Problema retta tangente:Come definiamo la retta tangente in un punto

ad una curva?

Nel caso di alcune curve, come la circonferenza, diremmo:“La retta tangente è quella retta che ha un solo punto, o meglio, due coincidenti, in comune con la curva”

Questa definizione però non è sempre accettabile:

Una retta può essere tangente in un punto della curva e secante in un altro!

P

Q

La retta è tangente in P e secante in Q.

Come fare allora?

AB BB B=A

Consideriamo due puntiA e B e la retta secante alla curva in A e B.

Quando B coinciderà con A che retta avrò ottenuto?

La retta ottenuta è la tangente alla curva nel punto A

Quindi immaginiamo di tenere fisso A e di avvicinare B ad A, ritracciando di volta in volta le rette secanti.

Nuova definizione di retta tangente

AB BB

“La retta tangente ad una curva in un suo punto A è la posizione limitedella secante AB al tendere del punto B al punto A”

NB:perché la chiamo posizione limite?

Ci serviamo delle nostre conoscenze di analisi per determinare l’equazione della tangente ad una curva

Sia y=f(x) una funzione.Prendiamo un punto A sulla curva :A( c ; f(c) )poi un punto B B ( c+h ; f(c+h) )

h

cfhcf

xx

yym

AB

ABAB

)()(

Chi è il coefficiente angolaredella retta secante AB?

A

B

h

cfhcf

x

y )()(

Tale rapporto si indica con

e prende il nome di RAPPORTO INCREMENTALE della funzione relativo a c .

A

B

Significato geometrico: il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta secante passante per A(c,f(c)) e B(c+h,f(c+h)).

Alla luce della nuova definizione, chi sarà la retta tangente alla curva nel punto A?

Graficamente otteniamo la retta tangente avvicinando B ad A, ovvero riducendo la distanza h tra l’ascissa di A e l’ascissa di B

A

B

A B

BA

A

Qual è l’equazione di tale retta tangente?

Per conoscere la retta tangente dovremmo conoscere un punto per cui passa e il suo coefficiente angolare.

La retta tangente passa per A(c ; f(c) )Ma chi è il suo coefficiente angolare ?

)( AtA xxmyy

Se la retta tangente si ottiene come posizione limite della secante al tendete di B ad A, cioè riducendo la distanza h, lo stesso vale per il coefficiente angolare:

Il coefficiente angolare della tangente si ottiene calcolando il limite del coefficiente angolare della secante per h che tende a zero.

h

cfhcfm

ht

)()(lim

0

Una funzione si dice derivabile in punto c del suo dominio se esiste il limite finito del rapporto incrementale della funzione nel puto c per h che tende a zero. Tale limite prende il nome di DERIVATA PRIMA della funzione nel punto c e si scrive

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

Significato geometrico: la derivata prima della funzione nel punto c è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto (c; f(c)).