TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Se una curva ha andamento crescente la retta tangente in un suo...
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TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Se una curva ha andamento crescente la retta tangente in un suo punto è diretta dal terzo al primo quadrante, quindi ha coefficiente angolare positivo
t
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Poiché il coefficiente angolare è la derivata della funzione, allora ne potremmo concludere che:se una funzione è crescente la sua derivata è positiva
t
)(' ot xfm
Xo
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Ciò non è sempre vero, però: la funzione int(x) è crescente su tutto il dominio ma ha derivata nulla, essendo a tratti costante
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Viceversa la funzione fraz(x) ha derivata sempre uguale a 1 ma non è crescente su tutto il dominio, essendo periodica
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Se si aggiunge l’ipotesi che f sia derivabile in un dato intervallo I, allora:• se la funzione è crescente in I allora la derivata è maggiore o uguale a zero in tale intervallo• se la funzione è decrescente in I allora la derivata è minore o uguale a zero in tale intervallo
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Viceversa:
• se la derivata è maggiore di zero in I allora la funzione è crescente in I
• se la derivata è minore di zero in I allora la funzione è decrescente in I
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Sia f crescente in I, Xo un punto di I e h un incremento positivio. Poiché:
Allora, per definizione di funzione crescente:
X0X0+h
oo xhx
)()( oo xfhxf
Dimostrazione
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISIPortando a primo membro
E, dividendo per h, numero positivo:
Passando al limite per h->0, per il teorema della permanenza del segno:
0)()( oo xfhxf
0)()(
h
xfhxf oo
0)()(
lim0
h
xfhxf oo
h
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISIPoiché f è derivabile in I allora questo limite è uguale alla derivata
E quindi:
cvd
)(')()(
lim0
ooo
hxf
h
xfhxf
0)(' oxf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISILa seconda parte si dimostra ripercorrendo al contrario i passaggi, salvo il fatto che il teorema della permanenza del segno, nella seconda parte, non prevede il segno =, quindi stavolta l’ipotesi deve essere:
E la conclusione:
0)(' oxf
)()( oo xfhxf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMAT
Pierre de Fermat
(1601-1665)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMAT
Definizione: si dice punto stazionario un punto in cui la derivata si annulla
Teorema: se Xo è un punto di estremo relativo e se f è derivabile in un intorno di Xo, allora Xo è un punto stazionario
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMAT
La cosa è abbastanza intuitiva: in un punto di massimo relativo la tangente è orizzontale, quindi il suo coefficiente angolare è nulloa b
tangente
curva
Punto di massimo relativo
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMATDimostrazioneSia f derivabile in [a,b]. Poiché f è crescente in [a,Xo], per quanto dimostrato prima su tale intervallo risulta:
a b
tangente
curva
Xo
0)(' xf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMATViceversa, nell’intervallo [Xo,b] la funzione è decrescente e quindi su tale intervallo:
a b
tangente
curva
Xo
0)(' xf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI FERMATPoiché il punto Xo appartiene a entrambi gli intervalli, in esso risulta contempo-raneamente
L’unico possibile valore di f’ è quindi 0
cvd
0)(' xf 0)(' xf
0)(' xf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Michel Rolle
(1652-1718)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Una curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontalea b
tangente
curva
Punto a tangente orizzontale
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TEOREMA DI ROLLE
Per rendere questo un teorema matematico è necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarlo
a b
tangente
curva
Punto a tangente orizzontale
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
• Senza salti = funzione continua• Senza spigoli = funzione derivabile• Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b)• Punto a tangente orizzontale: f’(c)=0
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLEQuindi:
Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]• continua su tale intervallo• derivabile salvo al più agli estremi• e sia f(a)=f(b)
Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che f’(c)=0
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLEDimostrazione
CASO 1: sia f una funzione costante
In tal caso il teorema è banale perché una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c è un punto qualsiasi dell’intervallo
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Caso f costante
a b
tangentecurva
Punti a tangente orizzontale:TUTTI!
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TEOREMA DI ROLLEDimostrazione
CASO 2: sia f non costante
Poiché la funzione è continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.
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TEOREMA DI ROLLE
Poiché la funzione non è costante massimo e minimo sono diversi (M≠m), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dell’intervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE Caso f non costante; qui per esempio il massimo cade all’interno dell’intervallo
a b
curva
M
F(a)=F(b)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Supponiamo che sia M a cadere all’interno dell’intervallo e che c sia la sua ascissa
f(c)=M
In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, è anche punto di massimo relativo
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Ma il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata è uguale a zero, quindi
f’(c)=0
CVD
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Il teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione può avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e non hanno punti stazionari
• y=fraz(x) [0,1]• y=|x| [-1,1]• y=x [0,1]
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e hanno punti stazionari
• y=D(x) [0,1]• y=|x2-1| [-2,2]• y=x2 [-1,2]
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI ROLLE
Questa non è derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non è richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle
Y=√(1-x2) [-1,1]
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Augustin LouisCauchy
(1789-1857)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Siano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b]• continue su tale intervallo• derivabili salvo al più agli estremi• e sia g(a)≠g(b), g’(x)≠0 Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHYDimostrazione
Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) così definita:
Dove K è una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle
)()()( xgKxfxF
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Poiché f e g sono continue e derivabili anche F lo è, quindi basta fare in modo che sia:
F(a)=F(b)Sostituendo:
)()()()( bgKbfagKaf
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TEOREMA DI CAUCHY
Con qualche calcolo si ricava il valore di K
)()(
)()(
agbg
afbfK
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Poiché con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno all’intervallo in cui risulta:
F’(c)=0
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TEOREMA DI CAUCHY
Ma poiché F è:
Derivando:
E uguagliando a zero:
)()()( xgKxfxF
)(')(')(' xgKxfxF
)(')('0 cgKcf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHYOvvero:
E ricordando che K è:
Sostituendo:
CVD
)('
)('
cg
cfK
)()(
)()(
agbg
afbfK
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI LAGRANGE
Giuseppe LuigiLagrange
(1736-1813)
Il teorema è un caso particolare di quello di Cauchy
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI LAGRANGE
Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]• continua su tale intervallo• derivabile salvo al più agli estremi
Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:
)(')()(
cfab
afbf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHYDimostrazione
Basta ricordare la formula di Cauchy
E prendere g(x) = x
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
TEOREMA DI CAUCHY
Infatti se g(x)=x allora:
E inserendo questi risultati nella formula:
CVD
aag )( 1)(' cgbbg )(
)(')()(
cfab
afbf
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico
a b
tangente
curva
corda
c
F(a)
F(b)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Infatti:
È il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dall’arco di curvaa b
tangente
curva
corda
c
F(a)
F(b)
A
C B
A(a,f(a)) B(b,f(b))
ab
afbf
)()(
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Mentre:
È il coefficiente angolare della tangente alla curva in C
a b
tangente
curva
corda
c
F(a)
F(b)
A
C B )(' cf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Il teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono uguali
a b
tangente
curva
corda
c
F(a)
F(b)
A
C B
)(')()(
cfab
afbf
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Ma se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele
a b
tangente
curva
corda
c
F(a)
F(b)
A
C B
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Quindi: in un arco di curva regolare c’è sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda sottesa all’arco
a b
tangente
curva
corda
c
F(a)
F(b)
A
C B