Analisi Matematica 2 - Teoremi

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Universit degli Studi di TriestePiazzale Europa 1, 34100 Trieste Facolt di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA INFORMATICA Anno Accademico 2002/2003

Teoremi di ANALISI MATEMATICA 2

Studente: Giorgio Davanzo [email protected]

Parte 1 - Serie numeriche, successioni e serie di funzioni TEOREMI 1. Condizione necessaria per la convergenza di una serie 2. Relazioni tra serie numeriche e integrali generalizzati 3. Carattere della serie geometrica 4. Carattere della serie armonica generalizzata 5. Aut-aut per le serie a termini positivi 6. Criterio del confronto 7. Criterio dell'ordine d'infinitesimo 8. Criterio del rapporto per la convergenza di una serie numerica a termini positivi 9. Criterio del rapporto con il limite 10. Criterio di Leibniz per la convergenza di una serie numerica con termini di segno alternato 11. Lemma di Abel 12. Propriet caratteristiche del raggio di convergenza 13. Teorema di convergenza di una serie di Taylor (o di sviluppabilit in s.d.T.) 14. Formule di Eulero Parte 2 - Lo spazio Rn, integrale di Riemann in Rn 15. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz 16. Propriet della norma 17. Teorema di Riesz in Rn 18. Il grafico di una funzione integrabile su un rettangolo trascurabile 19. Una condizione sufficiente per l'integrabilit su un insieme limitato 20. Ogni insieme normale chiuso e misurabile 21. Formule di riduzione su domini normali in R2 Parte 3 Calcolo differenziale in Rn 22. La differenziabilit implica la continuit 23. La differenziabilit implica lesistenza di tutte le derivate direzionali 24. Teorema del differenziale totale 25. Teorema del valore medio 26. Test delle derivate prime per i punti di estremo 27. Test delle derivate seconde per i punti di estremo Parte 4 Equazioni differenziali 28. (EDO 1) Di esistenza e unicit locali 29. (EDO 1) Di esistenza e unicit globali 30. (EDL 1) Omogenea 31. (EDL 1) Completa 32. (EDL 1) Variazione delle costanti 33. (EDL 1) Problema di Cauchy 34. (EDO 2) Soluzione 35. (EDL 2 a coeff. cost.) Soluzioni 36. (EDL 2 a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni 37. (EDL 2 a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni 38. (EDL 2 a coeff. cost.) Nucleo risolvente 39. (EDL n a coeff. cost.) Soluzioni 40. (EDL n a coeff. cost.) Sottospazio delle soluzioni 41. (EDL n a coeff. cost.) Determinazione delle soluzioni 42. (EDL n a coeff. cost.) Nucleo risolvente 43. Equazioni con variabili separate: metodo risolutivo 44. Confronto tra le soluzioni di equazioni nonlineari e equazioni linearizzate Parte 5 Curve in forma parametrica 45. Rettificabilit di una curva di classe C1 46. Integrale curvilineo di un campo vett. conserv. Generalizzaz. del teorema di Torricelli

Teoremi Serie numeriche, successioni e serie di funzioni1. Condizione necessaria per la convergenza di una serie Se

an =1

+

n

convergente allora lim an = 0 .n+

Dim Si ha: an = sn sn1 s s = 0 dove lim sn = s R .n+

2. Relazioni tra serie numeriche e integrali generalizzati Data una serie

an =1

+

n

, definiamo la funzione a gradini a : [0,+[ R ponendo a( x ) := an se

n 1 x < n ; la funzione localmente integrabile su [0,+[ e risulta (n )Teo La serie

a(x )dx = sn 0 + 0 +

n

.

an =1

+

n

convergente a (x ) integr. in s.g. su [0,+[ ; inoltre si ha

a(x )dx = s .

Dim 1) Se a ( x ) integr. in s.g. su [0,+[ , allora

an =1

+

n

convergente e

a(x )dx = s .0

x + Se a ( x ) integr. in s.g. su [0,+[ , allora esiste finito lim a (t )dt = a( x )dx . Per il teorema 0 0 n +

sul limite della restrizione, esiste finiton+

n+ 0

lim a( x )dx = a(x )dx e quindi esiste finiton 0

+

lim sn = a( x )dx .0

+

2) Se+

an =1 n

+

n

convergente, allora a ( x ) integr. in s.g. su [0,+[ .

Se

an =1

conv., allora lim an = 0 . Quindi risulta se n 1 x < n ,n+

a(t )dt = x 0 0

n 1

0

a(t )dt + a(t )dtx n 1

= sn1 + an ( x (n 1)) s + 0 = s . Dunque a ( x ) integr. in s.g. su [0,+[ e3. Carattere della serie geometrica

a(x )dx = s .

+

Serie geometrica: a + ak + ak 2 + ... + ak n1 + ... con a, k R e a 0 (k si dice ragione della serie) (il rapporto di ogni elemento con il precedente costantemente pari a k); 1 k n se k 1 a si ha: s n = a + ak + ak 2 + ... + ak n1 = a (1 + k + ... + k n1 ) = 1 k ; an se k = 1 a a risulta: se k < 1 , allora lim sn = , quindi la serie geom. converge con somma ; n+ 1 k 1 k se k 1 o k < 1 , allora lim sn = , quindi la serie geom. divergente;n+

se k = 1 , allora lim s n , quindi la serie geom. indeterminata; /n+

Dim Le ridotte per k 1 sono a

1 k n e allora se k > 1 la serie non converge perch 1 k 1 k n 1 1 1 1 n = kn +k che tende a + . 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k

4. Carattere della serie armonica generalizzata Serie armonica generalizzata: 1 + Se > 1 , la serie Se 1 , la serie1 1 + + 2 3 + 1 + n = 1 n =1 n+

n nn =1 n =1 +

+

1 1

convergente ( ord + divergente;

1 = a > 1 + per qualche ); n

Dim Si osserva che ord +

1 = ; n(per esempio =

1. > 0 tale che ord + an = a > 1 + 2. ord + an = 1 ; 5. Aut-aut per le serie a termini positivi Se an 0 (n ) , allora

12

);

an =1

+

n

convergente o divergente (a + ).

Dim Se an 0 (n ) , allora (sn )n non-decrescente. Quindi per il teorema sul limite delle

R funzioni monotone esiste lim sn = sup sn = s . n+ nN + = +6. Criterio del confronto Se 0 an bn+

(n ) ; si ha:n =1 +

1) Se 2) Se

bn convergente, alloraan =1 n =1 + n

an

+

n

convergente;

divergente, allora

bn =1

divergente;

Dim (1) Siano a(x) e b(x) le funzioni a gradini associate a0 a ( x ) b( x )+

ann =1 + n =1

+

en

bn =1

+

n

. Poich

x [0,+[ e b(x) integrabile in s.g. su [0,+[ (essendo

b

convergente) il

criterio del confronto per lintegrale generalizzato implica che a(x) integrabile in s.g. su [0,+[ e quindi

an =1

n

converge. La (2) segue da (1).

7. Criterio dellordine dinfinitesimo Sia an 0 (n ) ; si ha: 1) 2) se > 0 t.c. ord + an > 1 + , allora se ord + an 1 , allora

an =1

+

n

convergente;

an =1

+

n

divergente (a + );

Dim Si applica lanalogo criterio dellordine di infinitesimo per lintegrale in senso generalizzato alla funzione a gradini a(x) associata a

an =1

+

n

. Si ha ord + a( x ) = ord + an :

(1) Sia ord + an > 1 + , allora risulta ord + a ( x ) > 1 + . Infatti, se n 1 x n , si ha che an a(x ) a(x ) = a( x )x1+ a n n1+ = 0 e quindi 0 . Dunque a(x) integrabile in s.g. su 1+ 1+ 1+ 1 1 1 x n x

[0,+[ , e quindi ann =1

+

convergente. alloraord + a ( x ) 1 .

(2)

Se

a n 1 a(x ) = a (x )x an (n 1) = n , e quindi ord + a(x ) ord + an 1 . Dunque 1 1 n n x

ord + an 1 ,

Infatti

risulta

se

n 1 x n+0

che e

a(x )dx = +

quindi

an =1

+

n

= + .

8. Criterio del rapporto per la convergenza di una serie numerica a termini positivi Se an > 0 (n ) ed k > 0

0 < k < 1 tale che

+ a n +1 k n , allora a n convergente. an n =1

Dim Si ha: a 2 ka1 , a3 ka 2 k 2 a1 , , a n+1 ka n k n a1 ; quindi, n , 0 < a n+1 k n a1 . Ossia maggiorata dalla serie geometrica implica che

an =1

+

n

a kn =1 1

+

n 1

, avente ragione 0 < k < 1 . Il criterio del confronto

an =1

+

n

convergente.

9. Criterio del rapporto con il limite Sia an > 0 (n ) : 1) Se lima n +1 = L < 1 , allora n + a n

an converge;n =1

+

2) Se lim

a n +1 = L > 1 , allora n + a n

an =1

+

n

diverge;

an+1 L < . Fissiamo > 0 t.c. 1 > L + =: k (per an a 1 L esempio = ). Dunque esiste n t.c. (n )(n > n ) (L- < ) n+1 < L + = k con 0 < k < 1 . an 2Dim (1) Si ha:

( > 0)(n )(n ) n > n

Quindi, per il criterio del rapporto

n = n +1

an converge e pertanto

+

an =1

+

n

converge.

(2) Il termine generale non infinitesimo.

10. Criterio di Leibniz per la convergenza di una serie numerica con termini di segno alternato

Supponiamo che (n ) : (1) an 0 e (2) an+1 an ; si ha che la serie lim an = 0 . Inoltre, detta s la somma della serie, risulta (n )n +

( 1) an n =0

+

n

convergente

s sn an+1 .

Dim Si ha k :

s2 k +1 = s2 k a2 k +1 s2 k - dalla (1)

s2 k +1 = s2 k a2 k +1 = s2 k 1 + (a2 k a2 k +1 ) s2 k 1 - dalla (2) s2 k + 2 = s2 k a2 k +1 + a2 k + 2 s2 k - dalla (2)

Quindi

(s2k +1 )k

non decrescente e

limitata da s 2 e

inferiormente limitata da s1 . Il teorema sul limite delle funzioni monotone assicura che esistono finiti lim s 2 k +1 =: s e lim s 2 k =: s . Poich s2 k +1 = s2 k a2 k +1 ek + k +n +

(s2 k )k

(s2 k )k

non crescente. Inoltre

(s2k +1 )k

superiormente

lim an = 0 , risulta s = s =: s . Dunque esiste finito lim s n = s .n +

Infine si ha: n = 2k n = 2k + 1 e quindi s sn