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ANALISI 2 - Teoremi e dimostrazioni vari

Sommario1. Serie numeriche ......................................................................................................................................... 2

Definizione ................................................................................................................................................. 2

Proposizione 1.1 ........................................................................................................................................ 2

Serie a termini non negativi .......................................................................................................................... 2

Serie geometrica ........................................................................................................................................ 2

Serie armonica ........................................................................................................................................... 3

Serie armonica generalizzata ..................................................................................................................... 3

Serie di Mengoli ......................................................................................................................................... 3

Serie telescopica ........................................................................................................................................ 3

Criterio del confronto ................................................................................................................................ 3

Criterio del confronto asintotico ............................................................................................................... 4

Criterio della radice ................................................................................................................................... 4

Criterio del rapporto .................................................................................................................................. 5

Criterio di condensazione .......................................................................................................................... 5

Serie a termini di segno variabile .................................................................................................................. 5

Criterio di Leibniz ....................................................................................................................................... 6

2. Calcolo integrale per funzioni di una variabile ................................................... ....................................... 7

Funzioni integrabili, integrali generalizzati .................................................................................................... 7

Integrazione di funzioni non limitate ........................................................................................................ 7

Criteri di integrabilit al finito ................................................................................................................... 7

Integrazione su intervalli illimitati ............................................................................................................. 8

Criteri di integrabilit allinfinito ............................................................................................................... 8

3. Equazioni differenziali ............................................................................................................................. 10

Modelli differenziali ..................................................................................................................................... 10

Equazioni del primo ordine ......................................................................................................................... 10

Generalit ................................................................................................................................................ 10

Equazioni a variabili separabili ................................................................................................................ 10

Equazioni lineari del primo ordine .......................................................................................................... 11

Equazioni lineari del secondo ordine .......................................................................................................... 13

Spazi di funzioni ....................................................................................................................................... 13

Equazioni lineari del secondordine. Problema di Cauchy ...................................................................... 13

La struttura dellintegrale generale ......................................................................................................... 14

Equazioni omogenee a coefficienti costanti ............................................................................................ 15

Equazioni non omogenee ........................................................................................................................ 17

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1. Serie numericheDefinizione

Data una successione di numeri reali , chiamiamo serie dei termini la scrittura formale

che si legge serie (ma anche somma) per da 0 a di .Per dare significato a questo simbolo, che intuitivamente rappresenta loperazione di somma degli infinitiaddendi , costruiamo anzitutto unaltra successione, , i cui termini sono cos definiti: = = + = + +

= + + + da cui

=

per =0,1,2,

Diremo che la serie convergente, divergente, irregolare, se la successione delle sue sommeparziale convergente, divergente o irregolare, rispettivamente. In particolare, se convergente, , diremo che la somma della serie, e scriveremo: = In questo caso dunque vale la relazione:

= l i m

= l i m Proposizione 1.1

Condizione necessaria affinch una serie

converga che il termine generale

tenda a zero.

Serie a termini non negativi

Una serie a termini non negativi o convergente o divergente a +. Essa converge se e solo se lasuccessione delle somme parziali n-esime limitata.

Serie geometrica

Sia

=

, . Se

1abbiamo

= 1 + + + + = 1 1 .Se invece = 1 abbiamo = + 1. Prendendo il limite, per +, otteniamo:lim =

11 | | < 1+ 1non esiste 1

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e pertanto la serie convergente con somma | | < 1divergente a + 1irregolare 1 Serie armonica

la serie

1 = 1 + 12 + 13 + + 1 + Per dimostrarne la divergenza sufficiente considerarla come somma di blocchi di valore :1 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + +Serie armonica generalizzata

La serie

1

con 1 divergente.Infatti per = 1 diventa una serie armonica; per < 1 la serie data maggiorante della serie armonica,perci diverge.Serie di Mengoli

la serie

1 + 1 Osservando che

= , si riesce a dare unespressione semplice alla successione : = 1 + 1

= 1 12 + 13 14 + + 1 1+ 1 = 1 1+ 1

Dunque 1, ossia la serie converge e ha somma 1.Serie telescopica

La serie di Mengoli il pi semplice esempio di serie telescopica, che significa quanto segue. Il terminegenerale ha la forma (dove unaltra opportuna successione) e di conseguenza, graziealle cancellazioni, si ha = Se il termine 0, la serie convergente e ha somma .Criterio del confronto

Siano

e

due serie a termini non negativi e tali che

definitivamenteAllora valgono le seguenti implicazionii) convergente convergente;ii) divergente divergente;

La serie viene detta maggiorante, la minorante.Dim. Sia:

= =

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Poich 0 per ogni , sommando membro a membro le disuguaglianze per da 1 a , si ottiene0 . Sappiamo gi che una serie a termini positivi regolare, ossia o converge o diverge (non puoscillare). Dunque le affermazioni i) e ii) sono logicamente equivalenti, perci basta dimostrare la seconda,che immediata perch:dire che diverge significa, per definizione di serie divergente, che +.Daltro canto

, perci, per il criterio del confronto per le successioni, anche

+, ossia

diverge.Criterio del confronto asintoticoSiano e due infiniti. Consideriamo il limite del rapporto . Il caso 1 particolarmenteimportante: si usa dire, in tal caso, che le due successioni e sono asintotiche e, per indicarequesta circostanza, si scrive ~ Il simbolo di asintotico molto utile nel calcolo dei limiti per le seguenti propriet:

Se ~ , le due successioni hanno lo stesso comportamento: convergono allo stesso limite, odivergono entrambe a , o entrambe non hanno limite.

Si possono scrivere catene di relazioni asintotiche, cio:se

~ ~ ~ , allora

~

Un tipico modo per mostrare che ~ consiste nello scrivere = con 1:2 + 3 + 1 = 2 1 + 3 + 12 ~2 perch 1 + + 1.

Dim. Dire che ~ per significa che 1 per ; questo implica che per ogni > 0 siadefinitivamente 1 < < 1 + , ad esempio (scegliendo = ) che sia12 < < 32ossia (poich per ipotesi

> 0)

< < definitivamentePer il teorema del confronto, la prima delle due disuguaglianze implica che se converge, anche converge, mentre la seconda implica che se diverge, anche diverge. Ques