GONIOMETRIA funzioni goniometriche di angoli qualsiasi · 2014-09-25 · goniometria: funzioni...

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Prof. Calogero Contrino

GONIOMETRIA

funzioni goniometriche di angoli qualsiasi

Corso multimediale di matematica

25/09/2014

2/8


Prof Calogero Contrino

goniometria:


Si estenda il concetto di angolo fin qui formulato .

Fig.1

Per ampliare il dominio delle funzioni goniometriche è necessario che:

Nell’ottica del primo punto si introduce nel seguito il concetto di angolo improprio.

venga associato agli angoli un sistema di coordinate cartesiane.

Si consideri a tal scopo di voler determinare l’ampiezza dell’angolo somma degli angoli ,

riportati nella figura 1 .

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’

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Pertanto i punti di tale parte di piano vengono considerati due volte una volta come

appartenenti a ed una volta come appartenenti a ’ . G

In generale può accadere che l’angolo somma sia costituito da punti che appartengono

contemporaneamente a più di un angolo giro e ad un angolo minore di . G

goniometria:


Fig.1

Alla luce di questo fatto è necessario formulare un nuovo e più ampio concetto di angolo . Si

parlerà in questi casi di angolo improprio .

Eseguita la somma si noterà che l’angolo supera l’angolo giro dell’angolo ’ .

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goniometria:

angolo improprio : definizione

definizione Si dà pertanto la seguente

Dicesi angolo improprio l’insieme dei punti del piano appartenenti all’angolo somma di un

multiplo di angolo giro e di un angolo proprio , in simboli = n + ’ , con angolo

improprio ed ’ angolo proprio . G

Esempio : = 2 + ’ G

’ ’

G G

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goniometria:

angoli impropri : considerazioni

E’ opportuna a questo punto una considerazione .

L’angolo proprio caso particolare di angolo improprio

’

dalla definizione di angolo improprio discende che gli angoli propri sono un sottoinsieme di

quelli impropri . Infatti posto n = 0 si ha : = n + ’ G = 0 + ’ = ’ G

Alla luce di tutto ciò d’ora in avanti si parlerà semplicemente di angoli, intendendo riferirsi a

quelli impropri .

= 0 + ’ = ’ G

= =

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goniometria:

circonferenza goniometrica

Esaminiamo ora qual è il modo più opportuno di associare agli angoli di un dato piano un

sistema di assi coordinati .

Circonferenza goniometrica

A tale scopo viene data la seguente

definizione

Dicesi circonferenza goniometrica una circonferenza di raggio unitario associata ad un

sistema di assi cartesiani avente origine nel centro della stessa circonferenza

nella circonferenza goniometrica così definita si

considerino i seguenti enti geometrici :

Il punto O origine degli assi e centro ;

Il semiasse positivo delle ascisse ;

Il punto A intersezione della circonferenza con il

semiasse positivo delle ascisse .

A questo punto, fissato un orientamento in senso

antiorario per angoli positivi, si può pensare di riferire un

generico angolo orientato al sistema così costituito ,

secondo opportuni criteri che ora esaminiamo

O A

y

x

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ed il secondo lato in un punto P, che dipende dall’ampiezza

dell’angolo.

, si faccia coincidere il vertice V con l’origine O del sistema

di riferimento ed il suo primo lato a con il semiasse positivo delle ascisse .

goniometria:


Dato il generico angolo aVb =

a

b

V

a

V

b

a

V

b

il primo lato nel punto A

precedentemente menzionato

Operando in tal modo l’angolo diventa un generico angolo al centro della circonferenza

goniometrica, pertanto i suoi lati la intersecheranno in due punti,

A

P

O

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Si osservi che :

goniometria:


a

b

V

a

V

b

A

P

O

I punti A e P individuano sulla circonferenza un arco AP in cui l’estremo A è fissato (origine

degli archi ) mentre l’estremo P è variabile in funzione dell’ampiezza dell’angolo (estremo

libero dell’arco ) .

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goniometria:


a

b

V

a

V

b

Vale a dire angoli ed archi su cui insistono gli angoli se i sono misurati in radianti hanno la

stessa misura.

A

P

O

Inoltre se l’angolo è misurato in radianti si può scrivere , per quanto detto in precedenza,

essendo l la lunghezza dell’arco AP ed R il raggio unitario della circonferenza :

R ∙ l = = 1∙ =

Pertanto si può parlare , in tale contesto , indifferentemente di misura di angoli o di archi.

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GONIOMETRIA

funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica


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a

b

Si ha, per le definizioni precedenti : sen = H’P’

Si consideri il triangolo rettangolo

O’H’P’ con l’ ipotenusa O’P’ = 1 e l’angolo in O’ .

Sia dato un angolo .

goniometria:

funzione seno

Si hanno ora gli elementi per poter estendere il concetto di funzione goniometrica ad angoli di

ampiezza qualsiasi . Analizzeremo per prima la funzione seno , procedendo come di seguito.

A

P

O

V a

b

O

P’

O’ H’

Sulla circonferenza goniometrica si consideri un punto

P(xP;yP) , estremo libero dell’ arco su cui insiste un angolo

al centro congruente ad ed avente il primo lato

coincidente col semiasse positivo delle ascisse .

La misura assoluta HP coinciderà con quella algebrica HP,

essendo P nel primo quadrante, pertanto si potrà scrivere :

Per il punto P si conduca la perpendicolare all’asse delle

ascisse il cui piede è il punto H.

I due triangoli OHP e O’H’P’ risultano congruenti ( 2°

criterio ) e si ha : sen = H’P’ = HP

y

x

sen = H’P’ = HP = HP = yP - yH = yP - 0 = yP

H

yP

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Si può a questo punto formulare la nuova

goniometria:

funzione seno

A

P

O

V a

b

O

P’

O’ H’

a

b

y

x

La relazione ricavata per misure assolute ( valide nel caso angoli acuti ) conduce

ad una nuova definizione della funzione seno se si passa a misure di tipo algebrico, con

conseguente estensione del suo dominio ad angoli di ampiezza qualsiasi .

sen = yP

Il seno di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento alla

circonferenza goniometrica) e’ l’ordinata del punto P estremo

libero dell’arco intercettato sulla circonferenza dall’angolo .

Si tenga presente che, ormai svincolati dalla limitazione

agli angoli acuti, si possono verificare diversi casi che

andiamo ad esaminare .

Definizione

Immediata conseguenza della nuova definizione è che si

può calcolare il seno sia dell’angolo nullo che di quello retto,

impossibile in precedenza perché in tali situazioni i triangoli

divenivano degeneri (ipotenusa e cateto paralleli)

Da sen = yP si ha infatti : sen 0 yP = = 0

yP

sen yP

2 = = 1

2

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a

il triangolo rettangolo con ipotenusa

unitaria O’H’P’ può essere costruito su .

Anche in questo caso tra le due definizioni esiste

un legame.

goniometria:

funzione seno

O

O’

y

x

H’

P’

c a

V

b quindi si consideri il punto P(xP;yP) ,

estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo al centro

congruente ad e che ha il primo lato coincidente col

semiasse positivo delle ascisse .

Il piede della perpendicolare all’asse delle ascisse per il

punto P è il punto H di ascissa xP.

I due triangoli OHP e O’H’P’ risultano congruenti e si ha :

Infatti, detto l’angolo supplementare di ,

Con la vecchia definizione che fa riferimento ai

triangoli rettangoli si ha : sen = H’P’

Si esamina ora la situazione con .

2 < <

2 < <

H

A

P yP

Operando come in precedenza, sia data la circonferenza

goniometrica,

HP = H’P’ e quindi : HP = sen

Si consideri ora la nuova definizione di sen che fa

riferimento alla circonferenza goniometrica . A tale scopo

bisogna considerare l’ angolo al centro posizionato con il

suo primo lato sul semiasse positivo delle ascisse.

xP

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goniometria:

funzione seno

O

O’

y

x

H’

P’

c a

V

b

H

P”

A

P yP = yP” yP

Dalla nuova definizione riferita alla circonferenza goniometrica si ha :

sen = yP = H’P’ = sen = yP – 0 = yP – yH = HP = HP

= H”P” sen = yP”

Inoltre essendo i triangoli OH’P’ , OHP e OH”P”

congruenti si ha:

H”P” = H’P’ = HP

Pertanto si potrà scrivere :

Anche in questo caso, viene confermato il legame tra la

definizione riferita ai triangoli rettangoli e quella riferita alla

circonferenza goniometrica .

Inoltre si è riscontrata una importante relazione valida per

qualsiasi coppia di angoli supplementari :

+ = sen = sen

Per l’ angolo al centro , l’ estremo libero dell’ arco su cui insiste é il punto P”(xP” ; yP” ),

mentre il piede della perpendicolare all’asse delle ascisse condotta per esso è il punto H”.

H”

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e H il punto di ascissa xP , piede

della perpendicolare all’asse delle ascisse per il punto P .

goniometria:

funzione seno

O

y

x

considerato l’angolo

al centro congruente ad , sia P(xP;yP) l’ estremo libero dell’

arco su cui insiste l’angolo


In questo caso il triangolo rettangolo O’H’P’ può

essere costruito su , angolo antisupplementare di .

H

A

P yP

E, data la circonferenza goniometrica,


Si consideri ancora la nuova definizione di sen che fa

riferimento alla circonferenza goniometrica ,con l’ angolo al

centro posizionato con il suo primo lato sul semiasse

positivo delle ascisse. xP

Si procede analogamente con . 3

2 < <

Con la vecchia definizione che fa riferimento ai triangoli rettangoli si ha ancora: sen = H’P’ .

O’

H’

P’

V

a

b

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goniometria:

funzione seno

O

O’

y

x

H’

P’

H

P”

A

P

yP”

yP

Dalla definizione riferita alla circonferenza goniometrica si ha :

sen = yP = – H’P’ = – sen = yP – 0 = yP – yH = HP = – HP



congruenti si ha:






qualsiasi coppia di angoli antisupplementari :

– = sen = – sen

I punti P” e H sono rispettivamente l’ estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo ed il

piede della perpendicolare all’asse delle ascisse condotta per esso.

H”

V

a

b

c

H”P” = H’P’ = HP = - HP

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e H il punto di ascissa xP , piede

della perpendicolare all’asse delle ascisse per il punto P .

goniometria:

funzione seno

y

x

considerato l’angolo

al centro congruente ad , sia P(xP;yP) l’ estremo libero dell’

arco su cui insiste l’angolo


In questo caso il triangolo rettangolo O’H’P’

può essere costruito su , angolo esplementare di .

H A

P yP

E, data la circonferenza goniometrica,


Si consideri ancora la nuova definizione di sen che fa

riferimento alla circonferenza goniometrica, con l’ angolo al

centro posizionato con il suo primo lato sul semiasse

positivo delle ascisse.

Si procede analogamente con . 3 2

< < 2

Con la vecchia definizione che fa riferimento ai triangoli rettangoli si ha ancora: sen = H’P’ .

P’

H’ O’

a

b

V

xP

O

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goniometria:

funzione seno

Dalla definizione riferita alla circonferenza goniometrica si ha :

sen = yP = – H’P’ = – sen = yP – 0 = yP – yH = HP = – HP



congruenti si ha:






qualsiasi coppia di angoli esplementari :

+ = 2 sen = – sen

I punti P” e H sono rispettivamente l’ estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo ed il

piede della perpendicolare all’asse delle ascisse condotta per esso.

H”P” = H’P’ = HP = - HP

y

x

A

P yP

P’

H’ O’

O

a

b

V

yP” P”

H H”

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a

b

Si ha, per le definizioni precedenti : cos = O’ H’




goniometria:

funzione coseno

Analizziamo ora la funzione coseno, procedendo con le stesse modalità impiegate per

studiare la funzione seno .

A

P

O

V a

b

O

P’

O’ H’

Sulla circonferenza goniometrica si consideri un punto




La misura assoluta OH coinciderà con quella algebrica OH,

essendo P nel primo quadrante, pertanto si potrà scrivere :

Per il punto P si conduca la perpendicolare all’asse delle

ascisse il cui piede è il punto H.

I due triangoli OHP e O’H’P’ risultano congruenti ( 2°

criterio ) e si ha : cos = O’H’ = OH

y

x

cos = O’H’ = OH = OH = xH - xO = xH - 0 = xH =

H xP

xP

xH

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xP

Si può a questo punto formulare la nuova

goniometria:

funzione coseno

A

P

O

V a

b

O

P’

O’ H’

y

x

La relazione ricavata per misure assolute ( valide nel caso angoli acuti ) conduce

ad una nuova definizione della funzione coseno se si passa a misure di tipo algebrico, con

conseguente estensione del suo dominio ad angoli di ampiezza qualsiasi .

cos = xP

Il coseno di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento alla

circonferenza goniometrica) e’ l’ascissa del punto P estremo

libero dell’arco intercettato sulla circonferenza dall’angolo .

Si tenga presente che, ormai svincolati dalla limitazione

agli angoli acuti, si possono verificare diversi casi che

andiamo ad esaminare .

Definizione

Immediata conseguenza della nuova definizione è che si

può calcolare sia il coseno dell’angolo nullo che dell’angolo

retto, impossibile in precedenza perché tale situazione

portava ad un triangolo degenere (ipotenusa e cateto

paralleli)

Da cos = xP si ha infatti : cos

2 = cos0 = 1 ; 0

a

b

2

2

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xP

goniometria:

funzione coseno

O

O’

y

x

H’

P’

c a

V

b

H

P”

A

P

xP”

Con riferimento alla figura, ragionando come in

precedenza si ha :

cos = xP

= – O’H’ = – cos

= xH – 0 = xH – xO = OH = – OH =

= – OH”

Si ha quindi la seguente relazione valida per qualsiasi

coppia di angoli supplementari :

+ = cos = – cos

H”

= xH

Si esaminano ora le diverse situazioni con angoli non acuti . .

2 < <

= – xP”

1° caso :

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precedenza si ha :

goniometria:

funzione coseno

O

O’

y

x

H’

P’

H

P”

A

P

yP”

yP

cos = xP = – OH =

= – cos

= xH = xH – xO = OH

= – OH” = − xP”

Si ha la seguente relazione valida per qualsiasi coppia di

angoli antisupplementari :

– = cos = – cos

H”

V

a

b

c

xP”

3

2 < < 2° caso :

xP

= – O’H’ =

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23/8



goniometria:

funzione coseno

y

x

A

P yP


3 2

< < 2

P’

H’ O’

a

b

V

O

3° caso :


precedenza si ha :

cos = xP O’H’ =

= cos

= xH = xH – xO = OH = OH =

= xP”

P”


angoli esplementari :

+ =2 cos = cos

xP”

xP H

OH” =

yP”

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24/8



e risultano simili al

triangolo OAT , pertanto si ha:

Si consideri il punto T intersezione della

retta t con il prolungamento del raggio vettore OP.

t è invece la retta parallela

all’asse delle ordinate condotta per il punto A , origine della

misura degli archi.

a

b

Si ha, per le definizioni precedenti :




goniometria:

funzione tangente

Analizziamo ora la funzione tangente, procedendo con le modalità precedenti.

A

P

O

V a

b

O

P’

O’ H’ Sulla circonferenza goniometrica si consideri il punto




I triangoli OH’P’ e OHP sono congruenti

Sia H il piede della perpendicolare all’asse delle ascisse

condotta per il punto P,

y

x

H



O’H’ H’P’ tg =

OH HP ∙ OA AT = Da cui segue :

OH HP ∙ 1 =

OH HP =

O’H’ H’P’ = = tg

t

T T

AT : HP = OA : OH

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25/8



V a

b

La relazione trovata consente di formulare una nuova

goniometria:

funzione tangente

A

P

O

O

P’

O’ H’

y

x

H

yT

La tangente di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento alla

circonferenza goniometrica) e’ l’ordinata del punto T

intersezione del prolungamento del raggio vettore passante

per il punto P, estremo libero dell’arco intercettato sulla

circonferenza dall’angolo, con la retta parallela all’asse delle

ordinate condotta per il punto A origine della misura degli

archi.

Definizione

La nuova definizione, come nei casi precedenti, consente di

svincolarsi dagli angoli acuti estendendo il dominio della

funzione a tutto R ad eccezione dei valori 2 = k +

Infatti per tali valori i prolungamenti dei raggi vettore OP

divengono paralleli alla retta t .

Ed infine : tg = AT = yT – yA = yT – 0 = yT

T

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precedenza si ha :

T

= OH” H”P”

− =

O’H’ H’P’ = −

goniometria

funzione tangente: archi supplementari

O

O’

y

x

H’

P’

c a

V

b

H

A

P

+ = tg = − tg

H”

tg ≜ yT yT – 0 yT – yA AT = = – AT” =

– tg

=

=

t T”

= – yT”

P”


2 < < 1° caso :



yT

yT”

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27/8



goniometria

funzione tangente: angoli antisupplementari

O

O’

y

x

P’

H’

H

P”

A

P – = tg = tg

H”

V

a

b

c

TT”

= =

O’H’ H’P’ =

tg ≜ yT yT – 0 yT – yA AT = = AT = AT” =

tg

OH” H”P” =

= = yT”

3

2 < < 2° caso :


precedenza si ha :



T yT yT yT"

t

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28/8



goniometria

funzione tangente: archi esplementari

y

x

A

P yT

P’

H’ O’

O

a

b

V

yT” P”

H H”

3 2

< < 2 3° caso :


precedenza si ha :



+ =2 tg = − tg

= OH” H”P”

− =

O’H’ H’P’ = −

tg ≜ yT yT – 0 yT – yA AT = = – AT” =

– tg

=

= = – yT”

T

t T”

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29/8



V a

b

Si consideri il punto C intersezione della retta c con il

prolungamento del raggio vettore OP. I triangoli O’H’P’, e

OHP sono congruenti e risultano simili al triangolo OHC , a

sua volta congruente al triangolo OBC , pertanto si ha:

mentre c è la

retta parallela all’asse delle ascisse condotta per il punto B,

intersezione della circonferenza con l’asse delle ordinate.





goniometria

funzione cotangente

Analizziamo ora la funzione cotangente, procedendo con le modalità precedenti.

A

P

O

O

P’

O’ H’ Sulla circonferenza goniometrica il punto P(xP;yP) è

l’estremo libero dell’ arco su cui insiste l’ angolo al centro

congruente ad . Il punto H è il piede della perpendicolare

all’asse delle ascisse condotta per il punto P,

y

x

H



H’P’ O’H’ ctg =

HP OH ∙ OB BC = Da cui segue :

HP OH ∙ 1 =

HP OH =

HP OH = = ctg

c C

BC : OH = OB : HP

B

H

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30/8





funzione a tutto R ad eccezione dei valori

V a

b


goniometria:

funzione cotangente

A

P

O

O

P’

O’ H’

y

x

H xC

La cotangente di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento

alla circonferenza goniometrica) è l’ascissa del punto C

intersezione del prolungamento del raggio vettore passante

per il punto P, estremo libero dell’arco intercettato sulla

circonferenza dall’angolo, con la retta parallela all’asse delle

ascisse condotta per il punto B intersezione della

circonferenza goniometrica con l’asse delle ordinate.

Definizione

= k

Infatti per tali valori i prolungamenti dei raggi vettore OP

divengono paralleli alla retta c .

Ed infine : ctg = BC = xC – xB = xC – 0 = xC

C B c

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31/8




precedenza si ha :

– BC” = =

H’P’ O’H’ = −

goniometria

funzione cotangente: archi supplementari

O

O’

y

x

H’

P’

c a

V

b

H

A

P

+ = ctg = − ctg

H”

ctg ≜ xC xC – 0 xC – xB BC = = =

– ctg

H”P” OH”

− =

=

c C”

= – xC”

P”


2 < < 1° caso :



B

xC xC”

C

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32/8



B C C”

goniometria

funzione cotangente: angoli antisupplementari

O

O’

y

x

P’

H

P”

A

P

xC xC"

– = ctg = ctg

H”

V

a

b

c

=

= H’P’ O’H’

ctg ≜ xC xC – 0 xC – xB BC = = = = H”P” OH” =

ctg = = xC”

3

2 < < 2° caso :


precedenza si ha :



BC BC” =

O’

H’

P’

V

a

b

c

C

xC

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33/8



goniometria

funzione cotangente: archi esplementari

y

x

A

P

xC

P’

H’ O’

O

a

b

V

xC”

P”

H H”

3 2

< < 2 3° caso :


precedenza si ha :



+ =2 ctg = − ctg

=

H’P’ O’H’ = −

ctg ≜ xC xC – 0 xC – xB BC = = – BC” =

– ctg

= H”P” OH”

− =

= = – xC”

c

C” C B

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V a

b

e

risultano simili al triangolo OPC , pertanto si ha:

Si consideri il punto C intersezione della retta c con l’asse

delle ordinate . I triangoli O’H’P’, e OHP sono congruenti

mentre c è

la retta condotta per il punto P e perpendicolare al raggio

OP.





goniometria

funzione cosecante

Analizziamo la funzione cosecante, in modo analogo alle funzioni precedenti.

A

P

O

O

P’




all’asse delle ascisse condotta per il punto P, y

x

H

HP OP ∙ OP OC = Da cui segue :

HP 1

= H’P’

1 =

H’P’ 1 cosec =

c

C

HP : OP = OP : OC

cosec =

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35/8






V a

b


goniometria:

funzione cosecante

O

P’

O’ H’

La cosecante di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento

alla circonferenza goniometrica) è l’ordinata del punto C

intersezione della retta perpendicolare al raggio vettore

passante per il punto P, estremo libero dell’arco

intercettato sulla circonferenza dall’angolo, con l’asse delle

ordinate.

Definizione

= k

Infatti per tali valori la retta c e l’asse delle ordinate

divengono paralleli.

Ed infine : cosec = OC = yC – yO = yC – 0 = yC

A

P

O

y

x

H

c

C yC

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36/8



yC yC”


precedenza si ha :

= =

H’P’ O’P’ =

goniometria

funzione cosecante: archi supplementari

O

O’

y

x

H’

P’

c a

V

b

H

A

P

+ = cosec = cosec

H”

cosec ≜ yC yC – 0 yC – yO OC = = OC” =

cosec

H”P” OP” =

= = yC”

P”


2 < < 1° caso :



C C” C

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37/8



− OC − OC” =

goniometria

funzione cosecante: angoli antisupplementari

O

O’

y

x

H’

P’

H

P”

A

P

– = cosec = – cosec

H”

V

a

b

c

=

= – cosec = = – yC”

3

2 < < 2° caso :


precedenza si ha :



yC

yC” C”

C

= cosec ≜ yC yC – 0 yC – yO OC = = =

H’P’ O’H’ – =

H”P” OH” –

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38/8



H’P’ O’P’ = −

H”P” OP”

−



P”

goniometria

funzione cosecante: archi esplementari

y

x A

P

P’

H’ O’

O

a

b

V

H H”

3 2

< < 2 3° caso :


precedenza si ha :

+ =2 cosec = − cosec

= = yC – 0 yC – yO OC = = – OC” =

– cosec = = – yC”

yC

yC” C”

C

cosec ≜ yC

=

= – OC

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39/8



a

b

V a

b

e

risultano simili al triangolo OPS , pertanto si ha:

Si consideri il punto S intersezione della retta s con l’asse

delle ascisse . I triangoli O’H’P’, e OHP sono congruenti

mentre s è

la retta condotta per il punto P e perpendicolare al raggio

OP.





goniometria

funzione secante

Analizziamo la funzione secante, in modo analogo alle funzioni precedenti.

A

P

O

O

P’




all’asse delle ascisse condotta per il punto P,

x

H

OH OP ∙ OP OS = Da cui segue :

OH 1

= O’H’

1 =

O’H’ 1 sec =

s

OH : OP = OP : OS

sec =

y

S

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40/8






V a

b


goniometria:

funzione secante

O

P’

O’ H’

La secante di un angolo (arco) assegnato ( in riferimento alla

circonferenza goniometrica) è l’ascissa del punto S

intersezione della retta perpendicolare al raggio vettore

passante per il punto P, estremo libero dell’arco

intercettato sulla circonferenza dall’angolo, con l’asse delle

ascisse.

Definizione

2 = k + =

Infatti per tali valori la retta s e l’asse delle ascisse

divengono paralleli.

Ed infine : sec = OS = xS – xO = xS – 0 = xS

A

P

O

y

H

s

S

xS

x

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xS xS”


precedenza si ha :

= =

goniometria

funzione secante: archi supplementari

O

O’

y

x

H’

P’

c a

V

b

H

A

P

+ = sec = − sec

H”

sec ≜ xs xS – 0 xS – xO OS = = − OS” =

= − xS”

P”


2 < < 1° caso :



S” S

OH” OP” = −

sec = − O’H’ O’P’ = −

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42/8



goniometria

funzione secante: angoli antisupplementari

O

O’

y

x

H’

P’

H

P”

A

P

– = sec = − sec

H”

V

a

b

c

=

= − sec = = − xS”

3

2 < < 2° caso :


precedenza si ha :



xS xS”

S” S

= sec ≜ xS xS – 0 xS – xO OS = = − OS − OS” = =

= O”H” OP” −

O’H’ O’P’ −

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43/8



P”

goniometria

funzione secante: archi esplementari

y

x A

P

P’

H’ O’

O

a

b

V

H H”

3 2

< < 2 3° caso :


precedenza si ha :



+ =2 sec = sec

= =

O’H’ O’P’ =

xS – 0 xS – xO OS = = OS” =

sec = = xS”

S” S

sec ≜ xS

O”H” OP”

=

= OS

xS xSxS”

GONIOMETRIA funzioni goniometriche di angoli qualsiasi · 2014-09-25 · goniometria: funzioni...

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