Moriconi - I Teoremi di Gödel

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Saggio di logica matematica, dalla rivista Linne di Ricerca della SWIF (Sito Web Italiano per la Filosofia)

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Linee di Ricerca

Enrico Moriconi

I TEOREMI DI GDEL

Versione 1.0

Linee di Ricerca

SWIF - Sito Web Italiano per la Filosofia Rivista elettronica di filosofia - Registrazione n. ISSN 1126-4780

Linee di Ricerca SWIF Coordinamento Editoriale: Gian Maria Greco Supervisione Tecnica: Fabrizio Martina Supervisione: Luciano Floridi Redazione: Eva Franchino, Federica Scali.

AUTORE Enrico Moriconi [[email protected]] ha studiato alla Scuola Normale Superiore di Pisa e si laureato con Francesco Barone nel 1973 con una tesi sulla Teoria della dimostrazione di D. Hilbert. Attualmente ordinario di Logica presso il Dipartimento di Filosofia di Pisa. Si occupa prevalentemente di Teoria della dimostrazione e Fondamenti della matematica. Su questi argomenti ha pubblicato vari saggi e volumi. Fra i pi recenti ricordiamo il volume Computabilit, Roma 2001 (in collaborazione con L. Bellotti e L. Tesconi) e i saggi "Filosofia della matematica" nel volume Filosofie delle scienze (a cura di N. Vassallo), Torino 2003, e On the Meaning of Hilbert's Consistency Problem (Paris, 1900), in Synthese 2003. La revisione editoriale di questo capitolo a cura di Gian Maria Greco.

LdR un e-book, inteso come numero speciale della rivista SWIF. edito da Luciano Floridi con il coordinamento editoriale di Gian Maria Greco e la supervisione tecnica di Fabrizio Martina. LdR - Linee di Ricerca il servizio di [email protected] finalizzato allaggiornamento filosofico. LdR un e-book in progress, in cui ciascun testo un capitolo autonomo. In esso l'autore o l'autrice, presupponendo solo un minimo di conoscenze di base, fornisce una visione panoramica e critica dei temi principali, dei problemi pi importanti, delle teorie pi significative e degli autori pi influenti, nell'ambito di una specifica area di ricerca della filosofia contemporanea attualmente in discussione e di notevole importanza. Il fine quello di fornire al pubblico italiano un'idea generale su quali sono gli argomenti di ricerca di maggior interesse nei vari settori della filosofia contemporanea oggi, con uno stile non-storico, accessibile ad un pubblico di filosofi non esperti nello specifico settore ma interessati ad essere aggiornati. Tutti i testi di Linee di Ricerca sono di propriet dei rispettivi autori. consentita la copia per uso esclusivamente personale. Sono consentite, inoltre, le citazioni a titolo di cronaca, studio, critica o recensione, purch accompagnate dall'idoneo riferimento bibliografico. Per ogni ulteriore uso del materiale presente nel sito, fatto divieto l'utilizzo senza il permesso del/degli autore/i. Per quanto non incluso nel testo qui sopra, si rimanda alle pi estese norme sui diritti dautore presenti sul sito [email protected], www.swif.it/biblioteca/info_copy.php. Per citare un testo di Linee di Ricerca si consiglia di utilizzare la seguente notazione: AUTORE, Titolo, in L. Floridi (a cura di), Linee di Ricerca, SWIF, 2006, ISSN 1126-4780, p. X, www.swif.it/biblioteca/lr.

SWIF Linee di Ricerca I TEOREMI DI GODEL

Enrico Moriconi Versione 1.0

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Introduzione

I teoremi di G odel costituiscono forse i pi` u importanti, e senzaltro i pi` u noti, risultati ottenuti nel campo di ricerca logico-matematico. Dopo una faticosa fase di ricezione, sono ormai da tempo diventati parte del senso comune anche in discipline non strettamente tecniche; oppure tecniche, ma non specicatamente logico-matematiche. Spesso se ne parla discutendone e valutandone le conseguenze per la logica, la matematica, i fondamenti della matematica, la losoa della matematica, la losoa della scienza, la losoa della mente, le scienze cognitive, . . . dando per scontato il processo dimostrativo che ne ` e stato alla base1 . Oppure capita che si forniscano dimostrazioni estremamente generali del teorema, al ne di individuare le condizioni che una teoria qualsiasi deve soddisfare per dimostrare i risultati g odeliani, con la conseguenza che si perde di vista lo specico percorso seguito da G odel, nel senso che fra queste dimostrazioni e quella originaria si pu` o stabilire una relazione analoga a quella esistente fra il teorema canto1

Si vedano ad esempio Cellucci [1998], Cellucci [2002] e Lolli [1992].

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riano della non-numerabilit` a del continuo e la dimostrazione di Liouville che permette di costruire eettivamente numeri trascendenti2 In queste pagine si intende invece cercare di ripercorrere il viaggio originario di G odel nella convizione che, senza assolutamente voler sminuire il grande rilievo di quelle generalizzazioni, esso mantenga una notevole freschezza teorica e un notevole interesse euristico. A questo ne, dopo un breve inquadramento storico, seguiremo i passi compiuti da Kurt G odel, per poi proporre qualche breve valutazione del signicato generale di quei teoremi3 .

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La preistoria

Capire e valutare il signicato dei risultati di incompletezza dellaritmetica, ottenuti da G odel nel corso del 1930, comunicati nel settembre di quello stesso anno al famoso Congresso di K onigsberg, e pubblicati nel 19314, richiede2`

E questa una tendenza iniziata probabilmente da S. C. Kleene in Kleene [1952]. Su questa stessa lunghezza donda si veda ad esempio la compatta e senzaltro ecace trattazione in Casari [1997]. Interessanti, a questo proposito, le osservazioni dello stesso G odel in una nota del 1965 quando, a proposito degli Equivalenti diofantei delle proposizioni indecidibili, diceva: Si noti che questo ragionamento pu` o essere trasferito in modo pienamente preciso a ogni sistema le cui formule abbiano un ben-denito signicato, purch e gli assiomi e le regole di inferenza siano corrette per questo signicato e nel sistema sia contenuta laritmetica. Si ottiene cos` una prova dellesistenza di proposizioni indecidibili in quel sistema, ma nessun particolare esempio di una proposizione indecidibile (G odel [1986], p.363).

Non ci occuperemo di molti dei dettagli pi` u tecnici. Per questultimi, e per molti risultati connessi con quelli g odeliani, rimandiamo alla trattazione in Bellotti et al. [2001] e alla bibliograa l` indicata. Uno sguardo generale sui risultati g odeliani lo si trova in Shanker [1991], mentre una raccolta di testi (in traduzione inglese e con utili introduzioni) connessi con la memoria g odeliana, nonch e questa stessa memoria, la si pu` o trovare in van Heijenoort [1967] 4 Ristampati in G odel [1986].

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che essi vengano inquadrati nel quadro teorico determinato dal programma fondazionale proposto da David Hilbert nel corso degli anni 20. 2.1 Noncontraddittoriet` a come garanzia dellesistenza

Schematicamente, possiamo distinguere tre fasi nella riessione hilbertiana. La prima ` e legata alla natura dellassiomatica formale, o esistenziale, da lui proposta con le Grundlagen der Geometrie del 1899. A dierenza della assiomatica classica, euclidea, qui non si procede dichiarando anticipatamente che cosa siano gli enti di cui la teoria si occupa: la natura di questi risulta infatti determinata proprio dalla formulazione, per lappunto fatta dagli assiomi, dei rapporti che valgono fra quegli enti. Questo signica che non c` e pi` u alcun modello privilegiato della teoria e che il nesso che lega assiomi e teoremi ` e precisamente il nesso di conseguenza logica : di qualsiasi sistema di oggetti siano veri gli assiomi, di esso saranno veri anche i teoremi. Che cosa siano punti, rette e piani, che cosa signichi giacere su, ecc. ` e qualcosa che risulta denito implicitamente dagli assiomi. Chi obiett` o contro questa impostazione fu Gottlob Frege che ebbe un breve, ma epistemologicamente molto importante, scambio epistolare con Hilbert tra la ne dell800 e linizio del 900. Il punto sottolineato da Frege era che gli enunciati adottati come assiomi non potevano svolgere sia il ruolo di assiomi sia quello di denizioni. Un assioma, infatti, deve essere un enunciato, cio` e unespressione suscettibile di ricevere un valore di verit` a (e in particolare deve essere un enunciato vero), ma questo richiede (per la composizionalit` a) che sia conosciuto il signicato di tutte le sue parti. Cosa impossibile se in esso compaiono termini il cui signicato non ` e gi` a noto. Daltra parte, se quei termini gi` a possiedono

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un signicato, indipendentemente e precedentemente al loro comparire negli enunciati proposti come assiomi, allora che senso ha attribuire a questultimi anche il ruolo di denizioni? A ci` o Frege aggiungeva che per lui cera un solo modo di provare la noncontraddittoriet` a di un sistema di assiomi: esibirne un modello. Hilbert rispose in maniera molto netta a queste osservazioni. Ribadita la concezione ipotetico-deduttiva dellassiomatica, sottolinea poi che Se assiomi arbitrariamente stabiliti non sono in contraddizione con tutte le loro conseguenze, allora essi sono veri, allora esistono gli enti deniti per mezzo di quegli assiomi. Questo ` e per me il criterio della verit` a e dellesistenza.5 Viene qui stabilita lequazione fra esistenza e noncontraddittoriet` a che caratterizza questa prima fase dellindagine hilbertiana: lassunzione da cui prende le mosse lassiomatizzazione della geometria (Siano dati tre sistemi di enti, il primo lo chiamiamo il sistema dei punti e per essi usiamo le lettere x, y, z, . . .) verr` a per cos` dire scaricata da una prova di noncontraddittoriet` a, la quale dimostra che il sistema degli assiomi ` e un sistema di pensieri possibile, cio` e che ne esiste almeno un modello (anche se, va detto, non necessariamente quello inteso)6 .5 6

Risposta di Hilbert a Frege del 29/12/1899, tradotta in Frege [1965], pag. 464. Su questi temi si possono vedere i miei Moriconi