TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

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TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI. Se una curva ha andamento crescente la retta tangente in un suo punto è diretta dal terzo al primo quadrante, quindi ha coefficiente angolare positivo. t. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI. - PowerPoint PPT Presentation

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  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISISe una curva ha andamento crescente la retta tangente in un suo punto diretta dal terzo al primo quadrante, quindi ha coefficiente angolare positivot

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIPoich il coefficiente angolare la derivata della funzione, allora ne potremmo concludere che:se una funzione crescente la sua derivata positivatXo

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISICi non sempre vero, per: la funzione int(x) crescente su tutto il dominio ma ha derivata nulla, essendo a tratti costante

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIViceversa la funzione fraz(x) ha derivata sempre uguale a 1 ma non crescente su tutto il dominio, essendo periodica

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISISe si aggiunge lipotesi che f sia derivabile in un dato intervallo I, allora: se la funzione crescente in I allora la derivata maggiore o uguale a zero in tale intervallo se la funzione decrescente in I allora la derivata minore o uguale a zero in tale intervallo

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIViceversa:

    se la derivata maggiore di zero in I allora la funzione crescente in I

    se la derivata minore di zero in I allora la funzione decrescente in I

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISISia f crescente in I, Xo un punto di I e h un incremento positivio. Poich:

    Allora, per definizione di funzione crescente:X0X0+hDimostrazione

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIPortando a primo membro

    E, dividendo per h, numero positivo:

    Passando al limite per h->0, per il teorema della permanenza del segno:

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIPoich f derivabile in I allora questo limite uguale alla derivata

    E quindi:

    cvd

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISILa seconda parte si dimostra ripercorrendo al contrario i passaggi, salvo il fatto che il teorema della permanenza del segno, nella seconda parte, non prevede il segno =, quindi stavolta lipotesi deve essere:

    E la conclusione:

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATPierre de Fermat

    (1601-1665)

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATDefinizione: si dice punto stazionario un punto in cui la derivata si annulla

    Teorema: se Xo un punto di estremo relativo e se f derivabile in un intorno di Xo, allora Xo un punto stazionario

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATLa cosa abbastanza intuitiva: in un punto di massimo relativo la tangente orizzontale, quindi il suo coefficiente angolare nulloabtangentecurvaPunto di massimo relativo

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATDimostrazioneSia f derivabile in [a,b]. Poich f crescente in [a,Xo], per quanto dimostrato prima su tale intervallo risulta:abtangentecurvaXo

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATViceversa, nellintervallo [Xo,b] la funzione decrescente e quindi su tale intervallo:abtangentecurvaXo

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI FERMATPoich il punto Xo appartiene a entrambi gli intervalli, in esso risulta contempo-raneamente

    Lunico possibile valore di f quindi 0

    cvd

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEMichel Rolle

    (1652-1718)

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEUna curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontaleabtangentecurvaPunto a tangente orizzontale

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEPer rendere questo un teorema matematico necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarloabtangentecurvaPunto a tangente orizzontale

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLE Senza salti = funzione continua Senza spigoli = funzione derivabile Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b) Punto a tangente orizzontale: f(c)=0

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEQuindi:

    Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al pi agli estremi e sia f(a)=f(b)

    Allora esiste un punto c interno allintervallo [a,b] tale che f(c)=0

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEDimostrazione

    CASO 1: sia f una funzione costante

    In tal caso il teorema banale perch una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c un punto qualsiasi dellintervallo

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLECaso f costanteabtangentecurvaPunti a tangente orizzontale:TUTTI!

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEDimostrazione

    CASO 2: sia f non costante

    Poich la funzione continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEPoich la funzione non costante massimo e minimo sono diversi (Mm), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dellintervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLECaso f non costante; qui per esempio il massimo cade allinterno dellintervalloabcurvaMF(a)=F(b)

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLESupponiamo che sia M a cadere allinterno dellintervallo e che c sia la sua ascissaf(c)=M

    In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, anche punto di massimo relativo

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEMa il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata uguale a zero, quindi

    f(c)=0

    CVD

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEIl teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione pu avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEQueste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale?) e non hanno punti stazionari

    y=fraz(x) [0,1] y=|x| [-1,1] y=x [0,1]

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEQueste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale?) e hanno punti stazionari

    y=D(x) [0,1] y=|x2-1|[-2,2] y=x2 [-1,2]

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI ROLLEQuesta non derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle

    Y=(1-x2)[-1,1]

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYAugustin LouisCauchy

    (1789-1857)

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYSiano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b] continue su tale intervallo derivabili salvo al pi agli estremi e sia g(a)g(b), g(x)0 Allora esiste un punto c interno allintervallo [a,b] tale che:

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYDimostrazione

    Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) cos definita:

    Dove K una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYPoich f e g sono continue e derivabili anche F lo , quindi basta fare in modo che sia:F(a)=F(b)Sostituendo:

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYCon qualche calcolo si ricava il valore di K

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYPoich con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno allintervallo in cui risulta:

    F(c)=0

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYMa poich F :

    Derivando:

    E uguagliando a zero:

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYOvvero:

    E ricordando che K :

    Sostituendo:

    CVD

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI LAGRANGEGiuseppe LuigiLagrange

    (1736-1813)

    Il teorema un caso particolare di quello di Cauchy

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI LAGRANGESia f definita su un intervallo chiuso [a,b] continua su tale intervallo derivabile salvo al pi agli estremi

    Allora esiste un punto c interno allintervallo [a,b] tale che:

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYDimostrazione

    Basta ricordare la formula di Cauchy

    E prendere g(x) = x

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISITEOREMA DI CAUCHYInfatti se g(x)=x allora:

    E inserendo questi risultati nella formula:

    CVD

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIIl teorema di Lagrange ha un evidente significato geometricoabtangentecurvacordacF(a)F(b)

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIInfatti:

    il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dallarco di curvaabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACBA(a,f(a)) B(b,f(b))

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIMentre:

    il coefficiente angolare della tangente alla curva in CabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACB

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIIl teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono ugualiabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACB

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIMa se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono paralleleabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACB

  • TEOREMI CLASSICI DELLANALISIQuindi: in un arco di curva regolare c sempre un punto in cui la tangente parallela alla corda sottesa allarcoabtangentecurvacordacF(a)F(b)ACB