Equazioni e disequazioni goniometriche

Guida alla risoluzione di esercizi

Valori noti per seno e coseno per angoli particolari

Funzioni goniometriche espresse tramite una di esse

αsin αcos αtan αctg

αsin αsin α2cos1−± α

α2tan1

tan

+±

α21

1

ctg+±

αcos α2sin1−± αcos

α2tan1

1

+±

α

α21 ctg

ctg

+±

αtan

α

α2sin1

sin

−±

α

α

cos

cos1 2−±

αtan

αctg

1

αctg

α

α

sin

sin1 2−±

α

α2cos1

cos

−±

αtan

1

αctg

Formule di addizione e sottrazione

( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+

( ) βαβαβα sinsincoscoscos +=−

( ) αββαβα cossincossinsin +=+

( ) αββαβα cossincossinsin −=−

( )βα

βαβα

tantan1

tantantan

−

+=+ ( )

βα

βαβα

tantan1

tantantan

+

−=−

( )βα

βαβα

ctgctg

ctgctgctg

+

−=+

1 ( )

αβ

βαβα

ctgctg

ctgctgctg

−

+=−

1

Formule di duplicazione

ααα cossin22sin =

ααα 22 sincos2cos −=

α

αα

2tan1

tan22tan

−=

Formule di bisezione

2

cos1

2sin

αα −±=

2

cos1

2cos

αα +±=

α

αα

cos1

cos1

2tan

+

−±=

Formule parametriche

2tan1

2tan2

sin2 α

α

α

+

= ππα k2+≠ posto t=2

tanα

si ottiene 21

2sin

t

t

+=α

2tan1

2tan1

cos2

2

α

α

α

+

−=

2

2

1

1cos

t

t

+

−=α

2tan1

2tan2

tan2 α

α

α

−

= 21

2tan

t

t

−=α

Formule di prostaferesi

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα

−+=+

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα

+−=−

2cos

2cos2coscos

βαβαβα

−+=+

2sin

2sin2coscos

βαβαβα

−+−=−

Formule di Werner

( ) ( )[ ]βααβα +−−= coscos2

1sinsin b

( ) ( )[ ]βααβα −++= coscos2

1coscos b

( ) ( )[ ]βααβα −++= sinsin2

1cossin b

y

O x

Equazioni elementari

Un’equazione goniometrica elementare è un equazione riconducibile alla forma

( ) kx =sin ( ) kx =cos 11 ≤≤− k

Oppure

( ) hx =tan ( ) hxctg = Rh ∈

I quadrante

0cos

0sin

>

>

x

x

II quadrante

0cos

0sin

<

>

x

x

III quadrante

0cos

0sin

<

<

x

x

IV quadrante

0cos

0sin

>

>

x

x

Risolvere un’equazione goniometrica elementare significa pertanto trovare quel valore che

sostituito al posto dell’argomento della funzione stessa le fa assumere il valore del secondo

membro.

Osservazione: a riguardo è bene aver presente quali siano i valori noti delle funzioni goniometriche

(vedi tabella).

2

1)sin( =x

L’equazione è elementare in quanto è l’uguaglianza tra una funzione goniometrica ed un termine

noto.

Si cerca in tabella l’angolo in corrispondenza del quale il seno vale 2

1.

0 6

π

4

π

3

π

2

π π π

2

3

αsin 0 2

1

2

2

2

3 1 0 -1

Allora posso passare all’uguaglianza tra l’argomento x della funzione e l’angolo che corrisponde al

valore a secondo membro per la funzione goniometrica assegnata, quindi

ππ

kx 26

+= il termine πk2 è necessario poiché si riferisce alla periodicità della

funzione seno, che è appunto π2 . Infatti se a 6

π si aggiunge o si sottrae un

multiplo di π2 per la natura periodica del seno si ottiene sempre lo stesso

valore.

.

Le soluzioni dell’equazione allora saranno date da:

ππ

kx 26

+=

ππ kx 26

5+=

Osservazione: per trovare le soluzioni allora basta trovare la prima soluzione α e poi per quanto

visto la seconda si ottiene eseguendo απ − , tenendo sempre conto della periodicità.

Esempi

2cos4 =x divido per 4 entrambi i membri e ottengo

2

1cos =x

Si cerca in tabella l’angolo in corrispondenza del quale il coseno vale 2

1.

0 6

π

4

π

3

π

2

π π π

2

3

αcos 1 2

3

2

2

2

1 0 -1 0

Allora posso passare all’uguaglianza tra l’argomento x della funzione e l’angolo che corrisponde al

valore a secondo membro per la funzione goniometrica assegnata, quindi

ππ

kx 23

+= il termine πk2 è necessario poiché si riferisce alla periodicità della

funzione coseno, che è appunto π2 . Infatti se a 3

π si aggiunge o si sottrae

un multiplo di π2 per la natura periodica del seno si ottiene sempre lo

stesso valore.

Consideriamo ora il seguente disegno

y

3

π

x

Il segmento orizzontale evidenziato in neretto esprime il coseno di 3

π il disegno evidenzia inoltre,

come nel caso precedente, che esiste anche un altro angolo in corrispondenza del quale il coseno

assume il medesimo valore. Dal grafico si vede, con sottrazione tra gli angoli, che tale valore a

32

ππ − .

Tale considerazione si può fare osservando anche quanto detto riguardo gli angoli associati, infatti:

( ) απ cos2cos =− a

Quindi gli angoli in cui il seno assume un valore k compreso tra 11 <<− k , sono 2.

Le soluzioni dell’equazione allora saranno date da:

ππ

kx 23

+=

ππ kx 23

5+=

Osservazione: per trovare le soluzioni allora basta trovare la prima soluzione α e poi per quanto

visto la seconda si ottiene eseguendo απ −2 , tenendo sempre conto della

periodicità.

E’ possibile rappresentare la seconda soluzione esprimendo l’angolo απ −2

muovendosi in senso orario lungo la circonferenza goniometrica, quindi se una

soluzione è α , l’altra è -α , nel caso appena visto:

ππ

kx 23

+=

ππ

kx 23

+−=

3

3tan =x

0 6

π

4

π

3

π

2

π π π

2

3

αtan 0 3

3 1 3 ¬∃ 0 ¬∃

Da cui segue che

ππ

kx +=3

Osservazione

In questo caso la periodicità della funzione è π , inoltre la soluzione è unica in quanto osservando il

grafico della tangente vi è un solo valore all’interno dell’intervallo di riferimento

−

2;

2

ππ in cui il

valore assegnato viene assunto (in

−

2;

2

ππ la tangente è in particolare iniettiva, cioè

( ) ( )212121 ..2

;2

, xfxfxxctxx ≠⇒≠

−∈∀

ππ).

Un ragionamento analogo si può applicare alla cotangente, in quanto x

ctgxtan

1= .

2

3

43sin =

+

πx

In questo caso, si deve ricavare il valore della x che sostituito nella parentesi a primo membro

soddisfi l’equazione.

Passo 1

Si deve trovare per quale angolo il seno vale 2

3. Tale angolo è

3

π.

Passo 2

Affinché l’equazione sia soddisfatta dovrà essere che l’argomento del seno 4

3π

+x sia uguale a 3

π.

Passo 3

Tenendo conto della periodicità si ottiene

πππ

kx 234

3 +=+

Passo 4

Ora si deve isolare l’incognita x

πππ

kx 234

3 +=+

πππ

kx 243

3 +−=

ππ

kx 212

3 +=

ππ

kx3

2

36+=

πππ

kx 212

343 +

−=

Passo 5

Ora si dovrà trovare l’altra soluzione, ricordando che ( ) ααπ sinsin =− , per cui trovata α l’altra

soluzione è data da απ − , nel nostro caso quindi

ππ

ππ

kx 234

3 +−=+

Da cui si ottiene

ππ kx3

2

36

5+=

Osservazione

Per quanto sia complicato l’argomento della funzione goniometrica si deve sempre uguagliare tutto

l’argomento all’angolo corrispondente al valore richiesto e poi ricavare l’incognita.

Equazioni goniometriche omogenee di primo grado

Definizione: una equazione si definisce omogenea se tutti i sui termini hanno lo stesso grado.

Osservazione

Un’equazione avente termine noto non può essere omogenea.

Esempi

� 064 3223 =−−+ yxyyxx è omogenea di terzo grado

� 04 324 =−+ xxx non è omogenea

� 02 22 =−+ yxyx è omogenea di secondo grado

� 012 22 =+−+ yxyx non è omogenea

Un equazione goniometrica è omogenea di primo grado se contiene soltanto funzioni goniometriche

(seno e coseno) alla prima potenza e non ha il termine noto.

0cos3sin =− xx è un’equazione goniometrica di primo grado

Soluzione

Se dividiamo tutti i termini per xcos otteniamo una notevole semplificazione, però in tal caso si

deve porre la C.E. ππ

kx 22

+≠ e assicurarsi che 2

π e π

2

3 non siano soluzioni dell’equazione

assegnata, cioè dobbiamo sostituire i valori esclusi nel testo dell’equazione per verificare di non

eliminare delle soluzioni, cioè:

02

cos32

sin =

−

ππ

Da cui si deduce 01 = .

Quindi 2

π e anche π

2

3 non sono soluzioni dell’equazione assegnata.

Proseguiamo con la soluzione dell’esercizio dividendo tutti i termini per xcos .

0cos

cos3

cos

sin=−

x

x

x

x

03tan =−x

3tan =x è un’equazione elementare ππ

kx +=3

Equazioni goniometriche risolvibili con equazioni di secondo grado

Ci si riconduce ad un’equazione di secondo grado che si risolve tramite la solita formula risolutiva.

Sia data l’equazione

0cossinsin 22 =−+ xxx

0cossinsin 22 =−+ xxx

0sin1sinsin 22 =+−+ xxx

01sinsin2 2 =−+ xx

012 2 =−+ tt

4

31

4

91

4

8112,1

±−=

±−=

+±−=t

L’equazione data ha tre termini, come la forma

generale dell’equazione di secondo grado:

02 =++ cbxax

Vediamo se è possibile ottenere una

rappresentazione simile.

Per prima cosa devo ottenere una sola funzione

goniometrica. Poiché il termine xsin non può

essere espresso tramite il coseno senza

introdurre delle radici, utilizziamo l’identità

goniometrica fondamentale per trasformare il

coseno in seno

1sincos 22 =+ xx

da cui si ottiene

xx22 sin1cos −=

Ora si può passare alla sostituzione tx =sin

2

1

4

2

4

311 ==

+−=t

14

4

4

312 −=−=

−−=t

Tornando alla sostituzione tx =sin

2

1sin =x

Da cui segue

ππ

kx 26

+= e ππ kx 26

5+=

Inoltre 1sin −=x da cui segue ππ kx 22

3+=

Equazioni goniometriche riconducibili ad equazioni di primo grado

Ci si riconduce allo studio di equazioni più semplici tramite scomposizioni e raccoglimenti.

xxxxx cos3sin3cos3cossin3 2 −=−

Se portiamo tutto a primo membro

0cos3sin3cos3cossin3 2 =+−− xxxxx da cui è possibile raccogliere a due a due

( ) ( ) 01coscos31cossin3 =−−− xxxx

( )( ) 0cos3sin31cos =−− xxx

Per la legge di annullamento del prodotto si ha

1. 01cos =−x

1cos =x

πkx 2=

2. 0cos3sin3 =− xx equazioni omogenea di primo grado

0cos

cos3

cos

sin3 =−

x

x

x

x π

πkx +≠

2 (che non è soluzione dell’equazione assegnata)

03tan3 =−x

3

3tan =x

ππ

kx +=6

Equazioni goniometriche omogenee di secondo grado

Consideriamo la seguente equazione

1cos2cossin32sin4 22 =−− xxxx

xxxxxx2222 cossincos2cossin32sin4 +=−−

Ora è possibile portare tutto a primo membro

0cossincos2cossin32sin4 2222 =−−−− xxxxxx

0cos3cossin32sin3 22 =−− xxxx

Dividiamo tutti i termini per x2cos , in tal caso si deve porre la C.E. π

πkx 2

2+≠ e assicurarsi che

2

π e π

2

3 non siano soluzioni dell’equazione assegnata, cioè dobbiamo sostituire i valori esclusi nel

testo dell’equazione per verificare di non eliminare delle soluzioni, cioè:

02

cos32

cos2

sin322

sin3 22 =

−

−

ππππ

Da cui si deduce

03 =

Quindi 2

π e anche π

2

3 non sono soluzioni dell’equazione assegnata.

Proseguiamo con la soluzione dell’esercizio dividendo tutti i termini per x2cos .

0cos

cos3

cos

cossin32

cos

sin3

2

2

22

2

=−−x

x

x

xx

x

x

03tan32tan3 2 =−− xx

Che è riconducibile ad una equazione di secondo grado, si può porre infatti tx =tan

03323 2 =−− tt

3

323

3

123

3

9332,1

±=

±=

+±=t

3

3

3

33

3

3231 ==

+=t

3

3

3

3232 −=

−=t

Ricordando la sostituzione effettuata

3

3tan =x da cui π

πkx +=

6

Ricordando l’identità

goniometrica fondamentale

1cossin 22 =+ xx

e

3

3tan −=x da cui π

πkx +−=

6

Equazioni lineari

Definizione: un’equazione si dice lineare se è del tipo 0=++ cbyax , cioè se è riconducibile alla

forma dell’equazione della retta. Cioè:

� tutti i termini contenenti l’incognita sono di primo grado;

� è presente il termine noto.

Un’equazione lineare può essere vista come un’[equazione omogenea] +[ termine noto].

Vale inoltre:

� un’equazione omogenea di primo grado è un’equazione lineare;

� un’equazione lineare di primo grado non è un’equazione omogenea.

Vediamo la soluzione.

Esempio

02cos3sin =−− xx

Effettuiamo la seguente sostituzione:

=

=

xY

xX

sin

cos (X = coseno poiché rappresenta l’ascissa, Y = seno poiché rappresenta l’ordinata)

L’equazione diventa:

023 =−− XY ora però ho due incognite invece di una

Ricordando l’identità fondamentale della goniometria e la sostituzione introdotta in prima

1cossin 22 =+ xx

Diventa

122 =+ YX

Ora posso ottenere il seguente sistema

=+

=−−

1

02322

YX

XY

Risolvendo il sistema si ottiene

=

−=

2

12

3

Y

X

Convertendo di nuovo in seno e coseno

L’unico angolo che soddisfa le condizioni elencate dal sistema precedente è ππ kx 26

5+= .

Osservazione

Poiché il sistema che si ottiene è di secondo grado può accadere che si ottengano due soluzioni,

infatti:

01cossin =−− xx

ha come soluzioni ππ

kx 22

+= e ππ kx 2+= .

Equazioni lineari

Definizione: un’equazione si dice lineare se è del tipo 0=++ cbyax , cioè se è riconducibile alla

forma dell’equazione della retta. Cioè:

� tutti i termini contenenti l’incognita sono di primo grado;

� è presente il termine noto.

Un’equazione lineare può essere vista come un’[equazione omogenea] +[ termine noto].

Vale inoltre:

� un’equazione omogenea di primo grado è un’equazione lineare;

� un’equazione lineare di primo grado non è un’equazione omogenea.

Vediamo la soluzione.

Esempio

02cos3sin =−− xx

Effettuiamo la seguente sostituzione:

=

=

xY

xX

sin

cos (X = coseno poiché rappresenta l’ascissa, Y = seno poiché rappresenta l’ordinata)

L’equazione diventa:

023 =−− XY ora però ho due incognite invece di una

Ricordando l’identità fondamentale della goniometria e la sostituzione introdotta in prima

−=

=

2

3cos

2

1sin

x

x

1cossin 22 =+ xx

Diventa

122 =+ YX

Ora posso ottenere il seguente sistema

=+

=−−

1

02322

YX

XY

Risolvendo il sistema si ottiene

Convertendo di nuovo in seno e coseno

L’unico angolo che soddisfa le condizioni elencate dal sistema precedente è ππ kx 26

5+= .

Osservazione

Poiché il sistema che si ottiene è di secondo grado può accadere che si ottengano due soluzioni,

infatti:

01cossin =−− xx

ha come soluzioni ππ

kx 22

+= e ππ kx 2+= .

Sistemi goniometrici

Un sistema di equazioni goniometriche unisce in sé la struttura del sistemi a quella delle equazioni

goniometriche quindi si tratta ora di unificare i due processi risolutivi per ottenere la soluzione di

questa classe di esercizi. Vediamo di sintetizzare il percorso:

i) prima si cerca di risolvere il sistema applicando uno metodi noti (addizione o sostituzione);

ii) poi quando si è ottenuta una equazione in un’unica incognita la si risolve identificando quale

tipologia di equazione goniometrica essa rappresenti e applicando il corrispondente metodo

risolutivo;

iii) si ricava la soluzione per l’altra incognita.

=

−=

2

12

3

Y

X

−=

=

2

3cos

2

1sin

x

x

Verranno affrontati sistemi di due equazioni in due incognite.

I sistemi che risolveremo saranno di due tipi:

1. sostituzione di un’incognita: il sistema è composta da un’equazione goniometrica e da una

equazione tradizionale;

2. sostituzione di una funzione goniometrica: il sistema è composta da due equazioni

goniometriche

Esempio

Il sistema è composto da due equazioni goniometriche

=⋅

+=+

6sinsin42

23sinsin

yx

yx

=⋅

−+

=

6sinsin4

sin2

23sin

yx

yx (1) ricavo una funzione goniometrica dall’equazione più semplice

=

−

+

−+

=

6sinsin2

234

sin2

23sin

yy

yx

sostituisco l’espressione nell’altra equazione

( )

=−+

−+

=

6sinsin42232

sin2

23sin

yy

yx

( )

=−+

−+

=

6sin4sin2232

sin2

23sin

2 yy

yx

( )

=++−

−+

=

06sin2232sin4

sin2

23sin

2 yy

yx

La seconda equazione si risolve ponendo ty =sin , essa allora diventa

( ) 0622324 2 =++− tt

Le cui soluzioni si ricavano utilizzando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado e

andando successivamente a ricavare i corrispondenti valori per la variabile y (dalla relazione

ty =sin ). Risulta

ππ

ky 231 += e ππ ky 2

3

22 +=

ππ

ky 243 += e ππ ky 2

4

34 +=

Da cui sostituendo nel sistema in (1) si ottiene tralasciando di riportare la periodicità per non

appesantire troppo la scrittura

=

−+

=

3

sin2

23sin

1

πy

yx

=

−+

=

π3

2

sin2

23sin

2y

yx

=

−+

=

4

sin2

23sin

3

πy

yx

=

−+

=

π4

3

sin2

23sin

4y

yx

Per le prime due soluzioni 1y e 2y

=

=

3

2

2sin

1

πy

x

=

=

π3

22

2sin

2y

x

=

==

3

4

3,

4

1

π

ππ

y

xx

=

==

π

ππ

3

24

3,

4

2y

xx

Per le prime due soluzioni 3y e 4y

=

=

4

2

3sin

3

πy

x

=

=

π4

32

3sin

4y

x

=

==

4

3

2,

3

3

π

ππ

y

xx

=

==

π

ππ

4

33

2,

3

4y

xx

Esempio

Il sistema è composto da una equazione goniometrica e una tradizionale.

=+

−=−

2

2sincos

4

yx

xyπ

si ricava y dalla prima e si sostituisce nella seconda

=

−+

−=

2

2

4sincos

4

π

π

xx

xy

=−+

−=

2

2

4sincos

4cossincos

4

ππ

π

xxx

xy

=−+

−=

2

2cos

2

2sin

2

2cos

4

xxx

xyπ

=−+

−=

2cos2sin2cos2

4

xxx

xyπ

( )

=+−

−=

2sin2cos22

4

xx

xyπ

La seconda equazione è di tipo lineare pertanto la si risolve ponendo

=

=

Yx

Xx

sin

cos e risolvendo il sistema seguente

( )

=+

=+−

1

222222

YX

YX

( )

=+

−−=

1

222222

YX

XY

( )

=+

−−=

1

1222222

YX

XY

( )

=+

−−=

1

2

1222

22YX

XY

( )

=+

−−=

1

12122

YX

XY

( )( )

=+−+

−−=

121

12122

XXX

XY

Da cui si ottiene risolvendo le equazioni

=

=

1

0

Y

X

=

=

2

2

2

2

Y

X

Che equivalgono a

=

=

1sin

0cos

x

x

=

=

2

2sin

2

2cos

x

x

Da cui ππ

kx 22

+= e ππ

kx 24

+= .

Tornando ora al sistema goniometrico iniziale, tralasciando la periodicità, otteniamo

−=

=

4

2π

π

xy

x

−=

=

4

4π

π

xy

x

Risolvendo si ha

=

=

4

2π

π

y

x

=

=

04

y

xπ

Disequazioni goniometriche

Ricordiamo la definizione di disequazione:

Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p(x) e

g(x) due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione nella variabile x è

un'espressione della forma:

( ) ( )xqxp < ( ) ( )xqxp ≤ ( ) ( )xqxp > ( ) ( )xqxp ≥

Risolvere una disequazione significa trovare quell’intervallo (o più intervalli) di valori che,

attribuiti alle incognite, verificano la disuguaglianza.

Ricordiamo inoltre alcune regole di calcolo:

� si può portare una quantità da primo a secondo membro e viceversa, cambiandone il segno

� si può cambiare il segno dei termini a primo e secondo membro, invertendo il verso della

disuguaglianza;

� se si divide per una quantità positiva primo e secondo membro di una equazione il verso

della disequazione rimane invariato;

� se si divide per una quantità negativa primo e secondo membro di una equazione il verso

della disequazione deve essere invertito;

Nel caso di disequazioni goniometriche valgono tutte le osservazioni e le regole di calcolo viste per

le disequazioni polinomiali tali regole vanno integrate con i metodi di calcolo che si utilizzano per

risolvere le equazioni goniometriche.

Una volta assegnata la disequazione goniometrica un possibile metodo di risoluzione è il seguente

Passo 1: si scrive l’equazione goniometrica ad essa associata e si procede alla relativa soluzione;

Passo 2: si tracciano sulla circonferenza goniometrica le soluzioni ottenute;

Passo 3: si individuano gli intervalli che soddisfano la disequazione tenendo conto eventualmente

della regola dei segni.

Definizione: data una disequazione (goniometrica) si definisce equazione associata l’equazione che

si ottiene sostituendo il simbolo = al posto del simbolo di disuguaglianza.

Illustriamo il procedimento tramite un esempio.

Risolvere la seguente disequazione

03cos >− senxx

Passo 1

Scrivo l’equazione associata

03cos =− senxx

Essa è un’equazione di tipo lineare, quindi si risolve ponendo:

=

=

xY

xX

sin

cos si ottiene allora

=+

=−

1

0322

YX

YX

=+

=

1

322

YX

YX

=+

=

13

322

YY

YX

=

=

14

32

Y

YX

=

=

4

1

3

2Y

YX

±=

=

2

1

3

Y

YX

allora le soluzioni del sistema sono date da

=

=

2

12

3

Y

X

e

−=

−=

2

12

3

Y

X

che corrispondono a

=

=

2

1sin

2

3cos

x

x

e

−=

−=

2

1sin

2

3cos

x

x

ππ

kx 26

+= e ππ kx 26

7+=

Passo 2

Si tracciano tutte le soluzioni così trovate sulla circonferenza goniometrica (si deve tener conto

della periodicità dei valori ottenuti per non ometterne alcuno).

y

6

π

x

π6

7

Poiché nel verso della disequazione l’uguaglianza non è compresa, significa che gli estremi sono

esclusi, quindi vengono riportati con un cerchio vuoto.

Passo 3

Si tratta ora di individuare quale intervallo soddisfi la disequazione assegnata. Partiamo da alcune

considerazioni, gli intervalli così determinati sono tali per la disequazione che:

i) se essa è verificata in un punto di un intervallo, essa risulta verificata per tutto l’intervallo

cui appartiene il punto considerato;

ii) se essa non è verificata in un punto di un intervallo, essa risulta non verificata per tutto

l’intervallo cui appartiene il punto considerato.

Pertanto se individuo l’intervallo corretto, significa che l’altro intervallo non soddisferà l’equazione

e quindi non conterrà alcuna soluzione.

Nel caso di più di due intervalli, è possibile compiere le seguenti considerazioni:

� un intervallo che verifichi la disequazione, avrà adiacenti due intervalli che non la

verificano;

� un intervallo non che verifichi la disequazione, avrà adiacenti due intervalli che la

verificano.

Oppure equivalentemente:

� tra due intervalli che verificano la disequazione ve né uno che non la verifica;

� tra due intervalli che non verificano la disequazione ve né uno che la verifica.

Osservazione

Nei metodi descritti, si deve fare attenzione ai casi particolari in cui una soluzione sia data da un

solo punto, allora per non sbagliare è bene sostituire un punto all’interno di ogni intervallo per

individuare con certezza se esso contenga o meno delle soluzioni.

Osservazione importante

Quando si scelgono i punti degli intervalli da sostituire, è bene scegliere dei punti che non siano gli

estremi dell’intervallo che si considera.

Torniamo a considerare i) e ii) applicando la regola al nostro caso

Gli intervalli che abbiamo ottenuto sono due (tralasciando la periodicità):

1) ππ

6

7

6<< x

2) 66

5 ππ <<− x

Prendiamo un punto che non sia un estremo degli intervalli 1) e 2) e sostituiamo tale valore

all’interno del testo iniziale della disequazione:

Consideriamo il punto 0=x e sostituiamo in 03cos >− senxx , otteniamo:

( ) ( ) 0030cos >− sen � 01 > che è una disuguaglianza vera, ciò significa che per 0=x e tutto

l’intervallo che la contiene determinato in precedenza, cioè 66

5 ππ <<− x la disequazione è

verificata. Quindi:

y

- -

- -

- 6

π

- + x

+

π6

7 + +

+ +

Poiché il verso generale della disequazione è >0 dobbiamo prendere le soluzione positive, quindi

66

5:

ππ <<− xS

(non abbiamo considerato la periodicità per non appesantire troppo la scrittura della soluzioni)

Osservazione

Se le soluzioni veniva scritte nel modo 66

7 ππ << x si commetteva un errore, in quanto in questo

tipo di scrittura l’estremo sinistro deve essere il valore minore, pertanto in questo caso si scrive un

intervallo in cui l’estremo sinistro ha un valore maggiore dell’estremo destro, il che non è possibile.

L’intervallo poteva essere scritto anche nel modo seguente:

πππ

26

7

60 <<∪<≤ xx

Cioè muovendosi in senso antiorario (verso di percorrenza positivo della circonferenza

goniometrica) e facendo attenzione a includere lo zero (che è un punto interno dell’intervallo

contenente le soluzioni) in uno dei due intervalli.

Poiché è possibile percorrere la circonferenza goniometrica sia nel verso positivo (antiorario) sia

negativo (orario) è possibile scrivere le soluzioni di u equazione goniometrica in due differenti modi

ma entrambi corretti.

Illustriamo il procedimento descritto con altri esempi.

0sin32sin ≥− xx

0sin3cossin2 ≥− xxx

( ) 03cos2sin ≥−xx

Poiché la disequazione è il prodotto di due fattori, studiamo separatamente il segno di entrambi

I

0sin ≥x

È una disequazione elementare che può essere risolta senza utilizzare l’equazione associata per

individuare gli estremi dell’intervallo cercato, infatti se tracciamo la circonferenza goniometrica

abbiamo: y

+ +

+ +

x

- - - - - -

Poiché il seno si misura lungo l’asse y, assume valori positivi nel semipiano superiore, cioè tra

π≤≤ xS I 0:

II

03cos2 ≥−x

2

3cos ≥x

2

3cos =x

Le cui soluzioni sono

ππ

kx 26

+= e ππ

kx 26

+−=

Riportiamo tali valori sulla circonferenza goniometrica

y

- -

- - 6

π

- +

- +

- 6

π−

- -

66

:ππ

≤≤− xS II

Regola dei segni per disequazioni goniometriche

Poiché la disequazione è il prodotto di due fattori, il segno generale della disequazione si ottiene

applicando al regola dei segni, poiché abbiamo tracciato (a causa della periodicità) le soluzioni su

due circonferenze, quando applichiamo la regola dei segni per disequazioni goniometriche anziché

tracciare linee orizzontali parallele su cui riportare i valori ottenuti, tracceremo circonferenze

concentriche su cui segnare le soluzioni ricavate.

Poiché ho due condizioni, dovrò tracciare due circonferenze goniometriche

y

- -

- + + -

- + +

- + + +

- π - + x

- - +

- - - -

- -

- -

Per determinare quale dei due intervalli soddisfi la disequazione scegliamo 0=x (un punto che non sia un estremo dell’intervallo) e sostituiamo nella disequazione II che stiamo considerando:

( ) 030cos2 ≥−

032 ≥− che è una disuguaglianza vera, quindi l’intervallo che dobbiamo considerare è quello più piccolo (che contiene lo zero).

6

π

6

π−

+

+ +

- -

-

Poiché il verso generale della disequazione è 0≥ devo considerare le soluzioni .

πππ

6

11

60: ≤≤∪≤≤ xxS

Risolvere la disequazione:

0cos2sin3 2 <− xx

( ) 0sin12sin3 2 <−− xx

0sin22sin3 2 <+− xx

02sin3sin2 2 <−+ xx

4

53

4

253

4

1693sin 2,1

±−=

±−=

+±−=x

2

1

4

2

4

53sin1 ==

+−=x

24

8

4

53sin 2 −=−=

−−=x

E’ il caso di porre attenzione al passaggio successivo.

La soluzione della disequazione iniziale si ottiene studiando il segno delle singole soluzioni ottenute

cioè per entrambe si deve porre 1sin xx > e 2sin xx > (*) poi si applica la regola dei segni a quanto

ottenuto.

Infatti si potrebbe scrivere ricordando la regola per scomporre un polinomio di secondo grado:

02sin3sin2 2 <−+ xx

( ) 02sin2

1sin2 <+⋅

− xx

Da cui si ottiene quanto detto in (*)

02

1sin >−x �

2

1sin >x da cui

2

1sin =x e π

πkx 2

6+= e ππ kx 2

6

5+=

02sin >+x � 2sin −>x x∀

Che corrispondono allo studio del segno delle soluzioni

Le riportiamo sulla circonferenza goniometrica.

y

+ +

+ + + +

+ + + +

+ - - +

+ - - + x

+ - - +

+ - - +

+ +

Poiché il verso generale della disequazione è 0< si devo considerare gli intervalli contrassegnati

con il segno

πππ

26

5

60: <<∪<≤ xxS .

Osservazione

Se si poneva tx =sin si otteneva come intervallo delle soluzioni 2

12 <<− t , il passaggio dalla

disequazione polinomiale a quella goniometrica non è immediato in quanto la funzione seno oscilla

nell’assumere i valori e quindi tenendo conto della crescente e della decrescenza della funzione il

passaggio polinomiale � goniometrica non avviene in maniera automatica con un semplice cambio

di valori, ma necessita di ulteriori considerazioni.

Il metodo proposto tiene conto di quanto affermato e semplifica il più possibile il procedimento per

individuare gli intervalli delle soluzioni.

Risolvere al seguente disequazione

3cos4

cos

cos43

cos2122

2

−<

−

−

x

x

x

x

03cos4

cos

cos43

cos2122

2

<−

−−

−

x

x

x

x

0cos43

cos

cos43

cos2122

2

<−

+−

−

x

x

x

x

6

π

Per determinare quale dei due intervalli soddisfi la prima disequazione scegliamo

0=x (un punto che non sia un estremo dell’intervallo) e sostituiamo nella disequazione:

2

10sin > �

2

10 >

che è una disuguaglianza falsa, quindi l’intervallo che dobbiamo considerare è quello più piccolo (che non contiene lo zero).

+ +

- -

- -

-

π6

5

0cos43

coscos212

2

<−

+−

x

xx (per risolvere una disequazione si deve portare tutto da una parte)

0cos43

1coscos22

2

>−

−−

x

xx (poi si studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore)

N: 01coscos2 2 >−− xx

01coscos2 2 =−− xx

4

31

4

811cos 2,1

±=

+±=x

14

31cos1 =

+=x

2

1

4

2

4

31cos2 −=−=

−=x

Ricordando quanto detto nell’esercizio precedente le soluzioni si determinano come segue:

1cos >x mai verificata

2

1cos −>x

2

1cos −=x da cui ππ kx 2

3

2+= e ππ kx 2

3

4+= (intervallo grande)

+ +

- - - +

- - - +

- - - +

- - - +

+

+ + ππ3

4

3

2: << xS

D: 0cos43 2 >− x

0cos43 2 =− x y

3cos4 2 −=− x

3cos4 2 =x + +

4

3cos2 =x + +

2

3cos ±=x

-

-

-

-

+

+

π6

5

6

π

y

+ +

+ +

2

3cos ±=x - - x

- -

+ +

+ +

ππππ

6

11

6

7

6

5

6: <<∪<< xxS

Calcoliamo le soluzioni finali: y

+ +

+ +

-

- + - -

+ -

- + - -

-

+ +

+ +

ππππππ

3

4

6

7

6

5

3

2

66: <<∪<<∪<<− xxxS

Sostituisco un punto di ogni intervallo all’interno della disequazione iniziale per decidere se l’intervallo considerato contiene soluzioni.

π6

5

π6

7

6

π

π6

11

π6

11

6

π

π6

5

π6

7

+

+

- -

-

-

- -

π3

2

π3

4

+

+

Risolvere la seguente disequazione

03sin2

1tan3<

−

−

x

x

N: 01tan3 >−x

1tan3 >x y

3

3tan >x - +

3

3tan =x - - x

ππ

kx +=6

- -

+ -

ππππ

2

3

6

7

26: <<∪<< xxS

La tangente ha periodicità π , poiché la circonferenza goniometrica rappresenta un intervallo di π2 ,

si dovranno tracciare su di essa tutti i punti distinti che si ottengono a partire dal valore iniziale

aggiungendo la periodicità (e che appartengono a [ ]π2;0 ).

Tale osservazione è valida per tutte le disequazioni goniometriche che hanno periodicità diversa da

π2 , ad esempio:

� ( )x3sin ha periodicità π3

2 ed è tale da determinare tanti punti sulla circonferenza

goniometrica quanti se ne ottengono aggiungendo al valore iniziale πk3

2 sino a che non si

giunge di nuovo al primo valore;

� ( )x5cos ha periodicità π5

2 ed è tale da determinare tanti punti sulla circonferenza

goniometrica quanti se ne ottengono aggiungendo al valore iniziale πk5

2 sino a che non si

giunge di nuovo al primo valore;

6

π

π6

7

Attenzione ai valori che assume la tangente (e quindi anche la cotangente): positivi da 0 a

∞+ nel primo e terzo quadrante, negativi da ∞− a 0 nel secondo e quarto quadrante.

D: 03sin2 >−x y

03sin2 =−x + +

3sin2 =x - -

2

3sin =x - - x

ππ

kx 23

+= - -

ππ kx 23

2+= - -

ππ

3

2

3: << xS

y

+ +

- -

- - + -

- - - - x

- - - -

- - -

- + - -

- -

ππππππ

2

3

6

7

3

2

236: <<∪<<∪<< xxxS

3

π

π3

2

3

π π

3

2

π6

7

6

π

+

+ -

+

-

+

+

-