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UNIVERSITA' DELLA CALABRIA

Facolt di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

Tesi di Laurea

I TEOREMI FONDAMENTALI

DELL'ECONOMIA DEL BENESSERE

Relatore Candidato

Prof. Renato Guzzardi Angelo Fusaro

Matr.144826

Anno Accademico 2011 - 2012

1

Indice

Introduzione 1

1 Le preferenze del consumatore 31.1 L'insieme di consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Relazioni di preferenza sull'insieme di consumo . . . . . . . . . . . 51.3 La funzione di utilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Utilit cardinale e ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Le curve d'indierenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Propriet delle curve d'indierenza . . . . . . . . . . . . . 161.5.1.1 Le curve di indierenza hanno pendenza negativa 161.5.1.2 Le curve di indierenza non possono intersecarsi 171.5.1.3 Curve di indierenza pi lontane dall'origine cor-

rispondono a livelli di utilit maggiori . . . . . . 181.5.1.4 Le curve di indierenza hanno la convessit rivolta

verso l'origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Il saggio marginale di sostituzione . . . . . . . . . . . . . 191.5.3 L'utilit marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.4 Utilit marginale e SMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 La retta di bilancio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7 La scelta ottima del consumatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8 L'impresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 L'ordinamento delle preferenze sociali 332.1 Preferenze individuali e preferenze sociali: la costruzione di un

ordinamento sociale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 L'aggregazione delle preferenze individuali . . . . . . . . . . . . . 37

3 Il criterio di Pareto e il concetto di ecienza 413.1 Il criterio di Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 La nozione di ecienza o ottimo paretiano . . . . . . . . . . . . . 443.3 L'allocazione ottimale delle risorse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 L'ecienza nello scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2 L'ecienza nella produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

i

3.3.3 L'ecienza generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4 I limiti del criterio di Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.1 L'incoerenza con il principio delle libert minime e la neu-tralit rispetto alla distribuzione di ricchezza . . . . . . . . 68

3.4.2 L'ordinamento parziale delle preferenze e la tirannia dellostatus quo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Le funzioni del benessere sociale 704.1 Le funzioni del benessere sociale utilitaristiche . . . . . . . . . . . 714.2 La funzione di benessere sociale di Bernoulli - Nash . . . . . . . . 734.3 La funzione di benessere sociale di Rawls . . . . . . . . . . . . . . 754.4 La funzione di benessere sociale di Bergson-Samuelson . . . . . . 774.5 Confronto tra criterio di Pareto, FBS utilitaristica, FBS rawlsiana 78

5 I Teoremi fondamentali dell'Economia del Benessere 80

6 Il problema della disuguaglianza 886.1 Ordinamenti parziali di distribuzioni del reddito . . . . . . . . . . 88

6.1.1 Ordinamento di Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.1.2 Ordinamento alla Robin Hood . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 Ulteriori risultati su ordinamenti di Lorenz e Robin Hood . . . . . 956.2.1 Ordinamento di Lorenz generalizzato . . . . . . . . . . . . 96

6.3 Ordinamenti completi di distribuzioni del reddito . . . . . . . . . 986.3.1 Il coeciente di Gini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.2 L'indice di Atkinson-Kolm-Sen . . . . . . . . . . . . . . . . 101

ii

Elenco delle gure

1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

iii

3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

iv

Introduzione

Lo scopo di questa tesi quello di evidenziare come diversi aspetti dell'economiadel benessere possano essere trattati da un punto di vista matematico. L'aspettoessenziale che analizziamo in questa tesi il concetto di benessere. Il benessere uno stato psicosico derivante dal soddisfare i bisogni. In realt, si tratta diun concetto primitivo, cio dicile da denire a parole. E', comunque, evidentecome ciascun individuo cerchi di perseguire il proprio benessere e di massimizzarequest'ultimo nei limiti delle sue possibilt; altrettanto palese come, con code-sto proposito, ognuno si comporti in maniera abbastanza prevedibile. Proprio laprevedibilit nel comportamento degli individui nel voler ottimizzare il propriobenessere, permette, attraverso opportune semplicazioni ed ipotesi, di descrivereil concetto di benessere tramite un modello matematico. I concetti matematiciutilizzati in tale modello sono piuttosto semplici e rigurdano le relazioni d'ordinee d'equivalenza, oltre che alcune nozioni di calcolo dierenziale.

Nel primo capitolo si analizza il modo di prendere le decisioni da parte dei singolisoggetti economici, anche detti individui; per gli economisti gli individui si classi-cano in due grandi categorie: imprese e consumatori. Partendo da determinateipotesi fatte sugli individui, vengono introdotte le relazioni di preferenza e di indif-ferenza; si tratta di relazioni denite sulle combinazioni di beni di cui gli individuipossono disporre, a partire dalle quali gli individui stessi eettuano le loro deci-sioni. Un importante risultato, esposto nel primo capitolo, fornito dal Teoremadi rappresentazione di Debreu il quale, sotto opportune assunzioni, mostral'esistenza di una funzione, detta funzione di rappresentazione, capace di rappre-sentare il benessere individuale tramite numeri reali. Nel