Analisi Matematica 2 - Teoremi
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Università degli Studi di Trieste Piazzale Europa 1, 34100 Trieste Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA INFORMATICA Anno Accademico 2002/2003 Teoremi di ANALISI MATEMATICA 2 Studente: Giorgio Davanzo [email protected]
Transcript of Analisi Matematica 2 - Teoremi
Università degli Studi di Trieste Piazzale Europa 1, 34100 Trieste
Facoltà di INGEGNERIA
Corso di Laurea in
INGEGNERIA INFORMATICA
Anno Accademico 2002/2003
Teoremi di
ANALISI MATEMATICA 2
Studente: Giorgio Davanzo [email protected]
TEOREMI Parte 1 - Serie numeriche, successioni e serie di funzioni 1. Condizione necessaria per la convergenza di una serie 2. Relazioni tra serie numeriche e integrali generalizzati 3. Carattere della serie geometrica 4. Carattere della serie armonica generalizzata 5. Aut-aut per le serie a termini positivi 6. Criterio del confronto 7. Criterio dell'ordine d'infinitesimo 8. Criterio del rapporto per la convergenza di una serie numerica a termini positivi 9. Criterio del rapporto con il limite 10. Criterio di Leibniz per la convergenza di una serie numerica con termini di segno alternato 11. Lemma di Abel 12. Proprietà caratteristiche del raggio di convergenza 13. Teorema di convergenza di una serie di Taylor (o di sviluppabilità in s.d.T.) 14. Formule di Eulero
Parte 2 - Lo spazio Rn, integrale di Riemann in Rn
15. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz 16. Proprietà della norma 17. Teorema di Riesz in Rn
18. Il grafico di una funzione integrabile su un rettangolo è trascurabile 19. Una condizione sufficiente per l'integrabilità su un insieme limitato 20. Ogni insieme normale è chiuso e misurabile 21. Formule di riduzione su domini normali in R2
Parte 3 – Calcolo differenziale in Rn
22. La differenziabilità implica la continuità 23. La differenziabilità implica l’esistenza di tutte le derivate direzionali 24. Teorema del differenziale totale 25. Teorema del valore medio 26. Test delle derivate prime per i punti di estremo 27. Test delle derivate seconde per i punti di estremo
Parte 4 – Equazioni differenziali 28. (EDO 1°) Di esistenza e unicità locali 29. (EDO 1°) Di esistenza e unicità globali 30. (EDL 1°) Omogenea 31. (EDL 1°) Completa 32. (EDL 1°) Variazione delle costanti 33. (EDL 1°) Problema di Cauchy 34. (EDO 2°) Soluzione 35. (EDL 2° a coeff. cost.) Soluzioni 36. (EDL 2° a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni 37. (EDL 2° a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni 38. (EDL 2° a coeff. cost.) Nucleo risolvente 39. (EDL n a coeff. cost.) Soluzioni 40. (EDL n a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni 41. (EDL n a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni 42. (EDL n a coeff. cost.) Nucleo risolvente 43. Equazioni con variabili separate: metodo risolutivo 44. Confronto tra le soluzioni di equazioni nonlineari e equazioni linearizzate
Parte 5 – Curve in forma parametrica 45. Rettificabilità di una curva di classe C1
46. Integrale curvilineo di un campo vett. conserv. – Generalizzaz. del teorema di Torricelli
Teoremi – Serie numeriche, successioni e serie di funzioni 1. Condizione necessaria per la convergenza di una serie
Se è convergente allora . ∑+∞
=1nna 0lim =
+∞→ nna
Dim Si ha: dove 01 =−→−= − ssssa nnn Rssnn∈=
+∞→lim .
2. Relazioni tra serie numeriche e integrali generalizzati
Data una serie , definiamo la “funzione a gradini” ∑+∞
=1nna [ [ Ra →+∞,0: ponendo ( ) naxa =: se
; la funzione è localmente integrabile su nxn <≤−1 [ [+∞,0 e risulta . ( ) ( )∫ =∀n
nsdxxan0
Teo La serie ∑ è convergente +∞
=1nna ( )xa⇔ è integr. in s.g. su [ [+∞,0 ; inoltre si ha . ( )∫
+∞=
0sdxxa
Dim 1) Se è integr. in s.g. su [( )xa [+∞,0 , allora ∑ è convergente e . +∞
=1nna ( )∫
+∞=
0sdxxa
Se è integr. in s.g. su [ , allora esiste finito . Per il teorema
sul limite della restrizione, esiste finito e quindi esiste finito
.
( )xa [+∞,0 ( ) ( )∫∫+∞
+∞→=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
00lim dxxadtta
x
n
( ) ( )∫∫+∞
+∞→=
00lim dxxadxxa
n
n
( )∫+∞
+∞→=
0lim dxxasnn
2) Se ∑ è convergente, allora è integr. in s.g. su +∞
=1nna ( )xa [ [+∞,0 .
Se è conv., allora . Quindi risulta se ∑+∞
=1nna 0lim =
+∞→ nna nxn <≤−1 , ( ) ( ) ( )∫∫∫ −
−+=
x
n
nxdttadttadtta
1
1
00
( )( ) ssnxas nn =+→−−+= − 011 . Dunque ( )xa è integr. in s.g. su [ [+∞,0 e . ( )∫+∞
=0
sdxxa 3. Carattere della serie geometrica Serie geometrica: con ...... 12 +++++ −nakakaka 0 e , ≠∈ aRka (k si dice ragione della serie) (il rapporto di ogni elemento con il precedente è costantemente pari a k);
si ha: ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−−
=+++=++++= −−
1 se
1 se 11
...1... 112
kan
kkkakkaakakakas
n
nnn ;
risulta: • se 1<k , allora k
asnn −=∃
+∞→ 1lim , quindi la serie geom. converge con somma
ka−1
;
• se , allora , quindi la serie geom. è divergente; 1 o 1 −<≥ kk ∞=+∞→ nn
slim
• se , allora , quindi la serie geom. è indeterminata; 1−=k nns
+∞→∃/ lim
Dim Le ridotte per sono 1≠kkka
n
−−
11 e allora se 1>k la serie non converge perché
kk
kkk
kkk nn
n
−+
−≥
−−
−=
−−
11
11
11
11
11 che tende a ∞+ .
4. Carattere della serie armonica generalizzata
Serie armonica generalizzata: ∑+∞
=
=+++++1
1131
211
n nn αααα
• Se 1>α , la serie ∑+∞
=1
1n nα è convergente ( εα +>=∞+ 11 a
nord per qualche ε );
• Se 1≤α , la serie ∑+∞
=1
1n nα è divergente;
Dim Si osserva che αα =∞+ nord 1 ;
1. 0>∃ε tale che ε+>=∞+ 1aaord n (per esempio 2
1−=αε );
2. 1≤=∞+ αnaord ; 5. Aut-aut per le serie a termini positivi
Se , allora è convergente o divergente (a ( nan ∀≥ 0 ) ∑+∞
=1nna ∞+ ).
Dim Se , allora è non-decrescente. Quindi per il teorema sul limite delle
funzioni monotone esiste .
( nan ∀≥ 0 ) ( )nns
⎩⎨⎧
+∞=∈
==+∈+∞→
Rsss n
Nnnn
suplim
6. Criterio del confronto Se ; si ha: ( nba nn ∀≤≤ 0 )
1) Se ∑ è convergente, allora è convergente; +∞
=1nnb ∑
+∞
=1nna
2) Se ∑ è divergente, allora ∑ è divergente; +∞
=1nna
+∞
=1nnb
Dim (1) Siano a(x) e b(x) le funzioni a gradini associate a e ∑ . Poiché ∑+∞
=1nna
+∞
=1nnb
( ) ( ) [ [+∞∈∀≤≤ ,0 0 xxbxa e b(x) è integrabile in s.g. su [ [+∞,0 (essendo convergente) il
criterio del confronto per l’integrale generalizzato implica che a(x) è integrabile in s.g. su
∑+∞
=1nnb
[ [+∞,0
e quindi converge. La (2) segue da (1). ∑+∞
=1nna
7. Criterio dell’ordine d’infinitesimo Sia ; si ha: ( nan ∀≥ 0 )
1) se 0>∃ε t.c. ε+>∞+ 1naord , allora è convergente; ∑+∞
=1nna
2) se , allora è divergente (a 1≤∞+ naord ∑+∞
=1nna ∞+ );
Dim Si applica l’analogo criterio dell’ordine di infinitesimo per l’integrale in senso generalizzato
alla funzione a gradini a(x) associata a ∑ . Si ha +∞
=1nna ( ) naordxaord ∞+∞+ = :
(1) Sia ε+>∞+ 1naord , allora risulta ( ) ε+>∞+ 1xaord . Infatti, se nxn ≤≤−1 , si ha che ( ) ( ) 0
11 111
1 →
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=≤=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+++
+ εεε
ε
n
anaxxa
x
xa nn e quindi ( ) 0
1 1 →
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+ε
x
xa . Dunque a(x) è integrabile in s.g. su
, e quindi è convergente. [ +∞,0 [ ∑+∞
=1nna
(2) Se , allora 1≤∞+ naord ( ) 1≤∞+ xaord . Infatti risulta se nxn ≤≤−1 che ( ) ( ) ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−≥=n
n
n
anaxxa
x
xa nn
1111
, e quindi ( ) 1≤≤ ∞+∞+ naordxaord . Dunque e
quindi .
( ) +∞=∫+∞
0dxxa
+∞=∑+∞
=1nna
8. Criterio del rapporto per la convergenza di una serie numerica a termini positivi
Se ed tale che ( nan ∀> 0 ) 10 0 <<>∃ kk nka
a
n
n ∀≤+ 1 , allora è convergente. ∑+∞
=1nna
Dim Si ha: , , …, ; quindi, 12 kaa ≤ 12
23 akkaa ≤≤ 11 akkaa nnn ≤≤+ n∀ , . Ossia ∑ è
maggiorata dalla serie geometrica ∑ , avente ragione
110 aka nn ≤< +
+∞
=1nna
+∞
=
−
1
11
n
nka 10 << k . Il criterio del confronto
implica che è convergente. ∑+∞
=1nna
9. Criterio del rapporto con il limite Sia : ( )nan ∀> 0
1) Se 1lim 1 <=∃ +
+∞→L
aa
n
n
n, allora converge; 2) Se ∑
+∞
=1nna 1lim 1 >=∃ +
+∞→L
aa
n
n
n, allora diverge; ∑
+∞
=1nna
Dim (1) Si ha: ( )( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<−⇒>∀∃>∀ + εε L
aannnn
n
n 10 . Fissiamo 0>ε t.c. kL :1 =+> ε (per
esempio 2
1 L−=ε ). Dunque esiste n t.c. ( )( ) ( ) kL
aaL-εnnn
n
n =+<<>∀ + ε1 con 10 << k .
Quindi, per il criterio del rapporto ∑+∞
+= 1nnna converge e pertanto converge. ∑
+∞
=1nna
(2) Il termine generale non è infinitesimo. 10. Criterio di Leibniz per la convergenza di una serie numerica con termini di segno alternato
Supponiamo che ( : (1) e (2) )n∀ 0≥na nn aa ≤+1 ; si ha che la serie è convergente
. Inoltre, detta s la somma della serie, risulta
( )∑+∞
=
−0
1n
nn a
0lim =⇔+∞→ nn
a ( ) 1 +≤−∀ nn assn .
Dim Si ha : • k∀ kkkk sass 212212 ≤−= ++ - dalla (1) • ( ) 121221212212 −+−++ ≥−+=−= kkkkkkk saasass - dalla (2) • kkkkk saass 22212222 ≤+−= +++ - dalla (2) Quindi è non decrescente e ( )kks 12 + ( )kks2 è non crescente. Inoltre è superiormente limitata da e è inferiormente limitata da . Il teorema sul limite delle funzioni monotone assicura che esistono finiti
( )kks 12 +
2s ( )kks2 1sss kk′=++∞→
:lim 12 e ss kk′′=
+∞→:lim 2 . Poiché 12212 ++ −= kkk ass e
, risulta . Dunque esiste finito0lim =+∞→ nn
a sss :=′′=′ ssnn=
+∞→lim .
Infine si ha: • 122 2 +≤−=−= kkn asssskn (essendo kk sss 212 ≤≤+ );
• 2212 12 ++ ≤−=−+= kkn asssskn ;
e quindi 1+≤− nn ass . 11. Lemma di Abel
Se converge in (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa ) Rx∈ , allora converge Rx∈∀ tale che 00 xxxx −<− .
Dim Poiché è convergente, si ha che (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa ) ( ) 0lim 0 =−
+∞→
nnn
xxa e quindi tale che 0>∃M
( ) nMxxa nn ∀≤− 0 ; ( ) ( )
nnn
nn
n
nnn
n xxxx
Mxxxx
xxaxxxx
xxaxxa ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−=−−
−=−
0
0
0
000
0
00 .
Sia tale cheRx∈ 00 xxxx −<− . Posto 0
0:xxxx
q−−
= , risulta e quindi 10 <≤ q
( ) nnn qMxxan ⋅≤−∀ 0 . Dunque ( )∑
+∞
=
−0
0n
nn xxa è maggiorata da una serie geometrica
convergente. Il criterio del confronto assicura che ( )∑+∞
=
−0
0n
nn xxa è convergente, e quindi
è convergente. (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa )
12. Proprietà caratteristiche del raggio di convergenza
• Il raggio di convergenza R di verifica: (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa )
1) se RxxRx <−∈ 0 t.c.è , allora converge. (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa )
2) se RxxRx >−∈ 0 t.c.è , allora non converge. (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa )
[• Ogni che soddisfa le due condizioni è uguale al raggio di convergenza R. [ +∞∈′ ,0R
Dim • Sia R il raggio di conv. definito come { }Ixxx ∈− :sup 0 :
(1) Se RxxRx <−∈ 0 t.c.è , allora per la IIa proprietà dell’estremo superiore, Ix∈∃ (insieme di
convergenza) t.c. Rxxxx <−<− 00 . Per il lemma di Abel si ha che la serie converge in x.
(2) Se RxxRx >−∈ 0 t.c.è : se per assurdo la serie convergesse nel p.to x, allora Ix∈ e
quindi { RIxxx >∈− :sup 0 }[
: impossibile. Dunque la serie converge nel p.to x. • Sia verificante (1) e (2) (riferite a R’); da (1) segue [ +∞∈′ ,0R RR ≤′ ; da (2) segue RR ≥′ ; in conclusione RR =′ . 13. Teorema di convergenza di una serie di Taylor (o di sviluppabilità in s.d.T.) Se (con ) è di classe ed esiste t.c. : ] [ Rhxhxf →+− 00 ,: 0>h ∞C 0>M Nn∈∀
( )( ) nn
hnMxf !
≤ su allora f è sviluppabile in serie di Taylor con p.to iniziale x] hxhx +− 00 , [ 0, su
. ] [hxhx +− 00 ,
Dim Sia fissato. Si ha (] hxhxx +−∈ 00 , [ n∀ ): ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =−−=− ∑
=+
n
k
kk
n xxk
xfxfxsxf0
00
1 !
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1
0
1
, !10
++
−+
=−= nn
xn xxn
fxpxf ξ con ] [hxhx +−∈ 00 ,ξ . Quindi risulta:
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) 0
!11!1
!1
101
011
0
1
1 →⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−
+⋅
+≤−
+=−
++
+
++
+
nn
nn
n
n hxx
Mxxnh
nMxxn
fxsxf
ξ se ∞→n ,
essendo . Dunque si ha ] [ hxx <− 0 ( ) ( )xfxsnn=++∞→ 1lim ] [hxhxx +−∈∀ 00 , .
14. Formule di Eulero 1) yiyeiy sincos += yiye iy sincos −=−
2) ( )iyeeyiyiy
cosh2
cos =+
=−
( )i
iyieey
iyiy sinh2
sin =−
=−
Dim 1) Si ha: ...!6!4!2
1cos642
+−+−=yyyy e ( ) ( ) ...
!5!3...
!5!3sin
5353
+++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
iyiyiyyyyiyi
Si ottiene quindi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iyeiyiyiyiyyiyyiyyiyyiy =+++++=+−+++−+=+ ...
!4!3!21...
!6!5!4!3!21sincos
43265432
La seconda delle (1) si prova in modo analogo; Le (2) si ottengono per somma e sottrazione dalle precedenti;
Teoremi – Lo spazio Rn, integrale di Riemann in Rn
15. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
><><≤><∈∀ yyxxyxRyx n ,,, , Dim Se 0=y , allora la (dis)uguaglianza è verificata.
Sia 0≠y ; sia . Si ha: Rt∈ ><+><−>>=<−−≤< yytyxtxxtyxtyx ,,2,,0 2 , cioè
0,,2, 2 >≥<+><−>< xxtyxtyy ; (se , ) questo si ha
se e solo se
0>a 0400 22 <−=<Δ⇔≥++ acbcbtat
>><<−>=<Δ
≥ yyxxyx ,,,4
0 2 , cioè >><≤<>< yyxxyx ,,, 2 . Prendendo la radice
quadrata si ha ><><≤>< yyxxyx ,,, . // Si ha l’uguaglianza solo se x,y linearm. dipend. 16. Proprietà della norma La norma è un’applicazione RRn →⋅ : che gode delle seguenti proprietà:
1) nRxx ∈∀≥ ,0 (non negatività); 2) 00 =⇔= xx (non degeneratezza);
3) RRxxx n ∈∀∈∀⋅= λλλ ,, (omogeneità); 4) nRyxyxyx ∈∀+≤+ ,, (sub-additività); Le prime tre affermazioni sono di immediata verifica; Dim Le prime tre affermazioni sono di immediata verifica;
(4) ( )2222222,2, yxyyxxyyxxyxyxyx +=+⋅+≤+><+>=++=<+
17. Teorema di Riesz in Rn
Per ogni forma lineare esiste uno e uno solo RRL n →: nRa∈ t.c. ( ) nRxx,axL ∈∀>=< . Dim L’esistenza di a è verificata dal fatto che L è una forma lineare. Unicità: Supponiamo che esistano 2 vettori nRba ∈, t.c. ( ) nRxx,bx,axL ∈∀>>=<=< . Si
ha che nRxx,ba ∈∀>=−< 0 . Testiamo per x=a-b: 20 baba,ba −⇒>=−−< , ossia a=b. 18. Il grafico di una funzione integrabile su un rettangolo è trascurabile Se è integrabile, allora l’insieme [ ] Rba →,:ϕ ( )ϕG grafico di f è un sottoinsieme trascurabile
di . 2RDim Essendo ϕ integrabile, 0>∀ε ( )RΔ∈∃δ ( ) ( ) ( ) ( ) =−−−=<− ∑∑
=−
=−
n
iiii
n
iiii xxlxxLsS
11
11εδδ
( )(∑=
−−−=n
iiiii xxlL
11 ). Si ha che ( ) nRRG ⊂⊂⊂ ...1ϕ e ( ) ( ) ε<++ nRmRm ...1 .
Se ( ) RRR →⊂ 2:ϕ è integrabile su R con R un 2-rettangolo, allora l’insieme ( )ϕG grafico di f è un sottoinsieme trascurabile di . 3R 19. Una condizione sufficiente per l’integrabilità su un insieme limitato Se ( ) RREf n →⊂: è limitata e continua, con E insieme limitato e fr(E) è trascurabile in Rn, allora f è integrabile su E.
Dim Sia R un N-rettangolo con nRE ⊂ e sia definita come RRf →:0 ( ) ( )⎩⎨⎧
∉∈
=ExExxf
xf 0
0 .
Poiché f0 è discontinua (al più) su fr(E) e fr(E) è trascurabile, si ha che f0 è integrabile su R. Quindi f è integrabile su E. 20. Ogni insieme normale è chiuso e misurabile Dim Si ha che E è chiuso e limitato. Inoltre ( ) ( ) baGGfrE σσψϕ ∪∪∪= , con
( ) ( ) ( ){ }ayaya Ta ψϕσ ≤≤= :, e ( ) ( ) ( ){ }bybyb T
b ψϕσ ≤≤= :, , è trascurabile, quindi E è misurabile. 21. Formule di riduzione su domini normali in R2
Sia ( ) RREf →⊂ 2: una funzione continua sul dominio ( ) ( ) ( ){ }xyxbxayxE ψϕ ≤≤≤≤= ,:,
normale rispetto all'asse x. Allora f è integrabile su E e si ha . ( )( )
( )
∫ ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
b
a
x
xE
dxdyyxffdmψ
ϕ
,
Dim Siano ( )Ic ϕmin= e ( )Id ψmax= , con [ ]baI ,= . Risulta [ ] [ dcbaRE ,, × ]=⊂ . La
f.ne ( ) [ ] [ ] ℜ→×= dcbaRyxf ,,:, definita da ( ) ( ) ( )( )⎩
⎨⎧
∉∈
=EEyxf
yxfyx, se 0yx, se ,
, è continua su R
tranne, eventualmente, nei punti del tipo ( )( )xx ϕ, e del tipo ( )( )xx ψ, che costituiscono un
insieme trascurabile ed è quindi integrabile su R. Si ha: ( )∫ ∫∫∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
b
a
d
cRE
dxdyyxfdmffdm ,
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
∫ ∫∫ ∫∫∫ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
b
a
x
x
b
a
d
x
x
x
x
c
dxdyyxfdxdyyxfdyyxfdyyxf 0,0,,,ψ
ϕψ
ψ
ϕ
ϕ
.
Si ottiene un analogo teorema scambiando i ruoli delle variabili x e y.
Teoremi – Calcolo differenziale in Rn
22. La differenziabilità implica la continuità Siano ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, e Ax ∈0 . Se f è differenz. in , allora f è continua in . 0x 0xDim Si ha ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0000 xfxxxxxLxfxf →−+−+= ε se 0xx → . 23. La differenziabilità implica l’esistenza di tutte le derivate direzionali Siano ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, e Ax ∈0 . Se f è differenziabile in , allora per ogni
versore
0xnRv∈ esiste ( ) ( )vLx
vf
=∂∂
0 .
Dim Fissiamo un versore nRv∈ . Calcoliamo ( ) ( )=
−+t
xfvtxf 00
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )=⋅++=++=−−+++= vtvtxvtLt
vtvtxvtLt
xfxxvtxvtLxft 000000
111 εεε
( ) ( ) 00 →++=tt
vtxvL ε . Dunque esiste finito ( ) ( ) ( )vLt
xfvtxft
=−+
→
00
0lim , cioè ( ) ( )vLx
vf
=∂∂
∃ 0 .
Corollario Se f è differenziabile in , allora esistono 0x ( ) ( ) ( ) nieLxefx
xf
iii
,...1per 00 =∀=∂∂
=∂∂ .
Quindi ( )( )0xdfL = è rappresentato dalla matrice Jacobiana ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
= 000 ,..., xxfx
xfxJf
ni
.
Dim Si ha ( ) ( ) niaeLxxf
iii
,...1 0 =∀==∂∂ .
24. Teorema del differenziale totale Se ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, è dotata di derivate parziali in A continue in Ax ∈0 , allora f è differenziabile in 0x . Dim (N=2) Siano tali che i segmenti che congiungono ( ) 2, Rkh T ∈ ( )Tyx 00, con ( ) e
con ( sono contenuti in A. Calcoliamo, usando il teorema di Lagrange,
Tkyhx ++ 00 ,
( )Tyx 00 , )Tkyx +00 ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+++−++=−++ 000000000000 ,,,,,, yxfkyxfkyxfkyhxfyxfkyhxf
( ) ( ) ] [1,0,con ,, 0000 ∈⋅++⋅++= τϑτϑ kkyxfhkyhxf yx . Poiché fx e fy sono continue in ( )Tyx 00, , si ha: ( ) ( ) ( )h,kε,yxfkyhxf yx 10000 , +=++ϑ con
( ) ( )( ) 0lim 1
0,0,=
→h,kε
Tkh
e ( ) ( ) (kε,yxfkyxf yy 20000 , +=+ )τ con ( ) 0lim 20=
→kε
k;
quindi risulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kkhkhkyxfhyxfyxfkyhxf yx ⋅+⋅+⋅−⋅=−++ 2100000000 ,,,,, εε con ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,
,2122222122
21 →+≤+
++
≤+
⋅+⋅kkh
kh
kk
kh
hkh
kh
kkhkhεεεε
εε se . T,h,k ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ → 00
25. Teorema del valore medio Se ( ) RRAf n →⊂: con A aperto è differenziabile in A, allora Ayx ∈∀ , tale che il segmento congiungente x e y è contenuto in A, esiste ] 1,0∈ [ϑ tale che ( ) ( ) ( ( )) . >−−+∇=<− yxxyxfyfxf ,ϑ
Dim Si applica il teorema di differenziazione della f.ne composta dove gfh =( ) ( )xytxtg −+= con [ ]1,0∈t . Per calcolare h’ si usa il teorema di differenziazione della f.ne
composta. 26. Test delle derivate prime per i p.ti di estremo Se ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, è differenziabile in Ax ∈0 ed ha un estremo relativo in 0x ,
allora ( ) ( ) ( ) 0... ,0 001
0 =∂∂
==∂∂
=∇ xxfx
xfxf
n
.
Dim Sia per esempio 0x p.to di minimo. Poiché 0x è interno ad A, ( ) AxB ∈>∃ δδ , t.c.0 0 . Fissiamo un versore u . La funzione ( ) ( )utxftg += 0 è definita su ] [δδ ,− . Si ha che g è
derivabile in 0 e ( ) ( 00 xufg∂∂
=′ ) [. Inoltre g ha un minimo relativo in 0, e ] δδ ,0 −∈ . Per il teorema
di Fermat, si ha che ( ) ( )000 xufg∂∂
==′ .
27. Test delle derivate seconde per i punti di estremo Sia ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, due volte differenziabile in Ax ∈0 , e sia ( ) 00 =∇ xf . Si ha:
1. se ( )0xHf è definita positiva in 0x , allora 0x è un minimo relativo; 2. se ( )0xHf è definita negativa in 0x , allora 0x è un massimo relativo; 3. se ( )0xHf è indefinita, allora 0x è un punto di sella;
Dim (1) Si ha: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 20000000 ,
21, xxxxxxxxHfxxxfxfxf −+>−−<+>−∇<+= ε con
( ) 0lim0
=→
xxxε . Poiché 0x è p.to critico ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2
00000 ,21 xxxxxxxxHfxfxf −+>−−<=− ε ;
poiché ( 0xHf ) è definita positiva, esiste tale che 0>m ( ) nRhhmhhxHf ∈∀>≥< , 20 . Quindi si
ha ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =−+−≥−+>−−<=− 20
20
200000 2
,21 xxxxxmxxxxxxxxHfxfxf εε
( ) 202
xxxm−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += ε . Poiché ( ) 0
22lim
0
>=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→
mxmxx
ε , il teorema di permanenza del segno
garantisce l’esistenza di t.c. 0xIU ∈ ( ) { }0\ 02
xUxxm∈∀>+ε e quindi
( ) ( ) { }00 \ 0 xUxxfxf ∈∀>− , cioè 0x è p.to di minimo relativo. (2) Analoga a (1)
(3) Si ha ( ) ( ) ( )( ) ( ) 200000 ,
21 xxxxxxxxHfxfxf −+>−−<+= ε ; poiché ( 0xHf ) è indefinita,
esistono due versori ( )vuvu ≠ e tali che ( ) 0,0 >=< uuxHf e ( ) 0,0 >=< vvxHf . Quindi risulta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2000
20000 ,
21,
21 tutxuuxHfxfututxututxHfxfutxftgu ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++><+=++><+=+= εε
Dunque ( )tgu ha un minimo relativo per t=0; analogamente si ha che ( ) ( vtxftgv += 0 ) ha un massimo relativo per t=0; in conclusione, 0x è p.to di sella.
Teoremi – Equazioni differenziali 28. (EDO 1°) Di esistenza e unicità locali Se è continua, allora esistono un ed una funzione
soluzione del Problema di Cauchy. Se, inoltre, esiste ed è continua la derivata della rispetto a , allora la soluzione è unica.
RRAf →⊂ )(: 2 0>h] [ RhxhxIy →+−= 00 ,:
f y RRAf y →⊂ )(: 2
29. (EDO 1°) Di esistenza e unicità globali
Se è continua e se ] [ RRbaAf →×= ,: ] [ RRbaAyf
→×=∂∂ ,: è continua e limitata, allora
esiste una e una sola soluzione globale ] [ Rbay →,: del problema. 30. (EDL 1°) Omogenea Le soluzioni di un’eq. diff. lineare omogenea del 1° ordine costituiscono un sottospazio di dimensione 1 dello spazio vettoriale . Si ha inoltre , dove è una primitiva di su
S),(1 RIC }:{ )( RcceS xA ∈= )(xA
)(xa I . Dim: è un spazio vettoriale. Sia una primitiva di su S )(xA )(xa I . Dall’uguaglianza
, moltiplicando ambo i membri per , si ottiene 0)()()(' =− xyxaxy )(xAe−
0))(()()()(' )()()( ==− −−− xAxAxA exydxdexyxaexy . Si ha dunque , da cui . cexy xA =− )()( )()( xAcexy =
31. (EDL 1°) Completa Le soluzioni di un’eq. diff. lin. Completa del 1° ordine sono date dalle funzioni del tipo
)()()( xyxzxy += , essendo una generica soluzione dell’eq. omogenea associata e )(xz )(xy una soluzione particolare dell’eq. completa. Dim: )()( xyxz + è sol. dell’eq. completa. Se e )(xy )(xy sono due soluzioni della completa, si constata immediatamente che )()( xyxy − è una soluzione dell’omogenea associata. 32. (EDL 1°) Variazione delle costanti
Una soluzione particolare dell’eq. diff. lin. Completa è data da ∫ −=x
x
tAxA dttbexy0
)()( )()( , con
prefissato punto di 0x
I e primitiva di . )(uA )(uaDim: (Metodo di variazione delle costanti). Cerchiamo soluzioni del tipo )()()( xAexcxy = , con
funzione incognita di classe . Una funzione di questo tipo è soluzione sse , ossia sse , e quindi
, da cui si ottiene . Ne viene che è
)(xc 1C)()()()()()(' )()()( xbexcxaexaxcexc xAxAxA +=+ )()(' )( xbexc xA =
)()()(' xAexbxc −= ∫ −=x
x
tA dttbexc0
)()( )(
∫ −==x
x
tAxAxA dttbeexcxy0
)()()( )()()( .
33. (EDL 1°) Problema di Cauchy
Per ogni , e per ogni , il problema di Cauchy ha una e una
sola soluzione definita su tutto
Ix ∈0 Ry ∈0⎩⎨⎧
=+=
00 )()()()()('
yxyxbxyxaxy
)(xy I .
Dim: La generica soluzione dell’eq. completa è che è definita su ∫ −+=x
x
tAxAxA dttbecexy0
)()( )()()(
I . La soluzione del problema è univocamente determinata dalla condizione iniziale 00 )( yxy = , dalla quale si ricava .)(
00xAeyc −=
34. (EDO 2°) Soluzione Se è continua, allora esistono un ed una funzione
soluzione del problema. Se, inoltre, la funzione è dotata di
derivate parziali
RRAf →⊂ )(: 3 0>h] [ RhxhxIy →+−= 00 ,: ),,( zyxf
yf∂∂ e RA
zf
→∂∂ : continue, allora la soluzione è unica.
35. (EDL 2° a coeff. cost.) Soluzioni Le soluzioni di un’eq. diff. lin. completa del 2° ordine sono date dalle funzioni del tipo
)()()( xyxzxy += , essendo una generica soluzione dell’eq. omogenea associata e )(xz )(xy una soluzione particolare dell’eq. completa. 36. (EDL 2° a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni Le soluzioni di un’eq. diff. lin. omogenea del 2° ordine costituiscono un sottospazio di dimensione 2 di .
S),(2 RRC
37. (EDL 2° a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni Sia data un’eq. diff. lin. omogenea del 2° ordine a coeff. cost. 0)()(')('' =++ xbyxayxy ; si indichi con lo spazio vettoriale delle sue soluzioni e si ponga . Allora: S ba 42 −=Δ
1) . Se 0>Δ21
Δ+−=
aλ e 22
Δ−−=
aλ sono le due radici dell’eq. caratteristica
, una base di è data dalle funzioni . 02 =++ bazz S },{ 21 xx ee λλ
2) . Se 0=Δ2a−
=λ è l’unica radice (doppia) dell’eq. caratteristica, una base di è data dalle
funzioni .
S
},{ xx xee λλ
3) . Siano 0<Δ2a−
=α e 2Δ−
=β . (Le radici complesse dell’eq. caratteristica sono perciò
βαλ i+=1 e βαλ i−=2 .) Una base di è allora . S }sin,cos{ xexe xx ββ αα
38. (EDL 2° a coeff. cost.) Nucleo risolvente Sia data un’eq. diff. lin. del 2° ordine e sia una base dello spazio delle soluzioni dell’eq. omogenea associata. Allora una soluzione particolare dell’eq. completa è data da
},{ 21 yy S
∫=x
xdttctxKxy
0
)(),()( , dove il “nucleo risolvente” è dato da ),( txK
)0(')0(')0()0(
)()()0()0(
)(')(')()()()()()(
),(
21
21
21
21
21
21
21
21
yyyy
txytxyyy
tytytytyxyxytyty
txK−−
== .
Casi particolari: Se la funzione è di tipo particolare, la ricerca di una soluzione )(xc )(xy può risultare facilitata. 1) Sia , con xexPxc λ)()( = R∈λ e polinomio. )(xP- Se λ non è radice dell’eq. caratt., y può essere ricercata fra le funzioni del tipo
xexQxy λ)()( = , con polinomio e )(xQ )()( xgrPxgrQ = . - Se λ è radice dell’eq. caratt. Con molteplicità )2(≤γ , y può essere ricercata fra le funzioni del tipo xexQxxy λγ )()( = , con polinomio e )(xQ )()( xgrPxgrQ = . 2) Sia [o ] con xxPexc x βα cos)()( = xxPexc x βα sin)()( = )(,, xPR∈βα polinomio. - Se βα i+ non è radice dell’eq. caratt., y può essere ricercata fra le funzioni del tipo
)sin)(cos)(()( 21 xxQxxQexy x ββα += , con )()()( 21 xgrPxgrQxgrQ == . - Se βα i+ è radice dell’eq. caratt. (necessariamente di molteplicità 1=γ , dato che deve essere radice anche βα i− ), y può essere ricercata fra le funzioni del tipo
)sin)(cos)(()( 21 xxQxxQxexy x ββα += , con )()()( 21 xgrPxgrQxgrQ == . Principio di sovrapposizione: Posto byayyyL ++= ''')( , da 11)( cyL = e , segue
che permette, spezzando il termine noto nella somma dei suoi eventuali addendi, di ricondurre il problema della ricerca di
22 )( cyL =
2121 )( ccyyL +=+y a sottoproblemi più semplici.
39. (EDL n a coeff. cost.) Soluzioni Le soluzioni di un’eq. diff. lin. completa di ordine n sono date dalle funzioni del tipo
)()()( xyxzxy += , con generica soluzione dell’eq. omogenea associata e )(xz )(xy soluzione particolare dell’eq. completa. 40. (EDL n a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni Le soluzioni di un’eq. diff. lin. omogenea a coeff. cost. di ordine n costituiscono un sottospazio
di dimensione n dello spazio vettoriale . S ),( RRCn
41. (EDL n a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni Sia data un’eq. diff. lin. omogenea di ordine n a coeff. cost. . Se
0)(...)()( )1(1
)( =+++ − xyaxyaxy nnn
rααα ,...,, 21 sono le radici reali della equazione caratteristica , e
0...22
11 =++++ −−
nnnn azazaz
11 γβ i± , 22 γβ i± ,…, ss iγβ ± quelle complesse (a due a due coniugate), di molteplicità rispettive rμμμ ,...,, 21 e sννν ,...,, 21 , una base dello spazio vettoriale è data dalle funzioni: S
.sin,...,sin,sin
,cos,...,cos,cos...
,sin,...,sin,sin
,cos,...,cos,cos
,sin,...,sin,sin
,cos,...,cos,cos,,...,,
...,,...,,
,,...,,
1
1
21
22
21
22
11
11
11
11
1
1
1
2222
2222
1111
1111
2222
1111
xexxxexe
xexxxexe
xexxxexe
xexxxexe
xexxxexe
xexxxexeexxee
exxeeexxee
sx
sx
sx
sx
sx
sx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
ssss
ssss
rrrr
γγγ
γγγ
γγγ
γγγ
γγγ
γγγ
βνββ
βνββ
βνββ
βνββ
βνββ
βνββ
αμαα
αμαα
αμαα
−
−
−
−
−
−
−
−
−
42. (EDL n a coeff. cost.) Nucleo risolvente Sia data un’eq. diff. lin. di ordine n e sia una base dello spazio delle soluzioni dell’eq. omogenea associata. Allora una soluzione particolare dell’eq. completa è data da
},...,,{ 21 nyyy S
∫=x
xdttctxKxy
0
)(),()( , dove il “nucleo risolvente” è dato da ),( txK
)(...)(...
)('...)(')(...)()(...)(
)(...)(...
)('...)(')(...)(
),(
111
1
1
1
221
1
1
tyty
tytytytytyty
tyty
tytytyty
txK
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
−−
−−
=
Casi particolari: 1) Sia , con xexPxc λ)()( = R∈λ e polinomio. )(xP- Se λ non è radice dell’eq. caratt., y può essere ricercata fra le funzioni del tipo
xexQxy λ)()( = , con polinomio e )(xQ )()( xgrPxgrQ = . - Se λ è radice dell’eq. caratt. Con molteplicità γ , y può essere ricercata fra le funzioni del tipo xexQxxy λγ )()( = , con polinomio e )(xQ )()( xgrPxgrQ = . 2) Sia [o ] con xxPexc x βα cos)()( = xxPexc x βα sin)()( = )(,, xPR∈βα polinomio. - Se βα i+ non è radice dell’eq. caratt., y può essere ricercata fra le funzioni del tipo
)sin)(cos)(()( 21 xxQxxQexy x ββα += , con )()()( 21 xgrPxgrQxgrQ == . - Se βα i+ è radice dell’eq. caratt. con molteplicità γ , y può essere ricercata fra le funzioni del tipo )sin)(cos)(()( 21 xxQxxQexxy x ββαγ += , con )()()( 21 xgrPxgrQxgrQ == . Principio di sovrapposizione: Posto , da e yayayyL n
nn +++= − ...)( )1(1
)(11)( cyL = 22 )( cyL = ,
segue che permette, spezzando il termine noto nella somma dei suoi eventuali addendi, di ricondurre il problema della ricerca di
2121 )( ccyyL +=+y a sottoproblemi più semplici.
43. Equazioni con variabili separate: metodo risolutivo Sono così dette le equazioni del tipo [ ]f(x,y(x))g(x)h(y)y'(x) == , con continua, (potendo event. essere , ), e
] [ Rbag →,:−∞=a +∞=b ] [ Rdch →,: di classe C1, (potendo event. essere
, ). −∞=c +∞=d
Per ogni e ogni il probl. di Cauchy ] bax ,0 ∈ [ [] dcy ,0 ∈( ) ( ) ( )( )⎩
⎨⎧
==′
00 yxyyhxgxy
ha una e una sola
soluzione locale , con ( ) RIxy →: ] [ ] [bahxhxI ,, 00 ⊂+−= . 1) Se è , si ha ( ) 00 =yh ( ) 0yxy ≡ (soluzione costante). 2) Sia . Se y(x) è la soluzione, allora si ha ( ) 00 ≠yh ( )( ) 0≠xyh Ix∈∀ ,. Infatti, se esistesse un
con , il probl. di Cauchy Ix ∈1 ( )( ) 01 =xyh( ) ( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
==′
11 xyxzzhxgxz
ammetterebbe le due soluzioni locali
y(x) e z(x)=y(x1), contro il Teorema di esistenza e di unicità locali. Dall'uguaglianza
, dividendo per ( ) ( ) ( )( tyhtgty =′ ) ( )( ) [ ]0 ≠tyh , si ottiene ( )( )( ) ( )tgtyhty
=′
. Integrando si ricava:
( )( )( ) ( )∫∫ =′ x
x
x
x
dttgdttyhty
00
, ossia ( )( ) ( ) ( ) ( )00 xGxGyHxyH −=− , essendo ( )yH una primitiva di ( )yh1
e una primitiva di . Poiché ( )xG ( )xg ( )yH è dotata di inversa (essendo ( )yh1 di segno
costante), si ottiene ( ) ( ) ( ) ( )( )001 yHxGxGHxy +−= − .
44. Confronto tra le soluzioni di equazioni nonlineari e equazioni linearizzate Sia ( )2: RAf ⊂ , con A aperto di classe C1 su A e ( ) Ayx T ∈00 , . Si vuol approssimare la
soluzione del probl. VI , con la soluzione del problema linearizzato ( )
( )⎩⎨⎧
==′
00
,yxy
yxfy ( )( )⎩
⎨⎧
==′
00
,yxz
yxfz
dove ( ) ( ) ( )( ) ( )( )00000000 ,,,, yyyxfxxyxfyxfyxf yx −+−+= è l’approssimante lineare di f in
. Si ha: ( Tyx 00 , ) ( ) γβα ++= xyyxf , con R∈γβα ,, e quindi è lineare rispetto a
z e dove il II° membro dipende linearmente da z. Se y(x) è soluzione del PVI e z(x) è soluzione del sistema linearizzato, allora si ha
( )⎩⎨⎧
=++=′
00 yxzxyz γβα
( ) 00 yxy = , ( ) ( )( ) ( 00000 ,, yxfxyxfxy = )=′ e ( ) 00 yxz = , ( ) ( )( ) ( ) ( 0000000 ,,, yxfyxfxzxfxz ===′ ) ; inoltre ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0000000 ,,,, xyyxfyxfxyxyxfxyxfxy yxyx ′⋅+=′⋅+=′′ ( ) ( ) ( ) ( 000000 ,, xzyxfyxfxz yx ′⋅+=′′ )
e quindi , ( ) ( )00 xzxy = ( ) ( ) ( ) ( )00 xzxy ′ ′′00 xzxy ′′=′′ , =′ . Pertanto i polinomi di Taylor di p.to iniziale coincidono, cioè 0x ( ) ( ) ( )( )202 xxxxpxy −+= ε e ( ) ( ) ( )( 2
02 xxxxpxz −+= η ) con
( ) ( ) 0limlim00
==→→
xxxxxxηε . Quindi risulta ( ) ( ) ( ) ( ) 2
0xxxxxzxy −−=− ηε ossia ( ) ( )( ) 20
>− xxordx ηε
cioè ( ) ( ) ( )20xxoxzxy −=− .
Teoremi – Curve in forma parametrica 45. Rettificabilità di una curva di classe C1
Se è di classe C[ ] nRba →,:γ 1, allora γ è rettificabile e ( ) ( )∫ ′=
b
adttl γγ .
Dim ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑∫∑ ∫∑ ′=′≤′=−====
−−−
b
a
m
i
t
t
m
i
t
t
m
iii dttttttl i
i
i
i
γγγγγδπ111
111
( ) ( )( ) ( )
.
Quindi ∫ ′≤=b
adttll γδπγ
δsup e si prova che in realtà vale l’uguaglianza.
46. Integrale curvilineo di un campo vett. conserv. – Generalizzaz. del teorema di Torricelli Se ( ) RRAf n →⊂∃ : t.c. ( ) ( ) Axxfxg ∈∀∇= con A aperto, allora
dove ( )( ) ((∫ −=><γ
γγτ afbfdsg , )) γ è una qualunque curva regolare con ( ) Asost ⊂γ .
Dim Si ha: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ==>′∇<=>′<=>< ∫∫∫∫b
a
b
a
b
adttf
dtddtttfdtttgdsg γγγγγτ
γ,,,
( )( ) (( afbf ))γγ −= ; nelle ipotesi del teorema, si dice che g è conservativo ed f è un potenziale di g su A.
12. Relazioni tra serie numeriche e integrali generalizzati
Data una serie , definiamo la “funzione a gradini” a:[0,+∞[ R ponendo a(x) :=a∑+∞
=1nna n se n-1≤x<n;
la funzione è localmente integrabile su [0,+∞[ e risulta . ( ) ( )∫ =∀n
nsdxxan0
Teo La serie è convergente ↔a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[; inoltre si ha . ∑+∞
=1nna ( )∫
+∞=
0sdxxa
Dim 1) Se a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[, allora ∑ è convergente e . +∞
=1nna ( )∫
+∞=
0sdxxa
Se a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[, allora esiste finito . Per il teorema sul
limite della restrizione, esiste finito e quindi esiste finito
.
( ) ( )∫∫+∞
+∞→=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
00lim dxxadtta
x
n
( ) ( )∫∫+∞
+∞→=
00lim dxxadxxa
n
n
( )∫+∞
+∞→=
0lim dxxasnn
2) Se è convergente, allora a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[. ∑+∞
=1nna
Se è conv., allora . Quindi risulta se n-1≤ x <n, ∑+∞
=1nna 0lim =
+∞→ nna ( ) ( ) ( )∫∫∫ −
−+=
x
n
nxdttadttadtta
1
1
00
= Sn-1+an(x-(n-1)) s+0=s. Dunque a(x) è integr. in s.g. su [0,+∞[ e . ( )∫+∞
=0
sdxxa
4. Carattere della serie armonica generalizzata
Serie armonica generalizzata: ∑+∞
=
=+++++1
1131
21
n nn αααα1
• Se α > 1, la serie ∑+∞
=1
1n nα è convergente ( εα +>=∞+ 11 a
nord per qualche ε);
• Se α ≤ 1, la serie ∑+∞
=1
1n nα è divergente;
Dim Si osserva che αα =∞+ nord 1 ;
1. ε > 0 tale che ord+∞ an = α > 1+ ε (per esempio 2
1−=αε );
2. ord+∞ an = α ≤ 1; 5. Aut-aut per le serie a termini positivi
Se an ≥ 0 (∀n) , allora è convergente o divergente (a +∞). ∑+∞
=1nna
Dim Se , allora ( è non-decrescente. Quindi per il teorema sul limite delle funzioni
monotone esiste .
( nan ∀≥ 0 ) )nns
⎩⎨⎧
+∞=∈
==+∈+∞→
Rsss n
Nnnn
suplim
8. Criterio del rapporto per la convergenza di una serie numerica a termini positivi
Se an ≥ 0 (∀n) ed k > 0 0< k <1 tale che nka
a
n
n ∀≤+ 1 , allora è convergente. ∑+∞
=1nna Dim Si ha: a2
≤ ka1, a3 ≤ ka2 ≤ k2a1, …, an+1 ≤ kan ≤ kna1; quindi, ∀n, 0 < an+1 ≤ kna1. Ossia è maggiorata
dalla serie geometrica , avente ragione 0< k <1. Il criterio del confronto implica che
è convergente.
∑+∞
=1nna
∑+∞
=
−
1
11
n
nka ∑+∞
=1nna
210. Criterio di Leibniz per la convergenza di una serie numerica con termini di segno alternato
Supponiamo che (∀n) : (1) an ≥ 0 e (2) an+1 ≤ an ; si ha che la serie è convergente
. Inoltre, detta S la somma della serie, risulta (∀n) |S-S
( )∑+∞
=
−0
1n
nn a
0lim =⇔+∞→ nn
a n|≤an+1.
Dim Si ha ∀k: • kkkk sass 212212 ≤−= ++ - dalla (1) • ( ) 121221212212 −+−++ ≥−+=−= kkkkkkk saasass - dalla (2) • kkkkk saass 22212222 ≤+−= +++ - dalla (2) Quindi è non decrescente e è non crescente. Inoltre ( )kks 12 + ( )kks2 ( )kks 12 + è superiormente limitata da e ( è inferiormente limitata da . Il teorema sul limite delle funzioni monotone assicura che esistono finiti e
2s )kks2 1sss kk′=++∞→
:lim 12 ss kk′′=
+∞→:lim 2 . Poiché 12212 ++ −= kkk ass e , risulta
. Dunque esiste finito
0lim =+∞→ nn
a
sss :=′′=′ ssnn=
+∞→lim .
Infine si ha: • 122 2 +≤−=−= kkn asssskn (essendo kk sss 212 ≤≤+ );
• 2212 12 ++ ≤−=−+= kkn asssskn ;
e quindi 1+≤− nn ass . 11. Lemma di Abel
Se converge in ( )∑+∞
=
−0
0n
nn xxa Rx∈ , allora converge Rx∈∀ tale che 00 xxxx −<− .
Dim Poiché è convergente, si ha che (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa ) ( ) 0lim 0 =−
+∞→
nnn
xxa e quindi tale che 0>∃M
( ) nMxxa nn ∀≤− 0 ; ( ) ( )
nnn
nn
n
nnn
n xxxx
Mxxxx
xxaxxxx
xxaxxa ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−=−−
−=−
0
0
0
000
0
00 .
Sia tale cheRx∈ 00 xxxx −<− . Posto 0
0:xxxx
q−−
= , risulta 10 <≤ q e quindi
( ) nnn qMxxan ⋅≤−∀ 0 . Dunque ( )∑
+∞
=
−0
0n
nn xxa è maggiorata da una serie geometrica
convergente. Il criterio del confronto assicura che ( )∑+∞
=
−0
0n
nn xxa è convergente, e quindi
è convergente. (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa )
12. Proprietà caratteristiche del raggio di convergenza
• Il raggio di convergenza R di verifica: (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa )
1) se RxxRx <−∈ 0 t.c.è , allora converge. (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa )
2) se RxxRx >−∈ 0 t.c.è , allora non converge. (∑+∞
=
−0
0n
nn xxa )
[• Ogni che soddisfa le due condizioni è uguale al raggio di convergenza R. [ +∞∈′ ,0RDim • Sia R il raggio di conv. definito come { }Ixxx ∈− :sup 0 :
(1) Se RxxRx <−∈ 0 t.c.è , allora per la IIa proprietà dell’estremo superiore, Ix∈∃ (insieme di
convergenza) t.c. Rxxxx <−<− 00 . Per il lemma di Abel si ha che la serie converge in x.
3(2) Se RxxRx >−∈ 0 t.c.è : se per assurdo la serie convergesse nel p.to x, allora e quindi Ix∈
{ RIxxx >∈− :sup 0 }[
: impossibile. Dunque la serie converge nel p.to x. • Sia verificante (1) e (2) (riferite a R’); da (1) segue [ +∞∈′ ,0R RR ≤′ ; da (2) segue RR ≥′ ; in conclusione RR =′ . 13. Teorema di convergenza di una serie di Taylor (o di sviluppabilità in s.d.T.) Se (con ) è di classe ed esiste t.c. ] [ Rhxhxf →+− 00 ,: 0>h ∞C 0>M Nn∈∀ :
( ) ( ) nn
hnMxf !
≤ su allora f è sviluppabile in serie di Taylor con p.to iniziale x] hxhx +− 00 , [ 0, su
. ] [hxhx +− 00 ,
Dim Sia ] [hxhxx +−∈ 00 , fissato. Si ha ( n∀ ): ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =−−=− ∑
=+
n
k
kk
n xxk
xfxfxsxf0
00
1 !
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1
0
1
, !10
++
−+
=−= nn
xn xxn
fxpxf ξ con ] [hxhx +−∈ 00 ,ξ . Quindi risulta:
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) 0
!11!1
!1
101
011
0
1
1 →⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−
+⋅
+≤−
+=−
++
+
++
+
nn
nn
n
n hxx
Mxxnh
nMxxn
fxsxf
ξ se ∞→n ,
essendo . Dunque si ha ] [ hxx <− 0 ( ) ( )xfxsnn=++∞→ 1lim ] [hxhxx +−∈∀ 00 , .
14. Formule di Eulero1) yiyeiy sincos += yiye iy sincos −=−
2) ( )iyeeyiyiy
cosh2
cos =+
=−
( )i
iyieey
iyiy sinh2
sin =−
=−
Dim 1) Si ha: ...!6!4!2
1cos642
+−+−=yyyy e ( ) ( ) ...
!5!3...
!5!3sin
5353
+++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
iyiyiyyyyiyi
Si ottiene quindi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iyeiyiyiyiyyiyyiyyiyyiy =+++++=+−+++−+=+ ...
!4!3!21...
!6!5!4!3!21sincos
43265432
La seconda delle (1) si prova in modo analogo; Le (2) si ottengono per somma e sottrazione dalle precedenti; 15. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
><><≤><∈∀ yyxxyxRyx n ,,, , Dim Se 0=y , allora la (dis)uguaglianza è verificata.
Sia 0≠y ; sia . Si ha: Rt∈ ><+><−>>=<−−≤< yytyxtxxtyxtyx ,,2,,0 2 , cioè
0,,2, 2 >≥<+><−>< xxtyxtyy ; (se , ) questo si ha
se e solo se
0>a 0400 22 <−=<Δ⇔≥++ acbcbtat
>><<−>=<Δ
≥ yyxxyx ,,,4
0 2 , cioè >><≤<>< yyxxyx ,,, 2 . Prendendo la radice
quadrata si ha ><><≤>< yyxxyx ,,, . // Si ha l’uguaglianza solo se x,y linearm. dipend. 19. Una condizione sufficiente per l’integrabilità su un insieme limitatoSe ( ) RREf n →⊂: è limitata e continua, con E insieme limitato e fr(E) è trascurabile in Rn, allora f è integrabile su E.
Dim Sia R un N-rettangolo con nRE ⊂ e sia definita come RRf →:0 ( ) ( )⎩⎨⎧
∉∈
=ExExxf
xf 0
0 .
4Poiché f0 è discontinua (al più) su fr(E) e fr(E) è trascurabile, si ha che f0 è integrabile su R. Quindi f è integrabile su E. 21. Formule di riduzione su domini normali in R2
( )Sia RREf →⊂ 2: una funzione continua sul dominio ( ) ( ) ( ){ }xyxbxayxE ψϕ ≤≤≤≤= ,:,
normale rispetto all'asse x. Allora f è integrabile su E e si ha . ( )( )
( )
∫ ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
b
a
x
xE
dxdyyxffdmψ
ϕ
,
Dim Siano ( )Ic ϕmin= e ( )Id ψmax= , con [ ]baI ,= . Risulta [ ] [ dcbaRE ,, × ]=⊂ . La
f.ne ( ) [ ] [ ] ℜ→×= dcbaRyxf ,,:, definita da ( ) ( ) ( )( )⎩
⎨⎧
∉∈
=EEyxf
yxfyx, se 0yx, se ,
, è continua su R
tranne, eventualmente, nei punti del tipo ( )( )xx ϕ, e del tipo ( )( )xx ψ, che costituiscono un insieme
trascurabile ed è quindi integrabile su R. Si ha: ( )∫ ∫∫∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
b
a
d
cRE
dxdyyxfdmffdm ,
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
∫ ∫∫ ∫∫∫ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
b
a
x
x
b
a
d
x
x
x
x
c
dxdyyxfdxdyyxfdyyxfdyyxf 0,0,,,ψ
ϕψ
ψ
ϕ
ϕ
.
Si ottiene un analogo teorema scambiando i ruoli delle variabili x e y. 22. La differenziabilità implica la continuitàSiano ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, e Ax ∈0 . Se f è differenz. in , allora f è continua in . 0x 0xDim Si ha ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0000 xfxxxxxLxfxf →−+−+= ε se 0xx → . 23. La differenziabilità implica l’esistenza di tutte le derivate direzionaliSiano ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, e Ax ∈0 . Se f è differenziabile in , allora per ogni versore 0x
nRv∈ esiste ( ) ( )vLxvf
=∂∂
0 .
Dim Fissiamo un versore nRv∈ . Calcoliamo ( ) ( )=
−+t
xfvtxf 00
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )=⋅++=++=−−+++= vtvtxvtLt
vtvtxvtLt
xfxxvtxvtLxft 000000
111 εεε
( ) ( ) 00 →++=tt
vtxvL ε . Dunque esiste finito ( ) ( ) ( )vLt
xfvtxft
=−+
→
00
0lim , cioè ( ) ( )vLx
vf
=∂∂
∃ 0 .
Corollario Se f è differenziabile in , allora esistono 0x ( ) ( ) ( ) nieLxefx
xf
iii
,...1per 00 =∀=∂∂
=∂∂ .
Quindi ( )( 0xdfL = ) è rappresentato dalla matrice Jacobiana ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
= 000 ,..., xxfx
xfxJf
ni
.
Dim Si ha ( ) ( ) niaeLxxf
iii
,...1 0 =∀==∂∂ .
524. Teorema del differenziale totaleSe ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, è dotata di derivate parziali in A continue in Ax ∈0 , allora f è differenziabile in 0x . Dim (N=2) Siano tali che i segmenti che congiungono ( ) 2, Rkh T ∈ ( )Tyx 00 , con ( ) e
con sono contenuti in A. Calcoliamo, usando il teorema di Lagrange,
Tkyhx ++ 00 ,
( )Tyx 00 , )( Tkyx +00 ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+++−++=−++ 000000000000 ,,,,,, yxfkyxfkyxfkyhxfyxfkyhxf
( ) ( ) ] [1,0,con ,, 0000 ∈⋅++⋅++= τϑτϑ kkyxfhkyhxf yx . Poiché fx e fy sono continue in , si ha:
( )Tyx 00 ,( ) ( ) ( )h,kε,yxfkyhxf yx 10000 , +=++ϑ con
( ) ( )( ) 0lim 1
0,0,=
→h,kε
Tkh
e ( ) ( ) kε,yxfkyxf yy 20000 , +=+ ( )τ con ( ) 0lim 20=
→kε
k;
quindi risulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kkhkhkyxfhyxfyxfkyhxf yx ⋅+⋅+⋅−⋅=−++ 2100000000 ,,,,, εε con ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,
,2122222122
21 →+≤+
++
≤+
⋅+⋅kkh
kh
kk
kh
hkh
kh
kkhkhεεεε
εε se
. T,h,k ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ → 00 26. Test delle derivate prime per i p.ti di estremoSe ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, è differenziabile in Ax ∈0 ed ha un estremo relativo in 0x ,
allora ( ) ( ) ( ) 0... ,0 001
0 =∂∂
==∂∂
=∇ xxfx
xfxf
n
.
Dim Sia per esempio 0x p.to di minimo. Poiché 0x è interno ad A, ( ) AxB ∈>∃ δδ , t.c.0 0 . Fissiamo un versore u . La funzione ( ) ( )utxftg += 0 è definita su ] [δδ ,− . Si ha che g è derivabile
in 0 e ( ) ( 00 xufg∂∂
=′ ). Inoltre g ha un minimo relativo in 0, e ] [δδ ,0 −∈ . Per il teorema di Fermat,
si ha che ( ) ( )000 xufg∂∂
==′ .
27. Test delle derivate seconde per i punti di estremoSia ( ) RRAf n →⊂: , con A aperto, due volte differenziabile in Ax ∈0 , e sia ( ) 00 =∇ xf . Si ha:
1. se ( )0xHf è definita positiva in 0x , allora 0x è un minimo relativo; 2. se ( )0xHf è definita negativa in 0x , allora 0x è un massimo relativo; 3. se ( )0xHf è indefinita, allora 0x è un punto di sella;
Dim (1) Si ha: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 20000000 ,
21, xxxxxxxxHfxxxfxfxf −+>−−<+>−∇<+= ε con
( ) 0lim0
=→
xxxε . Poiché 0x è p.to critico ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2
00000 ,21 xxxxxxxxHfxfxf −+>−−<=− ε ;
poiché ( 0xHf ) è definita positiva, esiste tale che 0>m ( ) nRhhmhhxHf ∈∀>≥< , 20 . Quindi si
ha ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =−+−≥−+>−−<=− 20
20
200000 2
,21 xxxxxmxxxxxxxxHfxfxf εε
( ) 202
xxxm−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += ε . Poiché ( ) 0
22lim
0
>=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→
mxmxx
ε , il teorema di permanenza del segno
garantisce l’esistenza di t.c. 0xIU ∈ ( ) { }0\ 02
xUxxm∈∀>+ε e quindi
( ) ( ) { }00 \ 0 xUxxfxf ∈∀>− , cioè 0x è p.to di minimo relativo. (2) Analoga a (1)
6
(3) Si ha ( ) ( ) ( )( ) ( ) 200000 ,
21 xxxxxxxxHfxfxf −+>−−<+= ε ; poiché ( 0xHf ) è indefinita,
esistono due versori ( )vuvu ≠ e tali che ( ) 0,0 >=< uuxHf e ( ) 0,0 >=< vvxHf . Quindi risulta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2000
20000 ,
21,
21 tutxuuxHfxfututxututxHfxfutxftgu ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++><+=++><+=+= εε
Dunque ( )tgu ha un minimo relativo per t=0; analogamente si ha che ( ) ( vtxftgv += 0 ) ha un massimo relativo per t=0; in conclusione, 0x è p.to di sella.
32. (EDL 1°) Variazione delle costantiUna soluzione particolare dell’eq. diff. lin. Completa è data da ∫ −=
x
x
tAxA dttbexy0
)()( )()( , con
prefissato punto di 0x
I e primitiva di . )(uA )(uaDim: (Metodo di variazione delle costanti). Cerchiamo soluzioni del tipo )()()( xAexcxy = , con
funzione incognita di classe . Una funzione di questo tipo è soluzione sse , ossia sse , e quindi
, da cui si ottiene . Ne viene che è
)(xc 1C)()()()()()(' )()()( xbexcxaexaxcexc xAxAxA +=+ )()(' )( xbexc xA =
)()()(' xAexbxc −= ∫ −=x
x
tA dttbexc0
)()( )(
∫ −==x
x
tAxAxA dttbeexcxy0
)()()( )()()( .
XX1. Struttura dell’insieme delle soluzioni di un’EDO linearesia (c) y’=a(x)y+b(x). L’insieme delle sol. di (c) è costituito da tutte e sole le funzioni y(x) del tipo y(x)= ỹ (x)+z(x) dove ỹ(x) è una soluzione particolare di (c) e z(x) una generica soluzione dell’omogenea, cioè Sb = ỹ + SoDim: (1) sia ỹ una particolare soluzione di (c) e z una generica sol. di (O). si ha, posto y= ỹ +z che L(y) = L(ỹ+z)=L(ỹ)+L(z)=b+0=b cioè y è una sol. di (c). (2) Siano y e ỹ due soluzioni di (c). Si ha, posto z=y- ỹ che L(z)=L(y- ỹ)=L(y)-L(ỹ)=b-b=0 XX2. Principio di sovrapposizione per un’EDO lineare se ỹ1 è una sol. di y’=a(x)y+b1(x) e ỹ2 è una sol. di y’ = a(x)y+b2(x) allora ỹ = ỹ1+ ỹ2 è una soluzione di y’=a(x)y + b(x) dove b(x)=b1(x)+b2(x). Dim: si ha L(ỹ1+ ỹ2) = L(ỹ1) + L(ỹ2) = b1+b2 cioè L(ỹ)=b 45. Rettificabilità di una curva di classe C1
Se è di classe C[ ] nRba →,:γ 1, allora γ è rettificabile e ( ) ( )∫ ′=b
adttl γγ .
Dim ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑∫∑ ∫∑ ′=′≤′=−====
−−−
b
a
m
i
t
t
m
i
t
t
m
iii dtttttt i
i
i
i
γγγγγδπ111
111
( ) ( )( ) ( )
l .
Quindi ∫ ′≤=b
adttl γδπγ
δsupl e si prova che in realtà vale l’uguaglianza.
46. Integrale curvilineo di un campo vett. conserv. – Generalizzaz. del teorema di TorricelliSe ( ) RRAf n →⊂∃ : t.c. ( ) ( ) Axxfxg ∈∀∇= con A aperto, allora
dove ( )( ) ((∫ −=><γ
γγτ afbfdsg , )) γ è una qualunque curva regolare con ( ) Asost ⊂γ .
Dim Si ha: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ==>′∇<=>′<=>< ∫∫∫∫b
a
b
a
b
adttf
dtddtttfdtttgdsg γγγγγτ
γ,,,
( )( ) (( afbf ))γγ −= ; nelle ipotesi del teorema, si dice che g è conservativo ed f è un potenziale di g su A.
