Probabilità: teoremi e distribuzioni

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  • Probabilit: teoremi e distribuzioni

  • La teoria della probabilit applicabile a tutti quelle situazioni in cui lesito/evento di una prova/esperimento aleatorio non certo o determinabile con sicurezza in anticipo, ma si verifica con una certa probabilit.

    Non si sicuri dellesito dellesperimento

    Levento pu verificarsi con una certa probabilit

    Incertezza su quale evento si verificher

    Esempio LOTTERIA

  • Evento, Prova e Probabilit

    EVENTO: uno dei possibili risultati di una PROVA

    PROVA: Ogni esperimento soggetto ad incertezza che genera risultati e produce conoscenza. Consiste nella descrizione di una serie di azioni da compiere o di fatti da osservare

    PROBABILITA: un numero associato al verificarsi di un evento

  • Linsieme di tutti i possibili eventi costituisce lo SPAZIO CAMPIONARIO.

    EVENTI SEMPLICI EVENTI COMPLESSI

    Singoli risultati di un

    esperimento/evento casuale

    Insieme di due o pi eventi

    semplici

    Probabilit che da un mazzo di carte esca

    lasso di fiori

    Probabilit che da un mazzo di carte esca una carta di cuori

  • Probabilit come un indice di quanto avverabile un certo evento

    Probabilit di successo = il verificarsi di un evento favorevole; P(A)

    Probabilit di insuccesso = il verificarsi di un evento non favorevole; P(nonA)

  • Levento A uno dei possibili risultati di un evento

    Faccia 5 di un dado

    Se si verifica un evento diverso da quello da noi scelto parliamo di EVENTO CONTRARIO o nonA

    Faccia 6 dello stesso dado

    P(A)

    P(nonA)

    P(A) P(nonA)

    Il loro insieme costituisce tutti i possibili esiti della prova

    1 La somma delle probabilit di

    tutti gli eventi possibili 1

    PROBABILITA

    DELLEVENTO CERTO

  • ASSIOMI FONDAMENTALI

    LA PROBABILITA CHE UN EVENTO CASUALE SI VERIFICHI E SEMPRE COMPRESA TRA 0 E 1

    P(A) + P(nonA) = 1: ci significa che i due eventi sono COMPLEMENTARI ed esauriscono lintero spazio campionario

  • EVENTI INDIPENDENTI vs DIPENDENTI

    Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi delluno non influenza il verificarsi dellaltro

    Due eventi A e B si dicono mutualmente escludentisi se il verificarsi delluno non consente il verificarsi dellaltro

    EVENTI MUTUALMENTE ESCLUDENTISI

  • Definizioni del concetto di probabilit

    Ipotesi frequentista

    Ipotesi classica

    Ipotesi soggettiva

  • IPOTESI CLASSICA

    - Dato un esperimento ben specificato - Dato un evento E, - detto m il numero dei possibili risultati che danno

    luogo allevento E - Detto n il numero di tutti i possibili risultati

    dellesperimento, purch tutti gli n risultati siano ugualmente possibili

    LA PROBABILITA DELLEVENTO E E DATA DAL

    RAPPORTO TRA m/n

    LANCIO MONETA

    Uscita della TESTA

    TESTA o CROCE

    TESTA o CROCE

  • IPOTESI CLASSICA

    La probabilit che si verifichi un evento data dal rapporto tra i casi favorevoli e quelli ugualmente possibili

    La probabilit di ottenere il numero 5 dal lancio di un dado

    1 (caso/evento favorevole) 6 (casi/eventi possibili)

    Per definire la probabilit necessario presupporre che gli esiti siano tutti

    UGUALMENTE POSSIBILI!!!!!!!

  • IPOTESI FREQUENTISTA

    La probabilit che si verifichi un certo evento uguale alla frequenza relativa con cui levento si verifica in un numero di prove sufficientemente grande, ripetute nelle medesime condizioni.

    Probabilit del

    verificarsi

    dellevento A

    Numero di

    prove molto

    grande

    prove

    Frequenza con

    cui si verifica

    levento A nelle

    n prove

  • CARATTERISTICA PRINCIPALE

    Permette di conoscere la probabilit di un evento solo dopo aver effettuato un numero di prove (A Posteriori)

    GLI EVENTI DEVONO ESSERE RIPETIBILI, cio ripetuti nelle stesse condizioni

  • Un evento favorevole pu essere definito da pi eventi distinti A e B allinterno dello spazio campionario.

    Il verificarsi di quello evento presuppone il verificarsi di ognuno dei singoli eventi (A o B)

    EVENTI DISGIUNTI

    SIGNIFICA ANDARE A SOMMARE LA PROBABILITA

    CHE OGNUNO DEI SINGOLI EVENTI DISGIUNTI SI

    VERIFICHINO

  • PRINCIPIO DELLA SOMMA o principio delle probabilit totali

    La probabilit che si verifichino due eventi mutualmente escludentisi data dalla SOMMA delle probabilit del verificarsi dei singoli eventi

    Prova: lanciare due volte una moneta

    Evento : ottenere TESTA al primo lancio

    Testa - Testa

    Testa - Croce

    1/4 1/4

    P(A o B) = + =

    A B

  • Croce - Testa

    Croce - Croce

    prova: lanciare due volte una moneta

    Evento : ottenere almeno una CROCE nei due lanci

    Testa - Testa

    Testa - Croce

    A

    B

    C

    D

    1/4

    1/4

    1/4

    1/4

    P(A o B o C o D)

    = + + =

  • e quando i due eventi sono NON mutualmente escludentisi?

  • Quando due eventi Indipendente si verificano congiuntamente ed il verificarsi delluno NON MODIFICA la probabilit del verificarsi dellaltro

    REGOLA DEL PRODOTTO PER EVENTI CONGIUNTI

  • PRINCIPIO DEL PRODOTTO o delle probabilit composte

    La probabilit del verificarsi degli eventi indipendenti A e B, ordinatamente in s prove, data dal prodotto delle probabilit relative al verificarsi dei singoli eventi considerati:

    Numero 4 sul dado rosso A

    1/6

    prova: lanciare due dadi: uno rosso ed uno nero

    Numero 5 sul dado nero B 1/6

    P(A e B) = 1/6 x

    1/6 = 1/36

  • e cosa accade quando gli eventi sono dipendenti?

    Gli eventi si definiscono DIPENDENTI quando il verificarsi delluno MODIFICA la probabilit del verificarsi dellaltro evento

    SI RIDUCE LO SPAZIO CAMPIONARIO

    una situazione tipica delle estrazioni senza reinserimento

  • Cosa accade quando gli eventi sono dipendenti?

    La probabilit del verificarsi di una certa successione di eventi semplici dipendenti E1, E2, En, data dal prodotto della probabilit del verificarsi di E1, per la probabilit di E2 subordinata al verificarsi di E1 e cos via

    prova: gioco del poker con mazzo di 32 carte

    Evento: fare poker dassi in una mano di cinque carte

    Asso di quadri

    Asso di fiori

    Asso di picche Asso di cuori E4 E1

    E2

    E3

    1/29 1/32

    1/31

    1/30

    Una delle restanti carte

    E5 28/28

  • Esempi

    Eventi: somma delle facce di due dadi 2 Eventi indipendenti

    Faccia 1 sul dado 1 E1

    E2

    1/6

    Faccia 1 sul dado 2 1/6

    APPLICAZIONE DEL PRINCIPIO DEL PRODOTTO

  • Eventi: somma delle facce di due dadi 3

    Eventi mutualmente escludentisi

    Faccia 1 sul dado 1 E1

    Faccia 2 sul dado1

    E2

    1/6

    Faccia 2 sul dado 2 1/6

    E3 1/6

    Faccia 1 sul dado2 E4 1/6

    APPLICAZIONE DEL PRINCIPIO DEL PRODOTTO E DELLA SOMMA

  • Cenni dellAnalisi combinatoria

    Si dicono COMBINAZIONI di n oggetti a r a r tutte le possibili r-ple che si costruiscono con gli n oggetti senza tener conto dellordine degli oggetti.

    Le r-ple differiscono tra loro per almeno un elemento

    COMBINAZIONI

    Immaginiamo di avere 4 stimoli A, B, C e D Ampiezza r=2

    Gruppi: AB AC AD BC BD CD

    Numero degli stimoli

    Ampiezza dei gruppi

  • n Fattoriale: Prodotto di tutti i

    numeri interi della serie

    naturale fino ad n

    (n-r) Fattoriale: Prodotto di tutti

    i numeri interi della serie

    naturale fino ad n - r

    n=4 n! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

    Immaginiamo di avere 4 stimoli A, B, C e D Ampiezza r=2

    Gruppi: AB AC AD BC BD CD

  • Dato un insieme di n oggetti, si dice PERMUTAZIONE ogni serie ordinata/sottoinsieme degli n oggetti presi n a n.

    PERMUTAZIONI

    Immaginiamo di avere 4 stimoli A, B, C e D

    CI DICE IN QUANTI MODI POSSIAMO DISPORRE

    IN ORDINE n OGGETTI

    Numero degli elementi

    che dobbiamo

    moltiplicare

  • Si dicono DISPOSIZIONI di n oggetti a r a r tutte le possibili r-ple che si possono formare con gli n oggetti in modo tale che differiscano per lordine in cui sono gli oggetti

    DISPOSIZIONI

    Immaginiamo di avere 4 stimoli A, B, C, D e E Ampiezza r=2

    Ogni disposizione distinta dalle altre sia per gli elementi presenti sia per lordine degli elementi allinterno

  • Le distribuzioni di probabilit

    E-mail: [email protected]

    Ricevimento: Luned 11:00 12:00

    Materiale didattico su: http://www.psicometria.unich.it

    mailto:[email protected]

  • Che cosa una VARIABILE CASUALE?

    Qualsiasi caratteristica misurabile denominata variabile. Se una variabile pu assumere numerosi valori tali che qualsiasi risultato determinato dal caso, essa nota come variabile casuale

    Una VARIABILE CASUALE/UNIVARIATA definita come una regola che associa ad ogni evento un unico numero reale

    Variabile casuale discreta quella che pu assumere tutti i possibili

    valori in un dato intervallo di numeri reali, in un insieme finito e

    numerabile

    Variabile casuale continua quella che pu assumere tutti i

    possibili valori in un dato intervallo di numeri reali

  • Ad ogni evento possibile associare una probabilit la cui distribuzione definita in base proprio a questo evento