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    ANALISI 2 - Teoremi e dimostrazioni vari

    Sommario1. Serie numeriche ......................................................................................................................................... 2

    Definizione ................................................................................................................................................. 2

    Proposizione 1.1 ........................................................................................................................................ 2

    Serie a termini non negativi .......................................................................................................................... 2

    Serie geometrica ........................................................................................................................................ 2

    Serie armonica ........................................................................................................................................... 3

    Serie armonica generalizzata ..................................................................................................................... 3

    Serie di Mengoli ......................................................................................................................................... 3

    Serie telescopica ........................................................................................................................................ 3

    Criterio del confronto ................................................................................................................................ 3

    Criterio del confronto asintotico ............................................................................................................... 4

    Criterio della radice ................................................................................................................................... 4

    Criterio del rapporto .................................................................................................................................. 5

    Criterio di condensazione .......................................................................................................................... 5

    Serie a termini di segno variabile .................................................................................................................. 5

    Criterio di Leibniz ....................................................................................................................................... 6

    2. Calcolo integrale per funzioni di una variabile ................................................... ....................................... 7

    Funzioni integrabili, integrali generalizzati .................................................................................................... 7

    Integrazione di funzioni non limitate ........................................................................................................ 7

    Criteri di integrabilit al finito ................................................................................................................... 7

    Integrazione su intervalli illimitati ............................................................................................................. 8

    Criteri di integrabilit allinfinito ............................................................................................................... 8

    3. Equazioni differenziali ............................................................................................................................. 10

    Modelli differenziali ..................................................................................................................................... 10

    Equazioni del primo ordine ......................................................................................................................... 10

    Generalit ................................................................................................................................................ 10

    Equazioni a variabili separabili ................................................................................................................ 10

    Equazioni lineari del primo ordine .......................................................................................................... 11

    Equazioni lineari del secondo ordine .......................................................................................................... 13

    Spazi di funzioni ....................................................................................................................................... 13

    Equazioni lineari del secondordine. Problema di Cauchy ...................................................................... 13

    La struttura dellintegrale generale ......................................................................................................... 14

    Equazioni omogenee a coefficienti costanti ............................................................................................ 15

    Equazioni non omogenee ........................................................................................................................ 17

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    1. Serie numericheDefinizione

    Data una successione di numeri reali , chiamiamo serie dei termini la scrittura formale

    che si legge serie (ma anche somma) per da 0 a di .Per dare significato a questo simbolo, che intuitivamente rappresenta loperazione di somma degli infinitiaddendi , costruiamo anzitutto unaltra successione, , i cui termini sono cos definiti: = = + = + +

    = + + + da cui

    =

    per =0,1,2,

    Diremo che la serie convergente, divergente, irregolare, se la successione delle sue sommeparziale convergente, divergente o irregolare, rispettivamente. In particolare, se convergente, , diremo che la somma della serie, e scriveremo: = In questo caso dunque vale la relazione:

    = l i m

    = l i m Proposizione 1.1

    Condizione necessaria affinch una serie

    converga che il termine generale

    tenda a zero.

    Serie a termini non negativi

    Una serie a termini non negativi o convergente o divergente a +. Essa converge se e solo se lasuccessione delle somme parziali n-esime limitata.

    Serie geometrica

    Sia

    =

    , . Se

    1abbiamo

    = 1 + + + + = 1 1 .Se invece = 1 abbiamo = + 1. Prendendo il limite, per +, otteniamo:lim =

    11 | | < 1+ 1non esiste 1

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    e pertanto la serie convergente con somma | | < 1divergente a + 1irregolare 1 Serie armonica

    la serie

    1 = 1 + 12 + 13 + + 1 + Per dimostrarne la divergenza sufficiente considerarla come somma di blocchi di valore :1 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + +Serie armonica generalizzata

    La serie

    1

    con 1 divergente.Infatti per = 1 diventa una serie armonica; per < 1 la serie data maggiorante della serie armonica,perci diverge.Serie di Mengoli

    la serie

    1 + 1 Osservando che

    = , si riesce a dare unespressione semplice alla successione : = 1 + 1

    = 1 12 + 13 14 + + 1 1+ 1 = 1 1+ 1

    Dunque 1, ossia la serie converge e ha somma 1.Serie telescopica

    La serie di Mengoli il pi semplice esempio di serie telescopica, che significa quanto segue. Il terminegenerale ha la forma (dove unaltra opportuna successione) e di conseguenza, graziealle cancellazioni, si ha = Se il termine 0, la serie convergente e ha somma .Criterio del confronto

    Siano

    e

    due serie a termini non negativi e tali che

    definitivamenteAllora valgono le seguenti implicazionii) convergente convergente;ii) divergente divergente;

    La serie viene detta maggiorante, la minorante.Dim. Sia:

    = =

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    Poich 0 per ogni , sommando membro a membro le disuguaglianze per da 1 a , si ottiene0 . Sappiamo gi che una serie a termini positivi regolare, ossia o converge o diverge (non puoscillare). Dunque le affermazioni i) e ii) sono logicamente equivalenti, perci basta dimostrare la seconda,che immediata perch:dire che diverge significa, per definizione di serie divergente, che +.Daltro canto

    , perci, per il criterio del confronto per le successioni, anche

    +, ossia

    diverge.Criterio del confronto asintoticoSiano e due infiniti. Consideriamo il limite del rapporto . Il caso 1 particolarmenteimportante: si usa dire, in tal caso, che le due successioni e sono asintotiche e, per indicarequesta circostanza, si scrive ~ Il simbolo di asintotico molto utile nel calcolo dei limiti per le seguenti propriet:

    Se ~ , le due successioni hanno lo stesso comportamento: convergono allo stesso limite, odivergono entrambe a , o entrambe non hanno limite.

    Si possono scrivere catene di relazioni asintotiche, cio:se

    ~ ~ ~ , allora

    ~

    Un tipico modo per mostrare che ~ consiste nello scrivere = con 1:2 + 3 + 1 = 2 1 + 3 + 12 ~2 perch 1 + + 1.

    Dim. Dire che ~ per significa che 1 per ; questo implica che per ogni > 0 siadefinitivamente 1 < < 1 + , ad esempio (scegliendo = ) che sia12 < < 32ossia (poich per ipotesi

    > 0)

    < < definitivamentePer il teorema del confronto, la prima delle due disuguaglianze implica che se converge, anche converge, mentre la seconda implica che se diverge, anche diverge. Ques