Corso di laurea: BIOLOGIA

Tutor: Floris Marta; Max Artizzu

PRECORSI DI MATEMATICA

ELEMENTI DI GONIOMETRIA

E DI TRIGONOMETRIA

Goniometria e trigonometria sono due termini che derivano dal greco e

significano rispettivamente misura degli angoli e misura dei triangoli.

Le origini della goniometria e della trigonometria sono assai lontane nel

tempo; risalgono a qualche secolo prima di Cristo e sono inizialmente ispirate

da esigenze legate alla risoluzione di vari problemi pratici di geodesia, di

navigazione, di astronomia, problemi che in genere richiedono di risalire dalla

determinazione dı angolazioni e distanze misurabili alla determinazione di

altre angolazioni e distanze non direttamente misurabili.

A partire dal sedicesimo secolo la trigonometria si sviluppa e si affer-

ma anche come disciplina autonoma, raggiungendo quel rigore teorico e

quell’aspetto formale e simbolico caratteristici del linguaggio matematico.

Nel frattempo pero sempre piu numerose divengono le implicazioni dei

concetti goniometrici con le applicazioni della matematica nel campo scien-

tifico e tecnologico; ben pochi sono infatti i rami della fisica, sia classica che

moderna, che non contemplano per la loro trattazione il calcolo goniometrico

e trigonometrico.

Angoli ed archi

Se in un piano si tracciano due semirette aventi l’origine in comune, il

piano viene diviso in due parti, ciascuna delle quali viene chiamata angolo.

Le due semirette vengono dette i lati dei due angoli e l’origine comune il

loro vertice.

Data una circonferenza avente il centro nel vertice di un angolo, si chiama

1

arco circolare quella parte di circonferenza interna all’angolo e avente per

estremi i punti di intersezione con i lati dell’angolo stesso (nella figura 1 e

rappresentato l’arco AB di una circonferenza corrispondente ad un angolo

α; il punto O, vertice dell’angolo, e il centro della circonferenza).

Figura 1: Angoli ed archi corrispondenti

Misura degli angoli e degli archi

Per misurare una grandezza occorre fissare l’unita di misura. Le piu

usate unita di misura degli angoli sono il grado ed il radiante. Si chiama

grado la 360a parte dell’angolo giro. I suoi multipli sono il minuto pri-

mo (o semplicemente primo), che e 160 di grado, ed il minuto secondo (o

semplicemente secondo), che e 160 di primo.

Si chiama radiante l’angolo al centro di una circonferenza, di raggio

arbitrario, che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso (si tenga

presente che se un angolo al centro di una circonferenza sottende un arco

lungo quanto il raggio cio succede per ogni altra circonferenza concentrica

con la prima).

Ovviamente, se la lunghezza dell’arco sotteso e ad esempio, meta di quella

del raggio, l’angolo e di mezzo radiante; se e doppia di quella del raggio,

l’angolo e di due radianti; e cosı via. L’angolo giro, che sottende l’intera

circonferenza (la cui lunghezza e 2π volte quella del raggio), e di 2π radianti;

l’angolo piatto e di π radianti; l’angolo retto di π2 radianti.

In generale, la misura in radianti di un angolo che sottende un arco

circolare di lunghezza l, e lr , essendo r il raggio della circonferenza di cui

l’arco e parte.

2

Per quanto concerne l’unita di misura degli archi circolari risulta conve-

niente come unita l’arco il cui angolo al centro corrispondente e l’unita di

misura degli angoli. Si ha cosı l’arco grado, che e l’arco di circonferenza che

corrisponde all’angolo al centro di un grado, e l’arco radiante, che e l’ar-

co di circonferenza che corrisponde all’angolo al centro radiante. Seguendo

questa convenzione la misura di un arco di circonferenza e la corrispondente

angolo al centro sono espresse dallo stesso numero.

E di importanza pratica sapere come si passa dalla misura di un angolo

(o di un arco) in gradi, alla misura in radianti dello stesso angolo (o arco),

e viceversa. Dette x◦ e xr le misure, rispettivamente in gradi ed in radianti,

di uno stesso arco) si ha:

360◦ : 2π = x◦ : xr

Da questa proporzione si ricavano le due formule:

xr =x◦

180◦π x◦ =

xr

π180◦

la prima delle quali da la misura in radianti, nota quella in gradi, la seconda

la misura in gradi, nota quella in radianti.

Esempi

1) Esprimere in radianti la misura dell’angolo di 25◦.

Ponendo x◦ = 25◦ nella prima formula si ha:

xr =25◦

180◦π =

536

π

2) Esprimere in gradi la misura dell’angolo radiante.

Ponendo xr = 1 nella seconda formula si ottiene:

x◦ =1π

180◦ ' 57◦17′5′′

Riportiamo nella seguente tabella le misure in radianti di alcuni angoli

particolari:Gradi 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

Radianti 0 π6

π4

π3

π2 π 3π

2 2π

3

Angoli ed archi orientati e loro misura

Un angolo si dice orientato quando i suoi lati sono considerati in un

certo ordine, quando cioe e stabilito quale dei due deve considerarsi come

primo. In tal caso l’angolo puo essere pensato come generato dalla ro-

tazione del primo lato (lato origine) verso il secondo (lato termine), fino

alla sovrapposizione dei due.

Nella figura 2 sono rappresentati due angoli; se in entrambi si conside-

ra a come lato origine e b come lato termine (la scrittura ab viene usata

per indicare l’angolo nel caso di questa scelta), il primo (fig. 2a)) risulta

orientato in senso antiorario, cioe discorde quello di rotazione delle lancette

dell’orologio, il secondo (fig. 2b)) in senso orario.

Figura 2: Angoli orientati

Convenendo di considerare positiva una rotazione che avviene nel verso

antiorario e negativa quella che avviene nel verso orario, l’angolo della figura

2a viene detto angolo positivo mentre quello della figura 2b viene detto

angolo negativo.

La misura di un angolo orientato si ottiene premettendo alla sua misura

assoluta il + se l’angolo e positivo, il segno - se e negativo.

Quanto si e detto per gli angoli vale anche per gli archi. Nella figura 3a e

rappresentato un arco di circonferenza AB positivo; nella figura 3b un arco

AB negativo.

4

Figura 3: misure di angoli

Seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo (o di un arco)

orientato

Date due variabili, si dice che la seconda e una funzione della prima se

esiste una qualunque legge che ad ogni valore della prima (appartenente ad

un determinato insieme numerico) ne fa corrispondere uno ed uno solo della

seconda.

Le funzioni nelle quali la variabile indipendente e un angolo (o un arco)

vengono goniometriche o circolari.

Per definire le funzioni goniometriche elementari risulta opportuno consid-

erare fisso il lato origine degli angoli e variabile il secondo. Riferito un pi-

ano ad un sistema cartesiano ortogonale xOy conveniamo di assumere come

semiretta origine degli angoli il semiasse positivo delle ascisse.

Nella figura 4 e rappresentato l’angolo orientato (positivo) a il cui primo

lato e il semiasse positivo delle ascisse ed il secondo la semiretta r.

Sia P un generico punto della semiretta r, siano xp e yp le sue coordinate

e sia PO la distanza assoluta di P dall’origine O. I quattro rapporti:

yp

PO

xp

PO

yp

xp

xp

yp

non dipendono dalla posizione di P su r. Lo si puo verificare prendendo

su r un secondo P’ e considerando la similitudine che intercorre tra i due

triangoli rettangoli PHO e P’H’O.

I quattro suddetti rapporti dipendono solo dall’ampiezza dell’angolo α;

sono dunque funzioni di α. Al primo si da il nome di seno di α (senα), al

5

0 1 2 3 4 5 6

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

r

H H’x

y

P (xp, yp)

P’

Figura 4: .

secondo di coseno di α (cosα), al terzo di tangente di α (tgα), al quarto

di cotangente di α (ctgα), E dunque:

senα =yp

POcosα =

xp

POtgα =

yp

xpctgα =

xp

yp

Tra le dette quattro funzioni goniometriche di un medesimo angolo α

intercorrono le seguenti relazioni:

senα

cosα= tgα

cosα

senα= ctgα ctgα =

1tgα

Se si considera l’arco di circonferenza di centro O, di raggio OP e di

origine A (figura 5), le funzioni goniometriche ora introdotte vengono anche

rispettivamente dette seno, coseno, tangente e cotangente dell’arco orientato

AP .

La circonferenza goniometrica. Una seconda definizione delle

funzioni goniometrihe

Si chiama circonferenza goniometrica una circonferenza orientata

alla quale e associato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, la cui

origine coincide con il centro della conferenza stessa e la cui unita di misura

e assunta uguale al raggio di quest’ultima. Il senso positivo di percorso

sulla circonferenza e, convenzionalmente, quello antiorario. Nella figura 6a e

6

Figura 5: .

rappresentata una circonferenza goniometrica; A e il suo punto d’intersezione

con il semiasse positivo delle x (lato origine degli angoli) e P il suo punto

tersezione con la semiretta r, formante con il semiasse positivo x un angolo

orientato α.

La circonferenza tracciata in 6a), che ha centro nell’origine O e raggio

unitario, viene detta circonferenza goniometrica; P e il suo punto d’inter-

sezione con la semiretta r, secondo lato dell’angolo orientato α. In 6b) e

indicato che le coordinate di P rappresentano rispettivamente il coseno ed il

seno dell’angolo α.

Figura 6: circonferenza goniometrica

Cio premesso, si chiamano seno e coseno dell’angolo orientato α (o del-

l’arco orientato AP ) rispettivamente l’ordinata e l’ascissa di P (fig. 6b).

Queste definizioni di seno e coseno coincidono, in pratica, con quelle date

7

precedentemente. Infatti, essendo in questo caso PO = 1, da quelle si

ottiene:

senα =yp

PO=

yp

1= yp cosα =

xp

PO=

xp

1= xp

Figura 7: tangente e cotangente

Se si considerano le due rette a e b, tangenti alla circonferenza goniome-

trica nei suoi due punti A e B di intersezione con i semiassi positivi delle

x e delle y, e i punti T e C d’intersezione di queste con la semiretta r (fig.

7), vengono dette tangente e cotangente dell’angolo orientato α(o dell’arco

orientato AP ) rispettivamente l’ordinata di T e l’ascissa di C.

Anche queste definizioni coincidono con quelle date precedentemente.

Infatti, usando le coordinate di T per definire la tangente di α si ha:

tgα =yT

xT=

yT

1= yT

Analogamente, usando le coordinate di C per definire la cotangente di

α, si ha:

ctgα =xC

yC=

xC

1= xC

Se la semiretta r non interseca le dette tangenti alla circonferenza a e

b, si devono considerare le intersezioni di queste ultime con la semiretta r′

opposta della r (fig. 8).

8

Figura 8: circonferenza goniometrica

Variazione del seno e del coseno

Per semplicita di linguaggio d’ora in poi parleremo sempre di funzioni

goniometriche di un angolo orientato; tuttavia, le proprieta e le relazioni che

esaminaneremo relativamente a queste valgono, in modo del tutto analogo,

per le funzioni goniometriche di un arco orientato.

Dalla fig. 9, nella quale r rappresenta una semiretta che ruota attorno

all’origine O, e facile dedurre le seguenti proprieta del seno e del coseno

dell’angolo orientato α formato da r con il semiasse positivo x:

Figura 9: Variazioni del seno e del coseno

• sen 0◦ = sen 0 = 0, cos 0◦ = cos 0 = 1;

9

• al crescere di α da 0◦ a 90◦ (cioe da 0 a π2 radianti) il seno cresce da

0 a 1 mentre il coseno decresce da 1 a 0;

• sen 90◦ = sen π2 = 1, cos 90◦ = cos π

2 = 0;

• al crescere di α da 90◦ a 180◦ (cioe da π2 a π radianti) il seno decresce

da 1 a 0 ed il coseno decresce da 0 a - 1 ;

• sen 180◦ = sen π= 0, cos 180◦ = cos π = - 1;

• al crescere di α da 180◦ a 270◦ (cioe da π a 32π radianti) il seno decresce

da 0 a -1 mentre il coseno cresce da - 1 a 0;

• sen 270◦ = sen 32π = - 1, cos 270◦ = cos 3

2π = 0;

• al crescere di α da da 270◦ a 360◦ idoe da 32π a 2π radianti il seno

cresce da - 1 a 0 ed il coseno decresce da 0 a 1;

• sen 360◦ = sen 2π = 0, cos 360◦ = cos 2π = 1;

• al crescere di α oltre i 360◦ (cioe oltre 2π radianti) la semiretta r ritorna

ad assumere, ogni giro, le medesime posizioni assunte nel primo giro;

ne consegue che il seno ed il coseno di α riprendono periodicamente gli

stessi valori corrispondenti all’intervallo 0◦ ≤ α ≤ 360◦; diremo quindi

che il seno ed il coseno sono funzioni periodiche di periodo 360◦ (o 2

π radianti), e scriveremo:

sen(α + k360◦) = sen(α + 2kπ) = senα,

cos(α + k360◦) = cos(α + 2kπ) = cosα,

dove k e un qualunque numero intero, positivo, negativo o nullo;

• il seno ed il coseno assumono, al variare dell’angolo α, tutti e soli i

valori reali compresi tra - 1 e 1; per senα e cosα valgono dunque le

condizioni:

−1 ≤ sinα ≤ 1, −1 ≤ cosα ≤ 1

10

Figura 10: Andamento del seno

Nelle figure 10 e 11 sono graficamente rappresentate nel piano cartesiano

le due funzioni y = sen x e y = cos x. I due grafici sono stati ottenuti ripor-

tando sull’asse delle ascisse alcuni valori dell’angolo x, espresso in radianti, e

sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori del seno e del coseno, dedotti

da un cerchio goniometrico. Alla prima curva si da il nome di sinusoide, alla

seconda di cosinusoide.

Figura 11: Andamento del coseno

Variazione della tangente e della cotangente

Dalla figura 12, nella quale r rappresenta ancora una semiretta che ruo-

ta attorno all’origine O, mentre r’ e la semiretta opposta, si deducono le

seguenti proprieta della tangente:

• tg 0◦ = tg 0 = 0;

• al crescere di α da 0◦ a 90◦ (cioe da 0 a π2 radianti) il punto T si

allontana sempre piu da A verso l’alto e per α = 90◦ la semiretta r

11

Figura 12: Variazione della tangente

e la retta a vengono ad essere tra loro parallele; ne consegue che al

crescere di α da 0◦ a 90◦ la tangente cresce, senza nessuna limitazione,

tendendo a +∞; indicheremo cio scrivendo:

per α → 90◦ (con α < 90◦) tgα → +∞;

• per α compreso tra 90◦ e 180◦ (cioe tra π2 e π radianti) la semiretta r

non interseca la retta a; l’intersezione T di a con la semiretta r’ (op-

posta della r) e nel quarto quadrante; la tangente di α risulta pertanto

negativa e tanto piu grande in valore assoluto quanto piu α e prossimo

a 90◦; indicheremo cio scrivendo:

per α− > 90◦ (con α > 90◦) tgα rightarrow −∞

• tg 180◦ = tg π = 0;

• quando l’angolo α cresce da 180◦ a 270◦ (cioe da π a 32π radianti) la

tangente risulta positiva e riprende i valori assunti per α compreso tra

0◦ e 90◦; analogamente, per α compreso tra 270◦ e 360◦ (cioe tra 32π e

2π radianti) la tangente riprende i valori assunti tra 90◦ e 180◦; diremo

quindi che la tangente e una funzione periodica dı periodo 180◦ (o π

radianti) e scriveremo:

tg(α + k 180◦) = tg(α + k π) = tgα

dove k e un qualunque numero intero, positivo, negativo o nullo;

12

• la tangente di un angolo orientato α, al variare dell’angolo puo as-

sumere qualunque valore reale; cioe varia, come suoi dirsi, da −∞ a

+∞.

Figura 13: Andamento della tangente

Nella figura 13 e graficamente rappresentata, nel piano cartesiano, la

funzione y = tgx. Questa curva viene detta tangentoide.

Lo studio della variazione della cotangente di un angolo orientato α e

del tutto analogo a quello fatto per la tangente. Nella figura 14 e riportata

la cotangentoide, rappresentazione grafica della funzione y = ctgx.

Figura 14: Andamento della cotangente

13

Relazioni tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo (o

arco)

Tra le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente di uno

stesso angolo α sussistono le relazioni:

senα

cosα= tgα

cosα

senα= ctgα ctgα =

1tgα

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PHO della

figura 15 si puo dedurre quest’altra relazione:

sen2 α + cos2 α = 1 (1)

secondo la quale la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stes-

so angolo e ugnale ad 1. A questa identita si da il nome di relazione

fondamentale della goniometria.

Figura 15: .

Dalla relazione fondamentale della goniometria si puo ricavare il seno di

un angolo, noto il suo coseno, e viceversa:

sen α = ±√

1− cos2α, cos α = ±√

1− sen2α

Il doppio segno deriva dal fatto che il seno ed il coseno di un angolo a

assumono valori positivi o negativi a seconda del quadrante nel quale giace

la semiretta r, secondo lato dell’angolo.

14

Esempi

1. Sapendo che 0◦< α <90◦ e che senα = 23 , determinare il valore di

cos α e di tg α.

Essendo 0◦ < α < 90◦, e quindi cos α > 0, avremo

cos α = +√

1− sen2 α =√

1− 49

=

e pertanto:

tg α =senα

cosα=

23√5

3

=2√5

=2√

55

2. Sapendo che 32π < α < 2π e che cosα = 3

5 , determinare senα, tg α e

ctg α.

Per 32π < α < 2π e senα < 0; quindi:

senα = −√

1− cos2α = −√

1− 925

= −45

tg α =senα

cosα= −4

3, ctg α =

1tg α

= −34

Dalla relazione fondamentale della goniometria e dalle altre relazioni

precedentemente riportate si possono ricavare delle formule mediante le

quali, noto il valore di una delle funzioni goniometriche e noto il quadrante

in cui giace la semiretta r, si calcolano i valori delle altre funzioni gonio-

metriche elementari. Nella tabella di seguito riportata sono riunite tutte le

formule che danno i valori di tre funzioni goniometriche in funzione di una

quarta, supposta nota.

15

VALORI

NOTO senα cosα tg α ctg α

senα senα ±√1− sen2 α ± sen α√1−sen2 α

±√

1−sen2 αsen α

cos α ±√1− cos2 α cosα ±√

1−cos2 αcos α ± cos α√

1−cos2 α

tg α ± tg α√1+tg2 α

± 1√1+tg2 α

tg α 1tg α

ctg α ± 1√1+ctg2 α

± ctg α√1+ctg2 α

1ctg α ctg α

Esempi

1. Esprimere in funzione di senα, e poi semplificare, la seguente espres-

sione goniometrica:

2cosec2 α− 3 + cos2 α

1− cos2 α

dove cosec = 1sen α . Dalla definizione di cosecante e dalla relazione

fondamentale della goniometria si ottiene:

2sen2 α

− 3 + 1− sen2 α

sen2 α=

sen2 α− 2sen2 α

2. Esprimere in funzione di tg α, e poi semplificare, la seguente espres-

sione:

senα

(2sen2 α

cosα+ cos α

).

Tenendo presenti le relazioni esaminate si ha:

senα2sen2 α + cos2 α

cos α=

senα

cosα(1 + sen2 α) =

= tg α

(1 +

tg2 α

1 + tg2 α

)=

tg α(1 + 2tg2 α)1 + tg2 α

16

Funzioni goniometriche di alcuni angoli (o archi) particolari

Servendoci delle definizioni date di seno, coseno, tangente e cotangente

di un angolo (o arco) orientato, vogliamo ora determinare il valore di queste

funzioni per gli angoli di 30◦, 60◦, 45◦ e 18◦.

Per risolvere il problema che ci siamo proposti occorre tenere presenti

le relazioni che intercorrono tra i lati di un triangolo rettangolo avente gli

angoli acuti di 30◦ e 60◦, tra i lati di un triangolo rettangolo isoscele e tra il

lato di un decagono regolare ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto.

Figura 16: .

Nelle figure 16a) e 16b) sono rappresentati due angoli orientati, rispet-

tivamente di 30◦ e 60◦. In entrambe il triangolo rettangolo OPH e la meta

di un triangolo equilatero di lato OP = 1. Ne consegue che per l’angolo di

30◦ (o π6 ) si ha:

sen30◦ = senπ

6=

12, cos30◦ = cos

π

6=√

32

tg30◦ = tgπ

6=

sen30◦

cos30◦=√

33

, ctg30◦ = ctgπ

6=√

3

mentre per l’angolo di 60◦ (o π3 ) si ha:

sen60◦ = senπ

3=√

32

, cos60◦ = cosπ

3=

12

tg60◦ = tgπ

3=√

3, ctg60◦ = ctgπ

3=√

33

Nella figura 17 e rappresentato un angolo di 45◦. Il triangolo rettangolo

isoscele OPH e in questo caso la meta di un quadrato di diagonale OP = 1.

17

Figura 17: .

Ne consegue che:

sen45◦ = senπ

4=√

22

, cos45◦ = cosπ

4=√

22

tg45◦ = tgπ

4= 1, ctg45◦ = ctg

π

4= 1

Ricapitolando:

FUNZIONI

ANGOLI (x) sen x cos x tg x ctg x

0 = 2π 0 1 0 +∞

π6

12

√3

2

√3

3

√3

π4

√2

2

√2

2 1 1

π3

√3

212

√3

√3

3

π2 1 0 +∞ 0

π 0 −1 0 −∞

18

Interpretazione goniometrica del coefficiente angolare di una

retta

Nella figura 18 e tracciata una retta r passante per l’origine O del sistema

di riferimento e formante un angolo α con la direzione positiva dell’asse x.

Com’e noto l’equazione della retta e:

y = mx

dove m e una costante detta coefficiente angolare della retta stessa. Per ogni

punto P della retta e dunque:

yP

xP= m

Figura 18: .

Ma essendo anche (per la definizione di tangente data nei paragrafi

precedenti):yP

xP= tg α

se ne deduce che:

m = tg α.

cioe che il coefficiente angolare di una retta e la tangente goniometrica del-

l’angolo che essa forma con la direzione positiva dell’asse x. Ne consegue

che una retta che forma con la direzione positiva dell’asse x un angolo, ad

esempio di 30◦, ha per coefficiente angolare m =√

33 e quindi per equazione

y =√

33 x; una retta che forma un angolo di 60◦ ha per coefficiente angolare

m =√

3 e quindi per equazione y =√

3x; e cosı via.

19

FORMULE DI ADDIZIONE

Verranno fornite senza dimostrazione.

• formula di sottrazione per il coseno

cos(α− β) = cos α · cos β + senα · sen β (2)

Ex: Calcola il valore di cos π12 .

Poicheπ

12=

π

4− π

6,

applicando la formula (2) si ha:

cosπ

12= cos

(π

4−π

6

)= cos

π

4·cos π

6+sen

π

4·sen π

6=√

22·√

32

+√

22·12

=√

2(√

3 + 1)4

• formula di addizione per il coseno

cos(α + β) = cos α · cos β − senα · sen β (3)

Ex: Calcola il valore di cos 512π.

Poiche512

π =π

4+

π

6,

applicando la formula (3)si ha:

cos512

π = cos

(π

4+

π

6

)= cos

π

4·cos π

6−sen

π

4·sen π

6=√

22·√

32−√

22·12

=√

2(√

3− 1)4

• formula di addizione per il seno

sen(α + β) = senα · cos β + cos α · sen β (4)

• formula di sottrazione per il seno

sen(α− β) = senα · cos β − cos α · sen β (5)

Ex. Risolvi l’equazione

sen

(π

6− x

)= 2cos x

Applicando la formula (5)

sen

(π

6

)cos x− cos

(π

6

)sen x = 2cos x

20

12cos x−

√3

2sen x = 2cos x

√3sen x = −3cos x

Dividento tutto per cos x 6= 0 ⇒ x 6= π2

tg x = − 3√3

⇒ tg x =√

3 ⇒ x =23π

FORMULE DI DUPLICAZIONE

• Formula di duplicazione per il coseno

cos 2α = cos2 α− sen2α (6)

• Formula di duplicazione per il seno

sen 2α = 2senα · cos α (7)

Ex. Risolvi l’equazione cos 2x + sen2 x = 1.

Per la (6) si ha

cos2 x− sen2 x + sen2 x = 1

cos2 x = 1 ⇒ cos x = ±1 ⇒ x = 0

Ex. Verifica che

cos2 α =cos2α + 1

2

FORMULE DI BISEZIONE

• Formula di bisezione per il coseno

cosα

2= ±

√1 + cos α

2(8)

Ex. Verifica che

sen2 α =1− cos2α

2

• Formula di bisezione per il seno

senα

2= ±

√1− cos α

2(9)

Ex. Calcola il seno e il coseno di π8 .

senπ

8=

√2−√2

2⇒ cos

π

8=

√2 +

√2

2

21

Teoremi relativi al triangolo rettangolo

Nella figura 19 e rappresentato un triangolo rettangolo. Con A e indicato

il vertice dell’angolo retto, con B e C sono indicati gli altri due vertici; α, β, γ

sono gli angoli di vertici rispettivamente A, B, C ed a, b, e le misure dei lati

ad essi opposti.

Stabiliamo di seguire le convenzioni ora descritte per denominare, d’ora

in poi, gli elementi di ogni triangolo rettangolo (cioe le misure dei suoi lati

e dei suoi angoli).

Figura 19: .

Nella figura 20 e rappresentato il medesimo triangolo rettangolo della

figura precedente, riferito in questo caso ad un sistema di assi cartesiani

ortogonali avente l’origine in B, l’asse delle x nella direzione e nel verso del

segmento BA, orientato da B verso A. Il punto C giace nel primo quadrante

del suddetto sistema.

I valori delle funzioni goniometriche dell’angolo acuto β possono venir

determinati mediante le misure a, b, c. Per le definizioni date nel paragrafo

iniziale e infatti:

sen β =b

a, cos β =

c

a, tg β =

b

c, ctg β =

c

b,

Da queste relazioni di ricavano (nell’ordine) queste altre:

b = a · sen β, c = a · cos β, b = c · tg β, c = b · ctg β,

22

Figura 20: .

Tenendo presente il significato convenzionale attribuito ad a, b, e e ad

α, β, γ le uguaglianze trovate possono venir generalizzate ed interpretate

come teoremi relativi al triangolo rettangolo. Enunciamo detti teoremi:

• in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto e uguale a quella

dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto;

• in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto e uguale a quella

dell’ipotenusa moltiplicata per il coseno dell’angolo acuto adiacente al

cateto;

• in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto e uguale a quella

dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al

primo;

• in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto e uguale a quel-

la dell’altro cateto moltiplicata per la cotangente dell’angolo acuto

adiacente al primo.

Di questi teoremi valgono ovviamente anche gli inversi. Dal primo, ad

esempio, possiamo trarre i due inversi:

• in ogni triangolo rettangolo la misura dell’ipotenusa e uguale al rap-

porto tra la misura un cateto ed il seno dell’angolo ad esso opposto;

• in ogni triangolo rettangolo il seno di un angolo acuto e uguale al

rapporto tra le misure del cateto opposto e dell’ipotenusa.

23

E cosı via per gli altri.

Esempi

1. In un triangolo rettangolo le misure dei cateti sono: b = 14 cm e c = 48

cm. Risolvere il triangolo. (Risolvere un triangolo significa, noti

tre dei suoi elementi di cui almeno uno sia un lata, trovare

gli altri tre).

Per l’ipotenusa a si ha:

a =√

b2 + c2 = 50cm.

Per l’angolo β si ha:

tgβ =1448' 0, 29167.

Da apposite tavole, o mediante l’uso della calcolatrice tascabile, si

ricava:

β ' 16◦16′

Ne consegue che:

γ = 90◦ − β ' 73◦44′

2. In un triangolo rettangolo si ha: a = 40cm e β = 18◦. Risolverlo.

Si ha:

b = a senβ = 40 ·√

5− 14

cm = 10(√

5− 1)cm

c = a · cosβ = 40 ·√

10 + 2√

54

cm = 10√

10 + 2√

5cm;

γ = 90◦ − 18◦ = 72◦.

II teorema della corda ed il teorema dei seni

Teorema della corda: La misura di una corda di una circonferenza e

uguale al prodotto tra la misura del diametro ed il seno di uno qualunque

degli angoli alla circonferenza che esistono su uno dei due archi sottesi dalla

corda .

24

Figura 21: .

Nella figura 21 e rappresentata una circonferenza di raggio r e centro O

ed e tracciata una sua corda PQ.

I punti A e A’ appartengono rispettivamente all’arco PQ maggiore e

all’arco PQ minore. Osserviamo che gli angoli PAQ e PA Q sono supple-

mentari (angoli opposti di un quadrilatreo inscritto in una circonferenza) e

pertanto hanno il medesimo seno. Tracciamo il diametro avente un estremo

in Q e sia R il suo secondo estremo. Osserviamo che gli angoli PRQ e PAQ

sono uguali (angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco). Il

triangolo RPQ, essendo inscritto in una semicirconferenza, e rettangolo in

P e pertanto per il suo cateto PQ vale la relazione:

PQ = QR senα = 2 r senα.

Ma poiche e anche, come s’e detto:

sen(π − α) = senα

si ha pure:

PQ = 2rsen(π − α)

e la tesi risulta dimostrata.

Mediante il teorema della corda si puo dimostrare il teorema dei seni

(o di Eulero), che stabilisce una relazione tra gli elementi di un triangolo.

Questo afferma che in un triangolo qualunque e costante il rapporto tra la

misura di un lato ed il seno dell’angolo opposto; cioe che, indicati con A, B,

25

C i tre vertici di un triangolo, con α, β, γ i tre angoli corrispondenti con a,

b, c le misure dei lati rispettivamente opposti agli angoli di vertici A, B, C

(seguiremo d’ora in poi questa convenzione per indicare gli elementi di un

triangolo), si ha:a

senα=

b

sen β=

c

sen γ

Infatti, se consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo (fig. 22)

e applichiamo ad ogni lato il teorema della corda, otteniamo:

a = 2rsenα, b = 2rsenβ, c = 2rsenγ

e quindi:a

sen α= 2r,

b

sen β= 2r,

c

sen γ= 2r

Per la proprieta transitiva dell’uguaglianza si ha percio:

a

senα=

b

sen β=

c

sen γ

Figura 22: .

Esempio

In un triangolo e a = 20 cm, α = 25◦, β = 80◦. Determinare gli altri

elementi.

Per il teorema dei seni si ha l’uguaglianza:

a

senα=

b

sen β

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dalla quale si ricava:

b =asenβ

senα

Essendo:

sen β ' 0, 98481, senα ' 0, 42262

si ottiene:

b =20 · 0, 98481

0, 42262cm ' 46, 60499cm

Essendo poi:

γ = 180◦ − (α + β) = 75◦ e sen75◦ = 0, 96593

si ha anche:

c =asen γ

senα' 20 · 0, 96593

0, 42262cm ' 45, 71151cm

II teorema delle proiezioni ed il teorema del coseno

Teorema delle proiezioni: In un qualunque triangolo la misura di

un lato e uguale alla somma dei prodotti di quelle degli altri due lati per il

coseno dell’angolo che ciascuno di questi forma con il primo; cioe che tra

gli elementi di un qualsiasi triangolo valgono ie relazioni:

a = b cos γ + c cosβ

b = a cos γ + c cosα

c = a cosβ + b cosα

Per dimostrarlo consideriamo la figura 23.

Nella prima l’altezza AH del triangolo ABC cade internamente al lato BC;

si ha pertanto:

a = BH + HC = c cosβ + b cosγ.

Nella seconda l’altezza AH cade esternamente al lato BC; in questo caso si

ha pertanto:

a = BH − CH = c cosβ − b cos(π − γ) = c cosβ + b cosγ.

Per il lato a vale dunque, in ogni caso, il teorema delle proiezioni; in modo

analogo si dimostra che vale anche per ciascuno degli altri lati.

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Figura 23: .

Come immediata conseguenza del teorema delle proiezioni si ha il teore-

ma del coseno (o di Carnot): In un triangolo qualsiasi, il quadralo della

misura di ogni lato e uguale alla somma dei quadrati delle misure degli al-

tri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi per il coseno

dell’angolo tra essi compreso; valgono cioe le relazioni:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ

c2 = a2 + b2 − 2ab cosγ

Lo dimostriamo per un lato, ad esempio per a.

Consideriamo le tre uguaglianze che esprimono il teorema delle proiezioni

per ciascuno dei lati e, seguendo l’ordine nel quale sono state scritte, molti-

plichiamo ambo i membri della prima per a, ambo i membri della seconda

per - b, ambo i membri della terza per - c:

a=ab cos γ + ac cosβ

−b2 = −ab cos γ − bc cosα

−c2 = −ac cosβ − bc cosα

Sommando membro a membro queste tre uguaglianze e riducendo i

termini simili, si ottiene:

a2 − b2 − c2 = −2bccosα

da cui si ricava:

a2 = b2 + c2 − 2bccosα

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che e quanto volevamo dimostrare.

Osservazione: Il teorema di Pitagora puo essere considerato un caso

particolare del teorema di Carnot.

Infatti, se α = 90◦ e cosα = 0 e pertanto, per il teorema di Carnot, si ha:

a2 = b2 + c2

che e appunto la relazione tra ipotenusa e cateti espressa dal teorema di

Pitagora.

Esempio

In un triangolo si ha: a=12cm, b=18cm, γ = 60◦. Determinare la misura

c del terzo lato.

Dal teorema del coseno si ha:

c =√

a2 + b2 − 2ab cosγ =√

(144 + 324− 216)cm2 ' 15, 87cm

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