TEOREMI CLASSICI DELLANALISISe una curva ha andamento crescente la retta tangente in un suo punto diretta dal terzo al primo quadrante, quindi ha coefficiente angolare positivot

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIPoich il coefficiente angolare la derivata della funzione, allora ne potremmo concludere che:se una funzione crescente la sua derivata positivatXo

TEOREMI CLASSICI DELLANALISICi non sempre vero, per: la funzione int(x) crescente su tutto il dominio ma ha derivata nulla, essendo a tratti costante

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIViceversa la funzione fraz(x) ha derivata sempre uguale a 1 ma non crescente su tutto il dominio, essendo periodica

TEOREMI CLASSICI DELLANALISISe si aggiunge lipotesi che f sia derivabile in un dato intervallo I, allora: se la funzione crescente in I allora la derivata maggiore o uguale a zero in tale intervallo se la funzione decrescente in I allora la derivata minore o uguale a zero in tale intervallo

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIViceversa:

se la derivata maggiore di zero in I allora la funzione crescente in I

se la derivata minore di zero in I allora la funzione decrescente in I

TEOREMI CLASSICI DELLANALISISia f crescente in I, Xo un punto di I e h un incremento positivio. Poich:

Allora, per definizione di funzione crescente:X0X0+hDimostrazione

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIPortando a primo membro

E, dividendo per h, numero positivo:

Passando al limite per h->0, per il teorema della permanenza del segno:

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIPoich f derivabile in I allora questo limite uguale alla derivata

E quindi:

cvd

TEOREMI CLASSICI DELLANALISILa seconda parte si dimostra ripercorrendo al contrario i passaggi, salvo il fatto che il teorema della permanenza del segno, nella seconda parte, non prevede il segno =, quindi stavolta lipotesi deve essere:

E la conclusione:

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATPierre de Fermat

(1601-1665)

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATDefinizione: si dice punto stazionario un punto in cui la derivata si annulla

Teorema: se Xo un punto di estremo relativo e se f derivabile in un intorno di Xo, allora Xo un punto stazionario

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATLa cosa abbastanza intuitiva: in un punto di massimo relativo la tangente orizzontale, quindi il suo coefficiente angolare nulloabtangentecurvaPunto di massimo relativo

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATDimostrazioneSia f derivabile in [a,b]. Poich f crescente in [a,Xo], per quanto dimostrato prima su tale intervallo risulta:abtangentecurvaXo

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATViceversa, nellintervallo [Xo,b] la funzione decrescente e quindi su tale intervallo:abtangentecurvaXo

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATPoich il punto Xo appartiene a entrambi gli intervalli, in esso risulta contempo-raneamente

Lunico possibile valore di f quindi 0

cvd

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEMichel Rolle

(1652-1718)

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEUna curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontaleabtangentecurvaPunto a tangente orizzontale

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEPer rendere questo un teorema matematico necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarloabtangentecurvaPunto a tangente orizzontale

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLE Senza salti = funzione continua Senza spigoli = funzione derivabile Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b) Punto a tangente orizzontale: f(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEQuindi:

Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al pi agli estremi e sia f(a)=f(b)

Allora esiste un punto c interno allintervallo [a,b] tale che f(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEDimostrazione

CASO 1: sia f una funzione costante

In tal caso il teorema banale perch una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c un punto qualsiasi dellintervallo

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLECaso f costanteabtangentecurvaPunti a tangente orizzontale:TUTTI!

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEDimostrazione

CASO 2: sia f non costante

Poich la funzione continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEPoich la funzione non costante massimo e minimo sono diversi (Mm), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dellintervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLECaso f non costante; qui per esempio il massimo cade allinterno dellintervalloabcurvaMF(a)=F(b)

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLESupponiamo che sia M a cadere allinterno dellintervallo e che c sia la sua ascissaf(c)=M

In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, anche punto di massimo relativo

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEMa il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata uguale a zero, quindi

f(c)=0

CVD

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEIl teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione pu avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEQueste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale?) e non hanno punti stazionari

y=fraz(x) [0,1] y=|x| [-1,1] y=x [0,1]

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEQueste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale?) e hanno punti stazionari

y=D(x) [0,1] y=|x2-1|[-2,2] y=x2 [-1,2]

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEQuesta non derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle

Y=(1-x2)[-1,1]

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYAugustin LouisCauchy

(1789-1857)

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYSiano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b] continue su tale intervallo derivabili salvo al pi agli estremi e sia g(a)g(b), g(x)0 Allora esiste un punto c interno allintervallo [a,b] tale che:

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYDimostrazione

Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) cos definita:

Dove K una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYPoich f e g sono continue e derivabili anche F lo , quindi basta fare in modo che sia:F(a)=F(b)Sostituendo:

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYCon qualche calcolo si ricava il valore di K

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYPoich con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno allintervallo in cui risulta:

F(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYMa poich F :

Derivando:

E uguagliando a zero:

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYOvvero:

E ricordando che K :

Sostituendo:

CVD

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI LAGRANGEGiuseppe LuigiLagrange

(1736-1813)

Il teorema un caso particolare di quello di Cauchy

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI LAGRANGESia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al pi agli estremi

Allora esiste un punto c interno allintervallo [a,b] tale che:

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYDimostrazione

Basta ricordare la formula di Cauchy

E prendere g(x) = x

TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYInfatti se g(x)=x allora:

E inserendo questi risultati nella formula:

CVD

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIIl teorema di Lagrange ha un evidente significato geometricoabtangentecurvacordacF(a)F(b)

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIInfatti:

il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dallarco di curvaabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACBA(a,f(a)) B(b,f(b))

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIMentre:

il coefficiente angolare della tangente alla curva in CabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACB

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIIl teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono ugualiabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACB

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIMa se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono paralleleabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACB

TEOREMI CLASSICI DELLANALISIQuindi: in un arco di curva regolare c sempre un punto in cui la tangente parallela alla corda sottesa allarcoabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACB