B
A
O
α
r
MISURA DI UN ANGOLO IN RADIANTI
LA MISURA DI UN ANGOLO IN RADIANTI SI OTTIENE COME RAPPORTO TRA LA LUNGHEZZA DELL’ARCO AB SOTTESO DALL’ANGOLO E IL RAGGIO r DEL CERCHIO.
αRAD = AB r
ESEMPIO: SE α = 360° (ANGOLO GIRO) LA MISURA DI α IN RADIANTI È: α = (2r)/r = 2
IN GENERALE PER PASSARE DA GRADI A RADIANTI (E VICEVERSA) SI USA LA PROPORZIONE:
360° : 2 = α° : αRAD OPPURE 180° : = α° : αRAD
LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
P(x;y)
A
O x
y
α
B
D
C
1
1° quadrante
2° quadrante
4° quadrante
3° quadrante
r
LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA È UNA CIRCONFERENZA CON CENTRO NELL’ORIGINE E RAGGIO r = 1. IL SEGMENTO OP CHE UNISCE IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CON UN PUNTO P SULLA CIRCONFERENZA SI CHIAMA RAGGIO VETTORE.
GLI ANGOLI SI MISURANO A PARTIRE DAL RAGGIO VETTORE OA (SULL’ASSE y) E RUOTANDO IN SENSO ORARIO.
NELLA FIGURA SONO RIPORTATI I QUADRANTI IN SENSO ORARIO E I SEGNI DELLE COORDINATE DEI PUNTI P(x;y) NEI DIVERSI QUADRANTI.
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
α° αRAD
0° 0
30° /6
45° /4
60° /3
90° /2
120° 2/3
135° 3/4
150° 5/6
180°
210° 7/6
225° 5/4
240° 4/3
270° 3/2
300° 5/3
315° 7/4
330° 11/6
360° 2
x
y
0° 30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
330°
315°
300°
270°
225°
240°
360°
ANGOLI PRINCIPALI
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE SENO E COSENO
P
A
O x
y
α
B
D
C
1 K
H
sen α
cos α r
IL SENO DI UN ANGOLO α È DEFINITO COME ASCISSA DELLA PROIEZIONE ORTOGONALE DEL RAGGIO VETTORE OP SULL’ASSE x:
sen α = OK
POICHÉ OP = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE: sen α = HP/OP (SI NOTI CHE HP = OK)
IL COSENO DI UN ANGOLO α È DEFINITO COME ORDINATA DELLA PROIEZIONE ORTOGONALE DEL RAGGIO VETTORE OP SULL’ASSE y:
cos α = OH
POICHÉ OP = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE: cos α = OH/OP
APPLICANDO IL TEOREMA DI PITAGORA AL TRIANGOLO OHP
sen2α cos2α = 1 1a LEGGE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA
N.B.: sen2α = (sen α )2 ; MENTRE sen2α sen (α2)
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE TANGENTE E COTANGENTE
cotg α
P
A
O x
y
α
1 K
H
sen α
cos α
S
B
T tg α
r
LA TANGENTE DI UN ANGOLO α È DEFINITA COME L’ASCISSA DEL PUNTO T, INTERSEZIONE DEL PROLUNGAMENTO DEL RAGGIO VETTORE OP E DELLA TANGENTE GEOMETRICA ALLA CIRCONFERENZA IN A:
tg α = AT
LA COTANGENTE DI UN ANGOLO α È DEFINITA COME L’ORDINATA DEL PUNTO S, INTERSEZIONE DEL PROLUNGAMENTO DEL RAGGIO VETTORE OP E DELLA TANGENTE GEOMETRICA ALLA CIRCONFERENZA IN B:
cotg α = BS
APPLICANDO LE PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI SIMILI AI TRIANGOLI OHP E OAT SI HA:
tg α = sen α cos α
2a LEGGE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA
cotg α
P
A
O x
y
α
1 K
H
sen α
cos α
S
B
T tg α
r
POICHÉ OA = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE: tg α = AT/OA
POICHÉ OB = 1 POSSIAMO ANCHE SCRIVERE: cotg α = BS/OB
IN TAL MODO tg α E cotg α SI ESPRIMONO COME RAPPORTO TRA I CATETI DEI TRIANGOLI RETTANGOLI OAT E OBS RISPETTIVAMENTE (SI NOTI CHE OŜB = α)
APPLICANDO LE PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI SIMILI AI TRIANGOLI OBS E OHP SI HA:
cotg α = sen α cos α
tg α 1
=
sen α
cos α
tg α
cotg
α α
α° αRAD sen α cos α tg α cotg α
0° 0 0 1 0 ∄
30° /6 1/2 √3/2 √3/3 √3
45° /4 √2/2 √2/2 1 1
60° /3 √3/2 1/2 √3 √3/3
90° /2 1 0 ∄ 0
120° 2/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3
135° 3/4 √2/2 -√2/2 -1 -1
150° 5/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3
180° 0 -1 0 ∄
210° 7/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3
225° 5/4 -√2/2 -√2/2 1 1
240° 4/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3
270° 3/2 -1 0 ∄ 0
300° 5/3 -√3/2 1/2 -√3 -√3/3
315° 7/4 -√2/2 √2/2 -1 -1
330° 11/6 -1/2 √3/2 -√3/3 -√3
360° 2 0 1 0 ∄
sen cos
1° q.
2° q.
3° q.
4° q.
tg cotg
1° q.
2° q.
3° q.
4° q.
1° q.
2° q. 3° q.
4° q.
SINUSOIDE: y = sin (x) (grafico funzione seno)
COSINUSOIDE: y = cos (x) (grafico funzione coseno)
TANGENTOIDE: y = tg (x) (grafico funzione tangente)
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