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Prof. Calogero Contrino

GONIOMETRIA

sistemi di misura

Corso multimediale di matematica

04/03/2014

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Prof Calogero Contrino

Goniometria:

Sistemi di misura degli angoli

L’unità di misura prescelta determina i vari sistemi di misura degli angoli. I più usati sono :

Sistema di misura Unità di misura Espressione della parte non intera

sessagesimale Grado sessagesimale ( ° ) Primi ( ‘ ) ; secondi ( “ )

sessadecimale Grado sessagesimale ( ° ) Cifre decimali dopo la virgola ( … , …)

Frazioni di grado Grado sessagesimale ( ° ) - - - - - - - - - - - - -

Sistema centesimale Grado centesimale ( c ) Cifre decimali dopo la virgola ( … , …)

radianti Radiante (rad) Cifre decimali dopo la virgola ( … , …)

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Goniometria:

Sistema sessagesimale : il grado

Il sistema sessagesimale, il più noto alla gente comune, assume come unità di misura il grado

sessagesimale per il quale vale la seguente

Dicesi grado sessagesimale (o semplicemente grado ) (°) l’angolo la cui ampiezza è la 360-

esima parte dell’angolo giro .

definizione

Grado sessagesimale angolo giro

360 1° =

1 G = =

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Goniometria:

Sistema sessagesimale : i primi ed i secondi

Dovendo esprimere la parte non intera di angolo nella notazione sessagesimale si

utilizzeranno i sottomultipli del grado :

primo (‘) : sessantesima parte del grado

secondo (“) : sessantesima parte del primo (3600-esima parte del grado)

esempi

12° 25’ 37” ° =

Dovendo annotare angoli con parte non intera i primi ed i secondi si giustappongono in

nell’ordine alla destra dei gradi.

2° 35’ ° = 20° 14” ° =

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Goniometria:

Sistema sessadecimale

Il sistema sessadecimale ha la stessa unità di misura del sistema sessagesimale ma differisce

da esso per la notazione della parte non intera che invece di essere espressa in primi e

secondi viene indicata con cifre decimali alla destra di una virgola che la separa dalla parte

intera .

esempi

12,1345° ° = 2, 004° ° = 0,0025° ° =

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Goniometria:

Sistema a frazione di grado

Anche il sistema a frazione di grado usa la stessa unità di misura del sistema sessagesimale

ma l’ ampiezza dell’angolo viene indicata direttamente dal rapporto, sotto la forma di frazione,

con l’unità di misura .

esempi

°

15

283 ° =

°

27

13 ° =

°

125

1 ° =

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Goniometria:

Sistema centesimale : il grado centesimale

Il sistema centesimale assume come unità di misura il grado centesimale per il quale vale la

seguente

Dicesi grado centesimale (o semplicemente grado ) (c) l’angolo la cui ampiezza è la 400-

esima parte dell’angolo giro .

definizione

Grado centesimale angolo giro

400 1c

= 1

G = =

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Goniometria:

Sistema centesimale : parte non intera

La parte non intera nel sistema centesimale viene espressa con cifre decimali alla destra di

una virgola che la separa dalla parte intera.

esempi

42,1345c c = 1,45c c = 0,0046c c =

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Goniometria:

Sistema di misura in radianti: premesse

Per introdurre il sistema di misura in radianti, che è il sistema di misura usato in ambito

scientifico, bisogna riprendere ancora una volta alcuni concetti e definizioni di geometria

euclidea

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Dati un angolo ed una circonferenza si ha la seguente

Richiami di geometria euclidea:

angoli al centro di una circonferenza

Angoli al centro

V C

definizione

Dicesi angolo al centro di una circonferenza il generico angolo complanare alla circonferenza

il cui vertice coincide con il centro della circonferenza.

V C V C

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In una circonferenza dato un angolo al centro i suoi lati intercettano su di essa un arco la cui

lunghezza l è proporzionale all’ampiezza dell’angolo.

Richiami di geometria euclidea:

angoli al centro : una proprietà

Proporzionalità tra archi e angoli al centro

V C

Pertanto si può scrivere la seguente proporzione, avendo assunto per la misura degli angoli il

sistema sessadecimale ed essendo r il raggio della circonferenza :

V C l

l’

l : 2r = : 360°

Pertanto la lunghezza l dell’arco, noto , è : 180°

r ° l =

r

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Goniometria:

Sistema di misura in radianti

Il sistema di misura dell’ampiezza degli angoli in radianti è il più usato in ambito scientifico .

si considerino delle circonferenze concentriche il cui centro

coincide con il vertice dell’angolo dato ed i cui raggi sono rispettivamente r, r1 , r2 … .

Allo scopo di definire il nuovo sistema di misura facciamo alcune considerazioni preliminari .

I lati dell’angolo intercettano sulle circonferenza gli archi l , l1 , l2 ….

l l1 l2

Per la formula vista in precedenza si avrà :

180°

r ° l =

180°

r1 ° l1 = 180°

r2 ° l2 =

Da cui si ottiene successivamente:

l : l1 = r : r1 l : l2 = r : r2

r

l =

r1

l1

r

l =

r2

l2

Ne segue che, se l ed r sono uguali, saranno uguali

anche l1 e r1 , l2 e r2 , e cosi via .

r r1

r2

Dato un generico angolo ,

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Goniometria:

Sistema di misura in radianti

A tale situazione corrisponde ovviamente un unico valore di .

Si dice angolo radiante ,o semplicemente radiante, l’angolo al centro di una circonferenza il

quale insiste su un arco di lunghezza uguale al raggio.

Tale angolo può essere pensato come una nuova unità di misura degli angoli; si quindi la

seguente

Ha interesse sapere quanto misura l’ampiezza della

nuova unità di misura rispetto alle vecchie, p.e. nel

sistema sessadecimale .

180°

r ° l = Da , dovendo essere l = r si ha:

180°

° 1 = 57,29577951….. 180°

° =

Per la presenza di tale valore è espresso da un

numero irrazionale .

r

definizione

r1

r2 l2

=

1 rad

l1 l

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; con l ed r rispettivamente misure di un arco di circonferenza, con centro sul

vertice dell’angolo, su cui insiste l’ angolo e del relativo raggio .

= R r

l

Goniometria:

Angoli particolari misurati in radianti

Definita la nuova unità di misura la misura del generico angolo espressa in radianti sarà :

A questo scopo basterà tenere presente che , e insistono rispettivamente su un quarto

di circonferenza, metà circonferenza e l’intera circonferenza .

R P G

E’ utile conoscere le misure in radianti di alcuni angoli significativi quali , e . R P G

Pertanto da = R r

l Si ottiene :

(2r)/4

r mis R R =

rad

= =

2

rad

(2r)/2

r mis P P =

rad

= =

rad

2r

r mis G G =

rad

= = 2

rad

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Goniometria:

Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – frazione di grado

Ci occuperemo ora della conversione dei valori tra i vari sistema di misura. Le varie tecniche di

conversione saranno introdotte mediante esempi

conversione sessagesimale – frazione di grado

10° 2’ 5” = °

Ricordando che e , il precedente valore si può riscrivere nel

seguente modo :

°

60

1 1’ =

°

3600

1 1” =

10° + 2 + 5 = ° °

60

1

°

3600

1

= ° ° 10 + + 60

2

3600

5

= 10 + + 30

1 °

720

1

= 7200 24 °

720

1

+ + = =

7225 ° 720

1445 ° 144

Sia l ‘angolo la cui ampiezza in gradi sessagesimali è :

La conversione è pertanto effettuata .

Da cui successivamente si ottiene :

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(2,083)’ – 2’ = (0,083)’

Sottraendo la nuova parte intera si otterrà una nuova parte decimale (quella dei primi) che

moltiplicata per 60 ci fornirà il numero dei secondi :

Inizialmente si divide il numeratore per il denominatore della frazione. Il quoziente in

decimale è :

Goniometria:

Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – frazione di grado

Riferendoci all’esempio precedente si procede ora all’operazione inversa:

conversione frazione di grado – sessagesimale

1445 ° 144

Sia l ‘angolo la cui ampiezza in frazione di grado è :

= ° ( 1445 :144 )°

Si sottrae al quoziente la sua parte intera ottenendo la parte decimale che dovrà essere

trasformata in primi e secondi:

Il numero dei primi è dato dalla parte intera del numero che si ottiene moltiplicando la

parte decimale così ottenuta per 60 :

= (10,03472 )°

(10,03472)° - 10° = (0,03472)°

(0,03472)° x 60’ = (2,083)’

(0,083)’ x 60” = 5”

Le cifre in rosso rappresentano ordinatamente il numero dei gradi, dei primi e dei secondi e

pertanto si ha che : 10° 2’ 5” = 1445 ° 144

° = . Naturalmente come ci si aspettava.

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Goniometria:

Conversione tra i sistemi di misura : sessadecimale – frazione di grado

conversione sessadecimale – frazione di grado

5,125° = ° Sia l ‘angolo la cui ampiezza in gradi sessadecimali è :

La conversione avviene in modo banale , infatti basta scrivere il numero sotto forma di

frazione ed eventualmente ridurre ai minimi termini :

5,125° = ° = 5125 ° 1000

= 41 ° 8

conversione frazione di grado - sessadecimale

Conversione altrettanto banale , infatti basta effettuare la divisione tra numeratore e

denominatore della frazione data . Il quoziente ottenuto è il valore convertito.

5,125° = = ° 41 ° 8

= (41 : 8)°

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Goniometria:

Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – sessadecimale

Pertanto il valore dell’ampiezza di nel sistema sessadecimale è :

conversione sessagesimale – sessadecimale

1° 6’ 45” = ° Sia l ‘angolo la cui ampiezza in gradi sessagesimali è :

Essendo la parte intera identica nelle due notazioni si procede alla conversione soltanto

dei primi e dei secondi in modo analogo a quanto visto in precedenza .

6’ 45” = 6 + 45 °

60

1

°

3600

1

= 9 ° 80

+ °

10

1

80

1

= = 0,1125 °

° = ( 1,1125 )°

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Goniometria:

Conversione tra i sistemi di misura : sessagesimale – sessadecimale

conversione sessadecimale – sessagesimale

Sia l ‘angolo la cui ampiezza in gradi sessadecimali è :

Per trasformarla in primi ed in secondi si opererà come visto in precedenza :

Riferendoci all’esempio precedente si procede ora all’operazione inversa:

° = ( 1,1125 )°

La parte decimale è : ( 1,1125 )° - 1° = ( 0,1125 )°

( 0,1125 )° x 60’ = (6,75)’

Sottraendo la nuova parte intera si otterrà una nuova parte decimale (quella dei primi ) che

moltiplicata per 60 ci fornirà il numero dei secondi :

(6,75)’ – 6’ = (0,75)’ (0,75)’ x 60” = 45”

Pertanto il corrispondente dell’angolo dato nel sistema sessadecimale , nel

sistema sessagesimale ha la misura

° = ( 1,1125 )°

° = 1° 6’ 45”

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Goniometria:

Conversione tra i sistemi di misura : radiante – sessadecimale

conversione radiante – sessadecimale

Sia l ‘angolo la cui ampiezza in radianti è R e in gradi sessadecimali è ° :

In questo caso ci si riferirà ad una situazione generale è non ad un esempio concreto:

I valori R e ° stanno in un determinato rapporto di proporzionalità con i corrispondenti

valori R e ° di un qualsiasi angolo .

R = rad ; ° = 180° In particolare se è l’angolo piatto ,si ha : P

Pertanto : R : rad = ° : 180°

da cui seguono le formule di trasformazione dall’uno all’altro dei due sistemi di misura :

180° ° =

R °

180° R = 1) 2)

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Goniometria:

Conversione tra i sistemi di misura : radiante – rimanenti sistemi

a) Si eseguirà la trasformazione, mediante la 1), in sessadecimale del valore in radianti

assegnato .

Per convertire la misura in radianti in qualsiasi altra misura e viceversa si procederà come

segue :

conversione da radianti

a) Si eseguirà la trasformazione in sessadecimale del valore nel sistema assegnato

mediante i metodi studiati in precedenza

conversione in radianti

b) Si eseguirà la trasformazione del valore sessadecimale ottenuto nel valore del sistema

richiesto mediante i metodi studiati in precedenza .

b) Si eseguirà la trasformazione, mediante la 2), del valore sessadecimale ottenuto nel

valore in radianti richiesto.

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Goniometria:

Misura relativa di angoli orientati

Come detto in precedenza, ci si è occupati fin qui della misura euclidea degli angoli

(misura assoluta per angoli non orientati ) limitandoci a valori in R+ .

Volendoci occupare della misura di archi orientati bisognerà scegliere un orientamento di

riferimento a cui associare valori in R+ , quindi estendere i valori ammissibili a tutto R ,

associando agli archi orientati in senso contrario a quello di riferimento i valori in R-

Normalmente si assume come orientamento di riferimento quello che porta il primo lato

dell’angolo a sovrapporsi al secondo mediante una rotazione antioraria.

Angoli positivi e negativi nel riferimento antiorario

R+ R-

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