B

A

O

α

r

MISURA DI UN ANGOLO IN RADIANTI

LA MISURA DI UN ANGOLO IN RADIANTI SI OTTIENE COME RAPPORTO TRA LA LUNGHEZZA DELL’ARCO AB SOTTESO DALL’ANGOLO E IL RAGGIO r DEL CERCHIO.

αRAD = AB r

ESEMPIO: SE α = 360° (ANGOLO GIRO) LA MISURA DI α IN RADIANTI È: α = (2r)/r = 2

IN GENERALE PER PASSARE DA GRADI A RADIANTI (E VICEVERSA) SI USA LA PROPORZIONE:

360° : 2 = α° : αRAD OPPURE 180° : = α° : αRAD

LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

P(x;y)

A

O x

y

α

B

D

C

1

1° quadrante

2° quadrante

4° quadrante

3° quadrante

r

LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA È UNA CIRCONFERENZA CON CENTRO NELL’ORIGINE E RAGGIO r = 1. IL SEGMENTO OP CHE UNISCE IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CON UN PUNTO P SULLA CIRCONFERENZA SI CHIAMA RAGGIO VETTORE.

GLI ANGOLI SI MISURANO A PARTIRE DAL RAGGIO VETTORE OA (SULL’ASSE y) E RUOTANDO IN SENSO ORARIO.

NELLA FIGURA SONO RIPORTATI I QUADRANTI IN SENSO ORARIO E I SEGNI DELLE COORDINATE DEI PUNTI P(x;y) NEI DIVERSI QUADRANTI.

( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; )

α° αRAD

0° 0

30° /6

45° /4

60° /3

90° /2

120° 2/3

135° 3/4

150° 5/6

180°

210° 7/6

225° 5/4

240° 4/3

270° 3/2

300° 5/3

315° 7/4

330° 11/6

360° 2

x

y

0° 30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

330°

315°

300°

270°

225°

240°

360°

ANGOLI PRINCIPALI

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE SENO E COSENO

P

A

O x

y

α

B

D

C

1 K

H

sen α

cos α r

IL SENO DI UN ANGOLO α È DEFINITO COME ASCISSA DELLA PROIEZIONE ORTOGONALE DEL RAGGIO VETTORE OP SULL’ASSE x:

sen α = OK

POICHÉ OP = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE: sen α = HP/OP (SI NOTI CHE HP = OK)

IL COSENO DI UN ANGOLO α È DEFINITO COME ORDINATA DELLA PROIEZIONE ORTOGONALE DEL RAGGIO VETTORE OP SULL’ASSE y:

cos α = OH

POICHÉ OP = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE: cos α = OH/OP

APPLICANDO IL TEOREMA DI PITAGORA AL TRIANGOLO OHP

sen2α cos2α = 1 1a LEGGE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA

N.B.: sen2α = (sen α )2 ; MENTRE sen2α sen (α2)

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE TANGENTE E COTANGENTE

cotg α

P

A

O x

y

α

1 K

H

sen α

cos α

S

B

T tg α

r

LA TANGENTE DI UN ANGOLO α È DEFINITA COME L’ASCISSA DEL PUNTO T, INTERSEZIONE DEL PROLUNGAMENTO DEL RAGGIO VETTORE OP E DELLA TANGENTE GEOMETRICA ALLA CIRCONFERENZA IN A:

tg α = AT

LA COTANGENTE DI UN ANGOLO α È DEFINITA COME L’ORDINATA DEL PUNTO S, INTERSEZIONE DEL PROLUNGAMENTO DEL RAGGIO VETTORE OP E DELLA TANGENTE GEOMETRICA ALLA CIRCONFERENZA IN B:

cotg α = BS

APPLICANDO LE PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI SIMILI AI TRIANGOLI OHP E OAT SI HA:

tg α = sen α cos α

2a LEGGE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA

cotg α

P

A

O x

y

α

1 K

H

sen α

cos α

S

B

T tg α

r

POICHÉ OA = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE: tg α = AT/OA

POICHÉ OB = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE: cotg α = BS/OB

IN TAL MODO tg α E cotg α SI ESPRIMONO COME RAPPORTO TRA I CATETI DEI TRIANGOLI RETTANGOLI OAT E OBS RISPETTIVAMENTE (SI NOTI CHE OŜB = α)

APPLICANDO LE PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI SIMILI AI TRIANGOLI OBS E OHP SI HA:

cotg α = sen α cos α

tg α 1

=

sen α

cos α

tg α

cotg

α α

α° αRAD sen α cos α tg α cotg α

0° 0 0 1 0 ∄

30° /6 1/2 √3/2 √3/3 √3

45° /4 √2/2 √2/2 1 1

60° /3 √3/2 1/2 √3 √3/3

90° /2 1 0 ∄ 0

120° 2/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3

135° 3/4 √2/2 -√2/2 -1 -1

150° 5/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3

180° 0 -1 0 ∄

210° 7/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3

225° 5/4 -√2/2 -√2/2 1 1

240° 4/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3

270° 3/2 -1 0 ∄ 0

300° 5/3 -√3/2 1/2 -√3 -√3/3

315° 7/4 -√2/2 √2/2 -1 -1

330° 11/6 -1/2 √3/2 -√3/3 -√3

360° 2 0 1 0 ∄

sen cos

1° q.

2° q.

3° q.

4° q.

tg cotg

1° q.

2° q.

3° q.

4° q.

1° q.

2° q. 3° q.

4° q.

SINUSOIDE: y = sin (x) (grafico funzione seno)

COSINUSOIDE: y = cos (x) (grafico funzione coseno)

TANGENTOIDE: y = tg (x) (grafico funzione tangente)