Teoremi e Definizioni

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Matematica finanziaria unito sunto

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  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 1

    TEOREMI E DEFINIZIONI

    Siano due vettori di

    || + ||= < + ; + >

    = < , + > +< , + > = (< , > +< , >) + (< , > +< , >)

    =

    || + ||= ||||

    2+ 2 < , > +||||

    TEOREMA DI PITAGORA

    Siano

    , ,

    Allora

    || + ||2= ||||

    + ||||

    Siano , ,

    Allora la proiezione di su (proiezione ortogonale) lunico vettore tale che

    a) b) =

    Dimostrazione:

    < ; > =

    =

    < ; > = < , > < ; > =

    < , >

    =< , >

    < , >=< , >

    ||||

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 2

    =< , >

    ||||

    DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI CAUCHY-SCHWARZ

    = |< , >| = 0 = |||| ||||

    Supponiamo ora e sia

    Sia poi la proiezione di su con ( )

    =< , >

    |||| =

    Abbiamo difatti

    = ( ) +

    ( = ;< ; > = 0 < ; > = < ; > = 0)

    Il teorema di Pitagora mi dice che:

    ||||2= ||( ) + ||

    = || ||

    + ||||

    0

    E

    |||| ||||

    |||| ||||

    Ora

    |||| = |||| = || ||||

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 3

    Con

    =< , >

    ||||2

    Quindi

    |||| =| < , > |

    ||||2 |||| =

    | < , > |

    ||||

    E

    |||| |||| |||| |||| | < , > |

    Definizione: un sottoinsieme non vuoto di ( ) si dice sottospazio vettoriale se chiuso rispetto

    alla somma e moltiplicazione per uno scalare.

    , , , +

    Proposizione:

    Siano

    , , ( 1) vettori di , linsieme di tutte le loro combinazioni lineari un sottospazio vettoriale di

    che si indica con

    (, , ) = { | 1, , | = 1 + 2

    ++ }

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 4

    Definizione:

    Sia un sottospazio di e siano , , , si dice che il sistema {, , } genera se ogni

    vettore di combinazione lineare dei , , , cio

    = (, , )

    N.B: in tale caso = 1, ,

    Inoltre il sistema (, , ) anche chiamato sistema di generatori di

    Definizione: siano , , , ( 1) vettori di . Sono detti linearmente indipendenti se lunica

    combinazione lineare dei vettori , , , che risulta nel vettore ha tutti coefficienti nulli, cio:

    1 + 2

    ++ = 1 = 2 = = = 0

    In caso contrario si dice che sono linearmente dipendenti

    TEOREMA:

    Siano 1, , vettori di sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi combinazione lineare

    degli altri rimanenti.

    Se uno dei 1, , combinazione lineare di altri allora sono linearmente dipendenti

    Sia il vettore in questione, allora rimangono 1 vettori ed esistono ()=1

    reali tali che

    =

    =1

    Ovvero:

    =

    =1

    =

    =1

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 5

    Dove

    =

    = 1 0

    Abbiamo quindi trovato una combinazione lineare dei vettori 1, , che risulta nel vettore 0 e dove NON

    tutti i coefficienti valgono zero.

    ( 0): 1, ,

    Adesso supponiamo che una combinazione lineare di questi che risulta in e dove NON tutti i coefficienti

    valgono zero. Cio 1, , reali tali che:

    = 11 ++

    =

    =1

    E

    {1, , } . 0

    =

    =1

    0 quindi possiamo dividere per esso

    = 1

    =1

    =

    =1

    = = 1

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 6

    Definizione: sia un sottospazio vettoriale e siano 1, , , linsieme 1, , si dice base di

    se:

    1) = {1, , };

    2) I vettori 1, , sono linearmente indipendenti

    Teorema: supponiamo che {1, , } e {1, , } sono entrambe basi dello stesso sottospazio vettoriale

    . Allora =

    Tutte le basi di un sottospazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. Questo viene chiamato

    dimensione del sottospazio

    =

    Nota bene:

    =

    Dimostrazione (per contraddizione)

    Supponiamo , ad esempio <

    Abbiamo

    = (1, , )

    E

    , = 1, ,

    Quindi combinazione lineare degli altri vettori

    1, , 2, , , , tale che

    = 1,1 + 2,

    2 + + , = 1, ,

    Consideriamo una combinazione lineare di vettori:

    1, , che risulta in

    = 11 ++

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 7

    = 1 (,1

    =1

    ) ++ (,

    =1

    ) = (,

    =1

    ) = ( ,

    =1

    )

    =1

    =1

    I vettori {1, , } sono linearmente indipendenti

    Abbiamo:

    , = 0 = 1, ,

    =1

    Questo un sistema omogeneo di () equazioni e incognite 1 ed equivale a:

    {

    1,11 + 1,22 ++ 1, = 0

    2,11 + 2,22 ++ 2, = 0...

    ,11 + ,22 ++ , = 0

    Siam partiti con >

    Quindi ci sono infinite soluzioni che risolvono il sistema. In particolare ne ha almeno pi di una (quindi

    almeno due) e pertanto una soluzione NON banale (tutti = 0)

    Con questa soluzione: la famiglia {1, , } non linearmente indipendente ed una contraddizione

    poich avevamo ipotizzato che fosse una base.

    TEOREMA (ESISTENZA DI UNA BASE)

    Sia un sottospazio vettoriale. Esiste una base di e quindi .

    Dimostrazione:

    sottospazio vettoriale

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 8

    Sia ora 1 e supponiamo {}

    Allora (1)

    Se = (1) {1} = 1

    Se (1) , 2 \ (1) 1 2

    (1, 2)

    (1, 2) = (1, 2) = 2

    (1, 2) 3 ,3 \ (1, 2) {1, 2, 3 }

    Continuo

    La procedura finir poich non esistono + 1 vettori linearmente indipendenti in .

    N.B: per convenzione {} = 0

    TEOREMA:

    Sia (), invertibile se e solo se det 0. Allora

    1 =1

    det()

    Dimostrazione (chiesta di sicuro allesame ):

    1) Se invertibile, allora 1 () tale che:

    1 =

    det(1) = det() = 1

    Ma sappiamo anche che:

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 9

    det(1) = det det1

    det 0

    (e abbiamo det 1 =1

    det )

    2) det 0

    Sia =1

    det()

    = (),

    Con

    =1

    det = 1 ; = 1

    E sia

    =

    = ? ? ?

    Se riusciamo a dimostrare ci, avremo dimostrato il teorema.

    = (),

    Abbiamo

    =

    =1

    = 1, , ; = 1

    Se =

    =

    =1

    =det

    =1

    det

    =1

    =1

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 10

    = det

    =det

    det = 1

    Se

    =1

    det

    =1

    Sia la matrice ottenuta sostituendo la i-esima riga di alla j-esima

    =

    (

    11 1 111

    )

    E sia

    =

    (

    11 1 101

    0)

    () ()

    Sappiamo che

    det = det

    det = 0 det = 0

    Ma sviluppando secondo la j-esima riga

    det = = 0

    =1

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 11

    = 0

    =

    E

    =

    E

    = 1

    TEOREMA DI CRAMER

    Se det 0 (cio se invertibile), allora , il sistema (S) ammette ununica soluzione

    = (1, , )

    Questa soluzione data da

    = 1

    N.B: det 0 1

    Dimostrazione:

    Sia = 1

    abbiamo

    = (1) = (1)

    1 = 1 = =

    Quindi soluzione di =

    Perch questa soluzione unica?

    Siano due soluzioni del sistema (S)

    Ovvero

    =

    =

    1() = 1 1() = 1

    (1) = 1 (1) = 1

    = 1 = 1

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 12

    = = 1

    Ovvero la soluzione la stessa, coincide ed unica

    TEOREMA:

    {1, , }

    E

    {1, , }

    Hanno la stessa dimensione

    Definizione:

    Si dice rango di e si indica con () la dimensione di questi sottospazi e si noti che:

    () min(, )

    TEOREMA:

    dim({, , }) = dim({, , })

    Si chiama () questa dimensione e si noti che:

    () min(; )

    Dimostrazione:

    Sia = dim({, , })

    1, , ovvero esistono righe di linearmente indipendenti

    {, , } = {, , }

    Ogni riga , , combinazione lineare dei , ,

  • APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE E MATEMATICA FINANZIARIA A CURA DI LEVUN IGOR 13

    Cio

    = 11 + 12 ++ 1

    = 1 + 2 ++

    Con

    = (1, ,

    )

    Ma si noti anche che:

    = 11 + 12

    ++ 1

    = 1 + 2

    ++

    (

    ) =

    (

    11

    1) +

    (

    11

    2) +

    (

    1

    )

    Colonna

    = 1

    = (

    ) = (

    11

    1) +

    (

    12

    2) ++

    (

    1

    )

    Ogni colonna combinazione lineare dei vettori

    , ,

    dim({, , })

    dim({, , })