LE FUNZIONI GONIOMETRICHE:

SENO, COSENO E TANGENTE

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DEFINIZIONE

Seno e cosenoConsideriamo

la circonferenza goniometrica

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LE FUNZIONI SENO E COSENO

e sia B il punto della circonferenza

associato ad a.

Definiamo coseno e seno di a, e

indichiamo con cos a e sen a :

cos a = xB ,

sen a = yB .

e un angolo orientato a,

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Circonferenza di raggio unitario

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LE FUNZIONI SENO E COSENO

Indichiamo con (x; y) le

coordinate di B.

Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi

x = cos a

Indichiamo con (x'; y') le

coordinate di B'.

y = sen a

Scopriamo che:

e

e quindi sen a e cos anon dipendono dalla

particolare circonferenza

considerata,

ma solo dall’angolo a.

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Triangoli rettangoli

cos a = rapporto tra il

cateto adiacenteall’angolo e l’ipotenusa.

Il triangolo OA'B' è un

triangolo rettangolo.

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LE FUNZIONI SENO E COSENO

sen a =rapporto tra il

cateto oppostoall’angolo e l’ipotenusa.

Le proprietà del seno e

del coseno si applicano a

tutti i triangoli rettangoli.

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LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI

SENO E COSENO

Costruiamo il grafico delle funzioni

y = sen x e y = cos x in [0; 2p] riportando sull’asse x i valori degli

angoli e sull’asse y le coordinate

dei punti della circonferenza

goniometrica.

PROPRIETÀ

In particolare si verifica

che:

–1 ≤ sen x ≤ 1 ;–1 ≤ cos x ≤ 1 ;

cos x = cos (–x) ;

sen x = –sen (–x) .

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Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione

coseno cosinusoide.

I due grafici differiscono per una traslazione di p/2.

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sen (x + 2p) = sen x = sen (x + 4p) = ... ,

cos (x + 2p) = cos x = cos (x + 4p) = … ,

SINUSOIDE E COSINUSIDE

cioè

sen (x + 2kp) = sen x ,

cos (x + 2kp) = cos x .

Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2p .

p2

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mentre, se è noto sen a ,

.

Da cui, se è noto cos a ,

,

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LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE

Prima relazione fondamentale della goniometria

cos2 a + sen2 a = 1

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DEFINIZIONE

TangenteConsideriamo un angolo orientato a,

e sia B il punto della circonferenza

associato ad a.

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LA FUNZIONE TANGENTE

Definiamo tangente di a il rapporto,

quando esiste, tra l’ordinata e l’ascissa di B:

.

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Un altro significato geometrico

Consideriamo il cerchio

goniometrico e la sua

tangente t.

Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi

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LA FUNZIONE TANGENTE

Indichiamo con (x'; y') le

coordinate di B'.

Triangolo rettangolo

tg a = rapporto tra il

cateto oppostoall’angolo e il cateto adiacente. tg a = ordinata di T.

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LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE

TANGENTE

Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;p] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse yl’ordinata del punto T.

PROPRIETÀ

In particolare si verifica

che:

tg x tende a + o –quando x si avvicina a p/2,

tg x = – tg (–x).

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Il grafico completo della

funzione tangente si

chiama tangentoide.

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tg (a + p) = tg a = tg (a + 2p) = ...

LA TANGENTOIDE

cioè

tg (a + kp) = tg a .

La funzione tangente è periodica di periodo p .

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LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE

Seconda relazione fondamentale della goniometria

,

yB = sen a , xB = cos a ,

.

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ESERCIZI: SENO E COSENO

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ESERCIZI: LA TANGENTE

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