Lezione 3  Distribuzioni di Probabilità Notevoli  

Distribuzioni di Probabilità 

   Vi sono famiglie parametriche di diverse distribuzioni par=colarmente importan= nelle applicazioni della sta=s=ca 

   Alcune  di queste distribuzioni (gaussiana, poissoniana, ecc) sono          comunissime nei fenomeni fisici 

  Si hanno distribuzioni sia discrete che con=nue   

2 

Distribuzione Binomiale  Consideriamo un esperimento che può avere solo due risuta= (ad 

esempio testa, croce nel lancio di una mone=na). Questa variabile è discreta. 

   Sia p (costante) la probabilità di avere l’evento  A e q = 1‐p la probabilità che si verifichi l’evento B. Ripe=amo N volte l’esperimento. Qual è la probabilità di avere n volte l’evento A? 

   La probabilità che i primi n esperimen= diamo come risultato A è pari a  

       pn  qN‐n .  Ma non sono interessato solo  al caso che i primi n tenta=vi mi diano l’evento A. Quindi devo considerare quan= sono i casi in cui ho n even= A indipendentemente dall’ordine in cui si realizzano. 

   Il numero di ques= casi è   

Distribuzione Binomiale 

  La probabilità di avere n volte A e N‐n  volte B, dove n = 0,1,2,…,N  è la variabile casuale  e  N e p   sono parametri della distribuzione, è data da:  

  Valore di aspeWazione di n: 

   Varianza di n :   

Esempi di Distribuzione Binomiale 

Numero  N di esperimen= costante e diversi valori della probabilità p 

n  n 

n  n 

f(n;N,p) 

f(n,N,p) 

f(n;N,p) 

f(n,N,p) 

Esempi di Distribuzione Binomiale 

Numero  N di esperimen= variabile  e iden=co  valore della probabilità p 

f(n;N,p) 

f(n;N,p) 

f(n;N,p) 

f(n;N,p) 

n  n 

n  n 

Esempi di Distribuzione Binomiale    Lancio 5 volte una mone=na e sia n il numero di volte che ho testa. Dare la       distribuzione di probabilità di n e calcolare il valore medio e la varianza. 

     ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐      La distribuzione è binomiale con N = 5 e p = 0.5.  Quindi 

     Per ogni n abbiamo  

        Valore medio Np = 2.5,  varianza  Npq = 1.25 

Esempi di Distribuzione Binomiale     Uno strumento musicale  ha un tempo di durata (in ore) che ha  una pdf         data da : 

      Qual è la probabilità che su 100 strumen= simili 8 durino più di 2 ore? 

      ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐           La probabilità che uno strumento duri più di 2 ore è: 

     La probabilità che 8 durino più di 2 ore  è:  

Esempio di Distribuzione binomiale 

    Compro 20 bulbi di giacinto di cui 10 aspeWa= di colore rosso e 10 di         colore blu. Quando crescono scopro che 16 sono blu. Qual è la          probabilità che possa succedere questo?  

          ====== 

         La distribuzione è binomiale. La probabilità di avere 16 o più giacin=           blu  è uguale alla probabilità di avere quaWro o meno giacin= rossi.           Questa  probabilità  è 0.0059 

Distribuzione Mul=nomiale     Questa è una generalizzazione della distribuzione binomiale  al caso di  n             =pi di risultato. Esempio:  risultato  di una par=ta di calcio (1,0,2). 

    Siano m i possibili risulta= e pi la probabilità che si realizzi l’i‐esimo         risultato.  Vale la condizione di normalizzazione: 

    La probabilià  in N esperimen= di avere n1 risulta= di =po 1, n2 risulta= di         =po 2, …  e  nm   risulta= di =po m è : 

   Questa distribuzione è deWa mul=nomiale.  n1, …, nm sono le variabili            casuali mentre N e p1,… pm sono i parametri della distribuzione 

   Il valore di aspeWazione  e la varianza per il risultato i‐esimo         E[ni] = Npi               V[ni] = Npiqi  = Npi (1 – pi) 

Distribuzione di Poisson     Se  in un distribuzione binomiale il numero di esperimen= N è molto         grande e se la probabilità p di oWenere un par=colare valore della         variabile è molto piccolo (evento raro) ma tale che il  valore di         aspeWazione del numero di successi sia un numero finito ν, allora la         distribuzione binomiale diventa:  

        Questa distribuzione è deWa di Poisson.    n è la variabile casuale e ν il          parametro. 

   Vediamo con un esempio come si passa dalla distribuzione binomiale a          quella poissoniana. Prendiamo un intervallo di tempo [0, T]  e dividiamolo         in N  soWointervalli di lunghezza T/N 

        Sia p = λ T/N la probabilità che l’evento si verifichi in uno di ques=          intervalli (λ numero reale posi=vo). Sia n il numero di volte che si  realizza          l’evento. U=lizzando la distribuzione binomiale si ha: 

Distribuzione di Poisson 

    che possiamo riscrivere cosi: 

    Facendo aumentare N possiamo approssimare : 

  Ponendo poi   ν  = λ  T  (= Np costante), abbiamo: 

Distribuzione di Poisson 

    n  è  la variabile distribuita poissonianamente mentre  ν è il parametro         della  distribuzione. 

   Il valore di aspeWazione di n  è:   

    La varianza di  n  è: 

    Vediamo ora come appaiono distribuzioni  poissoniane  con diversi valori           di aspeWazione ν   

Distribuzione di Poisson 

n  n 

n  n 

f(n;N,p) 

f(n;N,p) 

f(n;N,p) 

f(n;N,p) 

Distribuzioni poissoniane con diversi valori di aspeWazione 

f(n;N,p) 

n  n 

f(n;N,p) 

Distribuzione di Poisson 

  In questa distribuzione binomiale (a sinistra)  Np = 2. Confrontare questa         distribuzione  con quella poissoniana  (a destra)  con ν = 2. 

   Con N molto grande e p molto piccolo in modo che Np res= un numero di        even= finito e osservabile , allora la distribuzione binomiale  diventa quella       di Poisson. 

    La distribuzione poissoniana è tra quelle più adoWate  nella descrizione di         fenomeni naturali (come nei decadimen= radioahvi, ecc) 

n  n 

f(n;N,p) 

f(n;ν) 

Distribuzione Gaussiana 

   Per ragioni che vedremo presto, la distribuzione gaussiana  è la più       importante e la più  usata in Fisica e nella Sta=s=ca in generale. 

   p.d.f. di una gaussiana con  x variabile       casuale , μ e σ2 due parametri 

   Valore di aspeWazione di x: 

   Varianza di x : 

   La distrib. gaussiana (deWa anche normale) ha una forma a campana simmetr.        aWorno  all’asse x = μ con due pun= di flesso in x = μ – σ e in x = μ + σ 

   È indicata  cosi N(μ,σ2).  Quando  μ = 0 e σ = 1  si ha gaussiana standard N(0,1)       e si scrive: 

Distribuzione Gaussiana     La c.d.f. della gaussiana standard  è definita da:         È deWa anche funzione degli errori. Non è         calcolabile esplicitamente. È calcolata in modo          approssimato (calcolo numerico) ed è tabulata (vedi calcolatori sta=s=ci). 

    Se una variabile Y  ha distribuzione gaussiana N(μ, σ2), allora la variabile         X = (Y – μ)/σ   segua una distribuzione gaussiana standard  N(0,1).  

   Le  corrisponden= c.d.f. sono  uguali F(y) = Φ(x).   I  valori di Φ(x)  ed i        quan=li  xα = Φ‐1(x)  sono tabula=. 

    Quindi data una generica funzione gaussiana la sua c.d.f. ed i suoi quan=li si          oWengono da quelli della distribuzione gaussiana standard.  

   Queste quan=tà si oWengono da tavole  (ma oggi è più comodo oWenerli        in rete  con  un calcolatore  sta=s=co). 

Gaussiane  

    Gaussiana standard, gaussiana con μ = 3 e          σ = 1.5 e gaussiana con μ = e σ=2 (in rosso) 

   Le due linee ver=cali sono a distanza  di 1 σ        dal valore valore centrale. L’area compresa        tra queste  due linee è il  68.27% dell’area        totale soWesa  dalla curva gaussiana. 

x 

x 

f(x;μ,σ) 

f(x;μ,σ) 

Esempio ‐ 1    Una variabile casuale  X  ha una p.d.f. gaussiana con valore medio 5 e varianza 4.        Calcolare la probabilità p che la variabile assuma un valore  minore di 2. 

      La variabile  (X – 5)/2 ha una p.d.f. gaussiana standard e quindi: 

   Si verifica facilmente che un intervallo centrale [μ – σ, μ + σ] soWende il 68.27 %        dell’area soWesa dalla gaussiana; entro 2σ l’area soWesa è il 95.45 %, il 99%        entro 3 σ. 

   Entro 1.645 σ è soWesa il 90% dell’area totale; entro 1.960 σ è soWeso il 95%        mentre entro 2.576 σ è soWeso il 99% dell’area. Qui si stanno considerando        sempre intervalli centrali  (aWorno al valore medio). 

   Una variabile ha distribuzione gaussiana con media uguale a 10 e varianza        uguale a 100. Calcolare la probabilità che 8  ≤ x ≤ 16 : 

Gaussiana come Limite della Poissoniana 

    Per valori di aspeWazione ν > 10 la distribuzione   poissoniana è approssimata         bene da una  gaussiana di valore medio μ = ν e varianza σ2 = ν 

    In  figura  alla distribuzione di probabilità poissoniana con ν =25   è         sovrapposta una gaussiana  con μ =25 e varianza σ2 = 25. 

f(x;25,25) 

f(n;25) 

n 

Esercizio     In una zona del Canada ci sono in media 2 alci per lago.           1) Quale potrebbe essere la distribuzione del numero di alci per lago ?           2) Se trovo 5 alci in un lago qual è la probabilità che ciò sia accaduto per caso?             3) Se si approssima la distribuzione con una gaussiana, qual è la probabilità di                trovare in un lago 5 o più alci?           4) Cosa direste se dichiarassi che ciò è avvenuto dopo aver visitato altri 19 laghi           ======         1)  La distribuzione è poissoniana con media 2 

     2)  f(alci =5)  =  e‐2 25/5!  = 0.0361   Probabilità di trovare 5 o più alci in un lago:               f(alci ≥ 5) = 1‐ f(alci ≤ 4 )  = 0.0526 

     3) La distribuzione potrebbe essere approssimata da una gaussiana  N(2,2). In           questo caso la probabilità di osservare 5 o più alci è:        

                                                                                                  Approssimazione non buona.                                                                                                     Valore medio   troppo basso !  

Esercizio 

     4)   Dopo 20 laghi la probabilità di  trovare 5 o più alci è data  da: 

                                           f = 1 ‐ (1‐0.0526)20 = 0.66   

               dove 1 ‐ 0.0526 rappresenta la probabilità di non trovare 5 o più                 alci in un lago. Dopo 20 laghi elevo alla potenza di 20. 

               Di conseguenza non mi meraviglio affaWo di aver trovato più di 5 alci                 dopo ven= laghi . 

Gaussiana come Limite della Binomiale  

   Pe N grande e tenendo p e q costan= , allora la distribuzione binomiale        tende ad una gaussiana di valore medio N p  e varianza N p q  

  La binomiale  in figura con N = 30 e p =0.5 è  ben approssimata da una gaussiana       con valore medio N p = 15  e varianza N p q = 7.5   

n 

f(n;30

,0.5) 

Diistribuzone Gaussiana Mul=dimensionale 

   Supponiamo di avere  n variabili  x  = (x1, … , xn ), ognuna distribuita        gaussianamente e sia   μ  = (μ1, μ2, …, μn)  il veWore dei valori medi. I due        veWori  x  e μ sono veWori colonna. 

  In generale le n variabili non sono scorrelate  per cui nella p.d.f.  bisogna       tener  conto   delle loro eventuale correlazione : 

    dove i veWori xT  e  μT  sono i veWori riga dei corrisponden= veWori colonna      x e μ  mentre V è la matrice degli errori (matrice di covarianza)   

Distribuzione Binormale     La distribuzione gaussiana a due dimensioni è deWa generalmente binormale.        La matrice degli errori in questo caso si scrive così:   

    Questa matrice si può inver=re se e solo se ρ ≠ ±1   (ρ = ±1 significa che le         due variabili sono correlate al 100 %). 

    Se la matrice si può inver=re allora : 

 La p.d.f. binormale si scrive così: 

Distribuzione Binormale 

    Si dicono linee di contorno (o di livello)  le linee che si oWengono ponendo         ad un  valore costante il valore  dell’esponente nella p.d.f.  Servono a         visualizzare  la p.d.f. 

    Questa è l’equazione di una ellisse. 

    Se il valore costante del parametro è preso uguale a ‐1/2 , allora l’ellisse è        centrata sui valore μx e μy  . Le tangen=  all’ellisse intersecano gli assi cartesiani         nei pun= μx ± σx   e  μy ± σy  

    Se fissiamo un valore di x, la distribuzione in y  è una gaussiana con media        uguale a  μy +  ρσy(x – μx)/σx  e deviazione standard uguale a  σy √(1 – ρ2) 

Distribuzione Uniforme 

     Serve a descrivere una variabile che ha probabilità di realizzarsi costante         in un certo intervallo e zero all’esterno: 

     Valore di aspeWazione  

    Varianza 

    No=amo che se a = 0 e b = 1 allora  la c.d.f.   G(x) della distribuzione uniforme          della variabile casuale x è :    

Distribuzione Esponenziale       Questa distribuzione della variabile casuale X   (0≤ x < ∞ ) è  definita da : 

          con ξ parametro della distribuzione. 

   Valore di aspeWazione di x : 

   Varianza di x : 

    Questa distribuzione appare quando per esempio si  misura il tempo di        decadimento di una risonanza nel proprio sistema di riferimento. ξ in questo        caso rappresenta il tempo di vita medio della par=cella.  

   Si no= che                                                      non dipende dall’istante iniziale t0 

       Questa proprietà vale solo per questo =po di  p.d.f. 

Distribuzione Esponenziale 

Distribuzione  χ2 

    La distribuzione χ2 della variabile casuale Z   (0 ≤ z < ∞ ) è  definita da : 

          con n  parametro della distribuzione deWo numero di gradi di libertà . 

   La funzione Γ è cosi definita                                           ed ha queste proprietà: 

   Valore di aspeWazione di z : 

    Varianza di z :  

Distribuzione  χ2     La distribuzione χ2  è par=colarmente importante in sta=s=ca e molto         comune in Fisica. 

   Se si hanno N variabili casuali Xi tuWe distribuite gaussianamente con        valore medio νi  e  varianza σ2i , allora la funzione : 

       è distribuita secondo una distribuzione del χ2  con N gradi di libertà. 

   Questa distribuzione è par=colarmente importante nei test di bontà del fit. 

    Applicazione: nella somma di probabilità  di  Poisson è comodo usare  la  

       relazione:  

    con  fχ2  e  Fχ2   p.d.f. e c.d.f. del χ2 

Esempio   Supponiamo che in un fascio di par=celle il numero di par=celle per impulso     

       abbia una distribuzione poissoniana con valore di aspeWazione 16. 

       Qual è la probabilità  che un impulso abbia un numero di par=celle compreso   

       tra 12 e 20 ? 

       ‐  La distribuzione di Poisson in questo caso è : 

       ‐ La probabilità   richiesta  è quindi: 

          che possiamo calcolare così:  

Distribuzione  χ2 

Distribuzione  χ2 

Distribuzione di Cauchy      Questa distribuzione, deWa anche Breit‐Wigner  o anche Lorentziana,  della          variabile casuale X  (0 ≤ x < ∞ ) è  definita da : 

          con a > 0. In fisica subnucleare  è usata nella descrizione di  risonanze  che            decadono  in altre par=celle più leggere. 

   Gli integrali che definiscono  il valore di aspeWazione e la varianza di questa        distribuzione  sono divergen=.  

   Dato l’integrale di f(x) esteso da  ‐∞  a + ∞ si dice valore principale di Cauchy  

   U=lizzando i valori di Cauchy, a è legato al tasso di decadimento della par=cella        (a=Γ/2)  e b è interpretabile come valore medio x0.            (x0 e Γ sono la massa e la  larghezza della risonanza, rispehvamente) 

Distribuzione di Cauchy 

Distribuzione t di “Student” 

   Distribuzione di notevole rilevanza in sta=s=ca. 

  Sia Z una variabile casuale che segua una distribuzione gaussiana ed U un’altra       variabile casuale, indipendente da Z, che segua una distribuzione χ2 con  n       gradi di libertà, allora la variabile casuale    

      segue la distribuzione 

      deWa distribuzione t di Student con n gradi di libertà.  È una curva simmetrica      (media = 0) 

Distribuzione t di Student 

Distribuzione t di Student 

Legge dei Grandi Numeri   Data una serie di n misure (campione di dimensione n) di una variabile       casule X  posso estrarre informazioni su questa variabile  da questo       campione,  per esempio  la media (aritme=ca)  xn ecc. 

   Per il calcolo della media  μ  della variabile X dovrei conoscere tuh i possibili        valori di X (popolazione), teoricamente infinita.   

    Problema:  A par=re dalla media  xn  ,  che chiamiamo media campionaria,         posso fare delle inferenze sta=s=che  sulla media (vera) μ ? 

   Si, posso farlo grazie alla legge (debole) dei grandi numeri: 

       Si può determinare un intero posi?vo n tale che prendendo un campione         casuale di dimensione maggiore o uguale ad n di una variabile casuale X,        distribuita con valore di aspeEazione  μ,  la media  campionaria  xn        differisca da μ per una quan?tà piccola a piacere. 

   Questa legge  ha un ruolo fondamentale nell’inferenza sta=s=ca         

‐ 

‐ 

‐ 

Teorema Limite Centrale 

   Questo   teorema  è molto importante 

   Si abbiano n variabili casuali Xi (supposte con=nue ed indipenden= ) con        media μi  e varianza σi2. Il teorema limite centrale stabilisce che la variabile        casuale                                   per grandi n  tende ad essere distribuita secondo        una gaussiana con valore  medio                            e varianza   

    Notate bene che NON ha alcuna importanza la natura delle distribuzioni delle        variabili Xi. L’effeWo cumula=vo di molte variabili (comunque distribuite)         porta ad una distribuzione gaussiana.  Pensate all’errore di misura casuale        dovuto a tan=ssimi effeh indipenden= che si sommano incoerentemente.  

   AWenzione nella pra=ca all’uso di questo teorema. Con un campione finito        (e limitato) di misure ci  sono situazioni in cui la distribuzione è tuW’altro che       gaussiana. Ci sono cioè code non gaussiane. 

   TraWazione di effeh non gaussiani  pone spesso problemi delica=.