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    ANALISI 2 - Teoremi e dimostrazioni vari

    Sommario1. Serie numeriche ......................................................................................................................................... 2

    Definizione ................................................................................................................................................. 2

    Proposizione 1.1 ........................................................................................................................................ 2

    Serie a termini non negativi .......................................................................................................................... 2

    Serie geometrica ........................................................................................................................................ 2

    Serie armonica ........................................................................................................................................... 3

    Serie armonica generalizzata ..................................................................................................................... 3

    Serie di Mengoli ......................................................................................................................................... 3

    Serie telescopica ........................................................................................................................................ 3

    Criterio del confronto ................................................................................................................................ 3

    Criterio del confronto asintotico ............................................................................................................... 4

    Criterio della radice ................................................................................................................................... 4

    Criterio del rapporto .................................................................................................................................. 5

    Criterio di condensazione .......................................................................................................................... 5

    Serie a termini di segno variabile .................................................................................................................. 5

    Criterio di Leibniz ....................................................................................................................................... 6

    2. Calcolo integrale per funzioni di una variabile ................................................... ....................................... 7

    Funzioni integrabili, integrali generalizzati .................................................................................................... 7

    Integrazione di funzioni non limitate ........................................................................................................ 7

    Criteri di integrabilit al finito ................................................................................................................... 7

    Integrazione su intervalli illimitati ............................................................................................................. 8

    Criteri di integrabilit allinfinito ............................................................................................................... 8

    3. Equazioni differenziali ............................................................................................................................. 10

    Modelli differenziali ..................................................................................................................................... 10

    Equazioni del primo ordine ......................................................................................................................... 10

    Generalit ................................................................................................................................................ 10

    Equazioni a variabili separabili ................................................................................................................ 10

    Equazioni lineari del primo ordine .......................................................................................................... 11

    Equazioni lineari del secondo ordine .......................................................................................................... 13

    Spazi di funzioni ....................................................................................................................................... 13

    Equazioni lineari del secondordine. Problema di Cauchy ...................................................................... 13

    La struttura dellintegrale generale ......................................................................................................... 14

    Equazioni omogenee a coefficienti costanti ............................................................................................ 15

    Equazioni non omogenee ........................................................................................................................ 17

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    1. Serie numericheDefinizione

    Data una successione di numeri reali , chiamiamo serie dei termini la scrittura formale

    che si legge serie (ma anche somma) per da 0 a di .Per dare significato a questo simbolo, che intuitivamente rappresenta loperazione di somma degli infinitiaddendi , costruiamo anzitutto unaltra successione, , i cui termini sono cos definiti: = = + = + +

    = + + + da cui

    =

    per =0,1,2,

    Diremo che la serie convergente, divergente, irregolare, se la successione delle sue sommeparziale convergente, divergente o irregolare, rispettivamente. In particolare, se convergente, , diremo che la somma della serie, e scriveremo: = In questo caso dunque vale la relazione:

    = l i m

    = l i m Proposizione 1.1

    Condizione necessaria affinch una serie

    converga che il termine generale

    tenda a zero.

    Serie a termini non negativi

    Una serie a termini non negativi o convergente o divergente a +. Essa converge se e solo se lasuccessione delle somme parziali n-esime limitata.

    Serie geometrica

    Sia

    =

    , . Se

    1abbiamo

    = 1 + + + + = 1 1 .Se invece = 1 abbiamo = + 1. Prendendo il limite, per +, otteniamo:lim =

    11 | | < 1+ 1non esiste 1

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    e pertanto la serie convergente con somma | | < 1divergente a + 1irregolare 1 Serie armonica

    la serie

    1 = 1 + 12 + 13 + + 1 + Per dimostrarne la divergenza sufficiente considerarla come somma di blocchi di valore :1 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + +Serie armonica generalizzata

    La serie

    1

    con 1 divergente.Infatti per = 1 diventa una serie armonica; per < 1 la serie data maggiorante della serie armonica,perci diverge.Serie di Mengoli

    la serie

    1 + 1 Osservando che

    = , si riesce a dare unespressione semplice alla successione : = 1 + 1

    = 1 12 + 13 14 + + 1 1+ 1 = 1 1+ 1

    Dunque 1, ossia la serie converge e ha somma 1.Serie telescopica

    La serie di Mengoli il pi semplice esempio di serie telescopica, che significa quanto segue. Il terminegenerale ha la forma (dove unaltra opportuna successione) e di conseguenza, graziealle cancellazioni, si ha = Se il termine 0, la serie convergente e ha somma .Criterio del confronto

    Siano

    e

    due serie a termini non negativi e tali che

    definitivamenteAllora valgono le seguenti implicazionii) convergente convergente;ii) divergente divergente;

    La serie viene detta maggiorante, la minorante.Dim. Sia:

    = =

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    Poich 0 per ogni , sommando membro a membro le disuguaglianze per da 1 a , si ottiene0 . Sappiamo gi che una serie a termini positivi regolare, ossia o converge o diverge (non puoscillare). Dunque le affermazioni i) e ii) sono logicamente equivalenti, perci basta dimostrare la seconda,che immediata perch:dire che diverge significa, per definizione di serie divergente, che +.Daltro canto

    , perci, per il criterio del confronto per le successioni, anche

    +, ossia

    diverge.Criterio del confronto asintoticoSiano e due infiniti. Consideriamo il limite del rapporto . Il caso 1 particolarmenteimportante: si usa dire, in tal caso, che le due successioni e sono asintotiche e, per indicarequesta circostanza, si scrive ~ Il simbolo di asintotico molto utile nel calcolo dei limiti per le seguenti propriet:

    Se ~ , le due successioni hanno lo stesso comportamento: convergono allo stesso limite, odivergono entrambe a , o entrambe non hanno limite.

    Si possono scrivere catene di relazioni asintotiche, cio:se

    ~ ~ ~ , allora

    ~

    Un tipico modo per mostrare che ~ consiste nello scrivere = con 1:2 + 3 + 1 = 2 1 + 3 + 12 ~2 perch 1 + + 1.

    Dim. Dire che ~ per significa che 1 per ; questo implica che per ogni > 0 siadefinitivamente 1 < < 1 + , ad esempio (scegliendo = ) che sia12 < < 32ossia (poich per ipotesi

    > 0)

    < < definitivamentePer il teorema del confronto, la prima delle due disuguaglianze implica che se converge, anche converge, mentre la seconda implica che se diverge, anche diverge. Questo significa appunto chele serie hanno lo stesso carattere.

    Criterio della radice

    Sia una serie a termini non negativi. Se esiste il limitelim = e se

    > 1la serie diverge, se

    < 1la serie converge; se

    = 1nulla si pu concludere e il termine generale

    della serie tende a +.Dim. Supponiamo prima che sia: lim = < 1Poich , allora fissato comunque un > 0, definitivamente + . Daltro canto > 1,perci anche < 1 per un > 0 opportuno.Per questo si ha dunque che, definitivamente + 2 < 1 + 2 = 1 2e quindi

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    < 1 .Per confronto con la serie geometrica convergente 1 , la serie di partenza converge.Se ora, invece, lim = > 1con un ragionamento simile si deduce che

    > 1 2definitivamente, per un certo > 0. Dunque +, e la serie diverge.Criterio del rapporto

    Sia una serie a termini positivi. Se esiste il limitelim = e se > 1 la serie diverge, se < 1 la serie converge; se = 1 nulla si pu concludere e il termine generaledella serie tende a +.Dim. Supponiamo che sia:

    lim = < 1

    Si ha che: < 1 2definitivamente, per qualche > 0. Ci implica, ragionando iterativamente, che:

    < 1 2 < 1 2 1 2 < < 1 2 Per confronto con la serie geometrica convergente 1 , la serie di partenza converge.Se ora, invece, lim = > 1con un ragionamento simile si deduce che

    > 1 2 definitivamente, per un certo > 0. Dunque +, e la serie diverge.Criterio di condensazione

    Una serie converge se e solo se converge = 2

    Serie a termini di segno variabile

    I criteri visti in precedenza per le serie a termini positivi possono applicarsi anche a serie con terminiqualsiasi, grazie alla seguente affermazione.Se la serie | | convergente, allora anche la serie convergente. Lasserto non invertibile, ciopu accadere che la serie sia convergente, ma non la serie | |. Conviene allora indicare con unnome apposito la circostanza che sia luna che laltra serie siano convergenti.Una serie si dir assolutamente convergente se converge la serie | |.

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    Dunque la convergenza assoluta implica la convergenza (ordinaria), detta anche convergenza semplice; ilviceversa non vero.

    Criterio di Leibniz

    Consideriamo serie che si presentano sotto la forma

    1

    con

    > 0

    Sei) La successione decrescente.

    ii) lim = 0allora la serie convergente. Inoltre, le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso,quelle di indice dispari per difetto; il resto della serie maggiorato, in valore assoluto, dal primo terminetrascurato.Dim. Si noti che la successione delle somme parziali di una serie a segni alterni ha la forma: = = + = +

    = + + + 1

    dove gli sono tutti 0. Se allora la successione tende a zero monotonamente, landamento di e di del tipo descritto dalla figura seguente, che sostanzialmente contiene la dimostrazione del criterio diLeibniz:

    Tutti i criteri sopra presentati per le serie a termini positivi o di segno alterno possono essere applicatianche se i termini sono definitivamente di segno positivo o alterno; infatti il carattere di una serie (cio ilfatto di essere convergente, divergente o irregolare) non cambia se si altera, si aggiunge o si sopprime unnumero finito di termini.

    -1 -0.5 0 0.5-1

    -0.9

    -0.8

    -0.7

    -0.6

    -0.5

    an

    0 5 10 15 20 25 30-1

    -0.9

    -0.8

    -0.7

    -0.6

    -0.5

    sn

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    2. Calcolo integrale per funzioni di una variabileFunzioni integrabili, integrali generalizzati

    Integrazione di funzioni non limitate

    Consideriamo il caso in cui

    : , continua e

    lim = +(del tutto analogo il caso: lim = ).Per definire lintegrale di in , , lidea molto semplice: si integra tra e > 0 e poi si passa allimite per 0. In simboli, si pone d = l i m d Se il limite esiste finito allora si dice integrabile in , oppure che lintegrale d convergente.Se il limite + oppure , lintegrale si dir divergente.Se il limite non esiste allora lintegrale non esiste.Analoghe definizioni si hanno se : , , con continua e

    lim =

    Si pone: d = l i m d Esempio.Calcolo dellintegrale d > 0Caso > 1. Si ha: d = log = log + log Dunque

    d = l i m log + log = +Quindi lintegrale divergente.Caso 1. Si ha: d = 11 = 11 + Dunque

    d = l i m 11 + = + se > 1 1 se

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    lim = l i m = +I seguente criteri permettono di decidere se un integrale convergente o divergente, senza calcolarlo:

    Confronto. Se 0 in , , alloraintegrabile integrabilenon integrabile non integrabileInfatti, per la propriet di monotonia dellintegrale, si ha:

    0 e, passando al limite per 0, si prova la tesi. Confronto asintotico. Se > 0, > 0 e ~ per alloraintegrabile integrabile

    Analoghi criteri valgono se , + per , o se , .In questultimo caso, le disuguaglianze del criterio del confronto devono valere tra i moduli di e .

    Integrazione su intervalli illimitati

    Sia : , , continua. Poniamo

    = l i m

    Se il limite esiste finito, allora si dice integrabile in , + oppure che lintegrale convergente.Se il limite + oppure , lintegrale si dir divergente.Se infine il limite non esiste allora lintegrale non esiste.Analogamente se : , continua, si pone = l i m ed infine, se : ,+ continua, si pone = + dove un punto qualunque.

    Esempio.Calcolo dellintegrale 1 > 0Caso = 1. Si ha: 1 = log =log Poich per , log +, lintegrale divergente.Caso 1. Si ha: 1 = 1

    1 = 1

    1 1

    Dunque

    1 divergente a + se 1convergente= 11 se

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    Confronto. Se 0 in , +, alloraintegrabile integrabilenon integrabile non integrabileInfatti, per la propriet di monotonia dellintegrale, si ha:

    0

    e, passando al limite per 0, si prova la tesi. Confronto asintotico. Se > 0, > 0 e ~ per + alloraintegrabile integrabile

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    3. Equazioni differenzialiModelli differenziali

    Si dice equazione differenziale di ordine n unequazione del tipo:

    , ,

    ,

    , ,

    = 0

    dove

    la funzione incognita, e una funzione assegnata delle

    + 2variabili

    , , , , , , a

    valori reali.Lordine dellequazione lordine massimo di derivazione che vi compare. Si dir soluzione, o (curva)

    integrale, della , , , , , = 0, nellintervallo , una funzione , definita almeno in e avalori reali, per cui risulti , , , , , = 0 Infine si dir integrale generale della , , , , , = 0, una formula che assegni, eventualmenteal variare di uno o pi parametri in essa contenuti, tutte le soluzioni dellequazione.

    Equazioni del primo ordine

    Generalit

    Consideriamo ora equazioni del tipo: , , = 0Ad esempio, la ricerca delle primitive di una funzione continua su equivale a risolvere lequazionedifferenziale del primo ordine = che ha infinite soluzioni del tipo: = + Linsieme delle soluzioni di unequazione differenziale del primo ordine costituito da una famiglia difunzioni, dipendente da un parametro : ; ; tale famiglia prende il nome di integrale generaledellequazione. La condizione supplementare

    =

    permette, in generale, di selezionare una soluzione particolare. Il problema di risolvere le , prende ilnome diproblema di Cauchy.Quando lequazione , , = 0 si presenta nella forma = , si dice che informa normale. Per equazioni di questo tipo si pu assicurare, sotto larghe ipotesi, che ilproblema di Cauchy ammette ununica soluzione, almeno localmente, cio per in un intorno del punto in cui assegnata la condizione iniziale.

    Equazioni a variabili separabili

    Sono equazioni del tipo = con

    continua in

    e

    continua in

    . Osserviamo anzitutto che se il numero

    una

    soluzione dellequazione = 0, la funzione costante = una soluzione dellequazionedifferenziale. Infatti in tal caso il secondo membro si annulla perch la derivata della funzione costante zero. Supponendo invece 0, la = si pu riscrivere nella forma = .Unipotetica soluzione soddisfa dunque lidentit = .Prendendo gli integrali definiti di ambo i membri si ottiene:

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    = + .Ora nellintegrale a primo membro si pu fare il cambio di variabile = ; = ottenendo = + con costante arbitraria.

    Lequazione appena scritta assegna lintegrale generale dellequazione differenziale. Ci significa che se una primitiva di e una primitiva di , lintegrale generale dellequazione data assegnato implicitamente dallequazione = + con costante arbitraria.Infine, se si riesce a ricavare esplicitamente dallultima equazione (cio se si sa scrivere la funzioneinversa di , ) si ottiene: = + cio unespressione del tipo = , (in cui la costante arbitraria pu comparire in qualsiasi forma, anche non additiva).In pratica, data unequazione a variabili separabili, non detto che si sappiano determinare esplicitamente

    le primitive , , e anche in caso positivo non detto che si sappia esprimere nella forma= , . Ci sar possibile in casi particolarmente semplici.Si consideri il problema di Cauchy: = = Se la funzione continua in un intorno di e la funzione derivabile con continuit in unintorno di , allora ilproblema di Cauchy ha una e una sola soluzione, definita almeno in un intorno di .Equazioni lineari del primo ordine

    Sono equazioni che si possono scrivere nella forma (detta completa)

    + =

    con e continue sullintervallo .Se = 0 lequazione si dice omogenea + = 0Teorema. Lintegrale generale dellequazione completa si ottiene aggiungendo allintegrale generale dellaomogenea una soluzione particolare della completa.Dim. Sia infatti una qualunque soluzione della completa e una soluzione particolare, cio: + = + = Sottraendo membro a membro si ha + = 0Perci la funzione = soluzione della + = 0.Viceversa, sia

    una qualunque soluzione della

    + = 0e

    una soluzione particolare

    della completa; per somma si ottiene che la funzione = + soluzione della completa.Abbiamo cos dimostrato che la generica soluzione dellequazione completa si ottiene sommando allasoluzione generica delequazione omogenea, una soluzione particolare (fissata una volta per tutte)dellequazione completa.

    Soluzione dellomogenea. Sia una primitiva di (cio = ); moltiplichiamo ambo imembri della + = 0 per ; abbiamo + = 0che si pu anche scrivere

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    = 0e cio = da cui, essendo = , =

    Ricerca di una soluzione particolare. Spesso una soluzione particolare si riesce a scoprirefacilmente; altrimenti il seguente metodo, detto di variazione della costante, consente comunquedi trovarne una. Questa viene cercata della forma seguente: = dove la funzione (non pi costante) deve essere trovata in modo che sia soluzione dellacompleta.Sostituendo lespressione di nella completa si trova: + = cio = Perci

    =

    Lintegrale generale della completa sar quindi dato dalla formula = + dove = .Non c bisogno di aggiungere ad la costante arbitraria di integrazione, che figura ginelladdendo .

    Soluzione del problema di Cauchy. La costante sar determinata da una condizione iniziale = Scegliendo la primitiva tale che = 0 (cio = ), lintegrale della completasoddisfacente la

    = sar:

    = + Esempio. Si voglia risolvere il problema di Cauchy + 2 = 11 = 2

    Lequazione del tipo + = con = e = ; il coefficiente continuoin ,0 0,+; essendo il punto iniziale = 1, consideriamo lintervallo = ,0.La primitiva tale che 1 = 0 = 2 = 2log| | = 2 l o g Applicando la

    = + abbiamo

    = 2 + = + + 1 = + per < 0

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    Equazioni lineari del secondo ordine

    Vogliamo ora occuparci di equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Concentreremo la nostraattenzione su una classe particolare di equazioni, quelle lineari del secondordine.

    Spazi di funzioni

    Sia un intervallo, e consideriamo linsieme

    di tutte le funzioni definite in , a valori reali. Risultano

    definite le operazioni naturali di somma di due funzioni e prodotto per uno scalare: + = + = Con queste operazioni, risulta essere uno spazio vettoriale. La verifica di questo fatto immediata.Spesso pi interessante considerare, anzich linsieme di tutte le funzioni possibili, linsieme delle funzionicon qualche propriet di regolarit. Vediamo alcuni esempi notevoli.Si indica con (o anche ) linsieme di tutte le funzioni continue in . Ovviamente . Di pi, un sottospazio di , in quanto sappiamo che la combinazione lineare di funzioni continue unafunzione continua.Si indica con linsieme di tutte le funzioni derivabili in , con derivata continua in . Notiamo che (se una funzione derivabile allora anche continua); di pi, un sottospazio di :se

    , , ogni loro combinazione lineare

    + derivabile; inoltre

    + = + continua (perch combinazione lineare di funzioni continue).Il motivo per cui naturale considerare lo spazio il seguente: se , allora .Possiamo allora considerare loperatore di derivazione come trasformazione dello spazio vettoriale in : Di pi, per la linearit della derivata possiamo dire che loperatore di derivazione una trasformazionelineare tra gli spazi vettoriali e -Generalizzando queste considerazioni, definiamo lo spazio delle funzioni dotate di derivata n-esima(e quindi di tutte le derivate di ordine inferiore), con derivata n-esima continua. Vale, ovviamente, la catenadi inclusioni:

    Notare che ciascuna delle inclusioni stretta: esistono funzioni continue non derivabili, funzioni derivabiliuna volta, con derivata prima continua, ma non derivabili due volte, e cos via.

    Equazioni lineari del secondordine. Problema di Cauchy

    Unequazione differenziale del secondordine si dice lineare se del tipo + + = dove i coefficienti e il termine noto sono funzioni definite in un certo intervallo , e ivi continue. Se iltermine noto identicamente nullo, lequazione si dice omogenea; altrimenti si dice completa. Se lefunzioni sono costanti, lequazione si dir a coefficienti costanti(notare che il termine noto pu invecedipendere da ), in caso contrario si dir a coefficienti variabili.Il motivo per cui lequazione detta lineare il seguente. Se indichiamo con il primo membrodellequazione, notiamo che loperatore

    risulta proprio un operatore lineare tra questi spazi di funzioni.La linearit di un fatto ricco di conseguenze. Cominciamo ora a fare alcune considerazioni sul problemadi Cauchy per queste equazioni.Nelle applicazioni, lequazione descrive levoluzione di un sistema fisico, il cui stato individuato dallafunzione ; il termine noto rappresenta le forze esterne che agiscono sul sistema, i coefficienti descrivono generalmente propriet fisiche del sistema stesso.

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    Se il coefficiente non si annulla mai, dividendo per questo si pu riscrivere lequazione in formanormale: + + = Vale il seguente risultato generale sul problema di Cauchy per le equazioni lineari del secondordine informa normale:Teorema. Se

    , ,sono funzioni continue sullintervallo

    , , , , e

    , , il problema di

    Cauchy + + = = = ha una e una sola soluzione , .Come al solito, tale soluzione sar individuata imponendo le condizioni iniziali nellespressione che assegnalintegrale generale dellequazione in forma normale. Il problema quindi capire come si scrive taleintegrale generale.

    La struttura dellintegrale generale

    Abbiamo visto che unequazione differenziale lineare del secondordine si pu scrivere nella forma

    =

    dove un operatore lineare tra i due spazi di funzioni. Lequazione = 0 si diceequazione omogenea associata allequazione completa = . La linearit di permette di determinarefacilmente la struttura dellintegrale generale dellequazione:Teorema (struttura dellintegrale generale dellequazione lineare completa).

    a. Linsieme delle soluzioni dellequazione omogenea = 0 in un dato intervallo uno spaziovettoriale (sottospazio di ).

    b. Lintegrale generale dellequazione completa si ottiene sommando lintegrale generaledellequazione omogenea e una soluzione particolare dellequazione completa.

    Dim.a. Siano , soluzioni dellequazione omogenea in , e siano , costanti.

    Allora:

    + = + = 0

    (il primo passaggio segue dalla linearit di , il secondo dal fatto che per ipotesi = 0 e =0). Perci anche + risolve lequazione omogenea, dunque linsieme delle soluzionidellequazione omogenea un sottospazio di , in particolare uno spazio vettoriale.b. Siano una soluzione particolare dellequazione completa e una generica soluzione

    dellequazione omogenea, ossia: = , = 0. Allora per linearit + = + = + 0 = ossia + soluzione dellequazione completa. Viceversa, se ora una qualsiasi soluzionedellequazione completa = per linearit si ha: = = = 0ossia soluzione dellomogenea, ossia = per una certa soluzione dellomogenea. Dunque:

    = +

    ossia: la generica soluzione dellequazione completa si pu scrivere come somma di una particolaresoluzione dellequazione completa (fissata una volta per tutte) e di una soluzione dellequazioneomogenea. Questo prova b.

    Nel seguito del discorso supporremo che lequazione lineare del secondordine sia scritta in forma normale.Lequazione omogenea associata allora: + + = 0.Unulteriore importante propriet, che riguarda lequazione omogenea, espressa dal seguente:Teorema. Lo spazio vettoriale delle soluzioni di unequazione differenziale lineare omogenea delsecondordine ha dimensione 2.

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    Esplicitamente, questo significa che esistono 2 soluzioni dellequazione omogenea in un intervallo ,chiamiamole , , tali che:

    1. Queste funzioni sono linearmente indipendente, ossia non sono una multipla dellaltra;2. Ogni altra soluzione dellequazione omogenea combinazione lineare di , , il che

    significa che lintegrale dellequazione omogenea assegnato dalla formula

    +

    al variare in ogni modo dei coefficienti , .Dim. La dimostrazione si basa totalmente sul teorema di esistenza e unicit della soluzione del problema diCauchy per lequazione in forma normale.Siano , , rispettivamente, le soluzioni dei problemi di Cauchy nellintervallo , con fissato:

    = 0 = 1 = 0 = 0 = 0 = 1

    Proviamo che:1) Le funzioni , , soluzioni dellequazione omogenea, sono linearmente indipendenti. Infatti il

    quoziente si annulla in = ; se fosse costante in , dovrebbe essere identicamente nullo; ma

    allora

    sarebbe identicamente nulla, quindi

    = 0, contro lipotesi

    = 1.

    2) Ogni altra soluzione dellequazione omogenea combinazione lineare di,

    in . Sia

    una

    qualsiasi soluzione di = 0 in , e cerchiamo due costanti , per cui sia = + per ogni .Scegliendo = , = , si ottiene: + = 1 + 0 = = ; + = 0 + 1 = = .Pertanto la funzione + soluzione del problema di Cauchy

    = 0 = = Poich, daltro canto, anche risolve, ovviamente, il medesimo problema, per lunicit dellasoluzione del problema di Cauchy si ha che

    =

    +

    per ogni

    , che quanto

    volevamo dimostrare.

    In base ai due teoremi precedenti, il problema della determinazione dellintegrale generale di unequazionedifferenziale lineare completa del secondordine si riconduce ai due passi seguenti:

    1) Determinare lintegrale dellequazione omogenea; questo a sua volta significa determinare 2soluzioni , dellequazione omogenea, linearmente indipendenti;

    2) Determinare una soluzione particolare dellequazione completa.A questo punto l integrale generale dellequazione completa sar dato da: + + al variare in ogni modo dei coefficienti reali .Infine, per risolvere un problema di Cauchy, una volta determinato lintegrale generale nella formaprecedente, baster imporre le 2 condizioni iniziali, ricavare di conseguenza il valore delle costanti , , escrivere la soluzione corrispondente a questi valori , .Equazioni omogenee a coefficienti costantiConsideriamo lequazione omogenea + + = 0 , , costantie cerchiamo soluzioni di tipo esponenziale: , : ci suggerito dal fatto che, nel caso analogodel primo ordine, gli integrali sono proprio esponenziali. Sostituendo nellomogenea = abbiamo: + + = 0Perci, affinch lesponenziale sia soluzione dellomogenea, la costante deve essere una radicedellequazione + + = 0

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    detta equazione caratteristica dellomogenea.Distinguiamo tre casi.

    1. > 4 ; lequazione caratteristica possiede due radici reali e distinte: e . Le funzioni = e = sono due soluzioni distinte e indipendenti dellomogenea il cui integralegenerale si scrive dunque:

    =

    +

    2.

    < 4 ; lequazione caratteristica ha due radici complesse coniugate: = + , = ( , reali); soluzioni (indipendenti) dellomogenea sono perci le funzioni = = cos + sin = = cos sin Pu essere desiderabile avere soluzioni reali; ricordando che ogni combinazione lineare di soluzionidellequazione omogenea ancora soluzione della stessa equazione, scegliamo, in luogo di e ,le soluzioni

    + e , cio cos sin lintegrale dellomogenea si pu scrivere perci nella forma = cos + sin Un altro modo, spesso utile, di scrivere lintegrale dellomogenea il seguente

    = cos +

    con , costanti reali arbitrarie.3. = 4 ; lomogenea possiede lunica radice (doppia) = . Perci una soluzione; pertrovare una seconda soluzione usiamo ancora il metodo della variazione delle costanti; cerchiamoladella forma = con = = + = + 2 + Sostituendo nellomogenea abbiamo + + + 2 + + = 0Poich

    =

    risulta

    + + = 0e anche

    2 + = 0; perci dovr essere

    = 0,

    cio

    = + . La soluzione generale dellomogenea sar allora

    = + Esempio. Risolvere il problema di Cauchy: + 2 + 3 = 00 = 10 = 2

    Lequazione caratteristica + 2 + 3 = 0 = 1 2Due soluzioni indipendenti dellequazione sono dunque

    = cos2 = sin2 e lintegrale generale

    = cos2 + sin2

    Imponiamo le condizioni iniziali. 0 = = 1 = cos2 sin2 2 sin2 + 2 cos2 0 = + 2 = 2Dunque

    = 1 = e la soluzione del problema di Cauchy := cos2 + sin2

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    Equazioni non omogenee

    Ci occupiamo ora del problema di determinare un integrale particolare dellequazione completa, associata

    a unequazione lineare a coefficienti costanti:

    + + = , , costantiIllustriamo prima il metodo di somiglianza, che per una certa classe di casi particolari permette dideterminare tale integrale particolare con brevi calcoli; vedremo poi il metodo di variazione delle costanti,

    che pu essere impiegato sempre, ma in compenso porta solitamente a calcoli pi pesanti.

    Metodo di somiglianza

    Quando il termine noto ha un aspetto particolarmente semplice, si pu cercare una soluzione pureabbastanza semplice, e simile ad , in un senso che ora preciseremo.

    = (polinomio di grado ). Si cerca una soluzione di tipo polinomiale: = se 0 = se = 0, 0 =

    se= 0, = 0

    = ,

    . Si cerca una soluzione del tipo

    = . Si trova (con calcoli simili a

    quelli svolti per lequazione omogenea): + 2 + + + + = Baster trovare una qualsiasi che soddisfi lultima relazione trovata.I casi che si presentano sono i seguenti:

    Se + + 0 (cio se non radice dellequazione caratteristica), basterprendere = costante = e dunque = + +

    Se + + = 0 ma 2 + 0, baster prendere = costante = , da cui

    =

    2 +

    Se infine + + = 0 e 2 + = 0, si scriver semplicemente = , da cui = e = 2 Nella classe di termini noti del tipo con rientrano anche i casicos , sin , cos , sin con

    Metodo di variazione delle costanti

    Illustriamo ora un metodo generale che consente di determinare una soluzione particolare dellequazionecompleta, qualunque sia la forma del termine noto . Il metodo applicabilepurch si conoscano gidue soluzione indipendenti dellequazione omogenea.Siano dunque

    , due soluzioni indipendenti dellequazione omogenea associata. Lidea cercare

    una soluzione particolare nella forma (1): = + Ricordiamo che le funzioni , sono note, mentre le funzioni , sono incognite, e vanno determinatein modo tale che soddisfi lequazione (2) + + = Questequazione fornir una condizione sulle due funzioni , . Poich le funzioni da determinare sonodue, potremo imporre una seconda condizione su , , che sceglieremo come pi ci fa comodo.Cominciamo a calcolare, dalla (1), = + + +

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    Imponiamo come condizione su , la seguente: + = 0Questa fa s che risulti = + e di conseguenza

    =

    +

    +

    +

    Sostituendo nelle ultime due relazione la (2) otteniamo:

    + + + + + + + = che, ricordando che per ipotesi , soddisfano lequazione omogenea, si riduce a: + = In definitiva, siamo arrivati a scrivere il sistema lineare di due equazioni nelle due funzioni incognite , : + = 0 + = Si pu dimostrare che, essendo per ipotesi , due soluzioni indipendenti dellequazione omogenea in unintervallo , il determinante diverso da zero in ogni punto . Perci il sistema pu essere risolto in , . Si trova:

    = = Si noti che il denominatore proprio il determinante non nullo. Ne segue che, essendo continua e , derivabili con continuit, le funzioni , sono continue. Si possono quindi antiderivare, ottenendo , che, sostituite nella (1), forniscono un integrale particolare dellequazione completa.Pi precisamente: se determiniamo due particolari primitive , otteniamo una soluzioneparticolare dellequazione completa, del tipo = + Se invece sostituiamo nella (1) le generiche primitive, sommando cio costanti arbitrarie di integrazione,otteniamo = + + + = + + ovvero lintegrale generale dellequazione completa.Il problema di scrivere una soluzione dellequazione completa dunque ricondotto a quello del calcolo di

    due integrali indefiniti (in pratica, solo in casi molto semplici tali integrazioni si riescono ad eseguire informa esplicita).