine

O

30° + 2 ∙ 360°

B

A

▶ Scrivi in gradi la misu-

ra di almeno 4 angoli che

si possono ottenere dal-

l’espressione k2

2r

r+ ,

con k Z! , per particolari

valori di k.

O

y

x

B

E(1; 0)α


668

TEORIA

T

Essi individuano sulla circonferenza i punti B1, B2 e B3 della figura.

E

a

x

y

O

B1α1= –π

6

E

b

x

y

O

α2= –π54

B2

E

c

x

y

O

B3

α3=Ð –π3

Osserviamo che nella circonferenza goniometrica, essendo la lunghezza di un arco l ra= e r 1= , se l’angolo EOBW è misurato in radianti, la misura della lunghezza dell’arco EB

$ è uguale alla misura di EOBW .

Funzioni seno e cosenoIntroduciamo alcune funzioni goniometriche che alla misura dell’ampiezza di ogni angolo associano un numero reale.

definizione

Consideriamo la circonferenza gonio-metrica e un angolo orientato a, e sia B il punto della circonferenza associa-to ad a.Definiamo coseno e seno dell’angolo a, e indichiamo con cos a e sin a, le funzioni che ad a associano, rispetti-vamente, il valore dell’ascissa e quello dell’ordinata del punto B:

cos a = xB, sin a = yB.

Consideriamo una circonferenza 𝒞l con centro O e raggio qualsiasi rl ! 1.

Prendiamo un angolo a appartenente al primo quadrante individuato dal punto B sulla circonferenza goniometrica. Su 𝒞l il punto corrispondente ad a sia Bl. Dalla similitudine dei triangoli OBA e AOBl l deduciamo:

cosOBOA

OBOA

a= =l

l,

A sinOBB

OBBA

a= =l

l l.

I due rapporti, e quindi sin a e cos a, non dipendono dalla particolare circonferen-za considerata, ma esclusivamente dall’angolo a.

Osserviamo inoltre che sin a e cos a sono numeri puri, perché rapporti di gran-dezze omogenee, quindi non hanno alcuna unità di misura.

Consideriamo ora un triangolo rettangolo OAB. Possiamo pensare all’ipotenusa

matematiCa e topografia

Rotolare per misurare

▶ Come si misura con precisione la lunghez-za di una strada?

La risposta

2 |▶ Esercizi a p. 698

Listen to it

Let a be an oriented angle and B its associated point on the unit circle. The trigono-metric functions cosine and sine are defined as follows:

cos xBa = , sin yBa = .x

y

O

B

r = 1

yB

cos α = xB

α

sin α = yB

xB E

x

y

O

α

A

r'

A'

B'

1

�'

B

Paragrafo 2. Funzioni seno e coseno

669

TEORIA

TOB come al raggio di una circonferenza di centro O, quindi il seno di a è uguale al rapporto fra il cateto opposto all’angolo a e l’ipotenusa, il coseno di a è uguale al rapporto fra il cateto adiacente ad a e l’ipotenusa.

α

ipotenusa catetoopposto

O A

B

cateto adiacente

cos α = ————————cateto adiacente

ipotenusa

α

ipotenusa

O A

B

a b

sin α = ———————cateto opposto

ipotenusa

Variazioni delle funzioni seno e coseno

Seno e coseno di un angolo a sono funzioni che hanno come dominio R, perché per ogni valore dell’angolo R!a esiste uno e un solo punto B sulla circonfe-renza goniometrica.

Supponiamo che un punto B percorra l’intera circonferenza goniometrica, a par-tire da E, in verso antiorario.

Se EOBa = W , come variano sin a e cos a al variare della posizione di B?

Basta osservare che cosa succede all’ascissa di B (ossia il coseno dell’angolo a) e alla sua ordinata (ossia il seno).

a. Finché B percorre il primoquarto di circonferenza, lasua ascissa xB e la suaordinata yB sono positive.Man mano che B si avvicinaal punto F, l’ascissa diminui-sce e l’ordinata aumenta.In F, xF = 0, yF =1.

y

x

F

α

E

yB

O

B

xB

(+; +)

y

x

α

E

yB

O

B

xBG

(–; +)

b. Quando B percorre lacirconferenza nel secondoquadrante, la sua ordinataè ancora positiva, mentrel’ascissa diventa negativa.Mentre B si avvicina a G,sia l’ascissa sia l’ordinatadiminuiscono.In G, xG = – 1, yG = 0.

y

x

α

E

yB

O

B

xB

(–; –) H

c. Se B si trova nel terzoquadrante, la sua ordinatae la sua ascissa sononegative. Man mano che Bsi avvicina a H, l’ascissaaumenta e l’ordinatadiminuisce.In H, xH = 0, yH = –1.

y

x

α

E

yB

O

B

xB

(+; –)

d. Quando B percorrel’ultimo quarto dicirconferenza, la suaordinata è ancora negativa,mentre l’ascissa è positiva.Avvicinandosi a E, sial’ascissa sia l’ordinata di Baumentano.In E, xE = 1, yE = 0.

Qualunque sia la posizione di B sulla circonferenza, la sua ordinata e la sua ascissa assumono sempre valori compresi fra -1 e 1, quindi:

-1 # sin a # 1 e -1 # cos a # 1.

Il codominio delle funzioni seno e coseno è quindi [-1; 1].

Poiché cos a = cos(- a), allora il coseno è una funzione pari, mentre, essendo

sin (- a) = -sin a,

il seno è una funzione dispari.

Animazione

Funzione seno

Animazione

Funzione coseno

Nelle due animazioni trovi figure dinamiche per stu-diare:

• i grafici delle due funzioni;

• i loro domini e codomini;

• la periodicità;

• seno e coseno nei triangoli rettangoli.


670

TEORIA

T

x

y

O

α

–α

cosα = cos(–α)

x

y

O

α

–α

sin (–α) = –sin α

sin α

sin (–α)

Grafici delle funzioni y = sin x, y = cos x

Per costruire il grafico della funzione y = sin x in [0; 2r] riportiamo sull’asse x i valori degli angoli e, in corrispondenza, sull’asse y le ordinate dei punti B corri-spondenti sulla circonferenza goniometrica.

yY

O

1

xX—π6

—π4

—π3

—π2

—2π3

—3π4

—5π6

π

—3π2 2ππ

—5π6

—3π4

—2π3

—π2

—3π2

0

–1

y = sin x

Procediamo analogamente, per ottenere il grafico della funzione y = cos x in [0; 2r]. In questo caso, tuttavia, essendo il coseno l’ascissa del punto B, ruotiamo la circon-ferenza goniometrica di 90°. Riportiamo poi sulle ordinate di un piano cartesiano le ascisse dei punti B della circonferenza goniometrica in corrispondenza degli angoli.

y

O

1

x—π6

—π4

—π3

—π2

—2π3

—3π4

—5π6 π

—3π2

2π

π

0

—5π3

—7π4

——11π6

—7π6

—5π4

—4π3

–1

y = cos x

—π6—π

4—π3

——11π6

—7π4

—5π3

—32π—π

2Y

X

Periodo delle funzioni seno e coseno

Dopo aver percorso un giro completo, il punto B può ripetere lo stesso movimento quante volte si vuole.

Paragrafo 2. Funzioni seno e coseno

671

TEORIA

T

Le funzioni sin a e cos a assumono di nuovo gli stessi valori ottenuti al «primo giro», ossia:

( ) ( )

( ) ( )

s n s n s n

cos cos cos

i i i2 2 2

2 2 2

$

$

f

f

a a r a r

a a r a r

= + = + =

= + = + =

Sappiamo che, in generale, una funzione y = f (x) è detta periodica di periodo p (con p 2 0) se per ogni x e per qualsiasi numero k intero si ha f (x) = f (x + kp).

Le funzioni seno e coseno sono quindi periodiche di periodo 2r e possiamo scri-vere, in modo sintetico:

( ) , ( ) , .sin sin cos cosk k k2 2 con Z!a r a a r a+ = + =

Sinusoide e cosinusoide

Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide. Le funzioni sono periodiche di periodo 2r, quindi i grafici si ottengono ripetendo ogni 2r i grafici relativi all’intervallo [0; 2r].

1

x

y

O

–1periodo 2π

1

x

y

O

–1periodo 2π

y = sin x

y = cos x

–3π –2π π π– 2π 3π 4π

–3π –2π – 2ππ π 3π 4π

I grafici delle due funzioni sono sovrapponibili con una traslazione di vettore pa-

rallelo all’asse x e di modulo 2r .

O

y

xπ2–

π

y = cos x

y = sin x

In sintesi

• La funzione siny x= ha per dominio R e per codominio l’intervallo [-1; 1], ossia:

: [ ; ]sin x 1 1R " - .

Ox

y

B

E

α + 2π

α


672

TEORIA

T

Pertanto sin x 1# .È una funzione dispari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.

• La funzione cosy x= ha per dominio R e per codominio [-1; 1], ossia:

: [ ; ]cos x 1 1R " - .

Quindi cos x 1# .È una funzione pari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y.

Prima relazione fondamentale

Poiché il punto B(cos a; sin a) appartiene alla circonferenza goniometrica, le sue coordinate soddisfano l’equazione x2 + y2 = 1:

cos s ni 12 2a a+ = .

La relazione esprime il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OAB.

Da questa relazione è possibile ricavare sin a conoscendo cos a e viceversa. Infatti, se è noto cos a, si ha s n cosi 1 2

!a a= - . Viceversa, se si conosce sin a, si ha cos s ni1 2

!a a= - .

Funzione tangente

■ Tangente di un angolo

definizione

Consideriamo un angolo orientato a e chiamiamo B l’intersezione fra il lato termine e la circonferenza goniome-trica di centro O. Definiamo tangen-te di a la funzione che ad a associa il rapporto, quando esiste, fra l’ordinata e l’ascissa dal punto B:

tan xy

B

Ba = .

Il rapporto xy

B

B non esiste quando x 0B = , ossia quando B si trova sull’asse y e l’an-

golo è uguale a 2r o a 2

3r o a un altro valore che ottieni da 2

r aggiungendo mul-

tipli interi dell’angolo piatto. Quindi la tangente esiste solo se:

k2

!ar

r+ , con k Z! .

Consideriamo ancora la circonferenza goniometrica, un suo punto B(xB; yB), la sua proiezione A sull’asse x e l’angolo orientato AOB a=W .Anche in questo caso, come per il seno e il coseno, si può dimostrare che il rapporto

OAAB , e di conseguenza x

y

B

B , non varia se cambiamo il raggio della circonferenza.

O

1

y

x

B

α

cosα

sinα

A

prima relazione fondamentale della goniometria

3

Listen to it

For an oriented angle a and its associated point B on the unit circle, the tangent function is defined as

tanxy

B

Ba = .

We exclude from the domain

,k k2 Z!ar

r= + .


x

y

O

B

α

AxB

yB

tan α = —–xB

yB

Paragrafo 3. Funzione tangente

673

TEORIA

T

Infatti, considerata una seconda circonferenza di raggio OBl, i trian-goli OAB eOA Bl l sono simili, quindi vale la proporzione

: :AB OA A B OA= l l l,

ossia:

OAOAAB A B tan a= =

l

l l.

Pertanto, il rapporto considerato non dipende dalla particolare cir-conferenza scelta, bensì solo dall’angolo.

Anche tan a è un numero puro, essendo un rapporto tra grandezze omogenee.Consideriamo il triangolo rettangolo OAB.Possiamo pensare l’ipotenusa OB come raggio di una circonferenza di centro O.Pertanto la tangente di a è uguale al rap-porto fra il cateto opposto all’angolo a e il cateto adiacente.

Un altro modo di definire la tangente

Consideriamo la circonferenza goniometrica, la retta tangente a essa nel punto E, origine degli archi, e un angolo a. Il prolungamento del lato termine OB interseca la retta tangente nel punto T.

O x

y

B

E

TtanαyT

α

La tangente di a può anche essere definita come il valore dell’ordinata di T:

tan a = yT.

Dimostriamo che le due definizioni date sono equivalenti.

dimostrazione

I triangoli rettangoli OAB e OET sono simili, quindi:

: : : :TE BA OE OA y y x1T B B"= = ,

da cui

y xy

y xy1

TB

BT

B

B"

$= = .

Pertanto:

tan xy

yB

BTa = = .

x

y

O

B

α

A

B'

A'

catetoopposto

cateto adiacente

α

tan α = ————————cateto opposto

cateto adiacente

B

AO

O E

T

A

B

y

x


674

TEORIA

T

Variazioni della funzione tangente

Studiamo come varia yT al variare dell’angolo a.

a. Finché B percorre il primoquarto di circonferenza,l’ordinata di T è positiva eaumenta man mano che B siavvicina al punto F. QuandoB ≡ F, la tangente non esiste.

O

b. Quando B percorre lacirconferenza nel secondoquadrante, l’ordinata T ènegativa e aumenta fino a quando B ≡ G, in cui yT = 0.

c. Se B si trova nel terzoquadrante, l’ordinata di Tè di nuovo positiva eaumenta fino a quandoB ≡ H e T non esiste più.

y

x

F

T

Eα

+

O

y

x

B

G

α

–

O

y

x

H

B

E

α

O

y

x

B

E

αB

T

E

+

T

–T

d. Quando B percorrel’ultimo quarto dicirconferenza, l’ordinatadi T ritorna negativa eaumenta fino allo 0.

La tangente di — non esiste.3π2

A differenza delle funzioni seno e coseno, la funzione tangente può assumere qua-lunque valore reale.Il suo codominio è quindi R, mentre, come abbiamo visto, il suo dominio è:

k2!ar

r+ , con k Z! .

Essendo ( )tan tana a- =- , la tangente è una funzione dispari.

Grafico della funzione tany x=

Tracciamo il grafico della funzione y = tan x nell’intervallo [0; r], riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le ordinate dei punti corrispondenti sulla retta tangente.

T

x

y

O π2–π

4–π

6– π

3–

34–π

π

56–π

T'

23–π

π3–π4–

π6–

π2–

34–π

56–π

23–π

Notiamo come, man mano che x si avvicina a 2r :

•con valori minori di 2r , il valore della funzione tende a diventare sempre più

grande; diremo che tende a 3+ ;

O

y

x

tan (–α) = –tan α

tan α

tan (–α)

α

–α

Animazione

L’animazione studia i due modi di definire la tangente e, con una figura dinamica, ti permette di vedere il suo grafico al variare dell’angolo fra 0 e 2r.

Paragrafo 3. Funzione tangente

675

TEORIA

T

•con valori maggiori di 2r , il valore della funzione tende a diventare sempre

più grande in valore assoluto, in quanto è negativo; diremo che tende a 3- .

Il grafico della tangente, per valori di x che si approssimano a 2r , si avvicina sem-

pre più alla retta di equazione x2r

= , detta asintoto verticale del grafico.

Periodo della funzione tangente

La tangente è una funzione periodica di periodo r, cioè, qualunque sia l’angolo a del dominio, è:

tan tan ka a r= +^ h, con k Z! .

Questo si può vedere usando la definizione di tangente (figura a lato).Il grafico completo della tangente si chiama tangentoide. Ha infiniti asintoti

verticali: le rette di equazioni x k2r

r= + .

y

xO π 2π–π–2π

y = tan x

32π3

2– π

π2

– π2

periodo π

In sintesi

La funzione y xtan= ha per dominio Z,k k2

R !r

r- +& 0 e codominio R, ossia:

Z: ,tan x k k2R R"!r

r- +& 0 .

Ha infiniti asintoti verticali di equazione Z,x k k2

!r

r= + .

È una funzione dispari, quindi è simmetrica rispetto all’origine.

Seconda relazione fondamentale

Consideriamo la circonferenza goniometrica. Per definizione:

,tan sin cosxy

y xeB

BB Ba a a= = = .

Sostituiamo sin a e cos a nell’espressione della tangente:

tan cossin

aa

a= , con ,k k2 Z! !a

rr+ .

Questa è la seconda relazione fondamentale della goniometria: la tangente di un angolo è data dal rapporto, quando esiste, fra il seno e il coseno dello stesso angolo.

O E

T

H

B

y

x

B'

G

F

αα + π

xBO

1

y

x

B

α

yB


676

TEORIA

T

■ Significato goniometrico del coefficiente

angolare di una retta

Tracciamo la circonferenza goniome trica e la retta di equazione y = mx, da cui:

mx

y= .

In particolare, se x = 1, y = tan a e

tan tanm 1a

a= = .

Il coefficiente angolare della retta y mx= è ugua-le alla tangente dell’angolo fra la retta e l’asse x. Dalla geometria analitica sappiamo che due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficien-te angolare e che esse formano angoli congruenti con l’asse x. Ciò permette di estendere il risultato ottenuto anche a rette che non passano per l’origine (figura a sinistra).

Funzioni secante e cosecante

definizione

Dato un angolo a, chiamiamo:

•secante di a la funzione che associa ad a il reciproco del valore di cos a, purché cos a sia diverso da 0. Si indica con sec a:

seccos

1a

a = , con k k2 e Z! !ar

r+ ;

•cosecante di a la funzione che associa ad a il reciproco del valore di sin a, purché sin a sia diverso da 0. Si indica con csc a:

csc sin1

aa

= , con k ke Z! !a r .

Secante e cosecante, come seno e coseno, sono funzioni periodiche di periodo 2r.

Un altro modo di definire la secante e la cosecante

Consideriamo la circonferenza goniometrica, l’angolo a e la tangente in B che interseca gli assi x e y rispettivamente in S e Sl.I triangoli OBA e OBS sono simili, quindi:

: : : : ,cosOA OB OB OS OS1 1" a= =

da cui: cos

secOS1

aa= = .

Analogamente, essendo simili i triangoli OAB e OBSl:

,: : : :sinBA OB OB OS OS1 1" a= =l l

da cui: csin scOS1

aa= =l .


O

y

x

α

1

y=mx

tanα

x

y

O

αα'

r'r

r // r'

α = α' " tan α = tan' α " m= m'

4|▶ Esercizi a p. 707

O

y

x

B

α

A

α

S'

S

Paragrafo 4. Funzioni secante e cosecante

677

TEORIA

T

La secante di a è quindi l’ascissa del punto S, intersezione della retta tangente nel punto B, associato ad a sulla circonferenza goniometrica, con l’asse x.Analogamente, la cosecante di a è l’ordinata del punto Sl, intersezione della retta tangente in B con l’asse y.

■ Grafico del reciproco di una funzione

Dal grafico di una funzione ( )y f x= è possibile ricavare l’andamento del grafico della funzione reciproca:

( ) ( )y g xf x1

= = , definita per ( )f x 0! .

1. Se il grafico di f(x) interseca l’asse x in x0, ossia se f(x0) = 0, per valori di x che tendono a x0, il valore del reciproco è:

• positivo e con valori sempre più grandi, man mano che ci si avvicina a x0, se ( )f x 02 ; diremo che ( )g x tende a 3+ ;

• negativo e con valori sempre più grandi in valore assoluto, se ( )f x 01 ; di-remo che g(x) tende a 3- .

Avvicinandosi al punto x0 il grafico della funzione g(x) si avvicina a quello della retta x = x0, che viene detta asintoto verticale del grafico di g(x).

2. Quando f(x) tende a 3+ o a 3- , il suo reciproco g(x) si avvicina sempre più a 0, cioè g(x) tende a 0.

3. Se f(a) = 1, è vero anche che

( ) ( )g af a1

11 1= = = .

a è allora ascissa di un punto di intersezione dei grafici della funzione e del suo reciproco.Analogamente, se ( ) ,f b 1=-

( ) ( )g bf b1

11

1= =-=- ,

cioè b è ascissa di un punto di intersezione.

esempio

Consideriamo la funzione f x x 1= +^ h .

• f x 0=^ h se x 1=- . Il suo recipro-co g x x 1

1=+

^ h tende a 3+ quando x

tende a 1- e x 12- , cioè x è «a destra» di ,1-poiché g(x) assume valori sempre più grandi.Analogamente, g(x) tende a 3- per x che ten-de a 1- «da sinistra». La retta x 1=- è asinto-to verticale per g(x).

•f(x) tende a 3+ quando x tende a 3+ , cioè quando x cresce; tende a 3- quando x tende a 3- . Allora g(x) tende a 0 quando x tende a 3+ o a 3- .

• f a 1=^ h se a 0= , f b 1=-^ h se b 2=- . Allora anche g 0 1=^ h e g 2 1- =-^ h .

•Le informazioni raccolte permettono di tracciare il grafico probabile di g(x).

1

x

y

O–1

y = ––––1x+1

y = x + 1

–2

–1


678

TEORIA

T

Grafici della secante e della cosecante

1

x

y

O

–1

y = sec x

π––π2

––3π2

y = cos x

2π

1

x

y

O

–1

y = csc x

π––π2

––3π2

y = sin x

2π

Il grafico di una funzione si ottiene da quello dell’altra con una traslazione di vet-

tore parallelo all’asse x e modulo2r .

I domini delle due funzioni, deducibili dalla loro definizione, sono:

R Z2

,k k !r

r- +& 0 per la secante;

R Z,k k0 !r- +" , per la cosecante.

Dalla figura si deduce che il codominio, sia della funzione secante, sia della fun-zione cosecante, è R -] - 1; 1[.

Sono asintoti verticali le rette di equazione x k2r

r= + per il grafico della secante, x k0 r= + per il grafico della cosecante.

Come il coseno, la secante è una funzione pari; la cosecante è dispari, come il seno.

Funzione cotangente

definizione

Consideriamo un angolo orientato a e chiamia-mo B l’intersezione fra il lato termine e la circon-ferenza goniometrica. Definiamo cotangente di a la funzione che associa ad a il rapporto, quan-do esiste, fra l’ascissa e l’ordinata del punto B:

cot yx

B

Ba = .

Il rapporto yx

B

B non esiste quando y 0B = , ossia quando il punto B si trova sull’asse

x, cioè quando l’angolo misura 0, r e tutti i multipli interi di r.cot a esiste solo se k!a r .

Animazione

L’animazione studia i due modi di definire la secante e la cosecante e fornisce figure dinamiche per osservare i loro grafici al variare dell’an-golo fra 0 e 2r.

5 |▶ Esercizi a p. 709

x

y

O

B

α

AxB

yB

cot α = —–x

B

yB

Paragrafo 5. Funzione cotangente

679

TEORIA

T

Dalla definizione di cotangente deriva che: cossincot aa

a= , con k!a r .

Poiché tan xy

B

Ba = e y

xcot

B

Ba = , risulta tan a $ cot a = 1, da cui segue che la co-

tangente è il reciproco della tangente:

tan1

cot aa

= , con k 2!ar .

La condizione posta deriva dal fatto che, quando la consideriamo il reciproco della tangente, la cotangente non è definita per gli angoli in cui non esiste tan a, cioè

k2

ar

r= + , e quelli per cui tan a = 0, cioè k0a r= + , perciò: k2

!ar .

Un altro modo di definire la cotangente

Consideriamo la circonferenza goniometrica e la retta tangente a essa nel punto F.

Il prolungamento del lato termine OB interseca la retta tangente nel punto Q.

La cotangente di a può anche essere definita come il valore dell’ascissa di Q:

xcot Qa = .

Dimostriamo che le due definizioni date sono equivalenti.

dimostrazione

Consideriamo i due triangoli rettangoli OAB e OFQ. Essi sono simili, essendo FQ OA' e quindi ,a al, perché alterni interni di rette parallele tagliate da una trasversale. Scriviamo la proporzione fra le misure dei cateti corrispondenti,

: : , : :FQ OA FO BA x x y x yx

1Q B B QB

B" "= = = .

Pertanto: yx

xcotB

BQa = = .

Grafico della funzione coty x=

Come la tangente, anche la funzione cotangente può assumere qualunque valore reale. Il codominio della cotangente è quindi R, mentre il suo dominio è: x k $! r .Le rette di equazione x = kr sono asintoti verticali del suo grafico.

x

y

O π–––π2

––π2

3π2

y = cot x

2π 5π2

3π–π–3π2

–2π–5π2

–3π –– –––– ––

cot α

xQO

y

x

QF

α

B

O A

y

x

QF

α

α'B

Animazione

Nell’animazione ci sono le due definizioni e una figura dinamica per osservare il grafico della cotangente fra 0 e 2r.


680

TEORIA

TPeriodo della funzione cotangente

In analogia con la tangente, la funzione cotangente risulta periodica di periodo r:

( )kcot cota r a+ = , con k Z! .

Funzioni goniometriche di angoli particolari

Mediante le proprietà delle figure geometriche riusciamo a calcolare il valore delle funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari.

L’angolo 6r

Consideriamo la circonferenza goniometrica e il triangolo OAB, rettangolo in A,

con AOB 6ar

= =W e OB 1= .

Poiché in un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari OBA 3r

=V .

Prolungando il lato BA, otteniamo sulla circonferenza il punto C.

Il triangolo OBC è equilatero, poiché ha gli angoli di 3r , quindi BC 1= .

AB è la metà di BC, ossia AB21

= .

Ricaviamo OA applicando il teorema di Pitagora al triangolo OAB:

OA OB AB 121

43

232 2 2

2

= - = - = =b l .

Pertanto: cossin 6 21

6 23er r

= = .

Ricaviamo la tangente e la cotangente di 6r :

tancos

sin

66

6

23

21

33r

r

r

= = = ; tan6

6

1

33

1 3cot r

r= = = .

Pertanto: tan 6 33

6 3e cotr r= = .

Inoltre: seccos6

6

1

23

132 3r

r= = = ; csc

sin66

1 2r

r= = .

L’angolo 4r

Consideriamo la circonferenza goniometrica e il triangolo OAB, rettangolo in A,

con AOB 4ar

= =W e OB 1= . Poiché l’angolo in B è complementare di a, risulta

OBA 4r

=V e il triangolo OAB è anche isoscele.

O

cot α = cot (π + α)

y

xα

π + α

6|▶ Esercizi a p. 712

Animazione

Nell’animazione puoi seguire passo passo il modo con cui si ricavano seno e coseno di

6r , 4

r , 3r .

12—π

6— π

3—

π3—O

y

x

B

C

A

2—3

Paragrafo 6. Funzioni goniometriche di angoli particolari

681

TEORIA

T

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo AOB:

OA AB OB2 2 2+ = .

Poiché OA AB OB 1e= = :

OA OA OA2 1 21

21

222 2

" "= = = = .

sin cos4 22

4 22er r

= = .

Calcoliamo tangente e cotangente di 4r :

;tancos

sin4

4

4

22

22

1r

r

r

= = =

tan44

1 1cot r

r= = .

Pertanto: tan 4 1 4 1e cotr r= = .

Poiché sin cos4 4 22r r

= = , otteniamo: .sec csc4 4 22 2r r

= = =

L’angolo 3r

Nella circonferenza goniometrica consideriamo il triangolo OAB, rettangolo in A,

con AOB 3ar

= =W e, di conseguenza, OBA 6r

=V .

Congiungendo B con E, otteniamo il triangolo equilatero OEB.

BA è altezza e mediana del triangolo OEB, quindi OA 21

= .

Ricaviamo AB applicando il teorema di Pitagora al triangolo OAB:

AB OB OA 1 21

43

232 2 2

2

= - = - = =b l .

cos sin3 21

3 23er r

= = .

Ricaviamo la tangente e la cotangente di 3r :

tancos

sin3

3

3

2123

3r

r

r

= = = ; tan3

3

13

133cot r

r= = = .

Pertanto: tan 3 3 3 33e cotr r

= = .

Ricaviamo anche:

seccos3

3

1

211 2r

r= = = ; csc

sin33

1

23

132 3r

r= = = .

O

y

x

B1

A

π4

π4

2—2

O

y

x

cot1

tanπ

4

π

4

O

1

y

x

B

A E

2—3

π3––

12––

π6––


682

TEORIA

T

Angoli associatiConsideriamo un angolo a. Chiamiamo angoli associati (o archi associati) ad a i seguenti angoli:

, , , , , , ,2 2 23

23 2a

ra

ra r a r a r a r a r a- - + - + - + - .

■ Funzioni goniometriche di angoli associati

Determiniamo seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli associati ad a, in funzione di seno, coseno, tangente e cotangente dell’angolo a.

•I due angoli a e - a sono congruenti e orientati in verso opposto, ossia sono angoli opposti:

( ) ,

( ) .cos cos

sin siny y

x x

B B

B B

a a

a a

- = =- =-

- = = =

l

l

,

Pertanto:

( ) ( )

( ) ( )

sin sin tan tan

cos cos cot cot

a a a a

a a a a

- =- - =-

- = - =-

•a e 2r - a sono angoli esplementari, ossia la loro somma è un angolo giro. Per essi valgono considerazioni analoghe a quelle precedenti, quindi:

( ) ( )

( ) ( )

sin sin tan tan

cos cos

2 2

2 2cot cot

r a a r a a

r a a r a a

- =- - =-

- = - =-

•a e r - a sono angoli supplementari.I triangoli rettangoli OAB e OA Bl l sono congruenti perché hanno congruenti l’ipotenusa e l’angolo acuto a:

( ) ,

( ) .cos

sin sin

cos

y y

x x

B B

B B

r a a

r a a

- = = =

- = =- =-

l

l

Pertanto:

( ) ( )

( ) ( )

sin sin tan tan

cos cos cot cot

r a a r a a

r a a r a a

- = - =-

- =- - =-

•a e r + a sono angoli che differiscono di un angolo piatto. Con considerazio-ni analoghe a quelle del caso precedente otteniamo:

( ) ( )

( ) ( )

sin sin tan tan

cos cos cotcot

r a a r a a

r a a r a a

+ =- + =

+ =- + =

7 Video

Le formule degli angoli

associati

▶ Quali sono le formule degli angoli associati?

▶ Come ricavarle senza doverle imparare a memoria?


O x

y

α e – α

B

B'

α

–α

O x

y

α

2π – α

B

B'

α e 2π – α

O x

y

α e π – α

α

AA'

π – α

BB'

O x

y

α e π + α

α

AA'

π + α

B

B'

Paragrafo 7. Angoli associati

683

TEORIA

T

•a e 2r

a- sono angoli complementari.

Nel triangolo rettangolo OA Bl l risulta A a=A OB OB2 era= -l l l lW X , perché

complementare del precedente.I triangoli OAB e OA Bl l sono congruenti perché hanno congruente l’ipotenusa e l’angolo acuto a, pertanto OA A B AB OAe, ,l l l:

, .sin cos cos siny x x y2 2B B B Br

a ar

a a- = = = - = = =l lb bl l

Pertanto:

sin cos tan

cos sin tan

2 2

2 2

cot

cot

ra a

ra a

ra a

ra a

- = - =

- = - =

b bb b

l ll l

•a e 2r

a+ sono angoli che differiscono di un angolo retto.

Nel triangolo rettangolo OA Bl l risulta A OB 2 2rr

ar

a= - + = -l l b lW e

A B O a=l lX . Quindi, in analogia con il caso precedente, tenuto conto che A B Ol l

è nel secondo quadrante, otteniamo:

sin cos tan

cos sin tan

2 2

2 2

cot

cot

ra a

ra a

ra a

ra a

+ = + =-

+ =- + =-

b bb b

l ll l

•Se consideriamo a e 23

r a- , A OB 23

2r a rr

a= - - = -l lW e A B O a=l lX ,

quindi i triangoli AOB AOBe l l sono congruenti. Per angoli la cui somma è 23r

otteniamo dunque:

sin cos tan

cos sin tan

23

23

co

23

23

t

cot

r a a r a a

r a a r a a

- =- - =

- =- - =

b bb b

l ll l

•Con ragionamenti analoghi, per angoli la cui differenza è 23r otteniamo:

sin cos tan cot

cos sin tan

23

23

23

23

cot

r a a r a a

r a a r a a

+ =- + =-

+ = + =-

b bb b

l ll l

Animazione

Con pochi click, osservi le relazioni fra seno e coseno di:

ea a- ; 2ea r a- ;

ea r a- ; ea r a+ .

Animazione

Qui hai le relazioni fra seno e coseno di:

2ear

a- ; 2ear

a+ ;

23ea r a- ; 2

3ea r a+ .

O x

y

α e — – α

α

AA'

B'

Bπ2— – α

π2

O x

y

α e — + α

α

AA'

— + απ2

B

B'

π2

32π – α

A

B'

B

A'

α e ––π – α32

x

y

O

Ñ

α

32π + α

A

B'

B

A'

α e ––π + α32

x

y

O

Ñ

α


684

TEORIA

T

■ Riduzione al primo quadrante

Utilizzando le relazioni stabilite per gli angoli associati, è possibile determinare le funzioni goniometriche di qualunque angolo, conoscendo le funzioni goniometri-che degli angoli che appartengono al primo quadrante.Il procedimento relativo viene detto riduzione al primo quadrante.

esempio

Riduciamo al primo quadrante sin 110°. Poiché 110° = 90° + 20°:

sin 110° = sin (90° + 20°) = cos 20°.

Funzioni goniometriche inverse|▶ Esercizi a p. 723

Funzione inversa di siny x=

Una funzione è invertibile, ossia ammette la funzione inversa, solo se è biunivoca.

La funzione y = sin x non è biunivoca perché non è iniettiva. Infatti, se conside-riamo una retta y = k, parallela all’asse x, con -1 # k # 1, essa interseca il grafico della funzione seno in infiniti punti, quindi ogni valore del codominio [- 1; 1] di y = sin x è il corrispondente di infiniti valori del dominio R.

π2

π2

y

O

1

xπ 2π

–1

–π–2π –

Restrizione del dominio

Se restringiamo il dominio della funzione seno all’intervallo ;2 2r r-: D, la funzio-

ne y = sin x risulta biunivoca e dunque invertibile.

La funzione inversa del seno si chiama arcoseno.

definizione

Dati i numeri reali x e y, con 1 1 ex y2 2

# # # #r r

- - , diciamo che y è l’arcoseno di x se x è il seno di y .

Scriviamo: y = arcsin x, oppure siny x1=

- .

esempio

sin1 2 2 1arcsin )

r r= = ; sin2

16 6 2

1arcsin )

r r= = .


▶ Riduci al primo qua-drante cos 230°.

8 Animazione

Nell’animazione vediamo, in pochi passi, come disegnare i grafici di:

• y = arcsin x;

• y = arccos x;

• y = arctan x;

• y = arccot x.

Listen to it

To define the inverse of the sine function, we need to restrict the domain; we can define the function arcsin x^ hfrom ;1 1-6 @ to ;2 2

r r-9 C as

the inverse of the sine

function in ;2 2r r

-9 C. This

method can be used to define the inverse function of all the trigonometric func-tions.

C = [–—; —]π2π2

D = [–1; 1]y = arcsin x

x = sin y

▶ Qual è l’arcoseno di

23 ?

Paragrafo 8. Funzioni goniometriche inverse

685

TEORIA

T

Per ottenere il grafico della funzione y = arcsin x, basta costruire il simmetri-co rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante del grafico della funzione

y = sin x, considerata nell’intervallo ;2 2r r-: D.

O 1

y

x–1

1

π2—

π2—π

2–—

y = sin x

–1

π2

–—

y = x

a. Grafico di y = sin x in – π–2

; π–2

e suo

simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

b. Grafico di y = arcsin x.

y = arcsin x

O 1

y

x–1

π2—

π2

–—

[ ]

Funzione inversa di cosy x=

Se consideriamo [ ; ]0 r come dominio, la funzione coseno è biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa del coseno si chiama arcocoseno.

definizione

Dati i numeri reali x e y, con x y1 1 e 0# # # # r- , diciamo che y è l’arco-coseno di x se x è il coseno di y.Scriviamo: arccosy x= , oppure cosy x1

=- .

esempio

( ) cos1 1arccos )r r- = =- ; cos23

6 6 23arccos )

r r= = .

La figura illustra il grafico della funzione arcocoseno.

O 1

y

x–1

π

y = x

π2— π

π2—

1

–1y = cos x

y = arccos x

O 1

y

x–1

π

π2—

a. Grafico di y = cos x in [0; π] e suo

simmetrico rispetto alla bisettrice del primoe terzo quadrante.

b. Grafico di y = arccos x.

x = cos y

y = arccos x D = [–1; 1]

C = [0; π]

▶ Qual è l’arcocoseno di

21

- ?


686

TEORIA

T

Funzione inversa di tany x=

Se consideriamo ;2 2r r

- :D come dominio, la funzione tangente è biunivoca e di

conseguenza invertibile.

La funzione inversa della tangente si chiama arcotangente.

definizione

Dati i numeri reali x e y, con x R! e y2 21 1

r r- , diciamo che y è l’arco-

tangente di x se x è la tangente di y.Scriviamo: y = arctan x, oppure tany x1

=- .

esempio

arctan tan1 4 4 1)

r r= = ;

arctan tan3 3 3 3)

r r= = .

Studiamo il grafico della funzione arcotangente.

y = x

π2—

π2—

y

x

π2

–—

π2

–—

y = tan x

O

π2—

y = arctan x

y

x

π2

–—

O

a. Grafico di y = tan x in – π–2

; π–2

e suo

simmetrico rispetto alla bisettrice del primoe terzo quadrante.

b. Grafico di y = arctan x.

Funzione inversa di coty x=

definizione

Dati i numeri reali x e y, con x R! e 0 1 y 1 r, diciamo che y è l’arcocotan-gente di x se x è la cotangente di y .Scriviamo: y = arccot x, oppure coty x1

=- .

esempio

0 2 2 0arccot cot)

r r= = ;

33

3 3 33arccot cot)

r r= = .

y = arctan x

x = tan y

D = R

C = ]–—; —[π2

π2

▶ Qual è l’arcotangente

di 33

- ?

C = ]0; π[

D = Ry = arccot x

x = cot y

▶ Qual è l’arcocotangen-

te di 3 ?

Paragrafo 9. Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche

687

TEORIA

T

Disegniamo il grafico della funzione arcocotangente.

O

y

y = x

xπ

π

y = cot x

π

2—

π

2—

y = arccot x

O

y

x

π

π

2—

a. Grafico di y = cot x in ]0; π[ e suosimmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

b. Grafico di y = arccot x.

Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche|▶ Esercizi a p. 726

Dai grafici delle funzioni goniometriche si ottengono grafici di altre funzioni me-diante traslazioni, simmetrie, dilatazioni e contrazioni. Ne proponiamo alcuni ne-gli esercizi, mentre qui ci occupiamo soltanto delle funzioni sinusoidali.

Funzioni sinusoidali

La funzione y 3= sin x2 3r

+b l, raccogliendo 2 all’interno della parentesi, si può riscrivere

siny x3 2 6r

= +a k9 C,

quindi è possibile ottenere il suo grafico a partire da quello di y = sin x con le se-guenti trasformazioni geometriche:

•contrazione orizzontale, in cui y f mx

= a k, con m21

= ;

•traslazione di vettore ;v6

0r

-b l;

•dilatazione verticale, in cui y f xn= ^ h, con n = 3.

y

x

y = sin x

O

π

2π

1

b. Grafico di . c. Grafico di y = 3 sin (2x + —).π

3

y = sin 2x

a. Grafico di y = sin 2x.

y

xO

1

y = sin 2 (x + —)π

6

y = sin 2 (x + —)π

6

y

xO

3

y = 3 . sin (2x + —)π

3

y = sin (2x + —)π

3

y = sin 2x

[ ]

[ ]

9

Animazione

Studiamo in modo dinamico

il grafico di

siny A x~ {= +^ hal variare di A, ~, {.


688

TEORIA

T

Una funzione di questo tipo è detta sinusoidale e viene applicata molto spesso nello studio di fenomeni fisici.

In generale, sono dette funzioni sinusoidali le funzioni del tipo:

( ),siny A x~ {= +

( ),cosy A x~ {= +

R, ,Acon !~ { .

Studiamo il grafico di ( )cosy A x~ {= + .

T = —2πω

—ω

– —φω

a. Il cambiamento di ω modifica ilperiodo della funzione.

c. Il cambiamento di |A| genera unadilatazione o contrazione verticale.

b. Il cambiamento di φ produce unatraslazione orizzontale.

2π

2π

y

x

y = cos x

O

1y = cos ωx

–1

y

xO

1

y = cos (ωx + φ )

–1

y

xO

|A|y = A . cos (ωx + φ )

|A|

y = cos ωx

y = cos (ωx + φ)

Il codominio di una funzione sinusoidale è ;A A-6 @ .Il numero A è detto ampiezza della funzione sinusoidale, il numero ~ pulsazio-ne e { sfasamento o fase iniziale.

Il periodo T è: T 2~

r= .

Infatti, la funzione seno è periodica di periodo 2r, quindi possiamo scrivere:

sin sin sinA x A x k A x k2 2~ { ~ { r ~ r {+ = + + = + + =^ ^ ^h h h7 AsinA x k

2$~

~

r{+ +b l; E,

da cui deduciamo che il periodo è 2~

r .

Periodo delle funzioni goniometriche

Nella tabella riassumiamo i periodi delle principali funzioni goniometriche che abbiamo studiato.

Funzione Periodo

sin x, cos x 2r

( ), ( )cossin kx kxa a+ +k

2r

tan x, cot x r

( ), ( )tan kx kxcota a+ +kr

Video

Funzione sinusoidale

Studiamo insieme l’equazione di una funzione sinusoidale.

▶ Cosa rappresentano i parametri?

▶ Cosa sono il periodo, l’ampiezza e la fase di una funzione sinusoidale?

Animazione

Studiamo in modo dinamico il grafico di

cosy A x~ {= +^ hal variare di A, ~, {.

matematiCa e musiCa

▶ Qual è il legame tra le funzioni sinusoidali e la musica?

Cerca nel Web: diapa- son, moto armonico, frequenza, timbro, altezza

689

TEORIA

TParagrafo 9. Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche

Il grafico di ( )f xy 2=

Dato il grafico della funzione y = f(x), cerchiamo di ricavare da esso l’andamento di quello di y = f 2(x).Tenendo conto che elevando al quadrato un numero, sia positivo sia negativo, si ottiene un numero positivo che non dipende dal segno del numero iniziale ma soltanto dal suo valore assoluto, consideriamo ( )y f x= . Abbiamo le seguenti informazioni:

1. se ( ) , ( )f x f x1 12= = ;

2. se ( ) , ( )f x f x0 02= = ;

3. se ( ) , ( ) ( )f x f x f x1 21 1 ;

4. se ( ) , ( ) ( )f x f x f x1 22 2 .

Esaminiamo un esempio.

1

x

y

O

2

3

4

y = f(x)

1

x

y y

O

2

3

4

y = f(x)

1

xO

2

3

4

y = f2(x)a b c

Ricaviamo anche l’andamento del grafico di ;tany x 2 2in2 r r= - :D .

a by = tan x y = tan2 x

1

x

y

O

y = tan x

–1

π2–π

2– –

1

x

y

O

–1

π2–π

2– –

1

x

y

O

–1

π2–π

2– –

c

Il grafico di ( )y f x=

Dato il grafico della funzione y = f(x), ricaviamo l’andamento di quello di ( )y f x= .

Sfruttiamo queste informazioni:

1. se ( ) , ( )f x f x01 non esiste;

2. se ( ) , ( )f x f x0 0= = ;

3. se ( ) , ( )f x f x1 1= = ;

4. se ( ) , ( ) ( )f x f x f x0 1 11 1 1 1 ;

5. se ( ) , ( ) ( )f x f x f x1 12 1 1 .

A fianco, come esempio, riportiamo il grafico di ;tany x 2 2in r r= - :D .

1

x

y

O

y = tan(x)

y = tan(x)

π2Ð

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