Teoremi fondamentali sugli operatori lineari [tesi][santi caltabiano]

UNIVERSITµA DEGLI STUDI DI

MESSINA

FACOLTµA DI SCIENZE MM.FF.NN.

Corso di Laurea in Matematica

TEOREMI FONDAMENTALI SUGLI

OPERATORI LINEARI E RICERCA

DELLE LORO APPLICAZIONI

Tesi di Laurea di:

Santi Caltabiano

Relatore:

Ch.ma Prof.ssa C. Vitanza

ANNO ACCADEMICO 1998-1999

Indice Generale

Introduzione 1

1 Nozioni e strumenti propedeutici 5

1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Nozioni topologiche propedeutiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Cenni sugli spazi vettoriali topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 Teoria di base degli operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Teoremi fondamentali sugli operatori lineari 69

2.1 Operatori a gra¯co convesso. Operatori a±ni. Teorema di Deutsch-Singer 69

2.2 Criteri di continuitµa per operatori e funzionali lineari . . . . . . . . . . . 76

2.3 Criteri per operatori e funzionali lineari aperti . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.4 Prolungamento per continuit¶a ad operatori lineari. Teorema di Nachabin.

Teoremi di Hahn-Banach. Teoremi di separazione . . . . . . . . . . . . . 91

2.5 Spazio degli operatori lineari e continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.6 Anello degli operatori lineari e continui. Criteri sull'inversa di un operatore

lineare. Teorema di Banach. Metodo delle approssimazioni successive . . 126

i

2.7 Teorema della mappa aperta. Teorema dell'inversa continua. Teorema del

gra¯co chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.8 Teorema di Banach-Steinhaus. Principio dell'uniforme limitatezza . . . . 146

2.9 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert e teorema di

rappresentazione di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Bibliogra¯a 154

Indice Analitico 155

ii

Introduzione

Un numero considerevole di procedimenti matematici concreti puµo essere incluso

in uno schema astratto descritto con l'aiuto degli operatori lineari. Tra i problemi

di tal genere vanno annoverati in particolare, lo studio delle soluzioni di sistemi di

equazioni di®erenziali, lo studio della convergenza delle serie di Fourier e dei polinomi

interpolabili, delle formule di quadrature meccaniche, la teoria degli integrali singolari,

eccetera. In questi casi lo studio del problema, in forma astratta, si riconduce solitamente

alla dimostrazione della convergenza di una successione di operatori lineari, o alla

dimostrazione della limitatezza di tali operatori, o ad altri problemi analoghi.

Nella presente trattazione ci proponiamo di esporre e di approfondire i principali

teoremi sugli operatori lineari. Di alcuni teoremi non diamo la dimostrazione originale,

in quanto nel corso del lavoro di tesi si µe trovata una dimostrazione piµu attinente a

questo contesto, un esempio in questo senso µe dato dalla dimostrazione del teorema

di rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare e continuo. Facciamo inoltre

osservare che alcuni risultati sono stati estrapolati da un contesto di analisi multivoca

e precisamente dalla teoria delle multifunzione a gra¯co convesso, per i quali µe stato

necessario costruire la dimostrazione adatta al caso, esempi di tali risultati sono: il

teorema di Deutsch-Singer [4], criteri di continuitµa, criteri per mappe aperte, eccetera.

1

Elenchiamo qui di seguito i risultati piµu salienti presenti nella nostra trattazione:

teorema di Deutsch-Singer, teorema di Nachabin, teoremi di Hahn-Banach, teorema sugli

operatori lineari nel caso di ¯nito dimensionaliµa, teorema di Banach per l'inversa di un

operatore lineare e continuo, teorema della mappa aperta in forma generale, teorema delle

due norme, teorema di Banach-Steinhaus, principio dell'uniforme limitatezza, teorema di

rappresentazione di Riesz.

Il capitolo uno µe di carattere introduttivo. Vi sono esposte le nozioni algebriche e

topologiche propedeutiche, ed i fondamenti della teoria degli spazi vettoriali topologici e

della teoria degli operatori lineari. L'impostazione di tale capitolo µe stata fatta ricalcando

l'impostazione di base data dal professore B. Ricceri nel corso di Analisi funzionale [1].

Il capitolo due µe suddiviso in paragra¯. Nel primo paragrafo si mettono in evidenza

i legami che intercorrono tra gli operatori lineari, gli operatori a±ni e gli operatori a

gra¯co convesso. Di particolare interesse µe un risultato estrapolato da un contesto di

analisi multivoca e precisamente dal teorema di Deutsch-Singer [4], il quale a®erma che

condizione necessaria e su±ciente a±nch¶e un operatore de¯nito tra spazi vettoriali reali

sia lineare µe che sia a gra¯co convesso e che si annulli nell'origine. Nel paragrafo due e nel

paragrafo tre sono esposti dei risultati riguardanti rispettivamente gli operatori lineari

continui e gli operatori lineari aperti; tali risultati giocano un ruolo fondamentale nella

presente trattazione, sono inoltre presenti interessanti conseguenze. La costruzione di

questi due paragra¯ µe stata fatta adoperando sia gli appunti di analisi funzionale [1] che

gli appunti di analisi superiore [2], piµu precisamente da questi ultimi si µe sfruttata la

parte conclusiva del corso inerente la trattazione delle multifunzione a gra¯co convesso.

Nel paragrafo quattro si µe a®rontato il problema dell'estendibilitµa di un operatore lineare

2

e continuo. Sicuramente degni di attenzione sono il teorema di Nachabin ed i teoremi

di Hahn-Banach. Inoltre vengono esposti come applicazione notevole di questi ultimi

i cosidetti teoremi di separazione. Per la stesura di questo paragrafo si µe utilizzato il

testo Kantarovic-Akilov [6]. Il paragrafo cinque µe dedicato allo studio delle proprietµa

dello spazio degli operatori lineari e continui e piµu precisamente si dimostra che tale

spazio µe di Banach rispetto alla norma operatoriale se lo µe lo spazio d'arrivo ed inoltre

si dimostra che se lo spazio vettoriale topologico di partenza ha dimensione ¯nita ed

µe di Hausdor® allora lo spazio degli operatori lineari e continui coincide con lo spazio

degli operatori lineari ovvero ogni operatore lineare µe continuo. Per la stesura di tale

paragrafo sono stati utilizzati gli appunti di analisi funzionale [1]. Nel paragrafo sei

si a®ronta il problema dell'invertibilitµa di un operatore lineare e continuo. Spicca tra

i risultati il noto teorema di Banach. Inoltre vengono esposti come conseguenza dei

teoremi inerenti la convergenza del cosiddetto metodo delle approssimazioni successive.

La trattazione esposta in questo paragrafo µe stata fatta seguendo l'impronta del testo

Kantarovic-Akilov [6]. Il paragrafo sette µe tra i piµu importanti se non il piµu importante

paragrafo della presente tesi. In esso µe trattato il teorema della mappa aperta in forma

classica che costituisce uno dei capisaldi di tutta l'analisi funzionale. Le conseguenze

di questo teorema sono ragguardevoli essendo queste il teorema dell'inversa continua, il

teorema del gra¯co chiuso ed il teorema delle due norme. Il tutto viene compendiato

grazie a l'aiuto di un lemma fondamentale nel cosiddetto teorema della mappa aperta

in forma generale. Per la costruzione di tale paragrafo si µe fatto ricorso agli appunti

di analisi funzionale [1], agli appunti di analisi superiore [2] ed al testo H. Brezis

[5]. Nel paragrafo otto viene trattato il fondamentale teorema di Banach-Steinhaus e

3

come applicazione notevole di questo un altrettanto fondamentale teorema noto come

principio dell'uniforme limitatezza. Di quest'ultimo viene data un'applicazione notevole

riguardante la convergenza di una successione di operatori lineari. Per la costruzione di

tale paragrafo sono stati adoperati gli appunti di analisi funzionale [1], il testo H. Brezis

[5] ed il testo Kantarovic-Akilov [6]. Il capitolo nove conclude la tesi ed in esso viene

esposto il fondamentale teorema di rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare e

continuo di uno spazio di Hilbert. Una prima applicazione di questo teorema consente di

individuare l'espressione analitica di un funzionale lineare nel caso dello spazio euclideo

n-dimensionale. Ed in conclusione facendo uso del noto Lemma di Ascoli si ottiene la

formula per la stima della distanza di un punto da un iperpiano dello spazio euclideo

reale n-dimensionale. La trattazione di questo paragrafo si appoggia sulla trattazione

degli spazi di Hilbert esposta nel corso di analisi funzionale [1].

4

Capitolo 1

Nozioni e strumenti propedeutici

1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche

Propriet¶a 1.1.1

Sia E un IK-spazio vettoriale; siano A,BµE due sottoinsiemi; sia 0 2E

Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:

() Se A 6= ; e B 6= ; allora A \ B = ; , (0 +A) \ (0 + B) = ;

() Se A \ B 6= ; allora 0 +A \ B = (0 +A) \ (0 + B)

De¯nizione 1.1.1

Sia E un IK-spazio vettoriale e siano F e G s.sp.vett. di E. Diciamo allora che la somma

dei sottospazi F+G µe somma diretta e scriviamo F © G se ogni vettore della somma

F+G, si puµo scrivere in modo unico come somma di un vettore di F e di un vettore di G.

Teorema 1.1.1

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F e G due sottospazi vettoriali di E

Ts: F+G µe somma diretta , F\G=fEg

5

De¯nizione 1.1.2

Sia E un IK-spazio vettoriale e sia SµE insieme, diciamo che S µe una varit¶a a±ne se:

9F µ E sottospazio vettoriale e x0 2 E tc S = x0 + F

Banalmente i traslati di variet¶a a±ni sono variet¶a a±ni. Si osserva che i punti sono delle

variet¶a a±ni poich¶e li possiamo rigurdare come traslati del s.sp.vett. banale fEg.

Propriet¶a 1.1.2

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia SµE una variet¶a a±ne e siano quindi FµE

un sottospazio vettoriale e 0 2E t.c. S=0+F


() S µe un sottospazio vettoriale , E 2S

() 8G µE sottospazio vettoriale e 0 2E t.c. S=0+G allora F=G

() 80 2 S allora S ¡ 0 =F

De¯nizione 1.1.3

Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µe convesso se:

+ (1¡ ) 2 A 8 2 A e 8 2 [0 1]

Si veri¯ca facilmente che i punti sono convessi, che il prodotto di uno scalare per un

convesso µe un convesso, che la somma di convessi µe un convesso (e che quindi in particolare

il traslato di un convesso µe un convesso) e che l'intersezione di convessi un convesso.

De¯nizione 1.1.4

Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µe equilibrato se:

2 A 8 2 A e 8 2 IK con jj · 1

6

Ovviamente E 2 A. Si veri¯ca facilmente che il prodotto di uno scalare per un equilibrato

µe un equilibrato, che l'intersezione e l'unione di equilibrati µe un equilibrato.

De¯nizione 1.1.5

Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE un insieme, diciamo allora che A µe

assolutamente convesso se µe convesso ed equilibrato.

De¯nizione 1.1.6

Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µe simmetrico se:

A = ¡A

Si osserva immediatamente che ogni insieme equilibrato µe simmetrico.

De¯nizione 1.1.7

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme non vuoto e sia 0 2E,

diciamo allora che A µe radiale nel punto 0 se:

8 2 E 9 0 tc 0 + 2 A 8 2 [0 ]

Chiamiamo nucleo radiale di A e lo denotiamo con A0 l'insieme punti di E in cui A µe

radiale. Ovviamente A0 µ A. Inoltre se BµE con AµB allora evidentemente A0 µ B0.

Propriet¶a 1.1.3

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme; sia 0 2E

Ts: 0 2 A0 , 8 2 E 9 0 tc 0 + 2 A 8 2 [¡ ]

Propriet¶a 1.1.4

Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia AµE con A0 6= ;; siano 0 2E e 2 IK n f0g

Ts: (A+ 0)0 = A0 + 0

7

Propriet¶a 1.1.5

Sia E un IK-spazio vettoriale; sia 0 2E; sia FµE un s.sp.vett; sia AµE radiale in 0

Ts: Se 0 2F allora A\F µe radiale in 0 in F

Propriet¶a 1.1.6

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme convesso con A0 6= ;

Ts: A0 µe convesso e A0 = (A0)0

De¯nizione 1.1.8

Sia E un IK-spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme non vuoto, diciamo allora

inviluppo lineare di A e lo denotiamo con (A), l'intersezione di tutti i s.sp.vett.

di E che contengono A, ovvero il piµu piccolo s.sp.vett. di E contenente l'insieme A.

Evidentemente l'inviluppo lineare di un sottospazio vettoriale coincide con se stesso.

Teorema 1.1.2

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuoto

Ts: span(A)=f11 + ¢ ¢ ¢+ nn : 1 n 2 IK e 1 n 2 Ag

Corollario 1.1.1

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme con A0 6= ;

Ts: span(A)=E

Corollario 1.1.2

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia FµE un sottospazio vettoriale con F0 6= ;

Ts: F=E

8

Propriet¶a 1.1.7

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano A,BµE sottoinsiemi non vuoti

Ts: (A [ B) = (A) + (B)

De¯nizione 1.1.9

Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE non vuoto, diciamo allora che A µe linearmente

indipendente (brevemente l.i.) se ogni parte ¯nita di A costituisce un insieme di vettori

l.i. cioµe se 1 n 2A a due a due distinti e 1 2 IK t.c. 11+ ¢ ¢ ¢+nn = E

allora necessariamente 1 = = n = 0.

Teorema 1.1.3


Ts: A µe linearmente indipendente , 8 2 (A) ammette rappresentazione unica

De¯nizione 1.1.10

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuoto, diciamo

allora che A µe una base di Hamel per E se µe linearmente indipendente e se span(A)=E.

Teorema 1.1.4 (Massimalit¶a di una base di Hamel)

Sia E un IK-spazio vettoriale e sia DµE un sottoinsieme l.i.

Ts: 9A µ E base di Hamel t.c. D µ A

Teorema 1.1.5

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano A,BµE due basi di Hamel per E

Ts: (A) = (B)

De¯nizione 1.1.11

Sia E un IK-spazio vettoriale, per il teorema 1.1.4 tale spazio ammette almeno una

9

base di Hamel e per il teorema 1.1.5 tutte le basi di Hamel di E hanno la medesima

cardinalit¶a. Tenendo conto della premessa fatta si de¯nisce allora dimensione algebrica

di E e la si denota con (E), la cardinalit¶a di una qualsiasi base di Hamel di E.

Facciamo osservare subito che (IKn) = n, infatti basta considerare le n n-uple

(1 0 0) (0 0 1) che costituiscono una base per IKn, detta base canonica.

De¯nizione 1.1.12

Sia E un IK-spazio vettoriale e sia SµE una variet¶a a±ne, per la proprietµa 1.1.2 il s.sp.

di cui S µe il traslato µe univocamente determinato e quindi ha senso dare la seguente

de¯nizione. Si de¯nisce dimensione algebrica di S e la si denota con (S), la

dimensione del s.sp. di cui S µe il traslato. Equivalentemente ¯ssato un qualunque 0 2 S

allora per la proprietµa 1.1.2 la dimensione di S µe la dimensione del s.sp.vett. S¡ 0.

Propriet¶a 1.1.8

Sia E un IK-spazio vettoriale; sia DµE insieme l.i.

Ts: (D) · (E)

Dim

Conseguenza immediata del teorema 1.1.4.

Lemma 1.1.1

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia n 2 IN n f0g

Ts: (E) ¸ n , 91 n 2 E li

Teorema 1.1.6

Siano E ed F IK-spazi vettoriali

Ts: Sono allora equivalenti:

10

(1) (E) = (F)

(2) 8m 2 IN 91 m 2 E li , 91 m 2 F li

Dim (1))(2)

Conseguenza immediata del lemma 1.1.1.

Dim (2))(1)

Proviamo che (E) · (F). Si puµo presentare il caso in cui (E) +1 ed

il caso in cui (E) = +1. Se (E) +1 ) 9n 2 IN tc (E) = n segue

allora dall'ipotesi e dal lemma 1.1.1 che (F) ¸ n = (E). Sia adesso il caso in

cui (E) = +1 e quindi comunque ¯ssato m 2 IN esisteranno m vettori di E l.i.

segue allora dall'ipotesi e dal lemma 1.1.1 che (F) ¸ m 8m 2 IN cioµe (F) = +1.

Analogamente scambiando il ruolo di E con quello di F si ottiene che (F) · (E).

De¯nizione 1.1.13

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F e G due sottospazi vettoriali di E.

Diciamo allora che F e G sono complementari se:

E = F©G

Propriet¶a 1.1.9

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettoriale

Ts: 9G µ E sottospazio vettoriale complementare ad F

De¯nizione 1.1.14

Sia E IK-spazio vettoriale e sia : E ! IR un funzionale (si ricorda che per una funzione

de¯nita su uno sp.vett. a valori in IK si riserva il nome di funzionale). Diciamo che:

² µe sub-additivo se (+ ) · () + () 8 2 E

11

² µe positivamente omogeneo se () = () 8 2 E e 8 0.

² µe assolutamente omogeneo se () = jj() 8 2 E e 8 2 IK

² µe una seminorma se µe sub-additivo e assolutamente omogeneo

² µe una norma se µe una seminorma e se () = 0 , = E. Usualmente per

denotare il funzionale norma si riserva il simbolo k ¢ kE.

Propriet¶a 1.1.10

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia : E ! IR una seminorma su E

Ts: µe non negativa ed inoltre j()¡ ()j · (+ ) 8 2 E

De¯nizione 1.1.15

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in E. Fissato un

vettore 2E consideriamol'insieme f 0 : 2 Ag che µe non vuoto per la radialit¶a di

A in E. Posto ciµo de¯niamo allora il seguente funzionale non negativo:

A : E ! IR con A() := inff 0 : 2 Ag 8 2 E

che prende il nome di funzionale di Minkowsky associato ad A.

Propriet¶a 1.1.11

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in E

Ts: Valgono allora i seguenti fatti:

() A µe positivamente omogeneo

() Se A µe equilibrato allora A µe assolutamente omogeneo

() Se A µe convesso allora A µe sub-additivo

() Se A µe assolutamente convesso allora A µe una seminorma

12

Propriet¶a 1.1.12

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in E


() A µ ¡1A ([0 1])

() Se A µe equilibrato o convesso allora ¡1A ([0 1[) µA

() Se A µe convesso allora A0 = ¡1A ([0 1[)

Teorema 1.1.7

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un insieme radiale in E; sia : E ! IR

un funzionale positivamente omogeneo

Ts: j()j · 1 8 2 A , j()j · A() 8 2E

Propriet¶a 1.1.13

Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; siano XµE e YµF non vuoti; sia : X ! Y una

funzione; sia 0 2F e consideriamo : X! Y + 0 con () = () + 0 8 2 X

Ts: () = () + (E 0)

Propriet¶a 1.1.14

Sia E uno spazio vettoriale su IK; siano A,BµE sottoinsiemi non vuoti e sia 2 IK n f0g

Ts: maxf(A) (B)g · (A + B) e (A) = (A)

1.2 Nozioni topologiche propedeutiche

Diamo qui di seguito de¯nizioni e proprietµa di natura topologica, propedeutiche ai

¯ni della presente tesi. Per un resoconto piµu dettagliato si veda D.C. Demaria [3].

13

De¯nizione 1.2.1

Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X. Diciamo allora che la

topologia 1 µe meno ¯ne o piµu grossolana della topologia 2 e scriviamo 1 · 2 se

vale l'inclusione 1 µ 2. Diciamo che 1 e 2 sono equivalenti se 1 = 2.

De¯nizione 1.2.2

Sia X uno spazio topologico; sia fngn2IN una successione ordinaria in X e sia 2X.

Diciamo allora che la successione fngn2IN converge a se:

8U µ X intorno di 9 2 IN tc n 2 U 8n ¸

Si fa osservare che una successione puµo avere piµu punti di convergenza cioµe non µe detto

che valga l'unicit¶a del limite. Denotiamo allora con:

limn!1

n

l'insieme dei punti di convergenza della successione fngn2IN. La circostanza che 2

limn!1 n si esprime anche con le scritture:

limn!1

n = oppure = limn!1

n

facendo attenzione al fatto che questa µe solo una simbologia, nel senso che se 1 2 2

limn!1 n cioµe sfruttando la notazione ora introdotta 1 = limn!1 n = 2, allora non µe

detto che 1 = 2 poich¶e come suddetto il limite non µe necessariamente unico.

De¯nizione 1.2.3

Diciamo che uno spazio topologico µe di Hausdor® se per ogni coppia di punti distinti

esistono due rispettivi intorni disgiunti. Banalmente sottospazi topologici di uno spazio

di Hausdor® sono di Hausdor®.

14

Teorema 1.2.1 (Unicitµa del limite in uno spazio di Hausdor®)

Sia X uno spazio topologico di Hausdor® e sia fngn2IN una successione ordinaria in X

Ts: se fngn2IN ammette limite in X allora questo µe unico

De¯nizione 1.2.4

Sia T un insieme non vuoto; sia X uno spazio topologico di Hausdor®; sia ffngn2IN in XT

e sia f 2 XT. Diciamo allora che la successione ffngn2IN converge puntualmente ad f

se per ogni ¯ssato 2T la successione ffn()gn2IN converge al punto f().

De¯nizione 1.2.5

Sia X un insieme non vuoto e sia F una famiglia di parti di X. Diciamo allora che la

famiglia F µe un ricoprimento di X se l'unione dei suoi membri µe tutto X. Se G µe una

sottofamiglia di F diciamo allora che µe un sottoricoprimento di F se a sua volta µe un

ricoprimento di X. Un ricoprimento si dice ¯nito se contiene un numero ¯nito di insiemi.

Nel caso in cui X µe munito di una struttura topologica allora diremo che il ricoprimento

F µe aperto se i suoi elementi sono degli aperti.

De¯nizione 1.2.6

Sia X uno spazio topologico, diciamo allora che X µe compatto se ogni suo ricoprimento

aperto ammette un sottoricoprimento ¯nito. Se AµX µe un insieme, diciamo allora che A

µe compatto se µe compatto nella relativizzazione ad esso della topologia di X. Si veri¯ca

facilmente che i punti di uno spazio topologico sono compatti.

Teorema 1.2.2

Sia (X, ) uno spazio topologico; sia AµX un insieme

Ts: A µe compatto , 8fAigi2I in tc A µ[

i2IAi 9i1 in 2 I tc A µ

n[

j=1

Aij

15

Propriet¶a 1.2.1

Sia X uno spazio topologico e sia AµX un insieme


() Se X µe compatto e A µe chiuso allora A µe compatto

() Se X µe di Hausdor® e A µe compatto allora A µe chiuso

De¯nizione 1.2.7

Diciamo che uno spazio topologico µe -compatto se si puµo scrivere come unione al piµu

numerabile (cioµe ¯nita o numerabile) di compatti.

De¯nizione 1.2.8

Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice denso se la sua chiusura coincide con

l'intero spazio.

Teorema 1.2.3

Sia X uno spazio topologico e sia DµX un sottoinsieme

Ts: D µe denso , 8 µX aperto non vuoto D\ 6= ;

De¯nizione 1.2.9

Sia X uno spazio topologico; sia 0 2X e sia U una famiglia di intorni di 0, diciamo

allora che tale famiglia µe una base o un sistema fondamentale di intorni di 0 se:

8U µ X intorno di 0 9V 2 U tc V µ U

De¯nizione 1.2.10

Diciamo che uno spazio topologico µe I-numerabile se in ogni punto ammette una base

fondamentale di intorni al piµu numerabile. Il vantaggio principale che o®rono gli spazi

16

topologici I-numerabili µe che si puµo lavorare con successioni ordinare invece che con

successioni generalizzate, cioµe si puµo fare uso di criteri sequenziali.

Teorema 1.2.4

Sia X uno spazio topologico I-numerabile; sia AµX sottoinsieme e sia 0 2X

Ts: 0 2 A , 9fngn2IN successione ordinaria in A convergente verso 0

Corollario 1.2.1

Sia X uno spazio topologico I-numerabile; sia AµX sottoinsieme

Ts: A µe chiuso , Ogni successione ordinaria in A convergente ha limite in A

De¯nizione 1.2.11

Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice raro se la sua chiusura ha interno vuoto.

De¯nizione 1.2.12

Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice di I-categoria se si puµo scrivere come

unione al piµu numerabile di insiemi rari. Banalmente l'insieme ; µe di I-categoria. Diciamo

che un sottoinsieme di uno spazio topologico µe di II-categoria se non µe di I-categoria.

Essendo ; di I-categoria allora necessariamente ogni insieme di II-categoria µe non vuoto.

De¯nizione 1.2.13

Diciamo che uno spazio topologico µe di Baire se ogni aperto non vuoto µe di II-categoria.

De¯nizione 1.2.14

Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2X diciamo allora

che f µe continua in 0 se:

8V µ Y intorno di f(0) 9U µ X intorno di 0 tc f(U) µ V

17

Diciamo che f µe continua se µe continua in ogni punto di X. Si denota con 0(XY)

l'insieme di tutte le funzioni continue da X in Y. Si veri¯ca facilmente che restrizioni e

composizioni di funzioni continue sono ancora funzioni continue.

Teorema 1.2.5

Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2X

Ts: f µe continua in 0 , 8VµY intorno di f(x0) allora f¡1(V) µe un intorno di 0

Teorema 1.2.6

Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione


(1) f µe continua

(2) 8AµY aperto allora f¡1(A) µe aperto

(3) 8CµY chiuso allora f¡1(C) µe chiuso

Teorema 1.2.7

Siano X ed Y spazi topologici con X I-numerabile; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2X

Ts: f µe continua in 0 , 8fngn2IN in X tc lim!1

n = 0 allora lim!1

f(n) = f(0)

Propriet¶a 1.2.2

Siano X ed Y due spazi topologici; sia AµX compatto; sia f:X!Y una funzione continua

Ts: f(A) µe un compatto

De¯nizione 1.2.15

Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione bigettiva, diciamo allora che f

µe un omeomor¯smo se µe continua assieme alla sua inversa. In tal caso X ed Y si dicono

omeomor¯. Una proprietµa si dice topologica se µe invariante per omeomor¯smo (ad

18

esempio la compattezza). Si veri¯ca facilmente che l'inversa di un omeomor¯smo µe un

omeomor¯smo e che la composizione di omeomor¯smi µe un omeomor¯smo.

De¯nizione 1.2.16

Siano X ed Y due spazi topologici e sia f:X!Y una funzione. Diciamo allora che f µe

aperta se ¶e mappa di aperti. Analogamente diciamo che f µe chiusa se ¶e mappa di chiusi.

Teorema 1.2.8

Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione biettiva e continua


(1) f µe un omeomor¯smo

(2) f µe aperta

(3) f µe chiusa

Teorema 1.2.9

Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione

Ts: f µe aperta , 80 2X e 8U µ X intorno di 0 allora f(U) µe un intorno di f(0)

Propriet¶a 1.2.3

Siano X ed Y due insiemi non vuoti; sia AµX insieme; sia f:X!Y una funzione

Ts: f(A) = f 2 Y : f¡1() \A 6= ;g e Y n f(X n A) = f 2 Y : f¡1() µ Ag

Teorema 1.2.10

Siano (X,X) ed (Y,Y) due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione


(1) f µe aperta

(2) 80 2 Y 8 2 X tc f¡1(0)\ 6= ; 9V µ Y intorno di 0 tc f¡1()\ 6= ; 8 2 V

19

Dim (1))(2)

Sia 80 2 Y e 2 X tc f¡1(0) \ 6= ; allora per la proprietµa 1.2.3 scegliamo V=f().

Dim (2))(1)

Sia AµX aperto e proviamo quindi che f(A) µe intorno di ogni suo punto. Sia 0 2f(A)

segue allora dalla proprietµa 1.2.3 che f¡1(0) \ A 6= ; segue allora dall'ipotesi che

9V µ Y intorno di 0 tc f¡1() \ 6= ; 8 2 V segue dalla proprietµa 1.2.3 che Vµf(A)

e pertanto essendo V un intorno di 0 allora anche f(A) lo µe.

Teorema 1.2.11

Siano X ed Y spazi topologici; sia f:X!Y funzione chiusa t.c. f¡1() compatto 8 2 Y

Ts: 8K µ Y compatto allora f¡1(K) µe compatto.

Dim

Sia fAigi2I un ricopr. aperto di f¡1(K). Fissiamo un 2K ed osserviamo che in particolare

la famiglia fAigi2I µe un ricopr. aperto di f¡1() che µe compatto per ipotesi e quindi:

9I µ I ¯nito tc f¡1() µ[

i2IAi (1.1)

poniamo B :=Si2I Ai che µe un aperto di X in quanto unione di aperti. Consideriamo

adesso l'insieme := Y n f(XnB) che µe un aperto essendo per ipotesi f chiusa. E quindi

al variare di in K otteniamo la famiglia di aperti fg2K di F che µe un ricoprimento di

K, infatti preso ad arbitrio 2K allora per la 1.1 segue che f¡1() µ B e quindi segue

dalla proprietµa 1.2.3 che 2 Y n f(X n B) =: . E quindi essendo K compatto allora:

91 n 2 K tc K µn[

j=1

j (1.2)

Vogliamo veri¯care che:

f¡1(K) µn[

j=1

Bj

20

Sia 2 f¡1(K) ) f() 2 K segue allora dalla 1.2 che 9j = 1 n tc f() 2 j )

f() 2 Y n f(XnBj) ) f() 62 f(XnBj) ) 62 X n Bj ) 2 Bj . E si conclude

essendo banalmente per costruzione fB1 Bng un sottoricopr. ¯nito di fAigi2I.

Teorema 1.2.12

Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X


(1) 1 · 2

(2) 80 2X e 8U µX 1-intorno di 0 ) U µe un 2-intorno di 0

(3) l'dentit¶a X : (X 2) ! (X 1) µe continua

Corollario 1.2.2

Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X


(1) 1 = 2

(2) 80 2X e 8U µX allora U µe un 1-intorno di 0 , U µe un 2-intorno di 0

(3) l'dentit¶a X : (X 2) ! (X 1) µe un omeomor¯smo

De¯nizione 1.2.17

Sia X un insieme non vuoto e sia una famiglia di parti di X. Si veri¯ca facilmente che

in generale data una famiglia di topologie su X allora l'intersezione di queste topologie

µe ancora una topologia su X. Tenendo conto di quanto detto si de¯nisce topologia

generata dalla famiglia e la si denota con , l'intersezione di tutte le topologie su

X, contenenti la famiglia (ovviamente di queste topologie ne esiste almeno una, poich¶e

basta considerare ad esempio la topologia discreta). E quindi per de¯nizione altro non

21

µe che la topologia meno ¯ne su X contenente la famiglia . Considerate le famiglie:

G :=

8<:G µ X : 9A1 An 2 a tc G =

n\

j=1

Aj

9=;

H :=

(H µ X : 9fGigi2I in G tc H =

[

i2IGi

)

si puµo dimostrare che la topologia puµo essere espressa nel seguente modo:

= f;Xg [ H

Si osserva che nel caso in cui µe chiusa rispetto all'intersezione ¯nita allora a=G e quindi

in tal caso i membri della topologia si riducono all'unione di membri della famiglia .

De¯nizione 1.2.18

Siano X1 Xn spazi topologici. Si considera allora sul prodotto cartesiano X1£¢ ¢ ¢£Xn,

la topologia generata dalla famiglia:

fA1 £ ¢ ¢ ¢ £ An : Ai µ Xi aperto 8i = 1 ng

detta topologia prodotto. Si veri¯ca facilmente che la famiglia generante µe chiusa

rispetto all'intersezione ¯nita. Una proprietµa si dice produttiva se il prodotto di

spazi godenti della proprietµa µe ancora uno spazio godente della proprietµa .

Teorema 1.2.13

Siano X ed Y due spazi topologici; sia WµX£Y e sia (0 0) 2X£Y

Ts: W µe un intorno di (0 0) , 9U µ X e V µ Y risp. intorni di 0 e 0 t.c. U£VµW

Teorema 1.2.14

Siano X ed Y due spazi topologici


22

() X£Y µe di Hausdor® , X ed Y sono di Hausdor®

() X£Y µe I-numerabile , X ed Y sono I-numerabili

Teorema 1.2.15

Siano X ed Y due spazi topologici di Hausdor®; siano fngn2IN e fngn2IN successioni

rispettivamente in X ed in Y convergenti

Ts: limn!1

(n n) =µlimn!1

n limn!1

n

¶

De¯nizione 1.2.19

Siano X ed Y due insiemi non vuoti, chiamiamo allora proiezione su X, la funzione:

X : X£ Y ! X con X( ) = 8( ) 2 X£ Y

Analogamente si de¯nisce la proiezione su Y.

Propriet¶a 1.2.4

Siano X ed Y due spazi topologici

Ts: La proiezione X µe continua, aperta e surgettiva

Teorema 1.2.16

Siano X, Y e Z spazi topologici; siano f:X!Y e g:X!Z due funzioni e sia h:X! Y £ Z

con h() = (f() g()) 8 2X

Ts: h µe continua , f e g sono continue

Teorema 1.2.17 (della diagonale)

Siano X, Y, W e Z spazi topologici; siano f:X!W e g:Y!Z due funzioni e sia h:X£Y !

W£ Z con h( ) = (f() g()) 8( ) 2 X£Y detta funzione diagonale

Ts: h µe continua , f e g sono continue

23

Teorema 1.2.18

Siano X, Y e Z spazi topologici; sia f:X£ Y !Z e una funzione continua

Ts: f µe continua separatamente cioµe ¯ssati 2X e 2Y allora f( ¢) e f(¢ ) sono continue

Teorema 1.2.19

Sia X spazio topologico; sia Y spazio topologico di Hausdor®; sia f:X!Y continua

Ts: (f) µe chiuso

Teorema 1.2.20

Siano X ed Y spazi topologici; sia f:X!Y una funzione a gra¯co chiuso

Ts: f¡1() µe chiuso 8 2Y

De¯nizione 1.2.20

Sia X un insieme non vuoto, e sia : X£ X ! IR una funzione. Diciamo allora che µe

una metrica su X se soddisfa alle seguenti tre proprietµa:

(1) ( ) = ( ) 8 2X

(2) ( ) · ( ) + ( ) 8 2X

(3) ( ) = 0 , =

La coppia (X ) prende il nome di spazio metrico. Si verifca facilmente che la metrica

µe una funzione non negativa. Se A µX µe un insieme non vuoto allora si veri¯ca facilmente

che la restrizione jA£A µe una metrica su A e si chiama metrica indotta.

De¯nizione 1.2.21

Sia (X,d) uno spazio metrico. Fissati 0 2X e 0 allora l'insieme:

(0 ) := f 2 X : (0 ) g

µe detto sfera (aperta) di centro 0 e raggio .

24

De¯nizione 1.2.22

Sia (X,d) uno spazio metrico. La topologia generata dalla famiglia di sfere:

f( ) : 2 X e 0g

µe detta topologia indotta dalla metrica ed µe la topologia che si considera su (X,).

Se A µ X µe un insieme non vuoto allora si dimostra facilmente che la topologia indotta

dalla metrica indotta su A coincide con la relativizzazione ad A della topologia di X.

Teorema 1.2.21

Sia (X,) uno spazio metrico; sia UµX insieme non vuoto e sia 0 2X

Ts: U µe un intorno di 0 , 9 0 t.c. (0 ) µU

Corollario 1.2.3

Sia (X,) uno spazio metrico; sia AµX insieme non vuoto

Ts: A µe aperto , 9fg2A in ]0+1[ t.c. A=[

2A( )

De¯nizione 1.2.23

Sia (X,) uno spazio metrico. Fissati 0 2X e 0 allora l'insieme:

(0 ) := f 2 X : (0 ) · g

µe detto sfera chiusa di centro 0 e raggio . Si veri¯ca facilmente che ogni sfera chiusa

µe un chiuso. Ovviamente (0 ) µ (0 ) e passando alle chiusure si ha (0 ) µ

(0 ), l'inclusione inversa non µe sempre vera.

De¯nizione 1.2.24

Un sottoinsieme di uno spazio metrico si dice limitato se esiste una sfera che lo contiene.

25

De¯nizione 1.2.25

Sia (X,) uno spazio metrico e siano 0 2X e AµX insieme non vuoto. Si de¯nisce allora

distanza del punto 0 dall'insieme A, il numero non negativo:

(0A) := inf2A

(0 )

De¯nizione 1.2.26

Sia (X,) uno spazio metrico. Diciamo che una succ. fngn2IN in X µe di Cauchy se:

8 0 9 2 IN tc (n m) 8nm

Si osserva immediatamente che equivalentemente una succ. fngn2IN µe di Cauchy se:

8 0 9 2 IN tc (n+p n) 8n e 8p 2 IN

Propriet¶a 1.2.5

Sia (X,) uno spazio metrico; sia fngn2IN una successione ordinaria in X


() Se fngn2IN µe convergente allora µe di Cauchy

() Se fngn2IN µe di Cauchy allora µe limitata

() Se fngn2IN µe convergente allora µe limitata

Propriet¶a 1.2.6

Sia (X,) uno spazio metrico; sia fngn2IN una successione ordinaria in X; sia fngn2IN

una successione ordinaria in IR+ := [0+1[ in¯nitesima t.c. (n+p n) · n 8n p 2 IN

Ts: fngn2IN µe una successione di Cauchy

Propriet¶a 1.2.7

Sia (X,d) uno spazio metrico

Ts: X µe di Hausdor® e I-numerabile

26

De¯nizione 1.2.27

Diciamo che uno spazio metrico µe completo se ogni succ. di Cauchy µe convergente.

Propriet¶a 1.2.8

Sia (X,d) uno spazio metrico; sia AµX insieme

Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazini:

() Se A µe completo allora A µe chiuso

() Se X µe completo e A µe chiuso allora A µe completo

Teorema 1.2.22

Sia (X,d) uno spazio metrico completo

Ts: X µe di Baire

Propriet¶a 1.2.9

Sia X uno spazio topologico; sia (Y,) uno spazio metrico; sia 0 2X; sia f:X!Y funzione

Ts: Se f µe continua in 0 allora f µe limitata su un intorno di 0

De¯nizione 1.2.28

Siano (X,) e (Y,) spazi metrici; sia f:X!Y funzione. Diciamo che f µe lipschitziana se:

9L 0 tc (f() f()) · L( ) 8 2 X

la costante L prende il nome di costante di lipschitz.

Propriet¶a 1.2.10

Siano (X,) e (Y,) due spazi metrici e sia f:X!Y una funzione lipschitziana

Ts: f µe continua

27

De¯nizione 1.2.29

Siano (X,) e (Y,) spazi metrici; sia f:X!Y funzione. Diciamo che f µe un'isometria se:

(f() f()) = ( ) 8 2 X

cio¶e f preserva le distanze- Nel caso in cui la f µe anche surgettiva allora gli spazi X ed Y

si dicono isometrici. Banalmente un'isometria puµo essere rigurdata come una funzione

lipschitziana con costante di lipschitz 1.

Propriet¶a 1.2.11

Siano (X,) e (Y,) due spazi metrici e sia f:X!Y un'isometria


() f µe iniettiva

() f¡1 : f(X) ! X µe un'isometria

() f µe un omeomor¯smo tra X ed f(X)

() se f µe surgettiva allora X ed Y sono omeomor¯

Propriet¶a 1.2.12

Sia X uno spazio topologico; sia 0; sia f : X ! IC una funzione

Ts: f µe continua in 0 , f e f sono continue in 0

De¯nizione 1.2.30

Sia X uno spazio topologico; sia f:X! IR una funzione. Diciamo allora che la funzione f

µe semicontinua inferiormente (brevemente s.c.i.) se per ogni 2 IR il sottolivello:

f 2 X : f() · g

µe un chiuso. Banalmente se f µe continua allora f µe s.c.i..

28

Propriet¶a 1.2.13 (s.c.i dell'inviluppo superiore)

Sia X uno spazio topologico; sia ffigi2I famiglia di funzioni de¯nite da X in IR s.c.i.

Ts: La funzione f() := supi2Ifi() 8 2X µe s.c.i.

1.3 Cenni sugli spazi vettoriali topologici

Nella maggioranza dei casi in cui si considera uno spazio vettoriale concreto E, in

esso vi µe gi¶a una certa convergenza naturale che determina la topologia in E, la quale

in generale risula compatibile con le operazioni algebriche dello spazio. In questa tesi ci

interessa soprattutto il caso in cui tale topologia puµo essere assegnata a mezzo di una

norma, cioµe il caso in cui E µe uno spazio normato. Noi tuttavia, considereremo dapprima

il caso piµu generale degli spazi vettoriali topologici. Ciµo µe motivato, da una parte, dal

fatto che molte questioni relative agli spazi normati vengono risolti per via naturale gi¶a

a questo livello generale. L'introduzione che qui o®riamo alla teoria elementare degli

spazi vettoriali topologici persegue soltanto gli scopi necessari ai ¯ni della presente tesi e

pertanto non pretende di essere integrale e completa. Per una esposizione piµu dettagliata

degli spazi vettoriali topologici si veda N. Bourbaki [7].

De¯nizione 1.3.1

Sia E un IK-spazio vettoriale; sia una topologia su E e consideriamo le seguenti funzioni:

: E £ E ! E con s( ) := + 8 2 E

: IK£ E ! E con p( ) := 8 2 E e 8 2 IK

Diciamo allora che µe una topologia vettoriale se le funzioni somma e prodotto ,

sono continue. In tal caso si dice che E munito della topologia vettoriale , µe uno spazio

29

vettoriale topologico. Se F µ E µe un s.sp.vett. allora si veri¯ca facilmente che la

relativizzazione ad esso della topologia vettoriale di E µe ancora una topologia vettoriale.

Una particolarit¶a degli spazi vettoriali topologici µe che nella maggior parte dei casi i

procedimenti dimostrativi si possono sempli¯care mediante opportune traslazioni.

Teorema 1.3.1

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia una proprietµa topologica; sia AµE insieme

godente della proprietµa ; siano 0 2E e 2 IK

Ts: Gli insiemi 0+A e A godono della proprietµa

Dim

Consideriamo f:E!E con f() = 0 + 8 2E che µe un omeomor¯smo essendo E

uno spazio vettoriale topologico, e quindi essendo una proprietµa topologica, segue che

l'insieme f(A)=0+A gode della proprietµa . Analogamente si veri¯ca che l'insieme A

gode della proprietµa infatti basta considerare l'operatore g:E!E con g() = 8 2E.

Teorema 1.3.2

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia una proprietµa invariante per continuit¶a e

produttiva; siano A,BµE due sottoinsiemi godenti della proprietµa

Ts: A+B gode della proprietµa

Dim

Consideriamo f:E£ E ! E con f( ) = + 8( ) 2 E£ E che µe continuo essendo E

uno spazio vettoriale topologico e quindi per la produttivit¶a e l'invarianza rispetto alla

continuit¶a della proprietµa segue che l'insieme f(A£B)=A+B gode della proprietµa .

Propriet¶a 1.3.1

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE; sia 0 2E

30

Ts: U µe intorno di 0 , 9W µ E intorno di E tc U =0 +W

Corollario 1.3.1

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia 0 2E e sia UµE intorno di 0

Ts: U¡0 µe un intorno di E

Propriet¶a 1.3.2

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di E; sia 2 IK

Ts: U µe un intorno di E

Propriet¶a 1.3.3

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di E

Ts: U µe radiale in E

Corollario 1.3.2

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE insieme

Ts: (A) µ A0

Dim

Conseguenza della proprietµa 1.3.1, della proprietµa 1.3.3 e della proprietµa 1.1.4.

Corollario 1.3.3

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un insieme aperto

Ts: A = A0

Corollario 1.3.4

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia FµE un s.sp.vett. con interno non vuoto

Ts: E=F

31

Dim

Conseguenza immediata del corollario 1.3.2 e del corollario 1.1.2.

Propriet¶a 1.3.4

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di E

Ts: 9VµE intorno di E t.c. V+VµU

Teorema 1.3.3

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia F la famiglia degli intorni di E equilibrati

Ts: F µe una base fondamentale di intorni di E

Teorema 1.3.4

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un sottoinsieme; sia H una base

fondamentale di intorni di E

Ts: A =\

V2H(A + V)

Corollario 1.3.5

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia WµE intorno di E

Ts: W µW+W

Propriet¶a 1.3.5

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia H una base fondamentale di intorni di E

Ts: Le famiglie fW+WgW2H e fWgW2H sono basi fondamentali di intorni di E

Dim

Per la proprietµa 1.3.4 segue immediatamente che la famiglia fW+WgW2H µe una base

fondamentale di intorni di E, e da ciµo assieme al corollario 1.3.5 segue che anche la

famiglia fWgW2H µe una base fondamentale di intorni di E.

32

Propriet¶a 1.3.6

Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; siano fngn2IN e fngn2IN due

successioni in E convergenti; siano fngn2IN e fngn2IN due successioni in IK convergenti

Ts: limn!1

[nn + nn] = limn!1

n limn!1

n + limn!1

n limn!1

n

Propriet¶a 1.3.7

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE insieme; sia 0 2E e sia 2 IK

Ts: 0 + A = 0 + A e (0 + A) = 0 + (A)

Propriet¶a 1.3.8

Sia X uno spazio topologico; sia E uno spazio vettoriale topologico


() 8f g 2 0(XE) e 8 2 0(X IK) allora f + g f 2 0(XE)

() 0(XE) µe un sottopazio vettoriale di EX

De¯nizione 1.3.2

Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia fngn2IN una succ. in E. Diciamo

allora serie associata ad fngn2IN la somma degli in¯niti termini di fngn2IN. Fissato

k 2 IN diciamo ridotta k-esima o somma parziale k-esima il vettore:

k :=kX

n=1

n

La succ. fkgk2IN µe detta succ. delle ridotte associata alla serie data. Diciamo che la

serie µe convergente se la succ. delle ridotte ad essa associata µe convergente ed il limite

prende il nome di somma della serie.

Propriet¶a 1.3.9

Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia fngn2IN una successione ordinaria

33

in E e supponiamo che la serieP1n=1 n sia convergente

Ts: La successione fngn2IN converge a E

Propriet¶a 1.3.10

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia FµE un sottospazio vettoriale

Ts: F µe un sottospazio vettoriale

Corollario 1.3.6

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia SµE una variet¶a a±ne

Ts: S µe una variet¶a a±ne

Dim

Conseguenza immediata della proprietµa 1.3.7 e della proprietµa 1.3.10.

De¯nizione 1.3.3

Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia AµE un insieme non vuoto, diciamo allora

chiusura lineare di A e la denotiamo con (A), l'intersezione di tutti i s.sp.vett.

chiusi di E che contengono A, ovvero il piµu piccolo s.sp.vett. chiuso di E contenente A.

Propriet¶a 1.3.11


Ts: (A) = (A)

De¯nizione 1.3.4

Sia E uno spazio vettoriale topologico. Diciamo che un insieme AµE µe limitato se:

8U µ E intorno di E 9 0 tc A µ U

Banalmente sottoinsiemi di limitati sono limitati.

34

Propriet¶a 1.3.12

Sia E uno spazio vettoriale topologico; siano A,BµE insiemi limitati; sia 0 2E; sia 2 IK

Ts: Gli insiemi f0g, A+B, 0+A, A, A \ B, A [ B sono limitati

Teorema 1.3.5

Sia E uno spazio vettoriale topologico; siano A,BµE non vuoti con A compatto e B chiuso

Ts: A+B µe chiuso

Teorema 1.3.6

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia VµE un intorno di E convesso; Sia V :

E ![0+1[ il funzionale di Minkowsky associato a V


() (V) = ¡1V ([0 1[)

() V = ¡1V ([0 1])

() V = ¡1V (1)

Teorema 1.3.7

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un insieme convesso con (A) 6= ;


() A = (A)

() (A) = A0

() A = A0

De¯nizione 1.3.5

Diciamo che uno spazio vettoriale topologico E µe localmente convesso se ammette una

base fondamentale di intorni E convessi.

35

Teorema 1.3.8

Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia UµE un intorno di E convesso

Ts: 9V µE intorno di E assolutamente convesso t.c. VµU

Corollario 1.3.7

Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso

Ts: E ammette una base fond. di intorni di E assolutamente convessi

De¯nizione 1.3.6

Sia E un IK-spazio vettoriale; sia :E! [0+1[ una seminorma su E; siano 2E e r 0.

Si de¯nisce semisfera relativa alla seminorma , di centro 0 e raggio r l'insieme:

( 0 r) := f 2 : ( ¡ 0) rg

Propriet¶a 1.3.13

Sia E un IK-spazio vettoriale; sia :E! [0+1[ una seminorma su E; siano 0 2E e r 0


() ( 0 r) = 0 + r( E 1)

() ( E r) µe un equilibrato

() ( 0 r) µe un convesso

() 80 2 E 9 0 t.c. ( 0 ) µ ( 0 )

De¯nizione 1.3.7

Sia E un IK-spazio vettoriale; sia figi2I una famiglia di seminorme su E. Si de¯nisce

topologia indotta dalla famiglia figi2I, la topologia generata dalla famiglia:

f(i r) : i 2 I 2 E r 0g

36

Si puµo veri¯care che tale topologia su E µe vettoriale. Se F µ E µe un sottospazio

vettoriale e consideriamo la famiglia di seminorme fijFgi2I, allora si veri¯ca facilmente

che la topologia indotta su F da tale famiglia, coincide con la relativizzazione ad F della

topologia di E. Diciamo che una famiglia di seminorme ¶e meno ¯ne di un'altra famiglia

di seminorme se la topologia da essa indotta µe meno ¯ne della topologia indotta dall'altra

famiglia. Diciamo che due famiglie di seminorme su E sono equivalenti se inducono alla

medesima topologia. Nel caso in cui la famiglia di seminorme sia costituita da una sola

seminorma allora lo spazio si dice seminormato e lo si denota con la coppia (E ). In

particolare se tale seminorma µe pure una norma k ¢ kE allora lo spazio si dice normato.

Teorema 1.3.9

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia figi2I una famiglia di seminorme su E

inducente la topologia di E; sia UµE e sia 0 2E

Ts: U µe un intorno di 0 , 9i1 in 2 I e r 0 t.c.n\

j=1

(ij 0 r) µU

De¯nizione 1.3.8

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia figi2I una famiglia di seminorme su E,

diciamo allora che tale famiglia µe saturata se:

8i1 i2 2 I 9i3 2 I tc i3() ¸ maxfi1() i2()g 8 2 E

Teorema 1.3.10

Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia figi2I una famiglia di seminorme su E

Ts: 9 una famiglia di seminorme su E saturata equivalente a figi2I

Teorema 1.3.11

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia figi2I una famiglia saturata di seminorme su

37

E inducente la topologia di E; sia UµE e sia 0 2E

Ts: U µe un intorno di 0 , 9i 2 I e r 0 t.c. (i 0 r) µU

Propriet¶a 1.3.14

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia figi2I una famiglia di seminorme su E

inducente la topologia di E

Ts: Le seminorme della famiglia figi2I sono continue

Teorema 1.3.12

Sia (E ) uno spazio vettoriale topologico

Ts: E µe localmente convesso , 9figi2I famiglia di seminorme su E inducente

Teorema 1.3.13

Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi figi2I una famiglia

di seminorme su E, inducente la topologia di E

Ts: E µe di Hausdor® , 8 2 E n fEg 9i 2 I tc i() 0

Teorema 1.3.14


di seminorme su E, inducente la topologia di E; sia fngn2IN una succ. in E e sia 0 2E

Ts: fngn2IN converge a 0 , limn!1

i(n ¡ 0) = 0 8i 2 I

Teorema 1.3.15


di seminorme inducente la topologia vettoriale di E; sia AµE un sottoinsieme

Ts: A µe limitato , i(A) µe limitato in IR 8i2I

38

Corollario 1.3.8

Sia (E,) uno spazio seminormato; sia AµE un sottoinsieme

Ts: A µe limitato , 9M 0 tc () · M 8 2 A

De¯nizione 1.3.9

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato e consideriamo la funzione:

: E£ E ! [0+1[ con ( ) = k ¡ kE 8 2 E

si veri¯ca facilmente che tale funzione µe una metrica su E, che prende il nome dimetrica

indotta dalla norma. Si evince dalle de¯nizioni 1.2.22 e 1.3.7 che la topologia indotta

dalla metrica coincide con quella indotta dalla norma k ¢ kE. E pertanto uno spazio

normato puµo essere sempre riguardato come un particolare spazio metrico.

De¯nizione 1.3.10

Uno spazio normato di dice di Banach se µe completo.

Teorema 1.3.16

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato; sia fngn2IN una successione ordinaria in E e sia 0 2E

Ts: fngn2IN converge a 0 , limn!1

kn ¡ 0kE = 0

Dim


Propriet¶a 1.3.15

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato; sia AµE un sottoinsieme

Ts: A µe limitato nel senso degli sp. vett. top. , A µe limitato nel senso degli sp. metrici

Dim

Conseguenza immediata del corollario 1.3.8.

39

Propriet¶a 1.3.16

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato e siano 0 2E e 0

Ts: (0 ) = (0 )

Propriet¶a 1.3.17

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato e siano 0 0 2E e 0

Ts: (0 ) \ (0 ) 6= ; , + · k0 ¡ 0kE

Teorema 1.3.17

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su E


() k ¢ k1 µe meno ¯ne di k ¢ k2 , 9 k0 t.c. kk1 · kkk2 8 2E

() k ¢ k1 µe equivalente a k ¢ k2 , 9 c,k0 t.c. ckk2 · kk1 · kkk2 8 2E

Teorema 1.3.18

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su E equivalenti

Ts: E µe k ¢ k1-di Banach , E µe k ¢ k2-di Banach

De¯nizione 1.3.11

Siano (E1 k ¢ kE1) (En k ¢ kEn) n spazi normati, si de¯niscono allora sul prodotto

cartesiano E := E1 £ ¢ ¢ ¢ £ En i seguenti tre funzionali:

kk1 := max1·i·n

kikEi 8 = (1 ) 2 E

kk2 :=

vuutnX

i=1

kk2Ei 8 = (1 ) 2 E

kk3 :=nX

i=1

kkEi 8 = (1 ) 2 E

40

si veri¯ca agevolmente che tali funzionali sono tre norme sul prodotto E, dette norme

canoniche. Si veri¯ca inoltre facilmente che:

k ¢ k1 · k ¢ k2 · k ¢ k3 · nk ¢ k1 · nk ¢ k2 · nk ¢ k3

e tale s¯lza di disuguaglianze per il teorema 1.3.17 ci dice che le tre norme canoniche sono

equivalenti cioµe inducono alla medesima topologia e si puµo provare che tale topologia µe

proprio la topologia prodotto su E. Inoltre per il teorema 1.3.18 e per il teorema 1.3.17

la s¯lza di disuguaglianza ci dice che se lo spazio prodotto E µe di Banach rispetto ad una

delle norme canoniche allora lo µe anche rispetto alle altre due.

Teorema 1.3.19

Siano (E k ¢ kE) ed (F k ¢ kF) due spazi normati

Ts: E£F µe di Banach , E ed F sono di Banach

De¯nizione 1.3.12

Sia (E k ¢ kE) uno spazio normato, diciamo allora che tale spazio µe di tipo M se ogni

famiglia di sfere chiuse a due a due non disgiunte ha intersezione non vuota. Si puµo

dimostrare che ogni spazio di tipo M µe di Banach. Esempi di spazi di tipo M sono la

retta reale oppure lo spazio funzionale di misura 1(§ ) se la misura µe -¯nita. Il

corpo IC rigurdato come spazio vettoriale reale (identi¯cabile quindi con il piano IR2), non

µe di tipo M poich¶e µe facile costruire un sistema di tre cerchi sul piano, due qualunque

dei quali si intersecano, ma la cui intersezione comune µe vuota. La maggior parte degli

spazi funzionali noti non µe di tipo M. Per un approfondimento piµu dettagliato di tali

spazi si rimanda al Kantarovic-Akilov [6]. Da quanto detto si evince che la classe degli

spazi di tipo M µe abbastanza ristretta.

41

Teorema 1.3.20 (di Kolmogorov)

Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor® e supponiamo che esista VµE intorno

di E assolutamente convesso e limitato

Ts: Il funzionale di Minkowsky V µe una norma su E, inducente la topologia di E

Teorema 1.3.21 (di Heine-Pincherle-Borel)

Sia Aµ IKn insieme

Ts: A µe compatto , A µe chiuso e limitato

De¯nizione 1.3.13

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato e sia fngn2IN una successione in E, diciamo allora che

la serie ad essa associata converge assolutamente se converge la serie reale a termini

non negativi associata alla successione fknkEgn2IN.

Teorema 1.3.22

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio di Banach; sia fngn2IN una successione ordinaria in E e

supponiamo che la serie ad essa associata converga assolutamente

Ts: La serie1X

n=1

n µe convergente

De¯nizione 1.3.14

Sia H un IK-spazio vettoriale. Diciamo allora che la funzione (¢ ¢)H : H £ H ! IK µe un

prodotto scalare o un prodotto interno, se soddisfa alle seguenti proprietµa:

(1) (+ )H = ( )H + ( )H 8 2 H e 8 2 IK

(2) ( )H = ( )H 8 2 H

(3) ( )H ¸ 0 8 2 H

(4) ( )H = 0 , = H

42

Lo spazio H munito del prodotto scalare si dice spazio pre-hilbertiano o spazio

a prodotto scalare e si indica con la coppia (H,(¢ ¢)H). Dalle precedenti si veri¯ca

facilmente che vale anche la seguente proprietµa:

( + )H = ( )H + ( )H 8 2 H e 8 2 IK

quindi il prodotto scalare µe lineare rispetto alla prima variabile ma non lo µe rispetto alla

seconda variabile. Si puµo dimostrare che vale la seguente disuguaglianza:

j( )Hj ·q( )H

q( )H

detta disuguaglianza di Schwarz-Cauchy. Consideriamo adesso il funzionale:

k ¢ kH : H! [0+1[ con kkH :=q( )H 8 2 H

allora facendo uso della disuguaglianza di Schwarz-Cauchy, si veri¯ca facilmente che tale

funzionale µe una norma su H. La topologia che si considera su H µe quella indotta dalla

norma appena introdotta, che µe pertanto una topologia vettoriale. Uno spazio a prodotto

scalare si dice diHilbert se µe completo rispetto alla norma suddetta. Un esempio notevole

di prodotto scalare su IKn µe dato dal prodotto scalare euclideo:

( )IKn :=nX

i=1

i 8 = (1 n) = (1 n) 2 IKn

infatti si veri¯ca facilmente che questo µe un prodotto scalare. Si osserva inoltre che

la norma indotta dal prodotto scalare euclideo ¶e una delle tre norme canoniche su IKn

e precisamente quella euclidea. Essendo come noto il corpo IK completo, allora per il

teorema 1.3.19 segue che lo spazio IKn risulta essere completo rispetto ad ognuna delle

tre norme canoniche. E quindi dal ragionamento fatto si desume che lo spazio IKn munito

del prodotto scalare euclideo µe uno spazio di Hilbert.

43

Propriet¶a 1.3.18

Sia H uno spazio a prodotto scalare

Ts: (¢ ¢)H : H£ H! IK µe continuo

De¯nizione 1.3.15

Due vettori di uno spazio a prodotto scalare si dicono ortogonali se il loro prodotto

scalare nullo.

De¯nizione 1.3.16

Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AµH un insieme non vuoto. Diciamo

complemento ortogonale di A e lo indichiamo con A?, l'insieme dei vettori di H

ortogonali ad ogni vettore di A. Si dimostra facilmente che A? µe un s.sp.vett. chiuso.

Teorema 1.3.23 (fondamentale degli spazi di Hilbert)

Sia H uno spazio di Hilbert; sia FµH un sottospazio vettoriale chiuso

Ts: H=F©F? e F = (F?)?

1.4 Teoria di base degli operatori lineari

De¯nizione 1.4.1

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia T:E!F un operatore, diciamo che T µe lineare se:

(1) T(+ ) = T() + T() 8 2 E

(2) T() = T() 8 2 IK e 8 2 E

Denotiamo con (EF) l'insieme di tutti gli operatori lineari da E in F. Nel caso F = IK

si denota con E0 := (E IK) e prende il nome di duale algebrico di E. Si osserva che

44

se E ed F sono due sp.vett. su IC allora in particolare E ed F saranno due sp.vett. su IR

e quindi se T:E!F µe un operatore lineare con E ed F considerati come IC-sp.vett. allora

banalmente T sar¶a un operatore lineare anche con E ed F considerati come IR-sp.vett..

Teorema 1.4.1

Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia T:E!F un operatore


(1) T µe lineare

(2) T(+ ) = T() + T() 8 2 IK e 8 2 E

(3) T¡1() + T¡1() µ T¡1(+ ) 8 2 IK e 8 2 T(E)

(4) gr(T) µe un sottospazio vettoriale di E£F

Propriet¶a 1.4.1

Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK


() 8ST 2 (EF) e 8 2 IK allora S + T S 2 (EF)

() (EF) µe un sottospazio vettoriale di FE

De¯nizione 1.4.2

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia T 2 (EF). Chiamiamo nucleo di T l'insieme:

(T) := T¡1(F) = f 2 E : T() = Fg

Propriet¶a 1.4.2

Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia T 2 (EF)


() T µe iniettivo , (T) = fEg

45

() (T) µe un sottospazio vettoriale di E

() Preso 0 2T(E) e 0 2 T¡1(0) allora T¡1(0) = 0 +(T)

() Preso 0 2T(E) allora T¡1(0) µe una variet¶a a±ne di E

Propriet¶a 1.4.3

Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; siano T1 Tn 2 (EF); siano 1 n 2 IK

Ts:n\

i=1

(Ti) µ

ÃnX

i=1

iTi

!

Propriet¶a 1.4.4

Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia T 2 (EF)

Ts: T¡1(+ ) = T¡1() + T¡1() 8 2 IK n f0g e 8 2 T(E)

Dim

Fissati 2 IK n f0g e 2 T(E), siano 2 T¡1() e 2 T¡1() ed osserviamo che

T(+ ) = T() + T() = + . Per la proprietµa 1.4.2 segue che:

T¡1() + T¡1() = [+(T)] + [ +(T)] =

= + (T) + + (T) =

= + +(T) = T¡1(+ )

Propriet¶a 1.4.5

Siano E, F e G IK-spazi vettoriali; siano S 2 (EF) e T 2 (FG)

Ts: T ± S 2 (EG) ed inoltre se T µe iniettivo allora (S) = (T ± S)

Propriet¶a 1.4.6

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia T 2 (EF)

Ts: T(G) µe un sottospazio vettoriale di E

46

Propriet¶a 1.4.7

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia T 2 (EF)

Ts: TjG : G ! F µe un operatore lineare ed inoltre (TjG) = (T) \G

Propriet¶a 1.4.8

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE un insieme; sia T 2 (EF)


() Se A µe convesso allora T(A) µe convesso

() Se A µe equilibrato allora T(A) µe equilibrato

() Se A µe assolutamente convesso allora T(A) µe assolutamente convesso

Propriet¶a 1.4.9

Siano (E,k ¢ kE) (F,k ¢ kF) due spazi normati; sia : E ! F un operatore lineare

Ts: µe un'isometria , k()kF = kkE 8 2 E

Propriet¶a 1.4.10

Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia AµE t.c. (A)=E; sia T 2 (EF)

Ts: Se T µe nullo su A allora T µe identicamente nullo

Dim

Conseguenza della proprietµa 1.4.2.

Corollario 1.4.1

Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia AµE con A0 6= ;; sia T 2 (EF) non nullo

Ts: 90 2A t.c. T(0) 6= F

Dim

Supponiamo per assurdo che T sia nullo su A segue allora dal corollario 1.1.1 e dalla

proprietµa 1.4.10 che T µe identicamente nullo e siamo ad un assurdo.

47

Propriet¶a 1.4.11

Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia AµE un sottoinseme non vuoto; siano

ST 2 (EF) t.c. S() = T() 8 2 A

Ts: S() = T() 8 2 (A)

Propriet¶a 1.4.12

Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia AµE insieme; sia T 2 (EF)

Ts: T(span(A))=span(T(A))

Propriet¶a 1.4.13

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE insieme l.i.; sia T 2 (EF) iniettivo

Ts: T(A) µe l.i.

Propriet¶a 1.4.14

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE una base di Hamel; sia T 2 (EF) iniettivo

Ts: T(A) µe una base di Hamel per T(E)

Dim

Conseguenza immediata della proprietµa 1.4.13 e della proprietµa 1.4.12.

De¯nizione 1.4.3

Siano E ed F due IK-spazi vettoriali e sia T 2 (EF). Diciamo allora che T µe un

isomor¯smo se µe bigettivo. In tal caso E ed F si dicono isomor¯. Si veri¯ca facilmente

che l'inversa di un isomorf. µe un isomorf. e che la composizione di isomorf. µe un isomorf..

De¯nizione 1.4.4

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia F un sottospazio vettoriale di E. De¯niamo

48

la seguente relazione su E che si veri¯ca facilmente essere di equivalenza:

8 2 E » , ¡ 2 F

Tale relazione di equivalenza induce quindi ad una partizione di classi di elementi

equivalenti, denotiamo allora con EF l'insieme quoziente cioµe la famiglia di tutte le

classi di equivalenza. Se in EF si considerano le seguenti operazioni:

(1) [] + [] = [+ ] 8 2 E

(2) [] = [] 8 2 E e 8 2 IK

allora si prova che rispetto ad esse EF risulta essere un IK-spazio vettoriale. Detta [] la

classe nulla allora si veri¯ca facilmente che [] = [E] = F. De¯niamo inoltre l'operatore:

¦F : E ! EF con ¦F() = [] 8 2 E

detto proiezione canonica.

Teorema 1.4.2


Ts: La proiezione canonica ¦F soddisfa le seguenti proprietµa:

() ¦F µe un operatore lineare

() (¦F) = F

() Se GµE s.sp.vett. complem. ad F allora ¦FjG : G ! EF µe un isomor¯smo

Dim

Veri¯chiamo la (). Conseguenza immediata delle operazioni sullo spazio EF

Veri¯chiamo la (). Sia 2 (¦F) , ¦F() = F , [] = F , 2 F.

Veri¯chiamo la (). Per la proprietµa 1.4.7 e per la () segue che ¦FjG µe lineare. Inoltre

49

sempre per la proprietµa 1.4.7, per la () e per il fatto che F e G sono complementari

osserviamo che (¦FjG) = (¦F)\G = F\G = fEg e quindi segue dalla proprietµa

1.4.2 che ¦FjG µe iniettivo. Ci rimane da provare la suriettivit¶a di ¦FjG. Sia [] 2 EF,

essendo F e G complementari allora = + per opportuni 2F e 2 G ) ¡ =

2 F ) 2 [] ) [] = [] cioµe ¦F() = [] come volevasi.

Teorema 1.4.3

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE base di Hamel per E; sia f:A!F un'applicazione

Ts: 9!T:E!F operatore lineare t.c. TjA ´ f ed inoltre:

() se f µe iniettiva e f(A) µe linearmente indipendente allora T µe iniettivo

() se (f(A))=F allora T µe surgettivo

() se f µe iniettiva e f(A) µe una base di Hamel per F allora T µe un isomor¯smo

Dim

Essendo A una base di Hamel per il teorema 1.1.3 segue che:

8 2 E 9!1 n 2 A con i 6= j se i 6= j e 9x1 xn 2 IK tc =nX

i=1

i i (1.3)

scegliamo allora:

T : E ! F con T() =nX

i=1

i f(i ) 8 2 E

che µe ben posto per l'unicit¶a di scrittura dei vettori di E assicurata dalla 1.3 e proviamo

quindi che µe una buona scelta. Come prima cosa veri¯chiamo che T µe lineare:

T(+ ) = T

0@

nX

i=1

i i +

mX

j=1

j j

1A = T

0@

nX

i=1

i i +

mX

j=1

j j

1A =

=nX

i=1

i f(i ) +

mX

j=1

j f(j ) =

nX

i=1

i f(i ) +

mX

j=1

j f(i ) =

= T() + T() 8 2 E e 8 2 IK

50

Il fatto che T()=f() 8 2A µe evidente, infatti ¯ssato 2A allora essendo un vettore

di A, necessariamente per l'unicitµa di scrittura l'unica rappresentazione che ammette µe

= 1 e quindi per costruzione T()=f(). Veri¯chiamo l'uncit¶a di T, sia quindi S:E!F

un operatore lineare che ristretto ad A coincide con f e proviamo che coincide con T su

tutto E. Poich¶e TjA = f = SjA segue allora dalla proprietµa 1.4.11 che S=T.

Veri¯chiamo adesso la (). Adoperiamo la proprietµa 1.4.2. Sia 2 (T) allora:

F = T() =nX

i=1

i f(i )

per l'iniettivitµa della f gli f(i ) sono a due a due distinti ed inoltre appartengono

all'insieme f(A), segue allora dalla lineare indipendenza di questo che 1 = = n = 0

e pertanto per la 1.3 otteniamo che = E.

Veri¯chiamo la (). Per la proprietµa 1.4.12 segue che:

T(E) = T((A)) = (T(A)) = (f(A)) = F

Ovviamente la () µe conseguenza immediata della () e della ().

Corollario 1.4.2

Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia DµE l.i.; sia f:D!F un'applicazione

Ts: 9T:E!F operatore lineare t.c. TjD ´ f

Dim

Per il teorema 1.1.4 9A µ E base di Hamel tale che D µ A. Fissato un qualunque 0 2F

consideriamo la funzione:

g : A ! F con g() =

8<:f() se 2D

0 se 2 A nD8 2 A

segue allora dal teorema 1.4.3 che 9!T 2 (EF) t.c. TjA ´ g e quindi TjD ´ gjD ´ f.

51

Corollario 1.4.3

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia S:G!F un operatore lineare

Ts: 9T:E!F operatore lineare t.c. TjG ´ S

Dim

Per il teorema 1.1.4 9A µ G base di Hamel per G. Per il corollario 1.4.2 9T:E!F

operatore lineare t.c. TjA ´ SjA e quindi segue dalla proprietµa 1.4.11 che TjG ´ S.

Teorema 1.4.4

Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK

Ts: E ed F sono isomor¯ , (E)=(F)

Dim )

Dobbiamo dimostrare che due rispettive basi di Hamel degli spazi vettoriali E ed F,

hanno la medesima cardinalit¶a e cioµe che tra le due basi esiste una biezione. Per ipotesi

9T:E!F operatore lineare e biunivoco e quindi detta A una base di Hamel per E, per la

proprietµa 1.4.14 segue che T(A) µe una base di Hamel per T(E)=F. E poich¶e banalmente

la restrizione TjA : A!T(A) µe pure una biezione, per quanto suddetto si ha la tesi.

Dim (

Per ipotesi esiste una bigezione tra due basi di Hamel rispettivamente per E ed F e

pertanto segue di peso dal teorema 1.4.3 che tali spazi sono isomor¯.

Teorema 1.4.5

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F,GµE due s.sp.vett. complementari

Ts: (G) = (EF)

Dim

Conseguenza del teorema 1.4.2 e del teorema 1.4.4.

52

Teorema 1.4.6

Sia E un IK-spazio vettoriale; siano F,G,HµE s.sp.vett. con G ed H complementari ad F

Ts: (G) = (H)

Dim

Segue dal teorema 1.4.5 che (G) = (EF) = (H).

De¯nizione 1.4.5

Sia E un IK-spazio vettoriale e sia FµE un s.sp.vett., per la proprietµa 1.1.9 tale sottospazio

ammette almeno un sottospazio complementare e per il teorema 1.4.6 tutti i sottospazi

complementari ad F hanno la medesima dimensione e quindi ha senso dare la seguente

de¯nizione. Si de¯nisce codimensione di F la dimensione di un qualsiasi s.sp.vett. di E

complementare ad F. Banalmente se F=E allora F ha codimensione 0 cioµe la dimensione

di fEg, mentre se F = fEg allora la codimensione di F µe (E).

De¯nizione 1.4.6

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia SµE una variet¶a a±ne. De¯niamo

codimensione della variet¶a a±ne S la codimensione del sottospazio vettoriale di cui

S µe il traslato. Equivalentemente ¯ssato un qualunque 0 2 allora per la proprietµa

1.1.2 la codimensione di S µe la codimensione del sottospazio S¡ 0.

Propriet¶a 1.4.15

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia :E! IK un funzionale lineare

Ts: µe surgettivo oppure µe identicamente nullo

Dim

Il corpo IK si puµo riguardare come uno sp.vett. su se stesso ed evidentemente gli unici

53

s.sp. che ammette sono quello banale f0g e se stesso. E quindi poich¶e per la proprietµa

1.4.6 manda s.sp. in s.sp. allora puµo accadere che (E) = f0g oppure che (E) = IK.

Propriet¶a 1.4.16

Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE equilibrato con A0 6= ;; sia :E! IR un

funzionale lineare non identicamente nullo

Ts: 9 2A t.c. () 0 e () 0

Dim

Conseguenza del corollario 1.4.1 e della linearitµa di .

Propriet¶a 1.4.17

Sia E un IK-spazio vettoriale con (E) ¸ 2

Ts: 8 2 E0 non µe iniettivo

Dim

Sia ad arbitrio 2 E0 allora per la proprietµa 1.4.15 segue che µe surgettivo oppure µe

identicamente nullo. Scartiamo il caso in cui µe identicamente nullo poich¶e in tal caso

µe banalmente non iniettivo. Sia quindi il caso in cui µe surgettivo e supponiamo per

assurdo che sia iniettivo e pertanto risulta essere un isomor¯smo tra E e IK e questo

per il teorema 1.4.4 equivale ad a®ermare che (E) = (IK) = 1 assurdo.

Propriet¶a 1.4.18

Sia E uno spazio vettoriale reale; sia 0 2E; sia AµE radiale in 0; sia : E ! IR

funzionale lineare non identicamente nullo

Ts: (A) µe un intorno di (0) in IR

Dim

Per la proprietµa 1.4.15 9 2 E tc () = 1. Per la proprietµa 1.1.3 si ha che 9

54

0 tc 0 + 2 A 8 2 [¡ ] applicando otteniamo (0) + () 2 (A) 8 2

[¡ ] ) (0) + 2 (A) 8 2 [¡ ] ) [(0) ¡ (0) + ] µ (A) e pertanto

essendo [(0)¡ (0) + ] un intorno di (0) in IR allora lo µe anche (A).

Corollario 1.4.4

Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE insieme; sia : E ! IR funz. lineare non nullo

Ts: Se A0 = A allora (A) µe aperto in IR

Corollario 1.4.5

Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE insieme; sia : E ! IR funz. lineare non nullo

Ts: Se A µe convesso e A0 6= ; allora (A0) µe aperto in IR

Dim

Conseguenza della proprietµa 1.1.6 e del corollario 1.4.4.

Corollario 1.4.6

Sia E uno spazio vettoriale topologico reale; sia : E ! IR funzionale lineare non nullo

Ts: µe aperto

Dim

Conseguenza del corollario 1.3.3 e del corollario 1.4.4.

Propriet¶a 1.4.19

Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE non vuoto; sia f:E! IR un funzionale lineare

Ts: sup2A

f() = ¡ inf2¡A

f()

Corollario 1.4.7

Sia E un IR-spazio vettoriale; sia AµE non vuoto e simmetrico; sia f:E! IR lineare

Ts: sup2A

f() = ¡ inf2A

f()

55

Propriet¶a 1.4.20

Sia E un IR-spazio vettoriale; sia AµE non vuoto e simmetrico; sia f:E! IR lineare

Ts: sup2A

f() = sup2A

jf()j e inf2A

f() = inf2A

¡jf()j

Propriet¶a 1.4.21

Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE non vuoto; sia f:E! IR un funzionale lineare

Ts: f µe limitato inferiormente su A , f µe limitato superiormente su ¡A

Corollario 1.4.8

Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE sottoinsieme non vuoto e simmetrico; sia

f:E! IR un funzionale lineare limitato inferiormente su A o limitato superiormente su A

Ts: f µe limitato

Propriet¶a 1.4.22

Sia E spazio vettoriale reale; sia AµE non vuoto; sia 0 2E; sia f:E! IR funzionale lineare

Ts: sup20+A

f() = f(0) + sup2A

f() e inf20+A

f() = f(0) + inf2A

f()

Corollario 1.4.9

Sia E spazio vettoriale reale; sia AµE non vuoto; sia 0 2E; sia f:E! IR funz. lineare


() Se f µe limitato sup. (risp. inf.) su A allora f µe limitato sup. (risp. inf.) su 0 +A

() Se f µe limitato su A allora f µe limitato su 0 +A

Teorema 1.4.7

Sia E spazio vettoriale reale; sia AµE convesso con A0 6= ;; sia f:E! IR funzionale lineare

Ts: sup2A0

f() = sup2A

f()

56

Dim

Per ipotesi A0 6= ; ) 90 2 A0 consideriamo allora l'insieme B := A¡x0 che ovviamente

un convesso in quanto traslato di un convesso ed inoltre per la proprietµa 1.1.4 si ha:

B0 = (A¡ 0)0 = A0 ¡ 0 (1.4)

e poich¶e 0 2 A0 ) E 2 B0 ) B0 6= ;. Ci proponiamo di provare a monte la

tesi per tale insieme B. Poich¶e B0 µ B allora banalmente sup2B0 f() · sup2B f().

Proviamo quindi la disuguaglianza inversa cioµe che sup2B f() · sup2B0 f(). Sia ad

arbitrio 2B segue allora dalla proprietµa 1.1.12 che B() · 1, distinguiamo allora i

due casi B() 1 e B() = 1. Se B() 1 ) 2 ¡1B ([0 1[) segue allora dalla

proprietµa 1.1.12 che 2 B0 e pertanto f() · sup2B0 f(). Sia adesso il caso in cui

B() := inff 0 : 2 Bg = 1 e quindi per la IIa proprietµa dell'inf sicuramente:

9fgn2IN tc n 1 2 nB 8n 2 IN e limn!1

n = 1

poich¶e B() = 1 ) B() n 8n 2 IN segue allora dalla positiva omogeneit¶a del

funzionale di Minkowsky B che B³

n

´ 1 8n 2 IN )

n2 ¡1B ([0 1[) 8n 2 IN segue

allora dalla proprietµa 1.1.12 che n

2 B0 8n 2 IN e quindi per la linearit¶a di f si ha:

1

nf() = f

µ

n

¶· sup

2B0f() 8n 2 IN

e pertanto passando al limite n che tende ad in¯nito si ha f() · sup2B0 f(). E quindi

in de¯nitiva per l'arbitrariet¶a di 2B abbiamo ottenuto che f() · sup2B0 f() 8 2 B

e passando al sup su B si ottiene quanto voluto. E pertanto:

sup2B0

f() = sup2B

f() (1.5)

57

In de¯nitiva per la linearit¶a di f, per la 1.4, per la 1.5 e per la proprietµa 1.4.22 si ha:

sup2A0

f() = f(0)¡ f(0) + sup2A0

f() = f(0) + f(¡0) + sup2A0

f() =

= f(0) + sup2A0¡0

f() = f(0) + sup2B0

f() = f(0) + sup2B

f() =

= f(0) + sup2A¡0

f() = f(0) + f(¡0) + sup2A

f() =

= f(0)¡ f(0) + sup2A

f() = sup2A

f()

De¯nizione 1.4.7

Sia E un IK-spazio vettoriale; IµE insieme. Diciamo allora che I µe un iperpiano di E se:

9 : E ! IK funzionale lineare non nullo e 9 2 IK tc I = ¡1()

Ovviamente I ½ E ed inoltre I 6= ;, poich¶e per la proprietµa 1.4.15 µe surgettivo. Se I µe

un iperpiano passante per l'origine allora evedentemente µe il nucleo di un certo funzionale

lineare non identicamente nullo.

Propriet¶a 1.4.23

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia 0 2E; sia 2 IKnf0g; sia IµE un iperpiano


() I µe una variet¶a a±ne

() 0 + I µe un iperpiano

() Se I non passa per l'origine allora 8 2 IK n f0g 9 2 E0 n fE0g t.c. I = ¡1()

Propriet¶a 1.4.24

Sia IC il corpo dei numeri complessi riguardato come IR-spazio vettoriale

Ts: : IC ! IR sono funzionali lineari reali

58

Propriet¶a 1.4.25

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IC; sia :E! IC un funzionale lineare

Ts: e sono funzionali lineari reali

Dim

Conseguenza della proprietµa 1.4.24 e dalla proprietµa 1.4.5.

Propriet¶a 1.4.26

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IC; sia :E! IC un funzionale lineare complesso

Ts: () = ()¡ () 8 2E

Propriet¶a 1.4.27

Sia E un IC-spazio vettoriale; sia :E! IC funz. t.c. () = ()¡ () 8 2E

Ts: µe un funzionale lineare complesso , µe un funzionale lineare reale

Corollario 1.4.10

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IC; sia :E! IR un funzionale reale e consideriamo

:E! IC con () := ()¡ () 8 2E

Ts: µe un funzionale lineare complesso , µe un funzionale lineare reale

Propriet¶a 1.4.28

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IC; sia :E! IR un funzionale lineare reale e

consideriamo :E! IC con () := ()¡ () 8 2E; sia 2 (E)

Ts: ¡1() = ¡1(()) \ (¡1(()))

Corollario 1.4.11

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IC; sia IµE un iperpiano reale

Ts: I \ (I) µe un iperpiano complesso

59

Dim

Essendo I un iperpiano reale, per de¯nizione esiste : E ! IR funzionale lineare reale

non nullo e 2 IR tale che I = ¡1(), consideriamo allora : E ! IC con () :=

()¡ () 8 2 E che per il corollario 1.4.10 µe un funzionale lineare complesso, ed µe

banalmente non nullo. Segue allora dalla proprietµa 1.4.28 che ¡1( + ) = I \ (I).

Teorema 1.4.8 (Caratterizzazione dei s.sp.vett. di codimensione uno)



(1) F ha codimensione 1

(2) 9 2 E0 n fE0g t.c. () = F

(3) F µe un sottospazio proprio massimale di E

Dim (1))(2)

Dall'ipotesi e dal teorema 1.4.5 segue che (EF) = 1 e quindi per il teorema 1.4.4

9 : EF ! IK funzionale lineare bigettivo. Scegliamo allora := ±¦F che µe lineare per

la proprietµa 1.4.5. Per il teorema 1.4.2 e per la proprietµa 1.4.5 segue che F = (¦F) =

(). Sicuramente µe non nullo infatti se per assurdo fosse () =E allora si

avrebbe che F=E cio¶e F avrebbe codimensione 0 assurdo.

Dim (2))(3)

Ovviamente F½E infatti se per assurdo F=E allora seguirebbe dall'ipotesi che() =E

assurdo. Dimostriamo adesso che F µe un s.sp.vett. proprio massimale. Sia G ½ E un

s.sp.vett. t.c. F µ G e proviamo quindi che F=G. Poch¶e vale FµG bisogna provare solo

che G µ F. Sia 2 G e supponiamo per assurdo che 62 F = () ) () 6= 0.

Poich¶e G ½ E ) 90 2 E n G si osserva allora banalmente che il funzionale lineare

60

calcolato su 0 ¡ (0)()

vale zero e cio¶e tale vettore appartiene a ()=F e poich¶e

FµG allora appartiene anche a G. Il vettore 0 lo possiamo scrivere come:

0 =

"0 ¡ (0)

()

#+

(0)

()

siamo quindi riusciti a scrivere 0 come combinazione di due vettori di G e pertanto

essendo G un s.sp.vett. segue che 0 2G e siamo ad un assurdo poich¶e 0 2 E nG.

Dim (3))(1)

Per ipotesi 90 2 E n F, consideriamo allora il s.sp.vett. G := (f0g) che per

costruzione ha dimensione uno. Ovviamente F\G = fEg segue allora dal teorema 1.1.1

che la somma F+G µe diretta. Inoltre F+G µe un s.sp.vett. di E che contiene propriamente

F e quindi per la massimalitµa di F deve necessariamente essere che F+G=E.

Corollario 1.4.12

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettoriale con

codimensione uno; sia 0 2E e 0 62F; sia 2 IK n f0g

Ts: 9 : E ! IK funzionale lineare non nullo t.c. () =F e (0) =

Dim

Per il teorema 1.4.8 segue che 9 2 E0 n fE0g tc () = F. Osserviamo che

0 62 F = () e pertanto (0) 6= 0 e quindi evidentemente basta scegliere = (0)

.

Teorema 1.4.9 (Caratterizzazione delle variet¶a a±ni di codimensione uno)

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia SµE una variet¶a a±ne


(1) S ha codimensione 1

(2) S µe un iperpiano di E

61

(3) S µe una variet¶a a±ne propria massimale di E

Dim (1))(2)

Fissato 0 2S allora il s.sp.vett. S¡0 ha codimensione 1 e quindi per il teorema 1.4.8

segue che S¡0 µe un iperpiano e pertanto segue dalla proprietµa 1.4.23 che S µe un iperpiano.

Dim (2))(3)

Fissiamo 0 2S allora per la proprietµa 1.4.23 S¡0 µe un iperpiano passante per E ovvero

µe il nucleo di un funzionale lineare non nullo e quindi segue dal teorema 1.4.8 che S¡0

µe un s.sp.vett. proprio massimale. Proviamo adesso che S µe una variet¶a a±ne propria

massimale. Sia S0 ½ E una variet¶a a±ne t.c S µ S0 e proviamo quindi che S = S0. Poich¶e

S0 ½ E e S µ S0 ) S0 ¡ 0 ½ E e S ¡ 0 µ S0 ¡ 0 e quindi essendo S¡0 un s.sp.vett.

proprio massimale allora necessariamente deve essere che S ¡ 0 = S0 ¡ 0 ) S = S0.

Dim (3))(1)

Fissiamo 0 2S e proviamo quindi che il s.sp.vett. S¡0 ha codimensione 1 e per fare ciµo

adoperiamo il teorema 1.4.8 e dimostriamo che S¡0 µe un s.sp.vett. proprio massimale.

Sia F½E s.sp.vett. t.c. S ¡ 0 µ F ) S µ 0 + F e pertanto per la massimalit¶a di S

deve necessariamente essere che S = 0 + F ) S¡ 0 = F come volevasi.

Corollario 1.4.13

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia IµE un iperpiano

Ts: I µe un insieme denso oppure µe chiuso

Dim

Se I = E in tal caso I µe denso in E, consideriamo quindi il caso in cui I ½ E. Per il

corollario 1.3.6 I µe una variet¶a a±ne ed inoltre vale sempre I µ I e quindi essendo per il

teorema 1.4.9 I una variet¶a a±ne propria massimale allora necessariamente I = I.

62

Teorema 1.4.10

Sia E uno spazio vettoriale su IK; siano 1 n 2 E0

Ts: (f1 ng) =( 2 E0 :

n\

i=1

(i) µ ()

)

Dim

Procediamo per doppia inclusione. Sia 2 (f1 ng) segue allora dalla

proprietµa 1.4.3 cheTni=1(i) µ (). Viceversa sia 2 E0 t.c.

Tni=1(i) µ

() e proviamo quindi che 2 (f1 ng). Procediamo con il metodo

induttivo e proviamo che l'asserto µe vero per n=1. Per ipotesi abbiamo quindi che:

(1) µ () (1.6)

Escludendo il caso banale in cui 1 µe identicamente nullo (cioµe (1)=E), poich¶e in

tal caso per la 1.6, lo sarebbe anche , possiamo allora considerare un 0 2E tale che

1(0) 6= 0. Per la linearit¶a si veri¯ca facilmente che per ogni 2E il vettore ¡ 1()1(0)

0

sta nel nucleo di 1 e quindi per la 1.6 sta anche nel nucleo di e pertanto applicando

ad esso il funzionale , per la linerarit¶a di questo si ottiene immediatamente che () =

(0)1(0)

1(). E pertanto basta scegliere 1 :=(0)1(0)

e si ottiene () = 11() 8 2 E.

Supponiamo adesso che l'asserto sia vero per n=k e proviamo che µe vero per n=k+1.

Poniamo F:=(+1) che µe quindi un s.sp.vett. e consideriamo:

: F ! IK con = jF e i : F ! IK con = ijF 8= 1 k

che essendo restrizioni di funzionali lineari ad un sottospazio vettoriale, per la proprietµa

1.4.7 sono anch'essi lineari. Per la proprietµa 1.4.7 e per l'ipotesi osserviamo che:

k\

i=1

(i) =k\

i=1

[F \ (i)] = F \k+1\

i=1

(i) µ F \() = ()

63

segue allora dall'ipotesi induttiva che:

91 k 2 IK tc () =kX

i=1

ii() 8 2 F (1.7)

Consideriamo allora il funzionale:

: E ! IK con () := ()¡kX

i=1

ii() 8 2 E (1.8)

che µe lineare in quanto combinazione di funzionali lineari. A questo punto si osserva che:

(k+1) µ () (1.9)

infatti se 2 (k+1) =:F allora per costruzione delle i e per la 1.7 segue che:

() := ()¡kX

i=1

ii() = ()¡kX

i=1

ii() = ()¡ () = 0

cioµe 2 (). E quindi considerati i funzionali lineari e k+1, per la 1.9 si ricade

nel caso n=1 del ragionamento induttivo, che ci dice esiste k+1 2 IK t.c. = k+1k+1

e quindi sostituendo la 1.8 si conclude che =Pk+1i=1 ii cioµe 2 (f1 k+1g).

Corollario 1.4.14

Sia E spazio vettoriale su IK; sia A µ E0 insieme non vuoto

Ts:\

2A() =

\

2(A)()

Dim

Poich¶e A µ (A) allora banalmenteT2(A)() µ T

2A(). Veri¯chiamo

quindi l'inclusione inversa. Per il teorema 1.1.2 osserviamo che:

8 2 (A) 91

n

2 A tc 2 (f1

n

g)

e quindi per il teorema 1.4.10 segue che:

\

2A() µ

n\

i=1

(i ) µ () 8 2 (A)

passando all'intersezione su (A) otteniamoT2A() µ T

2(A)().

64

De¯nizione 1.4.8

Sia E un IK-spazio vettoriale; siano 1 n 2E e siano 1 n 2 E0. Diciamo che i

vettori 1 n costituiscono un sistema biortogonale rispetto a 1 n se:

i(j) =

8<:0 se i 6=j

1 se i=j8i j = 1 n

cioµe i(j) = ij 8i j = 1 n dove ovviamente ij µe il delta di Kronecker.

Teorema 1.4.11

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano 1 n 2 E0

Ts: 1 n l.i. , 91 n 2E sistema biortogonale rispetto a 1 n

Dim )

L'esistenza del sistema biortogonale richiesta sar¶a dimostrata per induzione.

Dimostriamo l'asserto nel caso n=2. A®ermiamo e dimostriamo che:

9~ 2 E tc 1(~) 6= 0 e 2(~) = 0 (1.10)

cioµe che (2) n (1) 6= ;. Supponiamo per assurdo che (2) n (1) = ;

cioµe (2) µ (1) segue allora dal teorema 1.4.10 che 1 2 (f2g) e siamo

ad assurdo per la lineare indipendenza di 1 e 2. E quindi resta veri¯cata la 1.10,

allora evidentemente basta scegliere 1 :=~

1(~)infatti per la linearit¶a di 1 e 2 si ha

che 1(1) = 1 e 2(1) = 0. In maniera identica scambiano il ruolo degl'indici 1 e 2 si

dimostra che 92 2 E tc 1(2) = 0 e 2(2) = 1. E quindi in de¯nitiva 1 e 2 formano

appunto il sistema biortogonale cercato. Supponiamo adesso che l'asserto sia vero per

n=k e dimostriamo che µe vero per n=k+1. Evidentemente µe su±ciente dimostrare che:

9~ 2 E tc 1(~) = = k(~) = 0 e k+1(~) 6= 0

65

poich¶e in tal caso per la linearitµa dei 1 k k+1 baster¶a scegliere k+1 :=~

k+1(~).

Supponiamo per assurdo cheTki=1(i) n (k+1) = ; cioµe

Tki=1(i) µ

(k+1) segue allora dal teorema 1.4.10 che k+1 2 (f1 kg) e siamo ad

un assurdo per l'indipendenza lineare dei 1 k k+1.

Dim (

Siano 1 n 2 IK tali che 11 + ¢ ¢ ¢ + nn = E0 cioµe 11() + ¢ ¢ ¢ + nn() =

0 8 2 E e quindi ¯ssato ad arbitrio i = 1 n in corrispondenza ad i otteniamo:

0 = 11(i) + ¢ ¢ ¢+ ii(i) + ¢ ¢ ¢+ nn(i) = 10 + ¢ ¢ ¢+ i1 + ¢ ¢ ¢+ n0 = i

Corollario 1.4.15

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano 1 n 2 E0 linearmente indipendenti

e siano quindi 1 n 2E biortogonali rispetto ad essi

Ts: =nX

i=1

(i)i 8 2 (f1 ng)

Dim

Sia 2 (f1 ng) segue che 91 n 2 IK tc = Pni=1 ii e quidi ¯ssato

un j = 1 n ed applicando ad j otteniamo (j) =Pni=1 ii(j) = j.

Teorema 1.4.12

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano 1 n 2E

Ts: 1 n l.i. , 91 n 2 E0 t.c. 1 n sono biortogonali rispetto ad essi

Dim )

Posto A:=f1 ng allora per ogni ¯ssato i = 1 n consideriamo la funzione

fi : A! IK con fi(j) = ij 8j = 1 n e quindi in corrispondenza ad ¯ssato i = 1 n

per il corollario 1.4.2 segue che 9i : E ! IK lineare tc ijA = fi e quindi per costruzione

1 n costituiscono un sistema biortogonale rispetto a 1 n.

66

Dim (

Siano 1 n 2 IK tali che 11 + ¢ ¢ ¢ + nn = E e quindi ¯ssato i = 1 n ed

applicando il funzionale lineare i otteniamo:

0 = i(11 + ¢ ¢ ¢+ ii + ¢ ¢ ¢+ nn) = 1i(1) + ¢ ¢ ¢+ ii(i) + ¢ ¢ ¢+ ni(n) =

= 10 + ¢ ¢ ¢+ i1 + ¢ ¢ ¢+ n0 = i

Corollario 1.4.16

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano 1 n 2E linearmente indipendenti e

siano quindi 1 n 2 E0 t.c. 1 n sono biortogonali rispetto ad essi

Ts: =nX

i=1

i()i 8 2 (f1 ng)

Dim

Sia 2 (f1 ng) segue che 91 n 2 IK tc = Pni=1 ii e quindi ¯ssato

un j = 1 n ed applicando j otteniamo j() =Pni=1 ij(i) = j.

Teorema 1.4.13

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia n 2 IN n f0g

Ts: 91 n 2E l.i. , 91 n 2 E0 l.i.

Dim )


Teorema 1.4.14

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK

Ts: (E) = (E0)

Dim

Conseguenza immediata del teorema 1.4.13 e del teorema 1.1.6.

67

De¯nizione 1.4.9

Sia E IK-spazio vettoriale e sia A µ E0 non vuoto. Diciamo che A µe totale su E se:

\

2A() = fEg

Teorema 1.4.15

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK

Ts: E0 µe un sottospazio vettoriale totale su E

Dim

Sia 2E t.c. () = 0 8 2 E0. Per il teorema 1.1.4 9A µ E base di Hamel per E e quindi

91 n 2A a due a due distinti t.c. 2 (f1 ng). Poich¶e 1 n 2A

allora sono l.i. segue allora dal teorema 1.4.12 che 91 n 2 E0 tc 1 n sono

biortogonali rispetto ad essi. Per il corollario 1.4.16 segue che = E.

Teorema 1.4.16

Sia E un IK-spazio vettoriale di dimensione ¯nita; sia F µ E0 un s.sp.vett. totale su E

Ts: F = E0

Dim

Per il teorema 1.4.14 (E0) +1 ) (F) +1 e pertanto esiste A µ F base di

Hamel per F con cardinalitµa ¯nita. Essendo F totale su E allora per il corollario 1.4.14

anche l'insieme A µe totale su E e quindi per il teorema 1.4.10 segue che E0 = (A) = F.

68

Capitolo 2

Teoremi fondamentali sugli operatori

lineari

2.1 Operatori a gra¯co convesso. Operatori a±ni.

Teorema di Deutsch-Singer

Nel teorema 1.4.1 abbiamo osservato che un operatore lineare µe caratterizzato dal

fatto di avere il gra¯co che µe un sottospazio vettoriale. In questo paragrafo tratteremo gli

operatori a gra¯co convesso e gli operatori a±ni che come vedremo hanno il gra¯co che

µe una variet¶a a±ne, e metteremo in evidenza i legami che intercorrono tra tali operatori

e gli operatori lineari.

Teorema 2.1.1

Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; siano XµE e YµF insiemi

convessi e non vuoti; sia : X !Y una funzione

69


(1) () µe convesso

(2) (1 + (1¡ )2) = (1) + (1¡ )(2) 81 2 2 X e 8 2 [0 1]

(3) ¡1(1) + (1¡ )¡1(2) µ ¡1(1 + (1¡ )2) 81 2 2 (X) e 8 2 [0 1]

Propriet¶a 2.1.1

Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; siano XµE e YµF insiemi

convessi e non vuoti; sia : X ! Y una funzione a gra¯co convesso; sia 0 2F e

consideriamo la funzione : X ! Y+ 0 con () = () + 0 8 2 X

Ts: µe a gra¯co convesso

Dim

Conseguenza immediata della proprietµa 1.1.13.

Teorema 2.1.2

Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia XµE non vuoto e convesso; sia : X ! F

un'applicazione a gra¯co convesso e surgettiva


() (¡1(1)) = (¡1(2)) 81 2 2 F

() Se 90 2F t.c. ¡1(0) µe un singoletto allora µe iniettiva

Dim

Veri¯chiamo la (). Fissati ad arbitrio 1 2 2 F, consideriamo il vettore 0 = 22 ¡ 1,

allora per il teorema 2.1.1 osserviamo che:

1

2(¡1(1) + ¡1(0)) =

1

2¡1(1) +

1

2¡1(0) =

1

2¡1(1) +

µ1¡ 1

2

¶¡1(0) µ

µ ¡1µ1

21 +

µ1¡ 1

2

¶0

¶= ¡1

µ1

21 +

1

20

¶= ¡1(2)

70

da ciµo, assieme alla proprietµa 1.1.14 segue che:

³¡1(1)

´· max

n

³¡1(1)

´

³¡1(0)

´o·

³(¡1(1) + ¡1(0))

´=

= µ1

2(¡1(1) + ¡1(0))

¶·

³¡1(2)

´

Scambiando il ruolo di 1 con quello di 2 si ottiene la disuguaglianza inversa.

Veri¯chiamo la (). Siano 1 2 2X t.c. (1) = (2) e proviamo quindi che 1 =

2. Posto := (1) = (2) allora 1 2 2 ¡1(). Segue dalla () e dall'ipotesi

che (¡1()) = (¡1(0)) = 1 cioµe ¡1() µe un singoletto e pertanto essendo

1 2 2 ¡1() allora necessariamente deve essere che 1 = 2.

Il seguente risultato µe un'estrapolazione di un risultato di teoria multivoca dovuto a

Deutsch-Singer [4].

Teorema 2.1.3 (di Deutsch-Singer)

Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia XµE assolutamente convesso; sia : X ! F

un'applicazione a gra¯co convesso e supponiamo che (E) = F


() () = () 8 2 X e 8 2 IR tc 2 X

() (+ ) = () + () 8 2 X tc + 2 X

Dim

Veri¯chiamo la (). Fissati 2X e 2 IR t.c. 2X si presentano i seguenti tre casi:

() 0 · · 1

() 1

() 0

71

Supponiamo che valga la (). Per il teorema 2.1.1 segue che:

(0 + (1¡ )0) = (0) + (1¡ )(0) 80 0 2 X e 8 2 [0 1] (2.1)

E quindi dalla 2.1 e dall'ipotesi segue che:

() = (+ (1¡ )E) = () + (1¡ )(E) = () + (1¡ )F = ()

Supponiamo che valga la (). Per il caso () segue che:

() = 1

() =

µ1

()

¶= ()

Supponiamo che valga la (). Facciamo osservare che:

(¡) = ¡() (2.2)

infatti dalla 2.1 in per 0 = 0 = ¡ e = 12e dall'ipotesi otteniamo:

1

2() +

1

2(¡) =

1

2() +

µ1¡ 1

2

¶(¡) =

µ1

2+

µ1¡ 1

2

¶(¡)

¶=

= µ1

2+

1

2(¡)

¶=

µ1

2 ¡ 1

2

¶= (E) = F

E quindi per la (), per la () e per la 2.2 segue che:

() = ((¡)(¡)) = (¡)(¡) = (¡)(¡()) = ()

Veri¯chiamo la (). Fissati 2X t.c. + 2X, per la () e per la 2.1 segue che:

(+ ) = 21

2(+ ) = 2

µ1

2(+ )

¶= 2

µ1

2+

1

2¶=

= 2µ1

2+

µ1¡ 1

2

¶¶= 2

·1

2() +

µ1¡ 1

2

¶()

¸=

= 2·1

2() +

1

2()

¸= () + ()

Ed il teorema µe completamente dimostrato.

72

Corollario 2.1.1

Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia © : E ! F un operatore

Ts: © µe lineare , (©) µe convesso e ©(E) = F

Dim


Corollario 2.1.2

Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia © : E ! F un operatore surgettivo

Ts: © µe un isomor¯smo , (©) µe convesso e ©¡1(F) = fEg

Dim

Conseguenza del corollario 2.1.1 e della proprietµa 1.4.2.

De¯nizione 2.1.1

Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia © : E ! F un operatore,

diciamo allora che © µe un operatore a±ne se:

9T 2 (EF) e 90 2 F tc ©() = T() + 0 8 2 E

cioµe se µe il traslato di un oper. lineare. Banalmente ogni oper. lineare µe a±ne. Si evince

inoltre dalla de¯nizione che tutte le proprietµa di tipo algebrico o topologico invarianti per

traslazione, che sono valide per gli oper. lineari si possono estendere agli oper. a±ni.

Propriet¶a 2.1.2

Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia © : E ! F un operatore

a±ne e siano quindi T2 (E,F) e 0 2F t.c. © = T+ 0

Ts: T = ©¡ ©(E) e 0 = ©(E)

73

Corollario 2.1.3

Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia © : E ! F un operatore a±ne

Ts: © µe lineare , ©(E) = F

Teorema 2.1.4

Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia © : E ! F un operatore


(1) © µe a±ne

(2) (©) µe una variet¶a a±ne

(3) ©¡ ©(E) µe lineare

(4) ©(1) + (1¡ )©(2) = ©(1 + (1¡ )2) 81 2 2 E e 8 2 IK

(5) ©¡1(1) + (1¡ )©¡1(2) µ ©¡1(1 + (1¡ )2) 81 2 2 ©(E) e 8 2 IK

Dim (1))(2)

Conseguenza immediata del teorema 1.4.1 e della proprietµa 1.1.13.

Dim (2))(3)

Facciamo uso del teorema 1.4.1 e dimostriamo quindi che (©¡ ©(E)) µe un s.sp.vett..

Osseviamo che banalmente (E©(E)) 2 (©)) e quindi poich¶e per la proprietµa 1.1.13

(© ¡ ©(E)) = (©) ¡ (E©(E)) segue allora dall'ipotesi che (© ¡ ©(E)) µe una

variet¶a a±ne che contiene (E F) e pertanto dalla proprietµa 1.1.2 segue la tesi.

Dim (3))(1)

Banalmente basta osservare che © = [©¡©(E)] + ©(E).

Dim (1))(4)

Di facile veri¯ca.

Dim (4),(5)

74

Di facile veri¯ca.

Dim (4))(3)

Poniamo T := ©¡ ©(E) e dimostriamo quindi che:

() T() = T() 8 2 E e 8 2 IK

() T(1 + 2) = T(1) + T(2) 81 2 2 E

Veri¯chiamo la (). Segue dall'ipotesi che:

T() = T(+ (1¡ )E) = ©(+ (1¡ )E)¡ ©(E) =

= ©() + (1¡ )©(E)¡ ©(E) = ©()¡ ©(E) =

= [©()¡ ©(E)] = T() 8 2 E e 8 2 IK

Veri¯chiamo la (). Per la () e dall'ipotesi segue che:

T(1 + 2) = 21

2T(1 + 2) = 2T

µ1

2(1 + 2)

¶= 2©

µ1

21 +

1

22

¶¡ 2©(E) =

= 2©µ1

21 +

µ1¡ 1

2

¶2

¶¡ 2©(E) = 2

·1

2©(1) +

µ1¡ 1

2

¶©(2)

¸¡ 2©(E) =

= 2·1

2©(1) +

1

2©(2)

¸¡ 2©(E) = ©(1) + ©(2)¡ 2©(E) =

= [©(1)¡ ©(E)] + [©(2)¡ ©(E)] = T(1) + T(2) 81 2 2 E

Corollario 2.1.4

Siano E ed F due spazi vettoriali su IK; sia © : E ! F un operatore a±ne

Ts: © µe a gra¯co convesso

Teorema 2.1.5

Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia © : E ! F un operatore

Ts: © µe a±ne , (©) µe convesso

75

Dim )

Conseguenza immediata del corollario 2.1.4.

Dim (

Consideriamo l'operatore T = ©¡©(E) e dimostriamo che µe lineare, seguir¶a quindi dal

teorema 2.1.4 che © µe a±ne. Per ipotesi (©) µe convesso e quindi segue dalla proprietµa

2.1.1 che (T) µe convesso. Inoltre osserviamo che T(E) = ©(E)¡©(E) = F e quindi

segue dal corollario 2.1.1 che l'operatore T µe lineare.

Corollario 2.1.5

Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia © : E ! F un operatore surgettivo

Ts: © µe una bigezione a±ne , (©) µe convesso e 90 2F t.c. ©¡1(y0) µe un singoletto

Dim


2.2 Criteri di continuitµa per operatori e funzionali

lineari

In questo paragrafo ci proponiamo di dare e di ricercare le condizioni a±nch¶e un

operatore lineare sia continuo, a seconda degli spazi in cui esso µe de¯nito.

Teorema 2.2.1

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia 0 2E; sia T2 (E,F) continuo in 0

Ts: T µe continuo

Dim

Fissato un 2E ed un intorno VµF di T() dobbiamo provare che esiste UµE intorno

76

di tale che T(U)µV. Per il corollario 1.3.1 l'insieme V¡ T() µe un intorno di F e

per la proprietµa 1.3.1 l'insieme [V ¡ T()] + T(0) µe un intorno di T(0) e quindi per

la continuit¶a di T in 0 segue che 9WµE intorno di 0 t.c. T(W) µ [V¡ T()] +

T(0) ) T(W)¡ T(0) + T() µ V e per la linearit¶a dell'operatore T segue che

T([W¡0]+) µ V. E quindi evidentemente basta scegliere U := [W¡0] +, essendo

questo per il corollario 1.3.1 e per la proprietµa 1.3.1 un intorno di .

Teorema 2.2.2

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T 2 (EF) e supponiamo che 9AµE

insieme con (A) 6= ; t.c. T(A) µe limitato

Ts: T µe continuo

Dim

Preliminarmente facciamo osservare che esiste un intorno dell'origine in E che viene

trasformato da T in un limitato. Sia 0 2 (A) e consideriamo U:=A ¡ 0 che

per il corollario 1.3.1 µe un intorno di E e poich¶e per la linearit¶a di T si ha che

T(U)=T(A)¡T(0) allora per la proprietµa 1.3.12 segue che T(U) µe un limitato di

F. Possiamo dimostrare adesso che T µe continuo. Per il teorema 2.2.1 µe su±cienete

dimostrare che T µe continuo nell'origine, sia quindi VµE un intorno di F e proviamo

che esiste WµE intorno di E tale che T(W)µV. Per la limitatezza di T(U) 9 0 t.c.

T(U)µ V ) 1T(U)µV e per la linearit¶a di T segue che T( 1

U) e quindi scelto W:= 1

U

che per la proprietµa 1.3.2 µe un intorno di E, si ha quanto voluto.

Corollario 2.2.1

Sia E uno spazio vettoriale topologico reale; sia : E ! IR funz. lineare e supponiamo

che 9AµE con (A) 6= ; t.c. µe limitato inferiormente o superiormente su A

77

Ts: µe continuo

Dim

Mettiamoci nel caso in cui µe limitato superior. su A. Ci proponiamo di trovare un

intorno di E su cui µe limitato seguirµa quindi dal teorema 2.2.2 la continuitµa di . Per

ipotesi 90 2 (A) consideriamo allora A¡0 che per il corollario 1.3.1 µe un intorno di

E ed inoltre per il corollario 1.4.9, su di esso µe ancora limitato superior.. Per il teorema

1.3.3 si ha che 9U µ E intorno di E equilibrato tc U µ A¡0. Ovviamente µe limitato

superior. anche su U segue allora dal corollario 1.4.8 che µe limitato su U, come volevasi.

Sia adesso il caso in cui µe limitato inferior. su A. Banalmente ¡ µe limitato superior.

su A e quindi per il caso giµa trattato segue che ¡ µe continuo e pertanto segue dalla

proprietµa 1.3.8 che µe continuo.

Propriet¶a 2.2.1

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T 2 (EF) continuo

Ts: Per ogni sottoinsieme A limitato in E l'insieme T(A) µe limitato in F

Dim

Sia AµE limitato e proviamo quindi che T(A) µe limitato. Preso quindi VµF intorno di

F, poich¶e per ipotesi T µe continuo allora per il teorema 1.2.5 T¡1(V) µe un intorno di E

e quindi essendo A limitato ) 9 0 t.c. Aµ T¡1(V) e quindi applicando l'operatore

lineare T ad ambo i membri si ha T(A)µT(T¡1(V))=T(T¡1(V)) µ V.

Teorema 2.2.3

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T 2 (EF); supponiamo che esista in E

un insieme limitato con interno non vuoto


78

(1) T µe continuo

(2) Per ogni sottoinsieme A limitato in E l'insieme T(A) µe limitato in F

(3) 9AµE insieme con (A) 6= ; t.c. T(A) µe limitato

Dim (1))(2)

Conseguenza immediata della proprietµa 2.2.1.

Dim (2))(3)

Per ipotesi 9A µ E limitato con (A) 6= ; segue allora dall'ipotesi che T(A) µe limitato.

Dim (3))(1)

Immediata per il teorema 2.2.2.

Teorema 2.2.4

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici localmente convessi e siano quindi P1 e P2

due famiglie di seminorme rispettivamente su E ed F, inducenti le rispettive topologie di

E ed F; sia T 2 (EF)

Ts: T µe continuo , 8 2 P2 9k 0 e 91 n 2 P1 tc (T()) · knX

i=1

i() 8 2E

Dim )

Assegniamo un'arbitraria seminorma 2 P2 e consideriamo la semisfera ( E 1) che µe

un intorno di F ed essendo per ipotesi T continuo allora per il teorema 1.2.5 segue che

T¡1(( E 1)) µe un intorno di E e quindi per il teorema 1.3.9 si ha che:

9 0 e 1 n 2 P1 tcn\

i=1

(i 0 ) µ T¡1(( E 1)) (2.3)

Consideriamo 1 n e proviamo che assieme ad un'opportuna costante k sono le

seminorme richieste dalla tesi. Consideriamo un generico 2E, ed osserviamo che essendo

79

per de¯nizione le seminorme non negative, si possono allora veri¯care i seguenti due casi:

(a)nX

i=1

i() = 0

(b)nX

i=1

i() 0

Supponiamo che valga il caso (a) e quindi i() = 0 8= 1 n, segue allora

dall'omegeneit¶a delle seminorme che i(r) = 0 8i = 1 n e 8r 2IN ) r 2Ti=1 (i E ) 8r 2 IN e quindi per la 2.3 segue che r 2 T¡1(( F 1)) 8r 2

IN ) (T(r)) 1 8r 2 IN, segue dalla linearit¶a di T e dalla omogeneit¶a di che

(T()) 1r

8r 2 IN e quindi passando al limite per r! 1 otteniamo che (T()) = 0.

E quindi in questo caso la tesi vale per ogni costante k 0. Supponiamo adesso che

valga il caso (b). In queste condizioni tenendo presente la linearit¶a dell'operatore T

e l'omogeneit¶a della seminorma , la nostra tesi equivale a provare che esiste k 0

apportuno tale che µTµ

kPn

i=1i()

¶¶· 1 cioµe T

µ

kPn

i=1i()

¶2 ( F 1) ovvero

kPn

i=1i()

2 T¡1(( F 1)) e questo per la 2.3 µe vero se kPn

i=1i()

2 Tni=1 (i E )

cioµe se j

µ

kPn

i=1i()

¶ 8j = 1 n e per l'omogeneit¶a delle j questo µe vero se e solo

se j()

kPn

i=1i()

8j = 1 n ed a±nch¶e tale a®ermazione sia vera, evidentemente basta

scegliere k 0 tale che 1k .

Dim (

Per il teorema 2.2.1 µe su±ciente a provare che T µe continuo nell'origine. Sia VµF un

intorno di F e proviamo quindi che esiste UµE intorno di E t.c. T(U)µV. Per il teorema

1.3.10 possiamo supporre che P2 sia saturata e pertanto segue dal teorema 1.3.11 che:

9 2 P2 e 0 tc ( F ) µ V (2.4)

80

Per ipotesi in corrispondenza alla seminorma si ha che:

9k 0 e 1 n 2 P1 tc (T()) · knX

i=1

i() 8 2 E (2.5)

scegliamo:

U :=n\

i=1

µi E

nk

¶

e proviamo che T(U)µ ( F ) seguir¶a allora dalla 2.4 che T(U)µV. Sia 2 T(U) )

9 2 U tc = T(). Poich¶e 2 U ) i() nk

8i = 1 n e quindi per la 2.5

segue che:

() = (T()) · knX

i=1

i() knX

i=1

nk=kn

nk=

cioµe 2 ( F ) come volevasi.

Teorema 2.2.5

Siano (E,k ¢ kE) ed (F,k ¢ kF) due spazi normati; sia T 2 (EF)


(1) T µe continuo

(2) 9k ¸ 0 tc kT()kF · kkkE 8 2E

(3) T µe lipschitziano

Dim(1))(2)


Dim(2))(3)

Conseguenza della linearitµa di T e dell'ipotesi.

Dim(3))(1)

Conseguenza della proprietµa 1.2.10.

81

Teorema 2.2.6

Sia E spazio vettoriale topologico; sia F spazio vettoriale topologico localmente convesso e

sia quindi figi2I famiglia di seminorme su F inducente la topologia di F; sia T 2 (EF)

Ts: T µe continuo , 9figi2I in F t.c. i(i) limitato in IR e (T¡1(i)) 6= ; 8i 2 I

Dim )

Fissato un i2I, scegliamo i := (i F 1). Per costruzione i() 1 8 2 i ) i(i)

limitato in IR. ÃL'insieme T¡1(i) µe non vuoto, poich¶e almeno E 2 T¡1(i), inoltre

essendo T continuo allora T¡1(i) µe un aperto e quindi (T¡1(i)) = T

¡1(i) 6= ;.

Dim (

Teniamo presente che per il teorema 1.3.10 µe lecito supporre che la famiglia di seminorme

inducente la topologia di F sia saturata. Per il teorema 2.2.1 µe su±ciente dimostrare che

l'operatore T µe continuo nell'origine, sia quindi VµE un intorno di F e proviamo che

esiste UµE intorno E tale che T(U)µV. Per la proprietµa 1.3.5 segue che:

9W µ F intorno di F equilibrato tcW+W µ V (2.6)

Per il teorema 1.3.11 segue che:

9i 2 I e 0 tc (i F ) µW (2.7)

Per ipotesi i(i) µe limitato e quindi 9M 0 tc i() M 8 2 i cioµe i µ

(i FM), per la proprietµa 1.3.13, per la 2.7 osserviamo che:

i µ (i FM) = µi F

M

¶=M

(i F ) µ

M

W (2.8)

Per ipotesi 90 2 (T¡1(i)) segue allora dal corollario 1.3.1 che T¡1(i) ¡ 0 µe un

intorno di E. Per la proprietµa 1.3.3 W µe radiale in F e quindi sicuramente:

90 · 1 tc ¡

MT(0) 2 W (2.9)

82

Scegliamo:

U :=

M(T¡1(i)¡ 0) =

MT¡1(i)¡

M0

che per la proprietµa 1.3.2 µe un intorno di E. E quindi in de¯nitiva per la 2.6, per la 2.8,

per la 2.9 e per la linearit¶a di T si ha:

T(U) =

MT(T¡1(i))¡

MT(0) µ

Mi ¡

MT(0) µ W+W µW+W µ V

Corollario 2.2.2

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia (F,) uno spazio seminormato; sia T 2 (EF)

Ts: T µe continuo , 9 µF limitato t.c. (T¡1()) 6= ;

Dim


Teorema 2.2.7

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia : E ! IK un funzionale lineare non nullo e

supponiamo che 9 2 IK t.c. ¡1() µe chiuso

Ts: µe continuo

Dim

Facciamo uso del corollario 2.2.2. Scegliamo := f 2 IK : jj 1g che µe banalmente

limitato. Evidentemente () µe un chiuso infatti ¯ssato 0 2 ¡1() allora per la

proprietµa 1.4.2 segue che ¡1() = 0+() ) () = ¡1()¡0 e quindi per il

teorema 1.3.1 segue che () µe chiuso. Osserviamo che ¡1() = f 2 E : j()j 1g

e quindi () µ ¡1(). Per la proprietµa 1.4.15 90 2 E tc (0) = 1 ) 0 62

¡1() ) 0 62 () che µe chiuso e pertanto segue che 0 non µe di aderenza per

() e da questo assieme alla proprietµa 1.3.1 ed al teorema 1.3.3 segue che:

9U µ E intorno di E equilibrato tc (0 +U) \ () = ; (2.10)

83

Ci proponiamo di provare che U µ ¡1() da cui seguir¶a che ¡1() µe un intorno di E

e che quindi (¡1()) 6= ;. Sia 2U e supponiamo per assurdo che 62 ¡1() )

j()j ¸ 1. Consideriamo allora il vettore:

0 = 0 ¡ 1

()

essendo U equilibrato allora 0 2 0+U ed inoltre per la linearitµa di segue che 0 2

() e quindi 0 2 (0 +U) \ () in contraddizione con la 2.10.

Teorema 2.2.8

Sia (E, ) spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia F spazio vettoriale topologico

localmente convesso e -compatto; sia T 2 (EF) chiuso e t.c. T¡1() compatto 8 2 F

Ts: 8 0 topologia vettoriale su E t.c. · 0 e (E, 0) µe di Baire allora T µe 0-continuo

Dim

Per il teorema 1.3.12 9figi2I famiglia di seminorme su E inducente la topologia di F. Per

ipotesi esiste fKngn2IN famiglia di compatti di F che ricopre F, osserviamo allora che:

E = T¡1(F) = T¡1Ã [

n2INKn

!=

[

n2INT¡1(Kn) (2.11)

Fissato n2 IN allora per il teorema 1.2.11 l'insieme T¡1(Kn) µe un compatto ed essendo

per ipotesi E di Hausdor® allora per la proprietµa 1.2.1 T¡1(Kn) µe un chiuso e poich¶e

· 0 allora µe anche 0-chiuso. Inoltre osserviamo che ¯ssato i2I e un n2 IN per la

proprietµa 1.2.2 e per la proprietµa 1.3.14 segue che i(Kn) µe compatto in IR e quindi per

il teorema 1.3.21 µe in particolare limitato. Per ipotesi E µe 0-di Baire e quindi per la

2.11 deve necessariamente esistere un n 2 IN tc 0(T¡1(Kn)) 6= ;. Per ogni i2I

poniamo i = Kn, si ottiene cosµ³ una famiglia figi2I in F t.c. i(i) limitato in IR e

0(T¡1(i)) 6= ; 8i 2 I segue allora dal teorema 2.2.6 che T µe 0-continuo.

84

De¯nizione 2.2.1

Siano E ed F spazi vettoriali topologici, denotiamo allora con L(E,F) l'insieme di tutti

gli operatori lineari e continui da E in F. Per la proprietµa 1.4.1 e per la proprietµa 1.3.8

l'insieme L(E,F) µe un s.sp.vett. di FE. Nel caso particolare in cui F=IK allora L(E,F)

usualmente si denota con il simbolo E¤, e prende il nome di duale topologico di E.

De¯nizione 2.2.2

Siano (E,k ¢ kE) ed (F,k ¢ kF) spazi normati, vogliamo allora veri¯care che L(E,F) si puµo

riguardare come spazio normato. Fissato un T2 L(E,F) per il teorema 2.2.5 segue che:

9k 0 tc kT()kF · kkkE 8 2 E (2.12)

e quindi:

kT()kFkkE

· k 8 2 E n fEg

passando al sup otteniamo la quantitµa:

T := sup2EnfEg

kT()kFkkE

· k

e pertanto il numero T per costruzione µe il piµu piccolo valore che puµo assumere la costante

k a±nchµe sia valida la relazione 2.12 ovvero sempre per il teorema 2.2.5 T µe la piµu piccola

costante di lipschitz, per l'operatore lineare e continuo T. Si veri¯ca facilmente che:

T := sup2EnfEg

kT()kFkkE

= supkkE·1

kT()kF = supkkE=1

kT()kF

Inoltre si veri¯ca agevolmente che al variare di T in L(E,F) le quantitµa T costituisce

una norma su L(E,F) che denotiamo con k ¢ kL(EF), che prende il nome di norma

operatoriale.

85

2.3 Criteri per operatori e funzionali lineari aperti

In questo paragrafo ci proponiamo di dare e di ricercare le condizioni a±nch¶e un

operatore lineare sia aperto, a seconda degli spazi in cui esso µe de¯nito.

Teorema 2.3.1

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T:E!F un operatore lineare

Ts: T µe aperto , 8U µE intorno di E allora T(U) µe un intorno di F

Dim )


Dim (

Preso AµE aperto dobbiamo provare che T(A) µe intorno di ogni suo punto. Sia quindi

0 2T(A) ) 90 2A t.c. 0 = T(0). Poich¶e 0 2A allora essendo A aperto ) che

A µe intorno di 0 e quindi segue dalla proprietµa 1.3.1 che esiste UµE intorno di E t.c.

0+U = A, per la linearit¶a di T si ha T(A)=T(0)+T(U)=0+T(U) e poich¶e per ipotesi

T(U) µe un intorno di F segue allora dalla proprietµa 1.3.1 segue che T(A) µe intorno di 0.

Teorema 2.3.2

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T:E!F un operatore lineare; supponiamo

che 9A µE limitato t.c. (T(A)) 6= ;

Ts: T µe aperto

Dim

Preliminarmente facciamo osservare che esiste un limitato di E che viene trasformato da

T in un intorno di F. Poich¶e (T(A)) 6= ; ) 90 2 A t.c. T(A) µe intorno di T(0)

segue allora dal corollario 1.3.1 e dalla linearitµa di T che T(A) ¡ T(0) = T(A ¡ 0)

µe un intorno di F. Scegliamo allora V:=A¡0 che per la proprietµa 1.3.12 µe limitato.

86

Possiamo dimostrare adesso che T µe aperto. Facciamo uso del teorema 2.3.1 e proviamo

che T trasforma intorni dell'origine in intorni dell'origine. Sia quindi UµE un intorno di

E. Per la limitatezza di V in corrispondenza ad U si ha che 9 0 t.c. Vµ U) 1VµU

e quindi applicando l'operatore T, tenendo conto della sua linearitµa otteniamo:

1

T(V) µ T(U) (2.13)

Essendo T(V) intorno di F, per la proprietµa 1.3.2 segue che1T(V) µe un intorno di F e

quindi per la 2.13 anche T(U) µe un intorno di F.

Teorema 2.3.3

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici e supponiamo che esista un sottoinsieme di

E limitato con interno non vuoto sia T:E!F un operatore lineare

Ts: T µe aperto , 9A µE limitato t.c. (T(A)) 6= ;

Dim )

Per ipotesi esiste AµE limitato con (A) 6= ;. Poich¶e (A) µ A allora:

T((A)) µ T(A) (2.14)

Osserviamo che (A) µe un aperto ed µe non vuoto per ipotesi e quindi essendo T aperto

segue che T((A)) µe un aperto non vuoto e pertanto passando all'interno nella 2.14

otteniamo ; 6= T((A)) µ (T(A)) ) (T(A)) 6= ;.

Dim (


Teorema 2.3.4


87

di seminorme su E, inducente la topologia di E; sia F uno spazio vettoriale topologico;

sia T:E!F operatore lineare

Ts: T µe aperto , 9figi2I famiglia in E t.c. i(i) limitato in IR e (T(i)) 6= ; 8i 2 I

Dim )

Fissato i2I, scegliamo i := (i E 1). Per costruzione i() 1 8 2 i cioµe i(i) µe

limitato in IR ed inoltre l'insieme T(i) µe non vuoto, poich¶e almeno F 2 T(i). Essendo

per ipotesi T aperto allora T(i) µe un aperto e quindi (T(i)) = T(i) 6= ;.

Dim (

Per provare che T µe aperto, facciamo uso del teorema 2.3.1 e proviamo quindi che

trasforma intorni dell'origine in intorni dell'origine. Facciamo osservare che per il teorema

1.3.10 non µe restrittivo supporre che la famiglia di seminorme figi2I sia saturata. Sia

quindi UµE un arbitrario intorno di E, segue allora dal teorema 1.3.11 che:

9 0 e i 2 I tc (i E ) µ U (2.15)

Essendo per ipotesi i(i) limitato in IR ) 9 0 t.c. i() 8 2 i cioµe:

i µ (i E ) (2.16)

Inoltre per ipotesi (T(i)) 6= ; ) 90 2 (T(i)) ) T(i) intorno di 0 segue

allora dal corollario 1.3.1 che T(i) ¡ 0 µe un intorno di E. Poich¶e 0 2 (T(i)) µ

T(i) ) 90 2 i t.c. 0 = T(0). Per la proprietµa 1.3.13 segue che:

9 0 tc (i¡0 ) µ (i E ) (2.17)

E quindi per 2.15, 2.16, 2.17 e per la proprietµa 1.3.13, si osserva che:

i ¡ 0 µ (i E )¡ 0 = (i¡0 ) µ (i E ) =

=

Ãi E

!=

(i E ) µ

U

88

e pertanto applicando l'operatore lineare T otteniamo che T(i) ¡ 0 µ T(U) e quindi

essendo T(i) ¡ 0 un intorno di F segue cheT(U) µe un intorno di F, segue allora

dalla proprietµa 1.3.2 che T(U) µe un intorno di F.

Teorema 2.3.5

Sia (E,E) uno spazio vettoriale topologico e supponiamo che esista in E un insieme

limitato con interno non vuoto; sia (F,F) uno spazio vettoriale topologico; sia T:E!F

operatore lineare e supponiamo che 9© : E ! F operatore surgettivo e chiuso tale che:

() 90 2 F tc ©¡1(0) µe limitato

() ©¡1() µ T¡1() 8 2 F

Ts: T µe aperto

Dim

Per ipotesi esiste AµE limitato con (A) 6= ;, allora ¯ssato 0 2 (A) poniamo U:=

(A)¡0 che per il corollario 1.3.1 e per la proprietµa 1.3.12 µe un intorno aperto e limitato

di E. Poich¶e per l'ipotesi () la ¯bra ©¡1(0) µe un limitato allora in corrispondenza

dell'intorno U di E 9 0 t.c. ©¡1(0) µ U e quindi posto := U per il teorema

1.3.1 e per la proprietµa 1.3.12 µe un aperto limitato ed µe tale che ©¡1(0) µ . Ci

proponiamo di dimostrare che (T()) 6= ; e quindi seguir¶a dal teorema 2.3.2 che T µe

aperto. Consideriamo W := F n ©(E n ) che µe aperto essendo per ipotesi © chiuso ed µe

non vuoto poichµe per la proprietµa 1.2.3 almeno 0 2 W. Veri¯chiamo adesso che:

W µ T() (2.18)

Sia 2 W segue allora dalla proprietµa 1.2.3 che ©¡1() µ e poich¶e per l'ipotesi

() ©¡1() µ T¡1() allora ©¡1() µ \T¡1() e quindi essendo per la suriettivit¶a di ©

l'insieme ©¡1() 6= ; segue che \T¡1() 6= ; ) 9 2 \T¡1() ) = T() 2 T().

89

E quindi in conclusione essendo W un aperto non vuoto di F allora passando all'interno

nella 2.18 otteniamo ; 6= W µ (T()) ) (T()) 6= ; come volevasi.

Teorema 2.3.6

Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e -compatto; sia (F, ) uno

spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia T:E!F lineare continuo e surgettivo

Ts: 8 0 topologia vettoriale su F t.c. · 0 e (F, 0) µe di Baire allora T µe 0-aperto

Dim

Per il teorema 1.3.12 esiste figi2I famiglia di seminorme su E, inducente la topologia di

E. Per ipotesi esiste fKngn2IN famiglia di compatti di E che ricopre E e quindi:

F = T(E) = T

Ã [

n2INKn

!=

[

n2INT(Kn) (2.19)

Fissato n2 IN allora per la proprietµa 1.2.2 l'insieme T(Kn) µe un compatto ed essendo per

ipotesi F di Hausdor® allora per la proprietµa 1.2.1, T(Kn) µe un chiuso e poich¶e · 0

allora µe anche 0-chiuso. Inoltre osserviamo che ¯ssato i2I e un n 2 IN per la proprietµa

1.2.2 e per la proprietµa 1.3.14 segue che i(Kn) µe compatto in IR e quindi per il teorema

1.3.21 µe in particolare limitato. Per ipotesi F µe 0-di Baire e quindi dalla 2.19 segue che

esiste n 2 IN tc 0(T(Kn)) 6= ;. Per ogni i2I poniamo i = Kn, si ottiene cosµ³ una

famiglia figi2I in E tale che i(i) limitato in IR e 0(T(i) 6= ; 8i 2 I segue allora

dal teorema 2.3.4 che T µe 0-aperto.

90

2.4 Prolungamento per continuit¶a ad operatori

lineari. Teorema di Nachabin. Teoremi di Hahn-

Banach. Teoremi di separazione

Teorema 2.4.1

Siano (E k ¢ kE) ed (F k ¢ kF) spazi normati; sia µE non vuoto; sia U 2 F continuo


(1) 9!T : () ! F operatore lineare e continuo tc Tj ´ U

(2) 9k 0 tc°°°°°nX

i=1

iU(i)

°°°°°F

· k

°°°°°nX

i=1

ii

°°°°°E

81 n 2 e 81 n 2 IK

Dim (1))(2)

Per comodit¶a poniamo G := (). Fissati ad arbitrio 1 n 2 e 1 n 2 IK

allora per la linearit¶a di T e per il teorema 2.2.5 segue che:

°°°°°nX

i=1

iU(i)

°°°°°F

=

°°°°°nX

i=1

iT(i)

°°°°°F

=

°°°°°TÃ

nX

i=1

ii

!°°°°°F

· kTkL(GF)°°°°°nX

i=1

ii

°°°°°E

e quindi posto k := kTkL(GF) si ha quanto voluto.

Dim (2))(1)

Per comodit¶a poniamo G := (). Per il teorema 1.1.4 9A µ G base di Hamel per G

ed ovviamente A µ . E quindi teniamo presente che preso ad arbitrio 2G allora:

91 n 2 A e 91 n 2 IK tc =nX

i=1

i i (2.20)

Se consideriamo UjA allora per il teorema 1.4.3 segue che:

9T : G ! F operatore lineare tc T() = U() 8 2 A (2.21)

91

Veri¯chiamo che T µe un prolungamento di U, cioµe che T coincide con U su tutto . Sia

2 allora per la 2.20, per la linearit¶a, per la 2.21 e dall'ipotesi osserviamo che:

kT()¡ U()kF =

°°°°°TÃ

nX

i=1

i i

!¡ U()

°°°°°F

=

°°°°°nX

i=1

i T(i )¡ U()

°°°°°F

=

=

°°°°°nX

i=1

i U(i )¡ U()

°°°°°F

· k

°°°°°nX

i=1

i i ¡

°°°°°E

=

= kk¡ kE = kkEkE = k0 = 0

e quindi kT()¡ U()kF = 0 ) T()¡ U() = F ) T() = U(). Veri¯chiamo che

T µe continuo. Per la 2.20, per la linearit¶a di T, per la 2.21 e dall'ipotesi segue che:

kT()kF =

°°°°°TÃ

nX

i=1

i i

!°°°°°F

=

°°°°°nX

i=1

i T(i )

°°°°°F

=

°°°°°nX

i=1

i U(i )

°°°°°F

·

· k

°°°°°nX

i=1

i i

°°°°°E

= kkkE 8 2 G

segue allora dal teorema 2.2.5 che T µe continuo. Ci rimane da veri¯care l'unicit¶a

dell'operatore lineare T. Supponiamo quindi che 9S 2 L(GF) t.c. Sj ´ U essendo

Tj ´ U e Sj ´ U ) Tj ´ Sj segue allora dalla proprietµa 1.4.11 che T ´ S.

Teorema 2.4.2

Sia (Ek ¢ kE) uno spazio normato; sia (F k ¢ kF) uno spazio di Banach; sia GµE un

sottospazio vettoriale; sia S:G!F un operatore lineare e continuo

Ts: 9!T : G ! F operatore lineare e continuo tc TjG ´ S e kTkL(GF) = kSkL(GF)

Dim

Fissato 2 G allora per il teorema 1.2.4 esiste fngn2IN in G convergente ad . Per la

proprietµa 1.2.5 la successione fngn2IN µe di Cauchy e quindi per la linearit¶a di S e per il

teorema 2.2.5 osserviamo che:

kS(n)¡ S(m)kF = kS(n ¡ m)kF · kSkL(GF)kn ¡ mkE 8nm 2 IN

92

segue allora immediatamente che fS(n)gn2IN µe una succ. di Cauchy in F che µe completo

per ipotesi e quindi 9 limn!1 S(n). Veri¯chiamo che tale limite non dipende dalla scelta

della succ. in G convergente ad . Siano quindi fngn2IN e fngn2IN due succ. in G

convergenti ad , osserviamo allora per la linearit¶a di S e per il teorema 2.2.5 che:

kS(n)¡ S(n)kF = kS(n ¡ n)kF · kSkL(GF)kn ¡ nkE 8n 2 IN

di conseguenza passando al limite per n ! 1 otteniamo limn!1 kS(n) ¡ S(n)kF = 0

e questo per il teorema 1.3.16 signi¯ca che limn!1[S(n) ¡ S(n)] = F abbiamo giµa

osservato che esiste il limite della successione fS(n)gn2IN ed analogamente si veri¯ca che

esiste il limite della successione fS(n)gn2IN e quindi per la proprietµa 1.3.6 vale che il

limite della somma µe uguale alla somma dei limiti e pertanto segue che limn!1 S(n) =

limn!1 S(n) come volevasi. Consideriamo allora l'operatore:

T : G ! F con T() := limn!1

S(n) 8 2 G (2.22)

che per quanto suddetto risulta essere ben posto. Veri¯chiamo la linearit¶a di T. Siano

2 G e 2 IK segue allora della linearit¶a di S e dalla proprietµa 1.3.6 che:

T(+ ) = limn!1

S(n + n) = limn!1

[S(n) + S(n] =

= limn!1

S(n) + limn!1

S(n) = T() + T()

Veri¯chiamo che T µe continuo. Essendo S continuo allora per il teorema 2.2.5 segue che

kS(n)kF · kSkL(GF)knkE 8n 2 IN e 8 2 G e quindi per la proprietµa 1.3.14 e per il

teorema 1.2.7 passando al limite per n ! 1 otteniamo:

kT()kF · kSkL(GF)kkE 8 2 G (2.23)

segue dal teorema 2.2.5 che l'operatore T µe continuo. Veri¯chiamo adesso che T µe un

prolungamento di S. Fissato 2G, essendo S continuo segue allora dal teorema 1.2.7

93

che limn!1 S(n) = S() e pertanto dalla 2.22 e dal teorema 1.2.1 segue che T() =

S(). Veri¯chiamo adesso che kTkL(GF) = kSkL(GF). Dalla 2.23 in particolare sulla sfera

unitaria si ha che kT()kF · kSkL(GF) 8 2 G con kkE · 1 e quindi passando al sup a

norma di de¯nizione si ha kTkL(GF) · kSkL(GF). La diseguaglianza inversa µe immediata,

infatti avendo gi¶a osservato che T µe un prolungamento di S allora si ha che:

kTkL(GF) := sup2GnfEg

kT()kFkkE

¸ sup2GnfEg

kT()kFkkE

= sup2GnfEg

kS()kFkkE

=: kSkL(GF)

In¯ne dobbiamo veri¯care l'unicit¶a del prolungamento T. Supponiamo quindi che esista

U : G ! F operatore lineare e continuo tale che UjG ´ S. Fissato 2 G allora per il

teorema 1.2.7 osserviamo che limn!1 S(n) = limn!1U(

n) = U() e pertanto dalla 2.22

e dal teorema 1.2.1 segue che T() = U().

Corollario 2.4.1

Sia (E k ¢ kE) uno spazio normato; sia (F k ¢ kF) uno spazio di Banach; sia

µE un sottoinsieme non vuoto; sia U: !F un operatore continuo t.c.

9k 0 tc kPni=1 iU(i)kF · k kPn

i=1 iikE 81 n 2 e 81 n 2 IK

Ts: 9T : () ! F operatore lineare e continuo tc Tj ´ U

Il risultato seguente dovuto al matematico Nachabin [6], ci assicura che un operatore

lineare e continuo de¯nito su un s.sp.vett. di un dato spazio normato ed a valori in uno

spazio di tipo M ammette un prolungamento lineare e continuo che preserva la norma.

Tuttavia ci si accorge che tale teorema presenta scarsi riscontri vista la ristrettezza della

classe degli spazi di tipo M. Un esempio di tale inconveniente si ottiene considerando

come spazio di arrivo il corpo IC, che come gia osservato in precedenza non µe di tipo M e

quindi in tal caso il teorema di Nachabin non puµo essere applicato, ma la tesi continua a

valere grazie al teorema di Hahn-Banach per gli spazi normati, che µe trattato di seguito.

94

Lemma 2.4.1

Siano (E k ¢kE) ed (F k ¢kF) due spazi normati; sia GµE un s.sp.vett. proprio; sia quindi

0 2 E nG e poniamo W := (G [ f0g); sia S:G!F un operatore lineare e continuo


(1) 9T : W ! F operatore lineare e continuo tc TjG ´ S e kTkL(WF) = kSkL(GF)

(2) La famiglia B := f³S()kSkL(GF)k0 ¡ kE

´: 2 Gg ha intersezione non vuota

Dim (1))(2)

Poniamo 0 = T(0) allora dall'ipotesi e per il teorema 2.2.5 osserviamo che:

k0 ¡ S()kF = kT(0)¡ T()kF = kT(0 ¡ )kF · kTkL(WF)k0 ¡ kE =

= kSkL(GF)k0 ¡ kE 8 2 G

cioµe 0 2 ³S() kSkL(GF)k0 ¡ kE

´8 2 G ovvero 0 2 \2B ) \2B 6= ;.

Dim (2))(1)

Poich¶e 0 62 G segue che G\f0g = ; e quindi essendo G un sottospazio vettoriale allora

necessariamente deve essere che G \ (f0g) = fEg segue allora dal teorema 1.1.1

che W = G©(f0g) e quindi ogni vettore di W si puµo esprimere univocamente come

somma di un vettore di G e uno di (f0g) cioµe:

8 2 W 9! 2 G e 9! 2 IK tc = + 0 (2.24)

Per ipotesiT2B 6= ; e quindi:

90 2 E tc k0 ¡ S()kF · kSkL(GF)k0 ¡ kE 8 2 G (2.25)

Consideriamo allora l'operatore:

T : W ! F tc con T() = S() + 0 8 2 W

95

che ovviamente µe ben posto per l'univocit¶a di rappresentazione 2.24. Veri¯chiamo che T

µe lineare. Siano 2W e 2 IK e quindi per l'univocit¶a di rappresentazione 2.24 e

per la linearit¶a di S segue che:

T(+ ) = T(( + 0) + ( + 0)) = T( + 0 + + 0) =

= T(( + ) + ( + )0) = S( + ) + ( + )0 =

= S() + S() + 0 + 0 = [S() + 0] + [S() + 0] =

= T() + T()

Veri¯chiamo la continuit¶a di T e per fare ciµo dimostriamo che:

kT()kF · kSkL(GF)kkE 8 2 W (2.26)

e quindi seguir¶a dal teorema 2.2.5 che T µe continuo. Fissato 2W allora per la 2.24 µe

del tipo = + 0 per opportuni 2G e 2 IK, consideriamo allora il caso in cui

= 0 ed il caso in cui 6= 0. Se = 0 allora per il teorema 2.2.5 segue che:

kT()kF = kS() + 0kF = kS()kF · kSkL(GF)kkE =

= kSkL(GF)k + 0kE = kSkL(GF)kkE

Se 6= 0 allora per la linearit¶a di S, per la 2.25 e per il teorema 2.2.5 segue che:

kT()kF = kS() + 0kF = jj°°°°°S()

+ 0

°°°°°F

= jj°°°°Sµ

¶+ 0

°°°°F

=

= jj°°°°0 ¡ S

µ¡

¶°°°°F

· jj°°°°0 ¡

µ¡

¶°°°°E

=

= jjkSkL(GF)°°°°0 +

°°°°E

= kSkL(GF)k0 + kE =

= kSkL(GF)kkE

Proviamo che T µe un prolungamento di S. Sia 2G e quindi per la 2.24 µe del tipo

= + 0 per opportuni 2G e 2 IK ed osservando che banalmente = +00

96

allora per l'unicit¶a di rappresentazione deve necessariamente essere che = 0 e quindi:

T() = S() + 00 = S() = S( + 00) = S()

Ci rimane da provare che kTkL(WF) = kSkL(GF). Dalla 2.26 in particolare sulla sfera

unitaria si ha che kT()kF · kSkL(GF) 8 2 W con kkE · 1 e quindi passando al sup

sulla sfera unitaria a norma di de¯nizione si ha kTkL(WF) · kSkL(GF). Viceversa avendo

giµa osservato che T µe un prolungamento di S si ha allora che:

kTkL(WF) := sup2WnfEg

kT()kFkkE

¸ sup2GnfEg

kT()kFkkE

= sup2GnfEg

kS()kFkkE

=: kSkL(GF)

Teorema 2.4.3 (di Nachabin)

Sia (E k ¢ kE) uno spazio normato; sia (F k ¢ kF) uno spazio normato di tipo M; sia GµE

un sottospazio vettoriale; sia S:G!F un operatore lineare e continuo

Ts: 9T : E ! F operatore lineare e continuo tc TjG ´ S e kTkL(EF) = kSkL(GF)

Dim

Consideriamo la famiglia:

A := fU 2 L(GUF) : GU µ E sspvett G µ GU UjG = S kUkL(GUF) = kSkL(GF)g

che ovviamente µe non vuota poich¶e almeno S2 A. Introduciamo inA la seguente relazione

che si veri¯ca facilmente essere di ordine parziale:

8UV 2 A U · V , GU µ GV e VjGU = U

Vogliamo veri¯care che A con questo ordinamento ammette elemento massimale e quindi

facendo uso del lemma di Zorn dobbiamo provare che ogni catena ammette maggiorante.

Sia C una catena in A e proviamo quindi che ammette maggiorante. Poniamo

~G~U :=[

U2CGU

97

poich¶e di due s.sp.vett. qualsiasi che intervengono nell'unione in questione uno µe

necessariamente contenuto nell'altro, allora si desume agevolmente da ciµo che ~G~U µe un

s.sp.vett.. Consideriamo:

~U : ~G~U ! F con ~U() = U() 8 2 ~G~U e 8U 2C

Veri¯chiamo che ~U µe ben posto. Supponiamo che 9UV 2 C t.c.9 2 GU \ GV e proviamo

quindi che U() = V(). Poich¶e UV 2 C allora U · V oppure V · U cioµe V µe un

prolungamento di U oppure U µe un prolungamento di V e quindi necessariamente deve

essere che U() = V(). µE altrettanto immediato stabilire che ~U 2 A ed inoltre µe evidente

che ~U µe un prolungamento di qualunque U2 C cioµe che U · ~U 8U 2 C. Sono quindi

soddisfatte le ipotesi del lemma di Zorn e pertanto 9T 2 A elemento massimale. Vogliamo

provare che T µe proprio l'operatore promesso dalla tesi e quindi evidentemente bisogna

provare che GT = E. Supponiamo per assurdo che 90 2 E nGT 6= ; consideriamo

allora il s.sp.vett. GV := (GT [ f0g) ed ovviamente GT ½ GV per il fatto che

0 62 GT. Ci proponiamo di costruire un prolungamento di T, de¯nito su GV e che sta

in A, e per fare ciµo adoperiamo il lemma 2.4.1. Fissato 2 GT poniamo per comoditµa

:= T() e r := kTkL(GTF)k0 ¡ kE. Consideriamo la famiglia di sfere chiuse di F

B := f( r) : 2 GTg e proviamo quindi che ha intersezione non vuota e poich¶e

F µe uno spazio di tipo M, µe su±ciente provare che i membri di B sono a due a due

non disgiunti. Presi 2 GT facciamo vedere quindi che ( r) \ ( r) 6= ;.

Osserviamo che:

r + r = kTkL(GTF)k0 ¡ kE + kTkL(GTF)k0 ¡ kE =

= kTkL(GTF)(k0 ¡ kE + k0 ¡ kE) ¸

¸ kTkL(GTF)k(0 ¡ )¡ (0 ¡ )kE =

98

= kTkL(GTF)k ¡ kE ¸ kT(¡ )kF =

= kT()¡ T()kF = k ¡ kF

cioµe la somma dei raggi non µe minore della distanza tra i centri delle sfere, di conseguenza

per la proprietµa 1.3.17 le sfere ( r) e ( r) hanno intersezione non vuota. Segue

allora dal lemma 2.4.1 che

9V : GV ! F operatore lineare e continuo tc VjGT ´ T e kVkL(GVF) = kTkL(GTF)

Osserviamo che V2 A infatti essendo G µ GT e VjGT ´ T allora VjG ´ TjG = S ed

inoltre kVkL(GVF) = kTkL(GTF) = kSkL(GF). Poich¶e VjGT ´ T ) T · V e quindi per la

massimalit¶a di T deve necessariamente essere che T=V segue che GT = GV e siamo ad

un assurdo poich¶e GT era contenuto propriamente in GV. Ed il teorema µe dimostrato.

Trattiamo adesso i fondamentali teoremi di Hahn-Banach [6] sul prolungamento dei

funzionali lineari e continui. Tali teoremi hanno numerose applicazioni nella teoria degli

spazi vettoriali topologici e normati.

Lemma 2.4.2

Sia E uno spazio vettoriale su IR; sia F½E un sottospazio vettoriale proprio; sia 0 2EnF

e poniamo W:=(F [ f0g); sia :F! IR un funzionale lineare; sia : E ! IR un

funzionale sub-additivo e positivamente omogeneo t.c. () · () 8 2F

Ts: 9 : W ! IR lineare t.c. jF ´ e () · () 8 2W

Dim

Osserviamo che:

()+() = (+ ) · (+ ) = (¡0+0+ ) · (¡0) + (0+ ) 8 2 F

99

e quindi:

()¡ ( ¡ 0) · (0 + ) ¡ () 8 2 F

cioµe A:=f() ¡ ( ¡ 0) : 2 Fg e B:=f(0 + ) ¡ () : 2 Fg sono sottoinsiemi

di IR separati nel senso dell'Analisi I, e quindi per l'assioma della completezza esiste un

elemento separatore che separa A e B cioµe:

9r 2 IR tc ()¡ ( ¡ 0) · r · (0 + )¡ () 8 2 F (2.27)

Osserviamo che 0 62F e quindi essendo F un s.sp.vett., tutta la retta passante per l'origine

e per il punto 0 non µe contenuta in F, eccetto l'origine, cioµe F \ (f0g) = fEg e

quindi essendo banalmente W = F+ (f0g), segue allora dal teorema 1.1.1 che ogni

¯ssato 2W si puµo scrive in modo unico come = + 0 per un opportuno 2F

ed un opportuno 2 IR, de¯niamo allora il funzionale:

: W ! IR con () = () + r 8 2 W

ovviamente tale µe ben posta per l'unicit¶a di scrittura di ogni 2W. Vogliamo veri¯care

che tale µe il funzionale promesso nella tesi. Veri¯chiamo che µe lineare. Fissati 2W

e 2 IR, per costruzione della e per la linearit¶a della f, si ha:

(+ ) = (( + 0) + (( + 0)) = ( + 0 + + 0) =

= ( + + ( + )0) = ( + ) + r( + ) =

= = [() + 0] + [() + 0] = () + ()

Veri¯chiamo che ristretta ad F coincide con . Fissato un arbitrario 2F allora per

l'unicit¶a di rappresentazione necessariamente deve essere che = + 00 e pertanto

() = () + r0 = (). Per ¯nire veri¯chiamo che () · () 8 2W. Fissiamo un

100

2W che µe quindi del tipo = +0 per opportuni 2F e 2 IR, e distinguiamo

i seguenti tre casi: = 0 0 e 0. Nel caso = 0 allora = +00 = 2F

e quindi segue dall'ipotesi che () = () · (). Nel caso 0, osserviamo che

() · () se e solo se ()+ r · (+0), per la linearit¶a di e per la positiva

omogeneit¶a di , dividendo ambo i membri per 0 si ha ³

´+ r ·

³+ 0

´

cioµe r · ³+ 0

´¡

³

´e quest'ultima segue dalla 2.27, per

2F in luogo di z.

Nel caso 0, osserviamo che () · () se e solo se () + r · (+ 0), per

la linearit¶a di f e per la positiva omogeneit¶a di , dividendo ambo i membri per ¡ 0

si ha ³¡

´¡ r ·

³¡

¡ 0

´cioµe

³¡

´¡

³¡

¡ 0

´· r e quest'ultima segue

dalla 2.27, per ¡

2F in luogo di y. Come volevasi dimostrare.

Teorema 2.4.4 (di Hahn-Banach)

Sia E uno spazio vettoriale su IR; sia FµE s.sp.vett.; sia :F! IR un funzionale lineare; sia

: E ! IR un funzionale subadditivo e positivamente omogeneo t.c. () · () 8 2F

Ts: 9 : E ! IR lineare t.c. jF ´ e () · () 8 2E

Dim

Assegnato un funzionale lineare 2 E0 allora denoteremo in seguito con Dom() il

dominio di , che µe quindi un sottospazio vettoriale di E. Consideriamo la famiglia:

E := f 2 E0 : F µ Dom() jF = e () · () 8 2 Dom()g

che µe non vuota poich¶e almeno 2 E . Introduciamo in E la seguente relazione:

1 · 2 , Dom(1) µ Dom(2) e 2jDom(1) = 1

si prova facilmente che tale relazione µe una relazione di ordinamento parziale. Vogliamo

veri¯care che (E ·) ammette elemento massimale e quindi facendo uso del lemma di Zorn

101

dobbiamo provare che ogni catena ammette maggiorante. Sia C una catena arbitraria in

E e proviamo quindi che C ammette maggiorante. Consideriamo l'insieme:

W :=[

2CDom()

dimostriamo allora che tale insieme assieme ad un opportuno funzionale lineare costituisce

un elemento di E e che µe il maggiorante della catena C cercato. Veri¯chiamo che W µe un

s.sp.vett. di E. Siano 2 IR e 2W) 91 2 2 C t.c. 2 Dom(1) e 2 Dom(2)

ed ovviamente Dom(1)Dom(2) µW ed inoltre essendo 1 e 2 confrontabili in quanto

elementi della catena C, allora Dom(1) µ Dom(2) oppure che Dom(2) µ Dom(1),

supponiamo ad esempio che Dom(1) µ Dom(2) ) x y 2 Dom(2) ed essendo

Dom(2) un s.sp.vett. allora + 2 Dom(2) µW come volevasi. De¯niamo quindi

il funzionale:

h : W ! IR con h() = () 8 2 Dom() e 8 2 C

che µe certamente ben de¯nito dal momento che se esistono 1 2 2 C tali che Dom(1) e

Dom(2) contengono un 2W, allora per la confrontabilitµa di 1 e 2 dovrµa essere che

Dom(1) contiene Dom(2) o viceversa, supponiamo ad esempio che Dom(1) µ Dom(2)

allora per come µe stata de¯nita la relazione d'ordine dovrµa essere 2jDom(1) = 1 e quindi

essendo 2 Dom(1) µ Dom(2) ) 1() = 2(). Il funzionale h2 E , infatti per

costruzione FµW, h µe lineare, h ristretta ad F coincide con e sempre per lo stesso

motivo h µe maggiorato su W da . Ci rimane da veri¯care che h µe un maggiorante per

la catene C. Consideriamo un arbitrario 2 C e quindi per costruzione deve essere

Dom() µW e hjDom() = ) · h ) h maggiorante per la catena C. Per il

lemma di Zorn possiamo dunque a®ermare che E ammette elemento massimale 2 E .

Veri¯chiamo che Dom() = E e che quindi µe il funzionale lineare promesso nella tesi.

102

Supponaimo per assurdo che 90 2 E nDom() allora detto ~W := (Dom()[ f0g)

si ha chiaramente che Dom() ½ ~W, siamo quindi nelle ipotesi del lemma 2.4.2, che

ci assicura che 9 ~ : ~W ! IR lineare t.c. ~jDom() coincide con e che su tutto ~W µe

maggiorato da e quindi · e per la massimalit¶a di deve essere = ) ~W =

Dom() che µe un assurdo poich¶e Dom() ½ ~W.

Teorema 2.4.5 (di Hahn-Banach nella forma analitica classica)

Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia FµE un sottospazio vettoriale; sia :F! IK un

funzionale lineare; sia : E ! IR una seminorma t.c. j()j · () 8 2F

Ts: 9 : E ! IK lineare t.c. jF ´ e j()j · () 8 2E

Dim

Distinguiamo rispettivamente il caso in cui IK = IR ed il caso in cui IK = IC. Nel caso

IK = IR osserviamo che vale sempre () · j()j · () 8 2 F e quindi evidentemente

sono veri¯cate le ipotesi del teorema 2.4.4 che ci dice che:

9 : E ! IR lineare tc jF = e () · () 8 2 E

segue allora da questa, dalla linearit¶a di e dall'omogeneitµa di , che:

¡() = ¡(¡) · ¡(¡) = () · () 8 2 E

e quindi ¡() · () · () 8 2 E ) j()j · () 8 2E e si ha la tesi. Sia

adesso il caso in cui IK = IC. In tale situazione consideriamo il funzionale := che

µe lineare per la proprietµa 1.4.25, ed inoltre osserviamo che:

j()j = j()j · j()j · () 8 2 F

siamo ricaduti nel caso precedente cioµe nel caso IK = IR e quindi possiamo sfruttare il

risultato gi¶a ottenuto e pertanto esiste : E ! IR funzionale lineare t.c. jF = e

103

j()j · () 8 2 E, consideriamo allora il funzionale complesso:

: E ! IC con () := ()¡ () 8 2 E

che per il corollario 1.4.10 µe lineare ed inoltre ristretto ad F coincide con , infatti per la

proprietµa 1.4.26 segue che:

() = ()¡ () = ()¡ () = ()¡ () = () 8 2 F

Ci rimane da veri¯care che µe maggiorato da su tutto lo spazio E. Si ricorda che dato

un numero complesso 2 IC lo possiamo scrivere come = jj = jj(cos + sin ) dove

µe l'argomento principale del complesso z. Ed inoltre si ricorda che jj = () 8 2 IC.

Fissato ad arbitrio 2E allora per quanto detto () = j()j e quindi:

j()j = ¡() = ³¡

´=

³¡

´·

¯̄¯

³¡

´¯̄¯ ·

³¡

´=

=¯̄¯¡

¯̄¯ () = (¡)() = 0() = 1() = ()

Corollario 2.4.2

Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia FµE un sottospazio vettoriale; sia AµE radiale in E

e assolutamente convesso; sia :F! IK un funzionale lineare t.c. j()j · 1 8 2 A \ F

Ts: 9 : E ! IK lineare t.c. jF ´ e j()j · 1 8 2A

Dim

Per il corollario 1.1.11 il funzionale di Minkowsky A µe una seminorma. Per la proprietµa

1.1.5 l'insieme A\F µe radiale in E in F (non in E) allora se andiamo a considerare in

F il funzionale di Minkowsky A\F : F ! IR, questo altro non µe per de¯nizione che il

funzionale di Minkowsky in E associato ad A, ristretto F cioµe in simboli A\F = AjF. Per

ipotesi j()j · 1 8 2 A \ F e per la proprietµa 1.1.5 questo equivale ad a®ermare che

104

j()j · A() 8 2 F, sono quindi soddisfatte le ipotesi del teorema 2.4.5, che ci assicura

che esiste un funzionale lineare : E ! IK tale che jF = e j()j · A() 8 2 E e

quindi per la proprietµa 1.1.5 quest'ultima a®ermazione µe equivalente a j()j · 1 8 2 A.

Corollario 2.4.3

Sia E un IK-spazio vettoriale; sia : E ! IR una seminorma; sia 0 2 E n fEg

Ts: 9 : E ! IK lineare t.c. (0) = (0) e j()j · () 8 2E

Dim

Andiamo a considerare la retta che unisce 0 e E cioµe consideriamo F := (f0g) che

µe un s.sp.vett. di E. Facciamo osservare che ogni vettore 2F si puµo scrivere in modo

unico come = 0 per un opportuno 2 IK. Andiamo adesso a de¯nire il funzionale:

: F! IK tc () = (0) 8 2 F

che µe chiaramente lineare. Facciamo osservare che (0) = 1(0) = (0). Tenendo

conto della de¯nizione di e del fatto che µe una seminorma si ha:

j()j = j(0)j = jj(0) = (0) = () 8 2 F

e quindi il modulo di µe maggiorato sulla retta F da una seminorma , segue allora dal

teorema 2.4.5 che esiste : E ! IK funzionale lineare t.c. jF = e j()j · () 8 2

E. Ed ovviamente (0) = (0) essendo jF = e (0) = (0).

Teorema 2.4.6 (di Hahn-Banach in forma geometrica)

Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia SµE una vartiet¶a a±ne; sia AµE un

sottoinsieme non vuoto aperto e convesso t.c. A \ S = ;

Ts: 9H µ E iperpiano chiuso t.c. SµH e A \ H = ;

105

Dim

Facciamo osservare che un iperpiano H di E tale che H\A = ;, deve essere chiuso infatti

se per assurdo non lo fosse allora necessariamente per il corollario 1.4.13 dovrebbe essere

denso e quindi per il teorema 1.2.3 si avrebbe che H \ A 6= ; assurdo. Sia dapprima E

uno spazio vettoriale topologico reale. Fissato 0 2A consideriamo l'insieme V:=A¡0

che µe un aperto per il teorema 1.3.1 ed inoltre per costruzione E 2V e quindi V µe un

intorno di E aperto e convesso. Poniamo inoltre T:=S¡0 che ovviamente µe ancora una

variet¶a a±ne e per la proprietµa 1.1.1 segue che:

V \ T = ; (2.28)

Nel caso considerato proviamo a monte l'asserto per i traslati V e T. Consideriamo il

funzionale di Minkowsky V associato a V che per la proprietµa 1.1.11 e per la proprietµa

1.1.11 risulta essere rispettivamente positivamente omogeneo e sub-additivo. Fissato

0 2T allora per la proprietµa 1.1.2 l'insieme T¡0 µe un sottospazio vettoriale di E,

consideriamo allora il sottospazio vettoriale F := ((T¡ 0) [ f0g). Poich¶e E 2 V

allora per la 2.28 segue che E 62 T e quindi 0 62 T ¡ 0 infatti se per assurdo 0 2

T ¡ 0 allora essendo T ¡ 0 un sottospazio vettoriale si avrebbe che ¡0 2 T ¡ 0 e

quindi E = 0 ¡ 0 2 0 + T ¡ 0 = T e siamo ad un assurdo. Quindi 0 62 T ¡ 0 e

pertanto essendo T¡ 0 un sottospazio vettoriale deve necessariamente essere che (T¡

0)) \ (f0g) = fEg e quindi per il teorema 1.1.1 e per la proprietµa 1.1.7 segue che

F = (T¡ 0)© (f0g) e questo per de¯nizione signi¯ca che il sottospazio T¡ 0 ha

codimensione 1 in F segue allora dal corollario 1.4.12 che:

9 : F ! IR funzionale lineare non nullo tc () = T¡ 0 e (0) = 1 (2.29)

Vogliamo provare che () · V() 8 2 F. Sia 2 F = (T¡0)©(f0g) ) 9! 2

106

T¡0 e 9! 2 IR tc = +0, dobbiamo provare che (+0) · V(+0) e

questo per la linearit¶a di equivale a provare che ()+(0) · V(+0) ovvero

essendo 2 T¡0 = () e (0) = 1 che · V(+0), se · 0 allora essendo

per de¯nizione il funzionale V non negativo, tale disuguaglianza µe evidente, mentre se

0 essa per la positiva omogeneit¶a di V µe equivalente a V³+ 0

´¸ 1 e tale

disuguaglianza per il teorema 1.3.6 µe vera se e solo se + 0 62 V e questa µe sicuramente

vera, infatti essendo T¡0 un s.sp.vett. allora

2 T¡ 0 ) 0 +

2 T e quindi per

la 2.28 0 +

62 V. Siamo allora nelle ipotesi del teorema 2.4.4 che ci assicura che:

9 : E ! IR lineare tc jF ´ e () · V() 8 2 E (2.30)

Ovviamente µe non nullo infatti (0) = (0) = 1 6= 0. Consideriamo quindi l'iperpiano

reale ~I := ¡1(1) e veri¯chiamo che contiene T ed µe disgiunto da V. µE evidente che T µ ~I

infatti per la 2.29, e per la proprietµa 1.4.7 e per la proprietµa 1.4.2 segue che:

T = 0 +T¡ 0 = 0 +() µ 0 +() = ¡1(1) =: ~I

µE altrettanto evidente che V \~I = ; infatti se 2V allora per il teorema 1.3.6 segue che

V() 1 e quindi segue dalla 2.30 che () 1 e pertanto 62 ~I. Trasliamo adesso ad

A ed S quanto ottenuto per V e T. Consideriamo I := ~I + 0 che per la proprietµa 1.4.23

µe ancora un iperpiano, veri¯chiamo quindi che tale iperpiano contiene S ed µe disgiunto

da A. Poich¶e T µ ~I ) S ¡ 0 µ ~I ) S µ ~I + 0 ) S µ I. Poich¶e V \ ~I = ; )

(A¡ 0) \ ~I = ; segue allora dalla proprietµa 1.1.1 che A \ (~I + 0) = ; ) A \ I = ;. E

quindi l'asserto resta dimostrato nel caso IK = IR. Sia adesso il caso in cui E µe uno spazio

vettoriale topologico complesso. Fissato 0 2S poniamo ~S = S¡ 0 che per la proprietµa

1.1.2 µe un s.sp.vett.. Poniamo inoltre ~A := A ¡ 0 che µe un aperto per il teorema 1.3.1

107

ed µe un convesso in quanto traslato di un convesso. Per la proprietµa 1.1.1 segue che:

~A \ ~S = ; (2.31)

Nel caso considerato proviamo a monte l'asserto per i traslati ~S e ~A. Se consideriamo E

come spazio reale ed ~S come sottospazio reale allora a seguito di quanto dimostrato:

9I µ E iperpiano reale tc ~S µ I e ~A \ I = ; (2.32)

Consideriamo allora ~H := I \ (I) che per il corollario 1.4.11 µe un iperpiano complesso e

veri¯chiamo quindi che contiene ~S e che µe disgiunto da ~A. Per la 2.32 ed osservando che

~S µe un s.sp.vett. segue che:

~S = ~S µ I (2.33)

E quindi dalla 2.32 e dalla 2.33 segue che ~S µ ~H. Essendo ~H := I \ (I) µ I allora a

fortiori per la 2.32 segue che ~A \ ~H = ;. Trasliamo adesso ad A ed S quanto ottenuto

per ~A e ~S. Consideriamo H := ~H + 0 che per la proprietµa 1.4.23 µe ancora un iperpiano

e veri¯chiamo che contiene S ed µe disgiunto da A. Poich¶e ~S µ ~H ) S¡ 0 µ ~H ) S µ

~H + 0 ) S µ H. Poich¶e ~A \ ~H = ; ) (A ¡ 0) \ ~H = ; segue allora dalla proprietµa

1.1.1 che A \ (~H + 0) = ; ) A \H = ;. Ed il teorema µe dimostrato.

Teorema 2.4.7 (di Hahn-Banach per gli spazi localmente convessi)

Sia E spazio vettoriale topologico localmente convesso; sia FµE s.sp.vett.; sia 2 F¤

Ts: 9 2 E¤ t.c. jF ´

Dim

Per ottenere la tesi adoperiamo il corollario 2.4.2 e quindi vogliamo costruire un insieme

A assolutamente convesso e radiale in E t.c. j()j · 1 8 2 A \ F. Consideriamo

l'insieme f 2 F : j()j · 1g che per la continuit¶a di µe un intorno di E in F e

108

quindi µe del tipo V \ F = f 2 F : j()j · 1g con V opportuno intorno di E in E.

Per il corollario 1.3.7 esiste WµE intorno assolutamente convesso di E contenuto in V,

scegliamo allora A:=W. E quindi A µe un intorno assolutamente convesso di E e per la

proprietµa 1.3.3 µe pure radiale in E ed µe t.c. j()j · 1 8 2 A \ F. Ci troviamo allora

nelle ipotesi del corollario 2.4.2 e quindi:

9 : E ! IK lineare tc jF = e j()j · 1 8 2 A

ed essendo limitato in un intorno dell'origine per il teorema 2.2.2 segue che µe continuo.

Teorema 2.4.8 (di Hahn-Banach per gli spazi normati)

Sia E uno spazio normato; sia FµE un sottospazio vettoriale; sia 2 F¤

Ts: 9 2 E¤ t.c. jF ´ e kkE¤ = kkF¤

Dim

Per il teorema 2.2.5 segue che j()j · kkF¤kkE 8 2 F e quindi il modulo del

funzionale ¶e maggiorato su F dalla norma kkF¤k ¢ kE (banalmente il prodotto di una

norma per una costante positiva µe ancora una norma), segue allora dal teorema 2.4.5 che:

9 : E ! IK lineare tc jF = e j()j · kkF¤kkE 8 2 E (2.34)

per il teorema 2.2.5 il funzionale µe anche continuo. Ci rimane da provare che kkE¤ =

kkF¤. Per la 2.34 sulla sfera unitaria si ha j()j · kkF¤ 8 2 E con kkE = 1 e

quindi passando al sup otteniamo kkE¤ · kkF¤. Viceversa osserviamo che:

kkF¤ := supx2FnfEg

j()jkkE

= supx2FnfEg

j()jkkE

· supx2EnfEg

j()jkkE

=: kkE¤

Teorema 2.4.9

Sia E uno spazio normato; sia 0 2 E n fEg

109

Ts: 9 2 E¤ t.c. (0) = k0kE e kkE¤ = 1

Dim

Per il corollario 2.4.3 segue che:

9 2 E0 tc (0) = k0kE e j()j · kkE 8 2 E (2.35)

per il teorema 2.2.5 il funzionale µe anche continuo. Ci rimane da provare che kkE¤ = 1.

Dalla 2.35 sulla sfera unitaria si ha che j()j · 1 8 2 (E 1) e quindi passando al sup

sulla sfera unitaria otteniamo kkE¤ · 1. Viceversa sempre per la 2.35 osserviamo che:

1 =k0kEk0kE

=j(0)jk0kE

· kkE¤

Concludiamo il presente paragrafo con i cosiddetti teoremi di separazione [6] che

rappresentono un'applizazione notevole dei teoremi di Hahn-Banach. Tali teoremi

trovano numerose applicazioni nell'analisi convessa e nell'economia matematica.

De¯nizione 2.4.1

Sia E uno spazio vettoriale reale; siano A,BµE insiemi non vuoti; sia f:E! IR un

funzionale lineare non nullo, sia 2 IR e consideriamo I := f¡1(). Diciamo allora

che l'iperpiano I che prende il nome di iperpiano separatore, separa A e B se:

f() · · f() 8 2 A e 8 2 B

Diciamo che l'iperpiano I separa strettamente A e B se:

9 0 tc f() · ¡ + · f() 8 2 A e 8 2 B

Propriet¶a 2.4.1

Sia E uno spazio vettoriale reale; siano A,BµE due insiemi non vuoti

110


() 9I µ E iperp. che separa A e B , 9f 2 E0 n fE0g t.c. sup2A

f() · inf2B

f()

() 9I µ E iperp. che separa strett. A e B , 9f 2 E0 n fE0g t.c. sup2A

f() inf2B

f()

Propriet¶a 2.4.2

Sia E uno spazio vettoriale topologico reale; siano A,BµE due insiemi non vuoti


() 9I µ E iperp. chiuso che separa A e B , 9f 2 E¤ n fE¤g t.c. sup2A

f() · inf2B

f()

() 9I µ E iperp. chiuso che separa strett. A e B, 9f 2 E¤nfE¤g t.c. sup2A

f() inf2B

f()

Propriet¶a 2.4.3

Sia E uno spazio vettoriale topologico reale; siano A,BµE due insiemi non vuoti; sia Iµ

E iperpiano che separa A e B

Ts: Se (A) 6= ; o (B) 6= ; allora I µe chiuso

Dim

Supponiamo che (A) 6= ;. Poich¶e I µe un iperpiano che separa A e B allora esiste

f 2 E0 n fE0g e 2 IK tale che I = f¡1() e f() · · f() 8 2 A e 8 2 B ) f() ·

8 2 A cio¶e f µe limitata superiormente su A, segue allora dal corollario 2.2.1 che f µe

continuo. Analogamente si procede nel caso (B) 6= ;.

Lemma 2.4.3

Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE convesso, A0 6= ; e E 62 A0

Ts: 9f : E ! IR funzionale lineare, f6´ 0 t.c. f() · 0 8 2A

Dim

Per la proprietµa 1.1.6 l'insieme A0 µe un convesso. Poich¶e A0 6= ; ) 90 2 A0

consideriamo allora l'insieme V := 0 ¡ A0 che µe un convesso in quanto traslato di

111

un convesso ed inoltre 0 62V infatti se per assurdo 0 2 V ) 0 2 0 ¡A0 ) E 2 A0

assurdo. Inoltre per la proprietµa 1.1.4 e la proprietµa 1.1.6 osserviamo che:

V0 = (0 ¡ A0)0 = 0 ¡ (A0)0 = 0 ¡A0

e poich¶e 0 2 A0 ) E 2 V0 ) V radiale in E. E quindi in de¯nitiva l'insieme

V µe convesso e radiale in E. Possiamo allora considerare il funzionale di Minkowsky

V : E ! [0+1[ associato a V che per la proprietµa 1.1.11 µe positivamente omogeneo

e subadditivo. Consideriamo F := (f0g) che µe un sottospazio vettoriale di E.

Facciamo osservare che ogni vettore 2F si puµo scrivere in modo unico come = 0

per un opportuno 2 IK. Andiamo adesso a de¯nire il funzionale:

: F ! IK tc () = V(0) 8 2 F

che µe chiaramente un funzionale lineare. Proviamo che il funzionale µe maggiorato sulla

retta F dal funzionale di Minkowsky associato a V cioµe che () · V() 8 2 F. Fissato

un arbitrario 2F allora puµo accadere che · 0 oppure che 0. Nel caso · 0

allora essendo per de¯nizione il funzionale di Minkowsky non negativo si ha:

() = V(0) · V(0)

Nel caso 0 segue subito dalla de¯nizione di e dalla positiva omogeneitµa di V che:

() = V(0) = V(0) = V()

E quindi essendo il funzionale lineare maggiorato sulla retta F dal funzionale V

subadditivo e positivamente omogeneo allora per il teorema 2.4.4 si ha:

9 : E ! IR lineare tc jF ´ e () · V() 8 2 E (2.36)

112

Teniamo presente che per la proprietµa 1.1.12 V contiene l'insieme dei punti in cui V µe

strettamente minore di 1 e quindi essendo 0 62 V allora necessariamente V(0) ¸ 1 e

poich¶e per la 2.36 (0) = (0) = V(0) segue che:

(0) ¸ 1 (2.37)

e questa in particolare ci dice che non µe identicamente nullo. Per la proprietµa 1.1.12

V µe contenuto nell'insieme dei punti in cui il funzionale di Minkowsky associato a V µe

minore o uguale ad 1 e quindi dalla 2.36 segue che () · V() · 1 8 2 V e poich¶e

V :=0 ¡ A0 = f0 ¡ : 2 A0g si ha:

(0 ¡ ) · 1 8 2 A0 (2.38)

segue allora dalla linearit¶a di , dalla 2.37 e dalla 2.38 che:

¡() = ¡(¡ 0 + 0) = ¡(¡ 0)¡ (0) =

= (0 ¡ )¡ (0) · 1¡ 1 = 0 8 2 A0

e quindi scegliamo f:=¡ che µe un funzionale lineare non nullo t.c. f() · 0 8 2 A0

cioµe sup2A0 f() · 0, segue dal teorema 1.4.7 che sup2A f() · 0 cioµe f() · 0 8 2 A.

Teorema 2.4.10 (di separazione in forma algebrica)

Sia E uno spazio vettoriale reale; siano A,BµE insiemi convessi con A0 6= ; e B non vuoto

Ts: 9I µ E iperpiano che separa A e B , A0 \ B = ;

Dim )

Per la propriet¶a 2.4.1 segue che:

9f : E ! IR funzionale lineare f 6´ 0 tc sup2A

f() · inf2B

f() (2.39)

113

Supponiamo per assurdo che A0 \ B = ; 9 2 A0 \ B ) 2 A0 e 2 B. Poich¶e

2 A0 ) f() 2 f(A0) ed essendo per il corollario 1.4.5 f(A0) un aperto di IR segue che

f(A0) µe un intorno di f() e quindi 9 0 tc ]f()¡ f() + [µ f(A0) segue:·f()¡

2 f() +

2

¸µ]f()¡ f() + [µ f(A0) (2.40)

e quindi per la 2.40, per la 2.39 ed osservando inoltre che A0 µ A, si ha:

f() f() +

2· sup

2A0f() · sup

2Af() · inf

2Bf()

e questo evidentemente ci dice che f() 62 f(B) ) 62 B assurdo.

Dim (

Consideriamo A0 ¡ B che µe un convesso in quanto somma algebrica di convessi, ci

proponiamo allora di veri¯care che per tale insieme valgono le ipotesi del lemma 2.4.3. Il

nucleo radiale di A0 ¡ B µe non vuoto infatti per ipotesi 9 2 A0 e 9 2B, allora per la

proprietµa 1.1.6 e per la proprietµa 1.1.4 osserviamo che:

¡ 2 A0 ¡ = (A0)0 ¡ = (A0 ¡ )0 µ (A0 ¡ B)0

e quindi (A0 ¡ B)0 6= ;. Per ipotesi A0 \ B = ; ) E 62 A0 ¡ B e quindi essendo

(A0 ¡ B)0 µ A0 ¡ B ) E 62 (A0 ¡ B)0. E quindi A0 ¡ B µe un convesso con nucleo

radiale non vuoto e non contenente E, segue allora dal lemma 2.4.3 che esiste f : E ! IR

funzionale lineare non nullo t.c f() · 0 8 2 A0 ¡ B segue che f( ¡ ) · 0 8 2

A0 e 8y 2 B e per la linearit¶a di f segue che f()¡ f() · 0 8 2 A0 e 8y 2 B ) f() ·

f() 8 2 A0 e 8y 2 B ) sup2A0 f() · inf2B f() segue allora dal teorema 1.4.7 che

sup2A f() · inf2B f() e da questo per la propriet¶a 2.4.1 otteniamo la tesi.

Teorema 2.4.11 (di separazione in forma topologica)

Sia E spazio vettoriale topologico reale; siano A,BµE convessi con (A) 6= ; e B 6= ;

114

Ts: 9I µ E iperpiano chiuso che separa A e B , (A) \ B = ;

Dim

Conseguenza del teorema 1.3.7, del teorema 2.4.10 e della proprietµa 2.4.3.

Teorema 2.4.12 (di stretta separazione)

Sia E uno spazio vettoriale topologico reale localmente convesso; siano A,BµE

sottoinsiemi convessi e non vuoti

Ts: 9I µ E iperpiano chiuso che separa strettamente A e B , E 62 B¡A

Dim )

Dobbiamo provare che esiste un intorno di E che non interseca B¡A. Per la proprietµa

2.4.2 esiste f:E! IR lineare e continuo non nullo t.c. sup2A f() inf2B f() e questo

come sappiamo signi¯ca che:

9 0 tc f() + · f() 8 2 A e 8 2 B (2.41)

Andiamo adesso a considerare l'insieme V := f¡1(]¡ 1 [) = f 2 E : f() g che per

la continuitµa di f µe un aperto ed inoltre osserviamo che E 2V poich¶e per la linearit¶a di f

si ha che f(E) = 0 . E quindi V µe un intorno aperto di E ed ovviamente non interseca

B¡A infatti per la 2.41 e per la linearit¶a di f osserviamo che · f(¡) 8 2 A e 8 2 B

e quindi in B¡A la f µe maggiore o uguale a e pertanto essendo per costruzione V l'insieme

dei punti di E in cui f µe strettamente minore di allora necessariamente V\ (B¡A) = ;.

Dim (

Consideriamo B ¡ A che µe un convesso essendo somma algebrica di convessi. Poich¶e

E 62 B¡ A allora esiste V intorno di E che per il corollario 1.3.7 possiamo supporre

assolutamente convesso t.c. V\ (B¡A) = ;. Ovviamente essendo V\(B¡A) = ; allora

a fortiori (V) \ (B¡ A) = ;. Segue allora dal teorema 2.4.11 che esiste un iperpiano

115

chiuso che separa V e B ¡ A e questo per la proprietµa 2.4.2 equivale ad a®ermare che

esiste f:E! IR lineare e continuo non nullo tale che sup2V f() · inf2B¡A f() cioµe

f() · f( ¡ ) 8 2 V 8 2 B e 8 2 A e quindi per la linearit¶a di f segue che:

f() · f()¡ f() 8 2 V 8 2 B e 8 2 A (2.42)

poich¶e in particolare V µe radiale e simmetrico segue allora dalla proprietµa 1.4.16 che 9 2V

t.c. f() 0, e quindi posto := f() dalla 2.42 segue che · f()¡ f() 8 2 B e 8 2

A) + f() · f() 8 2 B e 8 2 A e questo signi¯ca che + sup2A f() · inf2B f()

cioµe sup2A f() inf2B f() e quindi per la proprietµa 2.4.2 otteniamo la tesi.

Corollario 2.4.4

Sia E uno spazio vettoriale topologico reale localmente convesso; siano A,BµE

sottoinsiemi convessi, disgiunti e non vuoti con A compatto e B chiuso

Ts: 9I µ E iperpiano chiuso che separa strettamente A e B

Dim

Per la proprietµa 1.3.5 B¡A µe un chiuso ed inoltre per ipotesi A\B = ; ) E 62 B¡A.

In de¯nitiva E 62 B¡A = B¡ A e quindi per il teorema 2.4.12 si ha la tesi.

Corollario 2.4.5

Sia E uno spazio vettoriale topologico reale localmente convesso; sia AµE un sottoinsieme

convesso, chiuso e non vuoto; sia 0 2 E n A

Ts: 9I µ E iperpiano chiuso che separa strettamente A ed il singoletto f0g

Dim

Il singoletto f0g µe compatto e convesso ed essendo 0 2 E n A allora f0g \ A = ; e

quindi applicando di peso il corollario 2.4.4 si ha la tesi.

116

Corollario 2.4.6

Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso; sia AµE un sottoinsieme

assolutamente convesso, chiuso e non vuoto; sia 0 2 E n A

Ts: 9 : E ! IK funzionale lineare continuo t.c. j()j 1 8 2 A e (0) 1

Dim

Per il corollario 2.4.5 e per la proprietµa 2.4.2 segue che:

9f : E ! IR funzionale lineare continuo f 6´ 0 tc sup2A

f() f(0) (2.43)

Per l'assioma della completezza:

9 0 tc 0 f(0)¡ sup2A

f() (2.44)

Osserviamo che:

f(0)¡ sup2A

f() ¸ f(E) = 0

Consideriamo allora il funzionale:

: E ! IK con () :=f()¡ f()

f(0)¡ 8 2 E

che per il corollario 1.4.10 e per la proprietµa 1.4.1 µe lineare ed inoltre per la proprietµa

1.2.12 µe continuo. Si osserva subito che

(0) =f(0)

f(0)¡ 1

Per la linearit¶a di , per la 2.43 e per la 2.44 segue che:

j()j = ¡() = ³¡

´=f³¡

´

f(0)¡ ·sup2A

f()

f(0)¡ f(0)¡

f(0)¡ = 1 8 2 A

Corollario 2.4.7

Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso; sia F½E un s.sp.vett. chiuso

117

Ts: 9 : E ! IK funzionale lineare continuo non nullo t.c. () = 0 8 2 F

Dim

Banalmente F µe assolutamente convesso ed inoltre essendo essendo F un sottospazio

proprio allora 90 2 E n F e quindi per il corollario 2.4.6 segue che:

9 2 E¤ tc j()j 1 8 2 F e (0) 1 (2.45)

Poich¶e (0) 1 allora (0) 6= 0 segue che (0) 6= 0 e pertanto non µe

identicamente nullo. Per la proprietµa 1.4.6 il funzionale trasforma sottospazi vettoriali

in sottospazi vettoriale e quindi puµo accadere che (F)=IK oppure che (F)=f0g, ma per

la 1.4.9 µe limitato su F e quindi deve necessariamente essere che (F)=f0g.

2.5 Spazio degli operatori lineari e continui

Nella de¯nizione 2.2.1 µe stato introdotto lo spazio degli operatori lineari e continui.

Vogliano adesso dare i risultati piµu salienti inerenti il suddetto spazio. Per linearizzare la

trattazione dimostriamo dapprima alcune semplici proprietµa.

Propriet¶a 2.5.1

Sia E uno spazio vettoriale; sia F uno spazio vettoriale topologico; sia T 2 FE; sia

fTngn2IN una succ. di operatori lineari in FE convergenti puntualmente a T

Ts: T µe lineare

Dim

Conseguenza della linearitµa dei Tn e della propriet¶a 1.3.6.

Propriet¶a 2.5.2

Siano (E,k ¢ kE) ed (F,k ¢ kF) spazi normati; sia T2 FE; sia fTngn2IN in L(E,F) limitata

118

Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazi:

() Se fTngn2IN converge a T in L(E,F) allora essa converge punt. a T

() Se fTngn2IN µe di Cauchy in L(E,F) allora fTn()gn2IN µe di Cauchy in F 8 2F

() Se fTngn2IN converge punt. a T allora T2 L(E,F) e kTkL(EF) · lim infn!1

kTnkL(EF)

() Se fTngn2IN µe di Cauchy in L(E,F) e converge punt. a T allora T2 L(E,F) e fTngn2IN

converge a T in L(E,F).() Se T2 L(E,F) allora D =

n 2 E : lim

n!1Tn() = T()

oµe chiuso

Dim

Per quanto riguarda la () e la () basta esplicitatre la nozione di convergenza rispetto

alla norma operatoriale k ¢ kL(EF).

Veri¯chiamo la (). Per la proprietµa 2.5.1 T µe lineare. Proviamo che T µe continuo.

Per ipotesi 9M 0 tc kTnkL(EF) · M 8n 2 IN da questa e dal teorema 2.2.5 segue

che kTn()kF · MkkE 8 2 E e 8n 2 IN per la proprietµa 1.3.14 e per il teorema

1.2.7 passando al limite per n ! 1 otteniamo kT()kF · MkkE 8 2 E e quindi

segue dal teorema 2.2.5 che T µe continuo. Veri¯chiamo la disuguaglianza della tesi.

Essendo i Tn continui per il teorema 2.2.5 sulla sfera unitaria si ha che kTn()kF ·

kTnkL(EF) 8 2 E con kkE · 1 e 8n 2 IN e pertanto passando al minimo limite per

n! 1 e successivamente passando al sup sulla sfera unitaria otteniamo quanto voluto.

Veri¯chiamo la (). Segue dalla () che T µe lineare e continuo. Ci rimande da provare

che fTngn2IN converge verso T in L(E,F) e quindi ¯ssato un 0 dobbiamo provare che

9 2 IN t.c. kTn ¡ TkL(EF) · 8n ¸ . Per ipotesi fTngn2IN µe di Cauchy e quindi in

corrispondenza ad , esplicitando al solito la de¯nizione di norma opertoriale si ha:

9 2 IN tc kTn()¡ Tm()kFkkE

· 8 2 E n fEg e 8nm ¸

119

per la continuit¶a della norma, tenendo ¯sso n e facendo il limite per m! 1, e

successivamente passando al sup su E n fEg otteniamo quanto voluto.

Veri¯chiamo la (). Facciamo uso del corollario 1.2.1 e quindi presa una succ. fkgk2IN

in D convergente ad un 2E proviamo che 2D. Dobbiamo provare che la succ.

fTn()gn2IN converge a T() e quindi ¯ssiamo un 0 dobbiamo provare che 9 2 IN

t.c. kTn()¡ T()kF · 8n ¸ . Per ipotesi la succ. fTngn2IN µe limitata e quindi:

9M 0 tc kTnkL(EF) ·M 8n 2 IN (2.46)

Osserviamo che:

kTn()¡ T()kF = kTn()¡ Tn(k) + Tn(k)¡ T(k) + T(k)¡ T()kF · (2.47)

· kTn()¡ Tn(k)kF + kTn(k)¡ T(k)kF + kT(k)¡ T()kF =

= kTn( ¡ k)kF + kTn(k)¡ T(k)kF + kT(k ¡ )kF 8n k 2 IN

Andiamo a maggiorare separatamente le tre quantit¶a. Essendo i Tn continui, per il

teorema 2.2.5 e per la 2.46 segue che:

kTn( ¡ k)kF · kTnkL(EF)k ¡ kkE ·Mk ¡ kkE 8n k 2 IN (2.48)

poich¶e per ogni k 2 IN k 2 D ) che per ogni k 2 IN la successionefTn(k)gn2IN µe

convergente verso T(k) e quindi in corrispondenza della quantit¶a2 0 si ha che:

8k 2 IN 9k 2 IN tc kTn(k)¡ T(k)k ·

28n ¸ k (2.49)

Per ipotesi T 2 L(EF), e quindi segue dal teorema 2.2.5 che:

kT(¡ k)kF · kTkL(EF)k¡ kkE 8k 2 IN (2.50)

120

E quindi maggiorando la 2.47 con 2.48, 2.49 e 2.50 si ha:

kTn()¡ T()kF · Mk ¡ kkE +

2+ kTkL(EF)k ¡ kkE = (2.51)

= (M+ kTkL(EF))k ¡ kkE +

28k 2 IN e 8n ¸ k

poniamo la C:=M+kTkL(EF) e osserviamo che la successione fkgk2IN µe convergente ad

e quindi in corrispondenza della quantit¶a 2C

0:

9~k 2 IN tc k ¡ kkE ·

2C8~k ¸ k

e da quasta possiamo maggiorare la 2.51 e otteniamo:

kTn()¡T()kF · C

2C+

2= 8k ¸ ~k e 8n ¸ k

¯ssato un k ¸ ~k evidentemente basta scegliere := k ed otteniamo quanto voluto.

Teorema 2.5.1

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato e sia (F,k ¢ kF) uno spazio di Banach

Ts: (L(EF) k ¢ kLEF) µe di Banach

Dim

Sia fTngn2IN una succ. di Cauchy in L(E,F), e dimostriamo quindi che converge ad un

operatore di L(E,F). Per la proprietµa 1.2.5 fTngn2IN µe limitata. Segue dalla proprietµa

2.5.2 che per ogni ¯ssato 2E la succ. fTn()gn2IN µe di Cauchy in F che µe per ipotesi

completo e quindi esiste un vettore di F che indichiamo con T() che µe il limite di tale

succ.. E pertanto resta de¯nito l'operatore T : E ! F che ad ogni 2E associa il limite

T() della succ. fTn()gn2IN. L'operatore T µe ben de¯nito, poich¶e lo spazio d'arrivo F

µe di Hausdor® e quindi in esso vale l'unicit¶a del limite. Quindi per costruzione la succ.

fTngn2IN converge puntualmente a T, e pertanto segue direttamente dalla proprietµa 2.5.2

che T2 L(E,F) e che fTngn2IN converge a T nello spazio normato L(E,F).

121

Corollario 2.5.1

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato

Ts: E¤ µe di Banach

Teorema 2.5.2

Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso di Hausdor® e E 6= fEg

Ts: E¤ µe un sottospazio totale di E non banale

Dim

Preliminarmente facciamo osservare che:

8 2 E n fEg 9 2 E¤ tc () 6= 0 (2.52)

Fissiamo un qualunque 2 E n fEg. Per il teorema 1.3.12 9G famiglia di seminorme su E

inducente la topologia di E che per la proprietµa 1.3.14 sono pure continue. Per il teorema

1.3.13 9 2 G t.c. () 0 e quindi per il corollario 2.4.3 segue che 9 2 E0 tc () =

() 0 ed µe maggiorato in modulo da su tutto E e questo ci dice che il funzionale

µe continuo, infatti per la proprietµa 1.2.9 la semniorma µe sicuramente limitata su un

intorno dell'origine e quindi anche µe limitato su tale intorno e pertanto per il teorema

2.2.2 si ottiene quanto voluto. Essendo per ipotesi E 6= fEg la 2.52 ci dice imediatamente

che E¤ 6= fE¤g. Proviamo che E¤ µe totale su E. Sia 2E t.c. () = 0 8 2 E¤, allora

per la 2.52 deve necessariamente essere che = E.

Lemma 2.5.1

Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor® con (E)=n

Ts: Esiste una norma su E inducente la topologia di E

Dim

122

Facciamo uso del teorema 1.3.20 e dimostriamo quindi che esiste un intorno dell'origine

assolutamente convesso e limitato. Consideriamo IKn munito della norma canonica:

k(1 n)kIKn :=nX

i=1

jij 8(1 n) 2 IKn

Sia 1 n 2E una base di Hamel per E e consideriamo l'operatore:

© : IKn ! E con ©(1 n) :=nX

i=1

ii 8(1 n) 2 IKn

che si veri¯ca facilmente essere lineare. Veri¯chiamo che © µe continuo. Fissato un

2E a tale scopo dimostriamo preliminarmente che l'operatore f : IK ! E con

f() := 8 2 IK µe continuo. Consideriamo la funzione g : IK ! IK £ E con

g() := ( ) 8 2 IK che µe continua per il teorema 1.2.16. Consideriamo inoltre

l'operatore continuo prodotto : IK £ E ! E con ( ) := 8( ) 2 IK £ E. Si

osserva allora che f = ± g e quindi f µe continuo in quanto composizione di funzioni

continue. Per ogni ¯ssato i = 1 n consideriamo l'operatore fi : IK ! E con

f() := i 8 2 IK che per quanto suddetto µe continuo e andiamo a de¯nire l'operatore

h : IKn ! En con h(1 n) := (f1(1) fn(n)) 8(1 n) 2 IKn che µe continuo

per il teorema 1.2.17 e quindi se consideriamo l'operatore continuo somma : En ! E

con (1 n) :=Pni=1 i 8(1 ) 2 IKn allora risulta evidente che © := ± h

e pertanto © µe continuo in quanto composizione di funzioni continue. Poniamo A :=

(IKn 1) che µe quindi un limitato di IKn. Ci proponaimo di dimostrare che ©(A) µe un

intorno di limitato e assolotamente convesso. Per la proprietµa 2.2.1 e per la proprietµa

1.4.8 segue che ©(A) µe limitato e assolutamente convesso. Chiaramente E 2 ©(A), infatti

IKn 2A segue allora dalla linearit¶a di © che ©(IKn) = E ) E 2 ©(A). Ci rimane

da dimostrare che ©(A) µe un intorno di E e quindi dobbiamo dimostrare che 9V µ E

123

intorno di E t.c. Vµ ©(A). Consideriamo la frontiera A che µe un chiuso ed µe pure

limitato essendo A limitato ed inoltre tenendo conto dell proprietµa 1.3.16 osserviamo che:

A = An(A) = (IKn 1) n (IKn 1) =((1 n) 2 IKn :

nX

i=1

jij = 1)

Per il teorema 1.3.21 la frontiera A µe un compatto e quindi essendo l'operatore

© continuo, segue allora dalla proprietµa 1.2.2 che l'insieme ©(A) µe un compatto.

Banalmente il vettore E 62 ©(A) poich¶e per de¯nizione ©(A) = fPni=1 ii :

(1 n) 2 IKn tc Pni=1 jij = 1g e quindi essendo per ipotesi E di Hausdor® allora:

8 2 ©(A) 9U int aperto di e 9V int di E equil tc U \ V = ;

Se andiamo a considerare la famiglia fUg2©(A), questa µe chiaramente per costruzione

un ricoprimento aperto di ©(A) che µe compatto e quindi:

91 m 2 ©(A) tc ©(A) µm[

i=1

Ui (2.53)

Poniamo V =Tni=1Vi che µe quindi un intorno equilibrato di E ed ha la proprietµa che

non interseca il trasformato della frontiera di A cioµe:

V \ ©(A) = ; (2.54)

infatti per costruzione si ha Vi\Ui = ; 8i = 1 m ) V\Ui = ; 8i = 1 m )

V \ Smi=1Ui = ; e quindi per la 2.53 si ha la 2.54. A questo punto vogliamo fare vedere

che Vµ ©(A). Supponiamo per assurdo che 90 2V t.c. 0 62 ©(A). Tale vettore 0 avr¶a

una sua rappresentazione rispetto alla base di Hamel 1 n, cioµe:

91 n 2 IK tc 0 =nX

i=1

ii

124

Si osserva che essendo 0 62 ©(A) allora necessariamente:

nX

i=1

jij ¸ 1 (2.55)

Vogliamo trovare una contraddizione con la 2.54, cioµe vogliamo trovare un punto 2E

t.c. 2V e 2 ©(A). Andiamo a costruire tale punto. Scegliamo:

:=nX

i=1

iPnj=1 jjj

i

µe ovvio che¯̄¯̄Pn

i=1iPn

j=1jjj

¯̄¯̄ = 1 e quindi 2 ©(A). Osserviamo adesso che:

:=nX

i=1

iPnj=1 jjj

i =1

Pnj=1 jjj

nX

i=1

ii =1

Pnj=1 jjj

0

per la 2.55 e ricordando che 0 2V e che V µe equilibrato si ha che 2V. E quindi

2 V \ ©(A) che come suddetto µe una contraddizione da cui segue che Vµ ©(A).

Teorema 2.5.3

Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor® di dimensione ¯nita

Ts: L(EF) = (EF)

Dim

Dobbiamo dimostrare che (EF) µ L(EF) e a tale proposito vogliamo fare osservare

preliminarmente che ogni funzionale lineare su E µe continuo. Per il lemma 2.5.1 in

particolare lo spazio E µe localmente convesso segue allora dal teorema 2.5.2 che E¤ µe

un sottospazio totale su E e pertanto segue dal teorema 1.4.16 che E0 = E¤. Fissiamo

un qualunque T2 (EF) e siano 1 n 2 E una base di Hamel per E allora per il

teorema 1.4.12 sappiamo che esistono 1 n funzionali lineari su E che per quanto

suddetto sono pure continui che ammettono 1 n come sistema biortogonale. Per il

125

corollario 1.4.16 e per la linearitµa di T osserviamo che:

T() = T

ÃnX

i=1

i()i

!=

nX

i=1

i()T(i) 8 2 E

e pertanto segue dalla proprietµa 1.3.8 che T2 L(EF).

2.6 Anello degli operatori lineari e continui. Criteri

sull'inversa di un operatore lineare. Teorema

di Banach. Metodo delle approssimazioni

successive

De¯nizione 2.6.1

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato. Presi S,T2 L(E,E) allora per la proprietµa 1.4.5

segue che S±T,T±S2 L(E,E). Per comodit¶a scriveremo ST in luogo di S±T. Si veri¯ca

allora immediatamente che lo spazio L(E,E) munito dell'operazione usuale di somma tra

operatori lineari e dell'operazione di prodotto de¯nita dalla composizione risulta essere

un anello cioµe (L(E,E),+,±) µe un anello. Osserviamo che banalmente E µe un operatore

lineare e continuo e che per de¯nizione TE = ET = T e quindi evidentemente E

µe l'elemento unitario di L(E,E) che pertanto risulta essere un anello unitario. Fissato

T2 L(E,E) e n 2 IN n f0g denotiamo allora con Tn il prodotto n volte di T e per

convenzione poniamo T0 = E. Fissato T2 L(E,E) e m n 2 IN n f0g da quanto detto

segue immediatamente che TmTn = Tm+n.

Propriet¶a 2.6.1

126

Sia (E,k ¢ kE), (F,k ¢ kF) e (G,k ¢ kG) tre spazi normati; siano S2 L(E,F) e T2 L(F,G)

Ts: kT ± SkL(EG) · kTkL(FG)kSkL(EF)

Propriet¶a 2.6.2

Siano (E,k ¢ kE) uno spazio normato; sia T2 L(E,E); sia n2 IN

Ts: kTnkL(EE) · kTknL(EE)

Dim

Conseguenza immediata della proprietµa 2.6.1 e del principio d'induzione.

Teorema 2.6.1

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E) e poniamo T = infn2INnf0g

n

qkTnkL(EE)

Ts: 9 limn!1

nq

kTnkL(EE) = T e se T 1 allora1X

n=0

Tn µe convergente in (L(E,E),k ¢kL(EE))

Dim

Fissato un 0 dobbiamo provare che:

9 2 IN tc T ¡ n

qkTnkL(EE) T + 8n ¸

Per la seconda propriet¶a dell'estremo inferiore in corrispondenza ad 0 segue che:

9m 2 IN n f0g tc m

qkTmkL(EE) T +

2(2.56)

Poniamo:

M := maxfkT0kL(EE)kTkL(EE) kTm¡1kL(EE)g

Sappiamo che:

8n ¸ m 9kn ln interi con kn ¸ 1 e 0 · ln · m¡ 1 tc n = knm+ ln (2.57)

127

si fa osservare che per costruzione la successione flngn2IN µe limitata. Per la 2.57, per la

propriet¶a 2.6.1, per la propriet¶a 2.6.2 e per la 2.56 osserviamo che:

n

qkTnkL(EE) = n

qkTknm+lnkL(EE) = n

qkTknmTlnkL(EE) · (2.58)

· nq

kTknmkL(EE)kTlnkL(EE) = nq

kTknmkL(EE) nq

kTlnkL(EE) =

= kTknmk1nL(EE)kTlnk

1nL(EE) = k(Tm)knk

1nL(EE)kTlnk

1nL(EE) ·

· kTmkknn

L(EE)M1n

µT +

2

¶ knmn

M1n =

µT +

2

¶n¡lnn

M1n 8n ¸ m

Banalmente:

limn!1

µT +

2

¶ n¡lnn

M1n = lim

n!1

µT +

2

¶n¡lnn

limn!1

M1n =

µT +

2

¶1 = T +

2

e quindi in corrispondenza alla quantit¶a 2 0 si ha che:

9¤ 2 IN tcµT +

2

¶¡

2µT +

2

¶n¡lnn

M1n

µT +

2

¶+

28n ¸ ¤

segue:µT +

2

¶n¡lnn

M1n T + 8n ¸ ¤ (2.59)

In de¯nitiva posto := maxfm ¤g per la 2.58 e per la 2.59 otteniamo che:

T ¡ T = infn2INnf0g

nq

kTnkL(EE) · nq

kTnkL(EE) ·µT +

2

¶ n¡lnn

M1n

T + 8n ¸

come volevasi. Supponiamo adesso che T 1 segue allora dal criterio della radice che

la serie reale a termini non negativiP1n=0 kTnkL(EE) µe convergente e quindi dal teorema

2.5.1 e dal teorema 1.3.22 segue che la serieP1n=0T

n µe convergente.

Corollario 2.6.1

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E)

128

Ts:1X

n=0

Tn µe convergente in (L(E,E),k ¢ kL(EE)) , 9m 2 IN n f0g tc kTmkL(EE) 1

Dim )

Per il teorema 1.3.16 e per la proprietµa 1.3.9 segue che limn!1 kTnkL(EE) = 0 e quindi in

corrispondenza ad 1 si ha che esiste 2 IN n f0g tale che ¡ 1 kTnkL(EE) 1 8n ¸

e pertanto per un qualunque m ¸ si ottiene la tesi.

Dim (

Tenendo conto dell'ipotesi osserviamo che:

infn2INnf0g

nq

kTnkL(EE) · mq

kTmkL(EE) mp1 = 1

e quindi per il teorema 2.6.1 segue la tesi.

A®rontiamo il problema dell'inversione di un operatore lineare.

Teorema 2.6.2

Siano (E,k ¢ kE) e (F,k ¢ kF) due spazi normati; sia T2 (E,F) surgettivo

Ts: 9T¡1 2 L(FE) , 9k 0 tc kkkE · kT()kF 8 2 E

Dim )

Preso un k 0 tale che kT¡1kL(FE) · 1kallora per il teorema 2.2.5 segue che:

kkkE = kkT¡1(T())kE · kkT¡1kL(FE)kT()kF · kT()kF 8 2 E

Dim (

Ovviamente T µe biunivoco infatti per ipotesi µe surgettivo ed inoltre:

kT(1)¡ T(1)kF = kT(1 ¡ 1)kF ¸ kk1 ¡ 2kE 0 81 2 2 E con 1 6= 2

e quindi µe anche iniettivo. Ci rimane da provare che T¡1 µe continuo. Dall'ipotesi si ha:

kT¡1()kE =1

kkkT¡1()kE · 1

kkT(T¡1())kF =

1

kkkF 8 2 F

129

e quindi applicando il teorema 2.2.5 otteniamo la continuit¶a di T¡1.

Teorema 2.6.3 (di Banach)

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E)


() Se 9m 2 IN t.c. kTmkL(EE) 1 allora 9(E ¡T)¡1 2 L(EE) e (E ¡T)¡1 =1X

n=0

Tn

() Se kTkL(EE) 1 allora k(E ¡ T)¡1kL(EE) · 1

1¡ kTkL(EE)Dim

Veri¯chiamo la (). Per il corollario 2.6.1 esiste S 2 L(EE) tc P1n=0T

n = S. Vogliamo

provare che l'operatore somma S µe l'inverso di E ¡ T cioµe che S=(E ¡ T)¡1 e quindi

dobbiamo provare che S(E ¡ T) = (E ¡ T)S = E. Osserviamo che:

S(E ¡ T) =

Ã 1X

n=0

Tn!(E ¡ T) = (E +T + ¢ ¢ ¢+Tn + ¢ ¢ ¢)(E ¡ T) =

= (E +T+ ¢ ¢ ¢+Tn + ¢ ¢ ¢)¡ (T + T2 + ¢ ¢ ¢+Tn+1 + ¢ ¢ ¢) = E

Analogamente si dimostra che (E ¡ T)S = E.

Veri¯chiamo la (). Essendo kTkL(EE) 1 allora sappiamo che la serie geometrica:

1X

n=0

kTknL(EE) =1

1¡ kTkL(EE)(2.60)

Per la (), per il teorema 1.2.7, per la proprietµa 2.6.2 e per la 2.60 segue che:

k(E ¡T)¡1kL(EE) =

°°°°°1X

n=0

Tn°°°°°L(EE)

=

°°°°° limk!1

kX

n=0

Tn°°°°°L(EE)

= limk!1

°°°°°kX

n=0

Tn°°°°°L(EE)

·

· limk!1

kX

n=0

kTnkL(EE) · limk!1

kX

n=0

kTknL(EE) =1X

n=0

kTknL(EE) =

=1

1¡ kTkL(EE)

130

Il teorema di Banach mostra che un operatore E ¡ T che di®erisce poco

dall'operatore identit¶a E che ha inverso continuo (¡1E = E), ha esso stesso un inverso

continuo. Questo fatto µe suscettibile di generalizzazione.

Teorema 2.6.4

Siano (E,k ¢ kE) ed (F,k ¢ kF) due spazi di Banach; siano S,T2 L(E,F) e supponiamo che

9S¡1 2 L(F,E) e che kS¡1kL(FE)kTkL(EF) 1

Ts: Valgono allora i seguenti due fatti:

() 9(S + T)¡1 2 L(FE)

() k(S + T)¡1kL(FE) · kS¡1kL(FE)1¡ kS¡1TkL(EE)

· kS¡1kL(FE)1¡ kS¡1kL(FE)kTkL(EF)

Dim

Veri¯chiamo la (). Consideriamo l'operatore:

U = S¡1(S + T) = E + S¡1T (2.61)

per costruzione U2 L(E,E). Per la proprietµa 2.6.1 e per l'ipotesi osserviamo che:

k ¡ S¡1TkL(EE) = kS¡1TkL(EE) · kS¡1kL(FE)kTkL(EF) 1

allora dal teorema 2.6.3 segue che:

9U¡1 2 L(EE) tc kU¡1kL(FE) · 1

1¡ kS¡1TkL(EE)(2.62)

Consideriamo l'operatore:

V = U¡1S¡1 (2.63)

che per costruzione appartiene a L(F,E), e dimostriamo quindi che:

V = (S + T)¡1 (2.64)

131

cio¶e che (S + T)V = F e che V(S + T) = E. Per la 2.61 e per la 2.63 segue che:

(S + T)V = F(S + T)V = SS¡1(S + T)V = SUV = SUU¡1S¡1 = SS¡1 = F

Per la 2.63 e per la 2.61 segue che:

V(S + T) = U¡1S¡1(S + T) = U¡1U = E

Veri¯chiamo la (). Per la 2.64, per la 2.63, per la proprietµa 2.6.1 e per la 2.62 segue che:

k(S + T)¡1kL(FE) = kVkL(FE) = kU¡1S¡1kL(FE) · (2.65)

· kU¡1kL(EE)kS¡1kL(FE) · kS¡1kL(FE)1¡ kS¡1TkL(EE)

Per la proprietµa 2.6.1 segue che kS¡1TkL(EE) · kS¡1kL(FE)kTkL(EF) ) 1 ¡

kS¡1kL(FE)kTkL(EF) · 1¡kS¡1TkL(EE) e quindi passando al reciproco e successivamente

maggiorando la 2.65 si ottiene la catena di disuguaglianze promessa dalla tesi.

De¯nizione 2.6.2

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato; sia T2 L(E,E) e consideriamo l'equazione:

¡ T() = (2.66)

dove 2E con assegnato ed µe l'elemento cercato. Uno dei metodi piµu di®usi di

ricerca delle soluzioni dell'equazione 2.66 µe il cosiddettometodo delle approssimazioni

successive, il quale consiste nel costruire, prendendo un elemento arbitrario 0 2E detto

approssimazione iniziale, una successione fngn2IN con:

1 := +T(0)

2 := +T(1)

132

3 := +T(2)

......

n+1 := +T(n)

dette soluzioni approssimate. Se si riesce a costruire una successione fngn2IN di

soluzioni approssimative convergente ad un certo ¤ 2E allora evidentemente tale ¤ µe

soluzione dell'equazione 2.66, infatti per costruzione:

n+1 = +T(n)

e quindi per il teorema 1.2.7 passando al limite per n ! 1 si ottiene:

¤ = +T(¤)

In tal caso si dice che il metodo delle approssimazioni successive per l'equazione 2.66

iniziato dall'elemento 0 converge verso la soluzione dell'equazione 2.66.

Propriet¶a 2.6.3

Sia (E,k¢kE) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E); consideriamo l'equazione ¡T() =

dove 2E con assegnato ed µe l'elemento incognito; sia 0 2E


() Se fngn2IN µe la successione ordinaria di soluzioni approssimative che inizia da 0

allora n =n¡1X

k=0

Tk() + Tn(0) 8n 2 IN n f0g

() Se 0 µe una soluzione dell'eq. data e fngn2IN µe la successione ordinaria di soluzioni

approssimative che inizia da 0 allora n = 0 8n 2 IN

() Se 0 µe una soluzione dell'eq. data allora 0 =n¡1X

k=0

Tk() + Tn(0) 8n 2 IN n f0g

Dim

133

Veri¯chiamo la (). Procediamo per induzione. L'asserto µe vero per n=1, infatti:

1 = +T(0) = T0() + T(0)

Veri¯chiamo che l'asserto µe vero per n=2. Per la linearit¶a di T segue che:

2 = +T(1) = +T( +T(0)) = +T() + T(T(0)) =

= T0() + T() + T2(0) =2¡1X

k=0

Tk() + T2(0)

Supponiamo adesso che l'asserto sia vero per n e dimostriamo che µe vero anche per n+1.

Per l'ipotesi induttiva e per la linearit¶a di T segue che:

n+1 = +T(n) = +T

Ãn¡1X

k=0

Tk() + Tn(0)

!= +

n¡1X

k=0

T(Tk()) + T(Tn(0)) =

= T0() +n¡1X

k=0

Tk+1() + Tn+1(0) = T0() +

nX

k=1

Tk() + Tn+1(0) =

=nX

k=0

Tk() + Tn+1(0)

Veri¯chiamo la (). Tenuto conto del fatto che 0 µe soluzione e di conseguenza:

T(0) = 0 ¡ (2.67)

procediamo per induzione. Dimostriamo l'asserto nel caso n=1. Per la 2.67 segue che:

1 = +T(0) = + 0 ¡ = 0

Dimostriamo l'asserto nel caso n=2. Per il caso n=1 e per la 2.67 segue che:

2 = +T(1) = +T(0) = + 0 ¡ = 0

Supponiamo adesso che l'asserto sia vero per n=k e dimostriamo che µe vero anche per

n=k+1. Per l'ipotesi induttiva e per la 2.67 segue che:

k+1 = +T(k) = +T(0) = + 0 ¡ = 0

Veri¯chiamo la (). Conseguenza immediata della () e dalla ().

134

Teorema 2.6.5

Sia (E,k¢kE) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E); consideriamo l'equazione ¡T() =

dove 2E con assegnato ed µe l'elemento incognito

Ts: Valgonoa allora le seguenti a®ermazioni:

() Se 9m 2 IN tc kTmkL(EE) 1 allora quale che si 0 2E approssimazione iniziale, il

metodo delle approssimazioni successive converge verso l'unica soluzione ¤ 2E ed

inoltre vale la stima k¤ ¡nkE · k(E ¡T)¡1kL(EE)kTnkL(EE)k1 ¡ 0kE 8n 2 IN

() Se kTkL(EE) 1 allora k¤ ¡ nkE ·kTknL(EE)

1¡ kTkL(EE)k1 ¡ 0kE 8n 2 IN

Dim

Veri¯chiamo la (). Evidentemente l'insieme delle soluzioni dell'equazione:

¡ T() = (2.68)

µe (E ¡ )¡1(). Per il teorema 2.6.3 segue che:

9(E ¡ T)¡1 2 L(EE) e (E ¡ T)¡1 =1X

n=0

Tn (2.69)

poich¶e E¡T ammette inversa allora µe biunivoco e quindi l'insieme (E ¡ )¡1() µe un

singoletto cioµe l'equazione 2.68 ammette soluzione unica. E quindi posto:

¤ := (E ¡T)¡1()

che per quanto detto risulta essere soluzione unica dell'equazione 2.68. Dobbiamo

dimostrare che la succ. delle soluzione approssimative fngn2IN converge verso ¤.

Per il corollario 2.6.1 la serieP1n=0T

n µe convergente, segue dalla proprietµa 1.3.9 che

la successione fTngn2IN converge all'operatore nullo, segue dalla propriet¶a 2.5.2 che la

successione fTngn2IN converge puntualmente all'operatore nullo e quindi in particolare:

limn!1

Tn(0) = E (2.70)

135

E quindi per la 2.69, per la 2.70, per la proprietµa 1.3.6 e per la proprietµa 2.6.3 segue che:

¤ = (E ¡ T)¡1() =1X

k=0

Tk() = limn!1

n¡1X

k=0

Tk() = limn!1

n¡1X

k=0

Tk() + E =

= limn!1

n¡1X

k=0

Tk() + limn!1

Tn(0) = limn!1

Ãn¡1X

k=0

Tk() + Tn(0)

!= lim

n!1n

Ci rimande da dimostrare la stima promessa nella tesi. Per la proprietµa 2.6.3 e per il

teorema 2.2.5 segue che:

k¤ ¡ nkE =

°°°°°

Ãn¡1X

k=0

Tk() + Tn(¤)

!¡

Ãn¡1X

k=0

Tk() + Tn(0)

!°°°°°E

= (2.71)

= kTn(¤)¡Tn(0)kE = kTn(¤ ¡ 0)kE ·

· kTnkL(EE)k¤ ¡ 0kE

Posto ~ := ¤ ¡ 0, per la linearit¶a di T, per il teorema 2.2.5 e tenuto conto del fatto che

¤ µe soluzione dell'equazione 2.68, osserviamo che:

(E ¡ T)(~) = E(~) + T(~) = ~+T(~) = ¤ ¡ 0 ¡ T(¤ ¡ 0) =

= ¤ ¡ 0 ¡ T(¤) + T(0) = (¤ ¡ T(¤)) + T(0) ¡ 0 =

= +T(0)¡ 0 = 1 ¡ 0

segue che:

~ = (E ¡ T)¡1(1 ¡ 0) (2.72)

E quindi in conclusione per la 2.71, per la 2.72 e per il teorema 2.2.5 otteniamo che:

k¤ ¡ nkE · kTnkL(EE)k~kE = kTnkL(EE)k(E ¡ T)¡1(1 ¡ 0)kE ·

· kTnkL(EE)k(E ¡ T)¡1kL(EE)k1 ¡ 0kE

Veri¯chiamo la (). Conseguenzza della (), del teorema 2.6.3 e della proprietµa 2.6.2.

136

2.7 Teorema della mappa aperta. Teorema

dell'inversa continua. Teorema del gra¯co chiuso

Trattiamo adesso il fondamentale teorema della mappa aperta dovuto al matematico

polacco Stefan Banach [8] nella sua forma piµu classica, che costituisce uno dei capisaldi di

tutta l'analisi funzionale lineare. Propedeutici alla dimostrazione del teorema suddetto

sono i seguenti due lemmi.

Lemma 2.7.1

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T:E!F un operatore lineare t.c. T(E)

di II-categoria; sia VµE un intorno di E

Ts: T(V) µe un intorno di F

Dim

Per ipotesi V µe un intorno di E e quindi per la proprietµa 1.3.5 segue che:

9W µ E intorno di E equilibrato tcW+W µ V (2.73)

Consideriamo la succ. di insiemi fnWgn2IN. Vogliamo allora fare vedere che:

E =[

n2INnW (2.74)

Chiaramente l'inclusioneSn2IN nW µE µe ovvia. Viceversa sia 2E, poich¶e W µe un

intorno di E allora per la proprietµa 1.3.3 W µe radiale in E ) 9 0 t.c. 2W

8 2 [0 ] e quindi preso n 2 IN t.c. 1n segue che:

= n

n2 nW µ

[

n2INnW

137

E pertanto dalla 2.74 e per la linearit¶a di T si ha:

T(E) = T

Ã [

n2INnW

!=

[

n2INnT(W)

e questo signi¯ca che T(E) µe unione dei membri della succ. fnT(W)gn2IN. Per ipotesi

il codominio di T µe di II-categoria in F cioµe T(E) non µe unione numerabile di una succ.

di insiemi rari ) che 9n 2 IN t.c. l'insieme nT(W) non µe raro e questo per la proprietµa

1.3.7 equivale a dire che l'insieme T(W) non µe raro cioµe (T(W)) 6= ;. Osserviamo che

banalmente T(W) interseca l'interno della chiusura di T(W) infatti essendo (T(W)) µ

T(W) allora T(W) \ (T(W)) = (T(W)) 6= ; e quindi ricordando che per una

proprietµa nota di topologia che ci dice che se un aperto interseca la chiusura di un

insieme allora interseca anche l'insieme, segue che T(W) \ int(T(W)) 6= ;. Sia quindi

0 2 T(W) \ int(T(W)) ) 0 2 T(W) e 0 2 (T(W)). Poich¶e 0 2 (T(W)) )

che T(W)¡ 0 µe intorno di F. Per la linearit¶a di T e per la 2.73 osserviamo che:

T(W)¡ 0 µ T(W)¡ T(W) = T(W ¡W) = T(W+W) µ T(V)

allora passando alle chiusure per la proprietµa 1.3.7 otteniamo che T(W) ¡ 0 µ T(V) e

pertanto essendo T(W)¡ 0 un intorno di F segue che T(V) µe intorno di F.

Lemma 2.7.2

Sia E uno spazio di Banach; sia F uno spazi normato; sia T:E!F un operatore lineare a

gra¯co chiuso t.c. T((E 1)) µe intorno di F

Ts: T((E 1)) µe intorno di F

Dim

Per ipotesi T((E 1)) µe un intorno di F e quindi:

9 0 tc (F ) µ T((E 1)) (2.75)

138

Il nostro scopo µe fare vedere che T((E 1)) µe un intorno di F e quindi dobbiamo trovare

una opportuna sfera centrata in F contenuta in T((E 1)), ci proponiamo allora di

provare che ³F

2

´µ T((E 1)). Prendiamo un arbitrario vettore 2

³F

2

é

facciamo vedere quindi che 2 T(B(E 1)) e per fare ciµo ci proponiamo di costruire per

induzione una successione ordinaria fngnIN in E che soddisfa alle seguenti due proprietµa:

() knkE · 1

2n8n 2 IN

()

°°°°° ¡nX

i=1

T(i)

°°°°°F

·

2n+18n 2 IN

Per la linearit¶a di T, per la proprietµa 1.3.13 e per la proprietµa 1.3.7, moltiplicano ambo

i membri della 2.75 per 12si ha:

ÃF

2

!µ T

µµE

1

2

¶¶(2.76)

Dalla 2.76 per n=1 si ha ³F

2

´µ T

³

³E

12

´´) 2 T

³

³E

12

´´segue che ogni

intorno di interseca l'insieme T³

³E

12

´é quindi in particolare questo interseca la

sfera (chiusa) ³

4

é pertanto:

91 2 µE

1

2

¶tc k ¡T(1)kF ·

4

segue che il vettore ¡ T(1) 2 ³F

4

é poich¶e per la 2.76 con n=2 si ha

³F

4

´µ T

³

³E

14

´´) ¡ T(1) 2 T

³

³E

14

´é quindi con un discorso

identico al precedente, in corrispondenza della quantit¶a 8 0 si ha che:

92 2 µE

1

4

¶tc k ¡ T(1)¡ T(2)kF ·

8

segue che il vettore ¡ T(1) ¡ T(2) 2 ³F

8

é poich¶e per la 2.76 con n=3 si

ha ³F

8

´µ T

³

³E

18

´´) ¡ T(1) ¡ T(2) 2 T

³

³E

18

´é quindi in

139

corrispondenza della quantit¶a 16

0 si ha che:

93 2 µE

1

8

¶tc k ¡ T(1)¡ T(2)¡ T(3)kF ·

16

Supponiamo quindi che l'asserto sia vero per n¡1 con n3 (poich¶e per n=1,2,3

l'abbiamo provato direttamente) e dimostriamo che µe vero per n. L'ipotesi induttiva

¶e k ¡ Pn¡1i=1 T(i)kF ·

2n) che ¡ Pn¡1

i=1 T(i) 2 ³F

2n

é quindi per il solito

discorso, in corrispondenza della quantitµa 2n+1

0 si ha che:

9n 2 µE

1

2n

¶tc

°°°°° ¡nX

i=1

T(i)

°°°°°F

·

2n+1

E quindi per induzione abbiamo costruito la successione fngn2N in E suddetta,

soddisfacente alle proprietµa () e (). Per ogni ¯ssato n2 IN poniamo n :=Pni=1 i

e otteniamo cosµ³ una successione fngn2IN in E. Per la sub-additivitµa della norma, per la

() e ricordando che come noto le ridotte della serie geometrica costituiscono una succ.

crescente e che quindi possono essere maggiorati con la somma della serie, si ha che:

kn+p ¡ nkE =

°°°°°n+pX

i=1

i ¡nX

i=1

i

°°°°°E

=

°°°°°°

n+pX

i=n+1

i

°°°°°°E

·n+pX

i=n+1

kikE ·n+pX

i=n+1

1

2i=

=n+pX

i=0

1

2i¡

nX

i=0

1

2i· 1

1¡ 12

¡nX

i=0

1

2i=

1

1¡ 12

¡1¡

³12

ń+1

1¡ 12

=

=1¡ 1 +

³12

ń+1

1¡ 12

=

³12

ń+1

12

=1

2n8np 2 IN

e questo essendo la succ. f 12n

gn2IN in¯nitesima, per la proprietµa 1.2.6 ci dice proprio

che fngn2IN µe di Cauchy in E che µe di Banach per ipotesi e quindi esiste ~ 2E t.c.

limnÃ1 n = ~. Osserviamo che ~ 2 (E 1) infatti:

knkE =°°°°°nX

i=1

i

°°°°°E

·nX

i=1

kikE ·nX

i=1

1

2i= ¡1+

nX

i=0

1

2i· ¡1+ 1

1¡ 12

= ¡1+2 = 1 8n 2 IN

140

e questo ci dice che la successione fngn2IN convergente a ~, dimora nella sfera unitaria

chiusa (E 1) che µe un chiuso e quindi necessariamente per il corollario 1.2.1 deve essere

che il vettore ~ 2 (E 1). Adesso per la linearit¶a di T e per la (), osserviamo che:

k ¡ T(n)kF =°°°°° ¡T

ÃX

i=1

i

!°°°°°F

=

°°°°° ¡X

i=1

T(i)

°°°°°F

·

2n+18n 2 IN

e questo ci dice che passando al limite per n ! 1 la succ. fT(n)gn2IN converge ad .

Consideriamo adesso la succ. f(nT(n))gn2IN che per costruzione dimora in (T) ed

inoltre per il teorema 1.2.15 converge a (~ ), ed essendo per ipotesi (T) chiuso segue

allora dal corollario 1.2.1 che (~ ) 2 (T) cio¶e = T(~) e pertanto essendo ~ 2 (E 1)

allora 2 T((E 1)) come volevasi.

Teorema 2.7.1 (della mappa aperta)

Siano E ed F spazi di Banach; sia T:E!F un operatore lineare a gra¯co chiuso e suriettivo

Ts: T µe aperto

Dim

Per il teorema 1.2.22 la spazio F=T(E) µe di Baire e quindi in particolare µe di II-categoria,

segue allora dal lemma 2.7.1 che T((E 1)) µe un intorno di F e quindi per lemma 2.7.2

anche T((E 1)) ¶e un intorno di F e si conclude per il teorema 2.3.2 che T µe aperto.

Vediamo adesso alcune conseguenze notevoli del teorema della mappa aperta.

Teorema 2.7.2 (dell'inversa continua)

Siano E ed F due spazi di Banach; sia T:E!F un operatore lineare continuo e bigettivo

Ts: T µe un omeomor¯smo lineare

Dim

141

Per il teorema 1.2.19 segue che T µe a gra¯co chiuso, segue allora dal teorema 2.7.1 che T

µe aperto, e quindi per il teorema 1.2.8 si conclude che T µe un omeomor¯smo.

Teorema 2.7.3 (delle due norme)

Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su E che lo

rendono completo e tali che k ¢ k1 meno ¯ne di k ¢ k2

Ts: Le due norme k ¢ k1, k ¢ k2 sono equivalenti

Dim

Facciamo uso del corollario 1.2.2 e dimostriamo quindi che l'operatore identitµa E :

(E k ¢ k2) ! (E k ¢ k1) ¶e un omeomor¯smo. Teniamo presente che banalmente l'operatore

E µe lineare e bigettivo. Per ipotesi k ¢ k1 µe meno ¯ne di k ¢ k2 e questo per il teorema

1.2.12 equivale ad a®ermare che l'operatore identit¶a E µe continuo, siamo allora nelle

ipotesi del teorema 2.7.2 che ci assicura che E µe un omeomor¯smo.

Un'importante conseguenza del teorema dell'inversa continua µe il seguente teorema

detto del gra¯co chiuso, che µe un'altra pietra miliare dell'analisi funzionale lineare.

Teorema 2.7.4 (del gra¯co chiuso)

Siano E ed F due spazi di Banach; sia T:E!F un operatore lineare a gra¯co chiuso

Ts: T µe continuo

Dim

Consideriamo sullo spazio E£F la norma canonica:

k( )kE£F := maxfkkE kkFg 8( ) 2 E£ F

Essendo per ipotesi E ed F di Banach segue allora dal teorema 1.3.19 che lo spazio

prodotto (E£ Fk ¢kE£F) µe di Banach. Poniamo G := (T) che per il teorema 1.4.1 µe un

142

s.sp.vett. di E£F ed µe chiuso per ipotesi e quindi per la proprietµa 1.2.8 µe anche completo.

Consideriamo adesso la proiezione su E E : E£ F! E con E( ) = 8( ) 2 E£ F

che µe continua per la proprietµa 1.2.4 e poniamo © := EjG che µe banalmente un operatore

lineare e bigettivo ed inoltre µe continuo essendo la restrizione di una funzione continua. E

quindi segue dal teorema 2.7.2 che l'operatore ©¡1 : E ! G con ©¡1() = (T()) 8 2

E µe un operatore lineare e continuo. E pertanto dal teorema 2.2.5 e tenendo inoltre

presente la costruzione della norma k ¢ kG := k ¢ kE£FjG segue che:

kT()kF · maxfkkE kT()kFg = k(T())kG = k©¡1()kG ·

· k©¡1kL(EG)kkE 8 2 E

e quindi per il teorema 2.2.5 si conclude che T µe continuo.

Lemma 2.7.3

Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia : E !F funzione surgettiva, a gra¯co

convesso, aperta e ¡1() chiuso 8 2F

Ts: () µe chiuso

Dim

Dobbiamo dimostrare che () µe chiuso, e per fare ciµo dimostriamo che il suo

complementare µe un aperto, cioµe che µe intorno di ogni suo punto. Sia (0 0) 2

E£ F n () ) 0 62 ¡1(0). Per il teorema 2.1.1 segue che:

¡1(1) + (1¡ )¡1(2) µ ¡1(1 + (1¡ )2) 81 2 2 F e 8 2 [0 1] (2.77)

A®ermiamo e proviamo che:

9 2 ¡1(0) tc0 +

262 ¡1(0) (2.78)

143

Supponiamo per assurdo che:

0 +

22 ¡1(0) 8 2 ¡1(0) (2.79)

¯ssato ¤ 2 ¡1(0) allora0+¤

22 ¡1(0) ed ancora riapplicando la 2.79 si ha

02+

0+¤

42 ¡1(0) cioµe

30+¤

42 ¡1(0) ed ancora riapplicando la 2.79 si ha

02+ 30+¤

82

¡1(0) cioµe70+¤

82 ¡1(0) e quindi iterando il ragionamento si costruisce la succ.

n(2n¡1)0+¤

2n

on2IN

che per costruzione sta in ¡1(0), e per la continuitµa della somma e del

prodotto converge verso 0. E pertanto poich¶e per ipotesi ¡1(0) µe chiuso, si conclude

che 0 2 ¡1(0) e si perviene ad un assurdo. Essendo per ipotesi ¡1(0) un chiuso allora

per la 2.78 il vettore 0+2non µe di aderenza per ¡1(0) e quindi segue dall proprietµa

1.3.5 che esiste UµE intorno di E aperto ed equilibrato tale che:µ0 +

2+ U + U

¶\ ¡1(0) = ; (2.80)

Consideriamo l'insieme +U, che µe un intorno aperto di che interseca ¡1(0) (poich¶e

2 ( + U) \ ¡1(0)) e quindi essendo per ipotesi aperta, segue allora dal teorema

1.2.10, che 9V µF intorno di 0 tale che:

¡1() \ ( +U) 6= ; 8 2 V (2.81)

Consideriamo adesso l'insieme W := (0+U)£ (20 ¡ ) che µe ovviamente un intorno di

(0 0), ci proponiamo allora di provare che Wµ E£ Fn() e che quindi E£ Fn()

µe intorno di (0 0). Supponiamo per assurdo che 9( ) 2 W \ () e quindi:

2 ¡1() con = 0 + e = 20 ¡ per opportuni 2 U e 2 V (2.82)

poich¶e 2V allora per la 2.81 si che:

9 2 ¡1() tc = + ~ per un opportuno ~u 2 U (2.83)

144

Per la 2.77 e per la 2.82, si osserva che:

+

2=

2+

22 1

2¡1() +

1

2¡1() µ ¡1

µ +

2

¶= ¡1(0)

Ed ancora per la 2.82, per la 2.83 e tenendo inoltre presente che U µe equilibrato si ha:

+

2=

0 + + + ~

2=

0 +

2+

2+~

22 0 +

2+ U + U

per cui +2

2³0+2+U +U

´\ ¡1(0) e si perviene ad un assurdo per la 2.80.

Teorema 2.7.5 (Teorema della mappa aperta in forma generale)

Siano E ed F due spazi di Banach; sia T:E!F un operatore lineare suriettivo


(1) T µe continuo

(2) (T) µe chiuso

(3) T µe aperto e T¡1() chiuso 8 2F

Dim (1))(2)


Dim (2))(1)


Dim (2))(3)


Dim (3))(2)

Essendo per ipotesi T lineare, allora per il teorema 1.4.1 gr(T) µe un s.sp.vett. e quindi

in particolare convesso. E pertanto applicando di peso il lemma 2.7.3 si ha la tesi.

145

2.8 Teorema di Banach-Steinhaus. Principio

dell'uniforme limitatezza

Lemma 2.8.1 (di Osgood)

Sia X uno spazio topologico; sia ffigi2I una famiglia di funzione da X in IR, s.c.i. e

supponiamo inoltre che l'insieme A:=½ 2 X : sup

i2Ifi() +1

¾sia di II-categiria in X

Ts: 9 µX aperto non vuoto t.c. sup2

supi2Ifi() +1

Dim

Fissato n2 IN consideriamo l'insieme An := f 2 X : supi2I fi() · ng che per la proprietµa

1.2.13 µe un chiuso. Si veri¯ca facilmente che A =Sn2INAn e quindi essendo A di II-

categoria in X allora 9n 2 IN t.c. (An) 6= ; e poich¶e An = An ) (An) 6= ;.

Scegliamo allora := (An) e si ha supi2I fi() · n 8 2 := (An) µ An e questo

signi¯ca che sup2 supi2I fi() · n +1.

Teorema 2.8.1 (di Banach-Steinhaus)

Siano E ed F due spazi normati; sia Hµ L(E,F) non vuoto e supponiamo che l'insieme

A:=½ 2 E : sup

T2HkT()kF +1

¾sia di II-categiria in E

Ts: H µe limitato in L(E,F)

Dim

Dobbiamo provare che esiste K 0 tale che kTkL(EF) · K 8T 2 H. Consideriamo

la famiglia di funzioni reali fkT(¢)kFgT2H che sono continue essendo composizione di

funizoni continue segue allora dal lemma 2.8.1 che:

9 µ E aperto non vuoto tc M := sup2

supT2H

kT()kF = supT2H

sup2

kT()kF +1

Poich¶e µe non vuoto 90 2 ed essendo aperto allora sicuramente esiste 0 tale

146

che (0 ) µ . Per la linearitµa di T e per la proprietµa 1.3.13 segue che:

kTkL(EF) = sup2(E1)

kTkF =1

sup

2(E1)kT(0 + )¡ T(0)kF =

=1

sup

2(0)kT()¡ T(0)kF · 1

sup

2(0)kT()kF +

kT(0)kF

·

· 1

sup2

kT()kF +kT(0)kF

· M

+M

=2M

8T 2 H

e quindi posto K:=2Msi ottiene quanto voluto.

Teorema 2.8.2 (Principio dell'uniforme limitatezza)

Siano E uno spazio di Banach; sia F uno spazio normato; sia Hµ L(E,F) non vuoto

Ts: H µe limitato in L(E,F) , H() = fT() : T 2 Hg µe limitato in F 8 2E

Dim )

Per ipotesi 9M 0 tc kTkL( ) · M 8T 2 H e quindi per il teorema 2.2.5 segue che

kT()kF · MkkE 8 2 E e T 2 H e questa ci dice chiaramente che per ogni ¯ssato

2E, l'insieme H() µe limitato in F.

Dim (

Per ipotesi H() µe limitato in F 8 2 E cio¶e supT2H kT()kF +1 8 2 E e quindi

f 2 E : supT2H kTkF +1g = E e pertanto essendo E per il teorema 1.2.22 uno spazio

di Baire e quindi di II-categ. allora per il teorema 2.8.1 segue che H µe limitato in L(EF).

Teorema 2.8.3

Sia E uno spazio di Banach; sia F uno spazio normato; sia T 2 FE; sia fTngn2IN in L(E,F)


(1) La successione fTngn2IN converge puntualmente in E verso l'operatore T

(2) D =n 2 E : lim

n!1Tn() = T()

oµe denso, fTngn2IN µe limitata, T 2 L(E,F)

147

Dim (1))(2)

Banalmente D=E. Proviamo che fTngn2IN µe limitata e per fare ciµo adoperiamo il teorema

2.8.2. Poniamo H := fTn : n 2 INg e ¯ssiamo un 2E e proviamo quindi che H() :=

fTn() : n 2 INg µe limitato in F. Per ipotesi fTn()gn2IN µe converge e di conseguenza per

la proprietµa 1.2.5 µe pure limitata e questo signi¯ca proprio che l'insieme H() µe limitato

in F. Segue dalla proprietµa 2.5.2 che T 2 L(E,F).

Dim (2))(1)

Per ipotesi l'insieme D µe denso e per la proprietµa 2.5.2 µe chiuso e quindi la tesi.

Corollario 2.8.1

Siano E ed F due spazi di Banach; sia fTngn2IN una successione ordinaria in L(E,F)


(1) 9T 2L(E, F) t.c. fTngn2IN converge puntualmente in E verso T

(2) D = f 2 E : fTn()gn2IN convergenteg µe denso e fTngn2IN µe limitata

Dim (1))(2)


Dim (2))(1)

Per la linearitµa dei Tn e per la proprietµa 1.3.6 segue che D µe un s.sp.vett. di E. Per

ipotesi per ogni 2D la succ. fTn()gn2IN converge ad un vettore di F che per comoditµa

indichiamo con S(). Nasce cosµ³ l'operatore S:D!F che per costruzione µe il limite

puntuale della succ. fTnjDgn2IN e quindi per la proprietµa 2.5.2 segue che S 2 L(DF).

Per il teorema 2.4.2 9T 2 L(EF) t.c. TjD = S. E quindi in de¯nitiva la succ. fTngn2IN µe

limitata e per costruzione l'insieme degli 2E t.c. fTn()gn2IN converge a T() µe l'insieme

D segue allora direttamente dal Teorema 2.8.3 che fTngn2IN converge puntualmente a T.

148

2.9 Funzionali lineari e continui di uno spazio di

Hilbert e teorema di rappresentazione di Riesz

Propriet¶a 2.9.1

Sia H uno spazio a prodotto scalare; sia 0 2H e consideriamo il funzionale (¢) = (¢ 0)H

Ts: 2 H¤ e kkH¤ = k0kH

Dim

La linearit¶a di segue dalla de¯nizione 1.3.14 poich¶e la (1) ci dice per l'appunto che il

prodotto scalare µe lineare rispetto alla prima variabile. Per la proprietµa 1.3.18 e per il

teorema 1.2.18 segue che µe continuo. Ci rimane da provare che kkH¤ = k0kH. Se

0 = H allora l'uguaglianza µe banalmente vera, consideriamo quindi il caso 0 6= H.

Proviamo che kkH¤ · k0kH. Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz segue che:

j()j = j( 0)Hj ·q( )H

q(0 0)H = kkHk0kH · k0kH 8 2 H con kkH · 1

e quindi passando al sup sulla sfera unitaria a norma di de¯nizione otteniamo proprio

la disugaglianza suddetta. Viceversa proviamo che k0kH · kkH¤. Per il teorema 2.2.5

segue che j()j · kkH¤kkH 8 2 H e da questa per la linearitµa del funzionale in

corrispondenza del versore := 0k0kH otteniamo quanto voluto.

Nelle applicazioni della teoria generale riveste grande importanza la conoscenza

della forma generale dei funzionali lineari negli spazi concreti. Per forma generale dei

funzionali lineari di una data classe (il piµu delle volte si considera la classe di tutti i

funzionali lineari e continui in un dato spazio) si intende un'espressione analitica che

contiene parametri di vario genere (numeri, vettori, funzioni, ecc.) la quale, per valori

¯ssati dei parametri, d¶a un funzionale della classe data; inoltre i funzionali cosµ³ ottenuti

149

esauriscono tutti i funzionali considerati. Qui di seguito µe riportato uno dei piµu noti

teoremi di rappresentazione dovuto al matematico ungherese Frederic Riesz.

Teorema 2.9.1 (di rappresentazione Riesz)

Sia H uno spazio di Hilbert; sia 2 H¤

Ts: 9!0 2 H tc (¢) = (¢ 0)H

Dim

Se = H¤ allora banalmente basta scegliere 0 = H. Supponiamo che 6= H¤ . Poniamo

F:=() che per la proprietµa 1.4.2 µe un sottospazio vettoriale di H ed µe chiuso per

la continuitµa di segue allora dal teorema 1.3.23 che H = F © F? e quindi essendo per

il teorema 1.4.8 F di codimensione 1 allora necessariamente F? deve avere dimensione 1

cioµe 9 2 H n fHg tc F? = (fg). Consideriamo il funzionale (¢) := (¢ )H che

per la proprietµa 2.9.1 µe lineare e continuo. Si osserva che:

() µ () (2.84)

infatti se 2 () ) () = ( )H = 0 ) ( )H = 0 8 2 IK ) ( )H =

0 8 2 (fg) = F? ) 2 (F?)? segue dal teorema 1.3.23 che 2 F := ().

E quindi poich¶e vale la 2.84 allora per il teorema 1.4.10 segue che:

9 2 IK tc () = () = ( )H = ( )H 8 2 H

e pertanto basta scegliere 0 := . Ci rimane da provare l'unicitµa del vettore

rappresentante 0 di . Sia 1 2 H tale che (¢) = (¢ 1)H e proviamo quindi che

0 = 1. Poich¶e () = ( 0)H e () = ( 1)H 8 2 H ) ( 0)H = ( 1)H 8 2

H ) ( 0 ¡ 1)H = 0 8 2 H ) 0 ¡ 1 2 H? = fHg ) 0 ¡ 1 = H ) 0 = 1.

150

Teorema 2.9.2 (Identi¯caz. di uno sp. di Hilbert reale con il suo duale)

Sia H un IR-spazio di Hilbert e consideriamo l'operatore © : (Hk ¢ kH) ! (H¤ k ¢ k¤H)

tale che ad ogni ¯ssato 2 H fa corrispondere il funzionale reale lineare e continuo

©() : H ! IR con ©()(¢) := (¢ )H

Ts: © µe un'isometria lineare surgettiva

Dim

La suriettivit¶a di © µe immediata conseguenza del teorema 2.9.1. Veri¯chiamo che © µe

lineare. Nella de¯nzione 1.3.14 abbiamo osservato che in generale la funzione prodotto

scalare non µe lineare rispetto alla seconda variabile, ma per ipotesi H µe uno sp. a prodotto

scalare reale (cioµe IK = IR), e pertanto in tal caso la funzione prodotto scalare µe lineare

anche rispetto alla seconda variabile, per il fatto che il coniugato di un numero reale µe se

stesso. Siano 2 IR e 1 2 2 H si ha allora che:

©(1+2)() = ( 1+2)H = ( 1)H+( 2)H = ©(1)()+©(2)() 8 2 H

Ci rimane da provare che © µe un'isometria. Per la proprietµa 2.9.1 segue che:

k©()kH¤ = k(¢ )HkH¤ = kkH 8 2 H

segue allora dalla proprietµa 1.4.9 che © µe un'isometria.

Teorema 2.9.3

Posto H := IKn munito del prodotto scalare euclideo ( )H :=Pni=1 i 8 =

(1 n) = (1 n) 2 H; sia : H! IK un funzionale lineare

Ts: Valgono allora le seguenti due a®ermazioni:

() 9!a1 an 2 IK tc (1 n) = a11 + ¢ ¢ ¢+ an 8(1 n) 2H

() kkH¤ =q

ja1j2 + ¢ ¢ ¢+ janj2

151

Dim

Veri¯chiamo la (). Per il teorema 2.5.3 il funzionale lineare µe continuo e pertanto

segue direttamente dal teorema 2.9.1 che 9!(c1 cn) 2 IK tale che:

(1 n) = (1 c1 cn)H = 1c1 + ¢ ¢ ¢+ ncn 8 2 (1 n) 2 H

e quindi evidentemente per ottenere quanto voluto basta scegliere ai := ci 8i = 1 n.

Veri¯chiamo la (). Segue allora direttamente dalla proprietµa 2.9.1 che:

kkH¤ = k(c1 cn)kH =q

jc1j2 + ¢ ¢ ¢+ jcnj2

e quindi per ottenere quanto voluto basta osservare che:

jaij2 = aiai = ci ci = cici = jcij2 8i = 1 n

Lemma 2.9.1 (di Ascoli)

Sia (E,k ¢ kE) uno spazio normato reale; sia 2 E¤ n f¤g; sia 2 IR e sia 0 2E

Ts: (0 ¡1())=

j(0)¡ jkkE¤

Dim

Proviamo che:

j(0)¡ jkkE¤

· inf2¡1()

k ¡ 0kE (2.85)

Per la linearit¶a di , e per il teorema 2.2.5 segue che:

j(0)¡ jkkE¤

=j(0)¡ ()j

kkE¤=

j(0 ¡ )jkkE¤

· k0 ¡ kE 8 2 ¡1()

e quindi passando all'inf su ¡1() otteniamo la 2.85. Viceversa proviamo che:

inf2¡1()

k ¡ 0kE · j(0)¡ jkkE¤

(2.86)

152

Fissato un arbitrario 0 allora per la IIa proprietµa del sup si ha che 9 2 E con kkE =

1 tc j()j kkE¤ ¡ moltiplicando ambo i membri per¯̄¯(0)¡

()

¯̄¯ otteniamo:

j(0)¡ j (kkE¤ ¡ )

°°°°°(0)¡

()

°°°°°

e quindi posto:

0 := 0 ¡ (0)¡

()

otteniamo che j(0)¡ j (kkE¤ ¡ )k0 ¡ 0kE e quindi in de¯nitiva osservando che

banalmente per costruzione 0 2 ¡1() si ha che:

inf2¡1()

k ¡ 0kE · k0 ¡ 0kE j(0)¡ jkkE¤ ¡

e questa per l'arbitrariet¶a di 0 ci da la 2.86.

Teorema 2.9.4 (Distanza di un punto da un iperpiano reale)

Siano a1 an 2 IR non tutti nulli e consideriamo l'iperpiano : a11+¢ ¢ ¢+ann = ;

sia 0 = (01 0n) 2 IRn

Ts: (0 ) =ja101 + ¢ ¢ ¢+ an0n ¡ jq

ja1j2 + ¢ ¢ ¢+ janj2Dim

Sia E:= IRn munito del prodotto scalare euclideo. Consideriamo il funzionale lineare:

: E ! IR con (1 n) := a11 + ¢ ¢ ¢+ ann 8(1 n) 2 E

che µe continuo per il teorema 2.5.3 ed inoltre per de¯nizione ¡1() = segue allora dal

lemma 2.9.1 e dal teorema 2.9.3 che:

(0 ) =j(0)¡ j

kkE¤=

ja101 + ¢ ¢ ¢+ an0n ¡ jqja1j2 + ¢ ¢ ¢+ janj2

153

Bibliografia

[1] B. Ricceri, Appunti di analisi funzionale, Messina, a.a. 1995/96

[2] B. Ricceri, Appunti di analisi superiore, Messina, a.a. 1996/97

[3] D.C. Demaria, Topologia generale, vol.2, Editrice Tirrena, Torino (1971)

[4] F. Deutsch, I. Singer, On single-valuedness of convex set-valued Maps, Kluwer

Academic Publishers. Printed in the Netherlands (1993), 97-103.

[5] H. Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Editore Liguori, Napoli (1986)

[6] Leonid V. Kantarovi·c, Gleb P. Akilov, Analisi funzionale, Editori Riuniti,

Roma (1980)

[7] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Paris (1955)

[8] S. Banach, Th¶eorie des op¶erations lin¶eaires, Warszawa (1932)

154

Indice Analitico

A

anello degli operatori lineari e continui,

126

approssimazione iniziale, 132

B

base canonica, 9

base di Hamel, 9

base fondamentale di intorni, 16

C

C.N.S a±nchµe un funzionale lineare

sia combianazione lineare di

assegnati funzionali lineari, 62

caratterizzazione degli operatori a±ni, 74

caratterizzazione degli operatori lineari,

45

caratterizzazione dei sottospazi vettoriali

con codimensione uno, 60

caratterizzazione dell'inversa di

un operatore lineare e continuo,

129

caratterizzazione di variet¶a a±ni con

codimensione uno, 61

caratterizzazione operatori a gra¯co

convesso, 69

chiusura lineare, 34

codimensione di un s.sp.vett., 53

codimensione di una variet¶a a±ne, 53

complemento ortogonale, 44

continuit¶a degli operatori lineari a valori

in spazi localmente convessi, 81

continuit¶a degli operatori lineari a volori

in uno spazio seminormato, 83

continuit¶a degli operatori lineari tra spazi

localmente convessi, 79


normati, 81


vettoriali topologici, 77

155

continuit¶a dei funzionali lineari su uno

spazio vettoriale topologico, 77

continuitµa degli operatori lineari nel caso

di ¯nito dimensionalitµa, 125

convergenza assoluta di una serie, 42

convergenza di una serie, 33

convergenza di una successione, 14

convergenza puntuale, 15

costante di lipschitz, 27

criterio sequenziale della continuitµa, 18

D

dimensione di una variet¶a a±ne, 10

dimensione di uno spazio vettoriale, 9

distanza di un punto da un insieme, 26

disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, 42

duale algebrico, 44

duale topologico, 85

F

famiglia di seminorme saturate, 37

funzionale assolutamente omogeneo, 11

funzionale di Minkowsky, 12

funzionale lineare, 44

funzionale positivamente omogeneo, 11

funzionale sub-additivo, 11

funzione aperta, 19

funzione chiusa, 19

funzione continua, 17

funzione lipschitziana, 27

funzione proiezione, 23

funzione s.c.i., 28

I

insieme assolutamente convesso, 7

insieme compatto, 15

insieme convesso, 6

insieme dei punti di convergenza, 14

insieme denso, 16

insieme di I-categoria, 17

insieme di II-categoria, 17

insieme equilibrato, 6

insieme limitato nel senso degli spazi

metrici, 25

insieme limitato nel senso degli spazi

vettoriali topologici, 34

insieme linearmente indipendente, 9

insieme radiale, 7

insieme raro, 17

156

insieme simmetrico, 7

insieme totale, 68

inviluppo lineare, 8

iperpiani separatori, 110

iperpiano, 58

isometria, 28

isomor¯smo, 48

L

lemma di Ascoli, 152

lemma di Osgood, 146

M

metodo delle appross. successive, 132

metrica, 24

metrica indotta, 24

metrica indotta dalla norma, 39

N

norma, 11

norma indotta dal prodotto scalare, 42

norma operatoriale, 85

norme canoniche, 40

nucleo di un operatore lineare, 45

nucleo radiale, 7

O

omeomor¯smo, 18

operatore a±ne, 73

operatore lineare, 44

P

principio dell'uniforme limitatezza, 147

prodotto interno, 42

prodotto scalare, 42

prodotto scalare euclideo, 42

proiezione, 23

proiezione canonica, 48

proprietµa degli insiemi limitati, 35

proprietµa del funzionale di Minkowsky,

12, 13

proprietµa del nucleo di un operatore

lineare, 45

proprietµa delle isometrie, 28

proprietµa delle semisfere, 36

proprietµa delle successioni limitate di

operatori lineari, 118

proprietµa delle varietµa a±ni, 6

proprietµa produttiva, 22

proprietµa topologica, 18

157

R

ricoprimento, 15

ricoprimento aperto, 15

ricoprimento ¯nito, 15

ridotta, 33

S

seminorma, 11

semisfera, 36

serie, 33

sfera aperta, 24

sfera chiusa, 25

sistema biortogonale, 65

sistema fondamentale di intorni, 16

soluzioni approssimate, 132

somma di una serie, 33

somma diretta di sottospazi, 5

somma parziale k-esima, 33

sottoricoprimento, 15

sottospazi complementari, 11

span, 8

span, 34

spazi -compatti, 16

spazi a prodotto scalare, 42

spazi compatti, 15

spazi completi, 27

spazi di Baire, 17

spazi di Banach, 39

spazi di Hausdor®, 14

spazi di Hilbert, 42

spazi di tipo M, 41

spazi I-numerabili, 16

spazi isometrici, 28

spazi isomor¯, 48

spazi localmente convessi, 35

spazi metrici, 24

spazi normati, 36

spazi omeomor¯, 18

spazi pre-hilbertiani, 42

spazi quoziente, 48

spazi seminormati, 36

spazi vettoriali topologici, 29

spazio L(E,F), 85

spazio E¤, 85

spazio E0, 44

spazio 0(XY), 17

spazio (E,F), 44

158

successione convergente, 14

successione di Cauchy, 26

T

teorema del gra¯co chiuso, 142

teorema dell'inversa continua, 141

teorema della diagonale, 23

teorema della mappa aperta, 141

teorema della mappa aperta in forma

generale, 145

teorema delle due norme, 142

teorema di Banach, 130

teorema di Banach-Steinhaus, 146

teorema di Deutsch-Singer, 71

teorema di Hahn-Banach, 101

teorema di Hahn-Banach in forma

geometrica, 105

teorema di Hahn-Banach nella forma

analitica classica, 103

teorema di Hahn-Banach per gli spazi

localmente convessi, 108

teorema di Hahn-Banach per gli spazi

normati, 109

teorema di Heine-Pincherle-Borel, 42

teorema di Kolmogorov, 42

teorema di Nachabin, 97

teorema di rappresentazione di Riesz, 150

teorema di separazione in forma

algebrica, 113

teorema di separazione in forma

topologica, 114

teorema di stretta separazione, 115

teorema di unicitµa del limite, 15

teorema fondamentale degli spazi di

Hilbert, 44

topologia generata, 21

topologia indotta da una famiglia di

seminorme, 36

topologia indotta dalla metrica, 25

topologia meno ¯ne, 14

topologia piµu grossolana, 14

topologia prodotto, 22

topologia vettoriale, 29

topologie equivalenti, 14

V

variet¶a a±ne, 6

vettori ortogonali, 44

159

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