TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

Se una curva ha andamento crescente la retta tangente in un suo punto è diretta dal terzo al primo quadrante, quindi ha coefficiente angolare positivo

t


Poiché il coefficiente angolare è la derivata della funzione, allora ne potremmo concludere che:se una funzione è crescente la sua derivata è positiva

t

)(' ot xfm

Xo


Ciò non è sempre vero, però: la funzione int(x) è crescente su tutto il dominio ma ha derivata nulla, essendo a tratti costante


Viceversa la funzione fraz(x) ha derivata sempre uguale a 1 ma non è crescente su tutto il dominio, essendo periodica


Se si aggiunge l’ipotesi che f sia derivabile in un dato intervallo I, allora:• se la funzione è crescente in I allora la derivata è maggiore o uguale a zero in tale intervallo• se la funzione è decrescente in I allora la derivata è minore o uguale a zero in tale intervallo


Viceversa:

• se la derivata è maggiore di zero in I allora la funzione è crescente in I

• se la derivata è minore di zero in I allora la funzione è decrescente in I


Sia f crescente in I, Xo un punto di I e h un incremento positivio. Poiché:

Allora, per definizione di funzione crescente:

X0X0+h

oo xhx

)()( oo xfhxf

Dimostrazione

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISIPortando a primo membro

E, dividendo per h, numero positivo:

Passando al limite per h->0, per il teorema della permanenza del segno:

0)()( oo xfhxf

0)()(

h

xfhxf oo

0)()(lim0

hxfhxf oo

h

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISIPoiché f è derivabile in I allora questo limite è uguale alla derivata

E quindi:

cvd

)(')()(lim0

ooo

hxf

hxfhxf

0)(' oxf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISILa seconda parte si dimostra ripercorrendo al contrario i passaggi, salvo il fatto che il teorema della permanenza del segno, nella seconda parte, non prevede il segno =, quindi stavolta l’ipotesi deve essere:

E la conclusione:0)(' oxf

)()( oo xfhxf


TEOREMA DI FERMAT

Pierre de Fermat

(1601-1665)


TEOREMA DI FERMATDefinizione: si dice punto stazionario un punto in cui la derivata si annulla

Teorema: se Xo è un punto di estremo relativo e se f è derivabile in un intorno di Xo, allora Xo è un punto stazionario


TEOREMA DI FERMAT

La cosa è abbastanza intuitiva: in un punto di massimo relativo la tangente è orizzontale, quindi il suo coefficiente angolare è nulloa b

tangente

curva

Punto di massimo relativo


TEOREMA DI FERMATDimostrazioneSia f derivabile in [a,b]. Poiché f è crescente in [a,Xo], per quanto dimostrato prima su tale intervallo risulta:

a b

tangente

curva

Xo

0)(' xf


TEOREMA DI FERMATViceversa, nell’intervallo [Xo,b] la funzione è decrescente e quindi su tale intervallo:

a b

tangente

curva

Xo

0)(' xf


TEOREMA DI FERMATPoiché il punto Xo appartiene a entrambi gli intervalli, in esso risulta contempo-raneamente

L’unico possibile valore di f’ è quindi 0

cvd

0)(' xf 0)(' xf

0)(' xf


TEOREMA DI ROLLEMichel Rolle

(1652-1718)


TEOREMA DI ROLLE

Una curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontalea b

tangente

curva

Punto a tangente orizzontale


TEOREMA DI ROLLE

Per rendere questo un teorema matematico è necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarlo

a b

tangente

curva

Punto a tangente orizzontale


TEOREMA DI ROLLE• Senza salti = funzione continua• Senza spigoli = funzione derivabile• Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b)• Punto a tangente orizzontale: f’(c)=0


TEOREMA DI ROLLEQuindi:

Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]• continua su tale intervallo• derivabile salvo al più agli estremi• e sia f(a)=f(b)

Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che f’(c)=0


TEOREMA DI ROLLEDimostrazione

CASO 1: sia f una funzione costante

In tal caso il teorema è banale perché una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c è un punto qualsiasi dell’intervallo


TEOREMA DI ROLLE

Caso f costante

a b

tangentecurva

Punti a tangente orizzontale:TUTTI!


TEOREMA DI ROLLEDimostrazione

CASO 2: sia f non costante

Poiché la funzione è continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.


TEOREMA DI ROLLE

Poiché la funzione non è costante massimo e minimo sono diversi (M≠m), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dell’intervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)


TEOREMA DI ROLLE Caso f non costante; qui per esempio il massimo cade all’interno dell’intervallo

a b

curva

M

F(a)=F(b)


TEOREMA DI ROLLE

Supponiamo che sia M a cadere all’interno dell’intervallo e che c sia la sua ascissa

f(c)=M

In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, è anche punto di massimo relativo


TEOREMA DI ROLLE

Ma il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata è uguale a zero, quindi

f’(c)=0

CVD


TEOREMA DI ROLLE

Il teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione può avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi


TEOREMA DI ROLLE

Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e non hanno punti stazionari

• y=fraz(x) [0,1]• y=|x| [-1,1]• y=x [0,1]


TEOREMA DI ROLLE

Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e hanno punti stazionari

• y=D(x) [0,1]• y=|x2-1| [-2,2]• y=x2 [-1,2]


TEOREMA DI ROLLE

Questa non è derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non è richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle

Y=√(1-x2) [-1,1]


TEOREMA DI CAUCHY

Augustin LouisCauchy

(1789-1857)


TEOREMA DI CAUCHYSiano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b]• continue su tale intervallo• derivabili salvo al più agli estremi• e sia g(a)≠g(b), g’(x)≠0 Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

)(')('

)()()()(

cgcf

agbgafbf


TEOREMA DI CAUCHYDimostrazione

Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) così definita:

Dove K è una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle

)()()( xgKxfxF


TEOREMA DI CAUCHY

Poiché f e g sono continue e derivabili anche F lo è, quindi basta fare in modo che sia:

F(a)=F(b)Sostituendo:

)()()()( bgKbfagKaf


TEOREMA DI CAUCHY

Con qualche calcolo si ricava il valore di K

)()()()(agbgafbfK


TEOREMA DI CAUCHY

Poiché con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno all’intervallo in cui risulta:

F’(c)=0


TEOREMA DI CAUCHY

Ma poiché F è:

Derivando:

E uguagliando a zero:

)()()( xgKxfxF

)(')(')(' xgKxfxF

)(')('0 cgKcf


TEOREMA DI CAUCHYOvvero:

E ricordando che K è:

Sostituendo:

CVD

)(')('cgcfK

)()()()(agbgafbfK

)(')('

)()()()(

cgcf

agbgafbf


TEOREMA DI LAGRANGE

Giuseppe LuigiLagrange

(1736-1813)

Il teorema è un caso particolare di quello di Cauchy


TEOREMA DI LAGRANGE

Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]• continua su tale intervallo• derivabile salvo al più agli estremi

Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

)(')()( cfabafbf


TEOREMA DI CAUCHYDimostrazione

Basta ricordare la formula di Cauchy

E prendere g(x) = x

)(')('

)()()()(

cgcf

agbgafbf


TEOREMA DI CAUCHYInfatti se g(x)=x allora:

E inserendo questi risultati nella formula:

CVD

aag )( 1)(' cgbbg )(

)(')()( cfabafbf

)(')('

)()()()(

cgcf

agbgafbf


Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)


Infatti:

È il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dall’arco di curvaa b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B

A(a,f(a)) B(b,f(b))

abafbf

)()(


Mentre:

È il coefficiente angolare della tangente alla curva in C

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B )(' cf


Il teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono uguali

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B

)(')()( cfabafbf


Ma se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B


Quindi: in un arco di curva regolare c’è sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda sottesa all’arco

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B

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