Dispensa di Matematica per la classe 4. C

Anno scolastico 2017-2018

GONIOMETRIA E

TRIGONOMETRIA

Nome e Cognome:

2

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

In un triangolo rettangolo con ipotenusa 1 e angolo 𝛼

i due cateti sono 𝐬𝐢𝐧 𝜶 e 𝐜𝐨𝐬 𝜶.

In una circonferenza di raggio 1 disegniamo un angolo 𝛼.

La lunghezza della circonferenza è 2𝜋.

La lunghezza dell’arco di circonferenza è l’angolo 𝜶 in radianti.

La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio 1

e centro nell’origine del piano 𝑥𝑂𝑦.

1) la distanza tra P e O è sempre 1 |𝑂𝑃| = 1

2) il punto P ha coordinate 𝑷(𝐜𝐨𝐬 𝜶 ; 𝐬𝐢𝐧 𝜶)

3) la parte verde è il coseno di alfa

4) la parte blu è il seno di alfa

5) la parte rossa è la tangente di alfa

GUARDA SU INTERNET IL FILE SIN COS TAN

La tangente di un angolo è 𝐭𝐚𝐧 𝜶 =𝐬𝐢𝐧 𝜶

𝐜𝐨𝐬 𝜶.

Il significato grafico è il segmento ET: 𝐭𝐚𝐧 𝜶 = |𝑬𝑻|

1) |𝑂𝑃| = |𝑂𝐸| = 1 |𝑂𝐷| = cos 𝛼 |𝐷𝑃| = sin 𝛼

2) Nel triangolo ODP: 𝐭𝐚𝐧 𝜶 =𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜=

𝐬𝐢𝐧 𝜶

𝐜𝐨𝐬 𝜶

3) Nel triangolo OET: 𝐭𝐚𝐧 𝜶 =𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑜=

|𝐸𝑇|

1= |𝑬𝑻|

4) I risultati sono uguali: |𝑬𝑻| =𝐬𝐢𝐧 𝜶

𝐜𝐨𝐬 𝜶

3

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Angolo 0°, 0 radianti

oppure 360°, 2𝜋

𝑃(1,0) 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = 𝟏

𝐬𝐢𝐧 𝟎 = 𝟎 𝐭𝐚𝐧 𝟎 = 𝟎

30°, 𝜋

6 radianti

APO è equilatero

𝑃 (√3

2,

1

2) 𝐜𝐨𝐬

𝝅

𝟔=

√𝟑

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝝅

𝟔=

𝟏

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝝅

𝟔=

√𝟑

𝟑

45°, 𝜋

4 radianti

APCO è un quadrato

𝑃 (√2

2,

√2

2) 𝐜𝐨𝐬

𝝅

𝟒=

√𝟐

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝝅

𝟒=

√𝟐

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝝅

𝟒= 𝟏

60°, 𝜋

3 radianti

come 30° ma “in piedi”

𝑃 (1

2,

√3

2) 𝐜𝐨𝐬

𝝅

𝟑=

𝟏

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝝅

𝟑=

√𝟑

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝝅

𝟑= √𝟑

90°, 𝜋

2 radianti

𝑃(0,1) 𝐜𝐨𝐬𝝅

𝟐= 𝟎

𝐬𝐢𝐧𝝅

𝟐= 𝟏 𝐭𝐚𝐧

𝝅

𝟐= ∄

120°, 2𝜋

3 radianti

𝑃 (−1

2,

√3

2) 𝐜𝐨𝐬

𝟐𝝅

𝟑= −

𝟏

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟐𝝅

𝟑=

√𝟑

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝟐𝝅

𝟑= −√𝟑

135°, 3𝜋

4 radianti

𝑃 (−√2

2,

√2

2) 𝐜𝐨𝐬

𝟑𝝅

𝟒= −

√𝟐

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟑𝝅

𝟒=

√𝟐

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝟑𝝅

𝟒= −𝟏

150°, 5𝜋

6 radianti

𝑃 (−√3

2,

1

2) 𝐜𝐨𝐬

𝟓𝝅

𝟔= −

√𝟑

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟓𝝅

𝟔=

𝟏

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝟓𝝅

𝟔= −

√𝟑

𝟑

180°, 𝜋 radianti

𝑃(−1,0) 𝐜𝐨𝐬 𝝅 = −𝟏

𝐬𝐢𝐧 𝝅 = 𝟎 𝐭𝐚𝐧 𝝅 = 𝟎

210°, 7𝜋

6 radianti

𝑃 (−√3

2, −

1

2) 𝐜𝐨𝐬

𝟕𝝅

𝟔= −

√𝟑

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟕𝝅

𝟔= −

𝟏

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝟐𝝅

𝟑=

√𝟑

𝟑

225°, 5𝜋

4 radianti

𝑃 (−√2

2, −

√2

2) 𝐜𝐨𝐬

𝟓𝝅

𝟒= −

√𝟐

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟓𝝅

𝟒= −

√𝟐

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝟓𝝅

𝟒= 𝟏

240°, 4𝜋

3 radianti

𝑃 (−1

2, −

√3

2) 𝐜𝐨𝐬

𝟒𝝅

𝟑= −

𝟏

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟒𝝅

𝟑= −

√𝟑

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝟒𝝅

𝟑= √𝟑

270°, 3𝜋

2 radianti

𝑃(0, −1) 𝐜𝐨𝐬𝟑𝝅

𝟐= 𝟎

𝐬𝐢𝐧𝟑𝝅

𝟐= −𝟏 𝐭𝐚𝐧

𝟑𝝅

𝟐= ∄

300°, 5𝜋

3 radianti

𝑃 (1

2, −

√3

2) 𝐜𝐨𝐬

𝟓𝝅

𝟑=

𝟏

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟓𝝅

𝟑= −

√𝟑

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝟓𝝅

𝟑= −√𝟑

315°, 7𝜋

4 radianti

𝑃 (√2

2, −

√2

2) 𝐜𝐨𝐬

𝟕𝝅

𝟒=

√𝟐

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟕𝝅

𝟒= −

√𝟐

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝟕𝝅

𝟒= −𝟏

330°, 11𝜋

6 radianti

𝑃 (√3

2, −

1

2) 𝐜𝐨𝐬

𝟏𝟏𝝅

𝟔=

√𝟑

𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟏𝟏𝝅

𝟔= −

𝟏

𝟐 𝐭𝐚𝐧

𝟏𝟏𝝅

𝟔= −

√𝟑

𝟑

4

FUNZIONE 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙

Il disegno della funzione si chiama sinusoide. Caratteristiche:

1) periodica di periodo 𝟐𝝅, cioè sin 𝑥 = sin(𝑥 + 2𝑘𝜋)

2) il campo di esistenza della 𝑥 è (−∞ ; +∞)

3) il codominio della 𝑦 è [−1 ; +1]

4) non ci sono asintoti

5) incontra gli assi in infiniti punti: 𝑶(𝟎 ; 𝟎), (𝜋; 0), (2𝜋; 0), (3𝜋; 0) … (𝑘𝜋; 0)

6) è dispari, cioè simmetrica rispetto al centro, cioè 𝐬𝐢𝐧(−𝒙) = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙

7) sin 𝑥 > 0 per 𝑥 ∈ (0; 𝜋)

8) sin 𝑥 < 0 per 𝑥 ∈ (𝜋; 2𝜋)

La funzione del seno descrive le onde sonore, le onde luminose, le onde... marine. Molte cose assomigliano alla sinusoide: la

variazione del tempo durante l’anno, il nostro umore, i risultati a scuola...

Alle nostre orecchie e ai nostri occhi arriva un suono o una luce che ha questa forma, e il nostro cervello è capace di trasformare

questa forma in una sensazione, in un suono, in un colore. È incredibile! Siamo meglio di un computer...

5

FUNZIONE 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙

Caratteristiche:

1) periodica di periodo 𝟐𝝅, cioè cos 𝑥 = cos(𝑥 + 2𝑘𝜋)

2) il campo di esistenza della 𝑥 è (−∞ ; +∞)

3) il codominio della 𝑦 è [−1 ; +1]

4) non ci sono asintoti

5) incontra gli assi in infiniti punti: 𝑶(𝟎 ; 𝟏), (𝜋

2; 0) , (

3

2𝜋; 0) , (

5

2𝜋; 0) … (

2𝑘+1

2 𝜋; 0)

6) è pari, cioè simmetrica rispetto all’asse 𝑦, cioè 𝐜𝐨𝐬(−𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙

7) cos 𝑥 > 0 per 𝑥 ∈ (−𝜋

2;

𝜋

2)

8) sin 𝑥 < 0 per 𝑥 ∈ (𝜋

2;

3𝜋

2)

La funzione del coseno è uguale a quella del seno, ma spostata a sinistra (o a destra?)

6

FUNZIONE 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙

Caratteristiche:

1) periodica di periodo 𝜋, cioè 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧(𝒙 + 𝝅)

2) campo di esistenza 𝒙 ≠𝝅

𝟐+ 𝒌𝝅,

3) ha infiniti asintoti, le rette 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋

4) codominio 𝒚 ∈ (−∞ ; +∞)

5) è dispari, cioè simmetrica rispetto al centro, cioè 𝐭𝐚𝐧(−𝒙) = − 𝐭𝐚𝐧 𝒙

6) incontra gli assi nei punti: 𝑶(𝟎 ; 𝟎), (𝜋; 0), (2𝜋; 0), (3𝜋; 0) … (𝑘𝜋; 0)

7) tan 𝑥 < 0 quando 𝑥 ∈ (0; 𝜋

2)

8) tan 𝑥 > 0 quando 𝑥 ∈ (𝜋

2; 𝜋)

Ci sono dei punti in cui la funzione non esiste, gli asintoti sono disegnati in giallo.

7

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

1. 𝑥 è un ANGOLO, invece seno, coseno, tangente sono NUMERI. Le soluzioni sono ANGOLI!

2. Le equazioni 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑐𝑜𝑠𝑎 hanno di solito 2 soluzioni in [0; 2𝜋):

𝒙𝟏 = 𝜶 𝒙𝟐 = 𝝅 − 𝜶 Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione

3. Le equazioni 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑐𝑜𝑠𝑎 hanno di solito 2 soluzioni in [0; 2𝜋):

𝒙𝟏 = 𝜶 𝒙𝟐 = 𝟐𝝅 − 𝜶 Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione

4. sin 𝑥 e cos 𝑥 hanno periodo 2𝑘𝜋, cioè le soluzioni sono 𝑥1 + 2𝑘𝜋 𝑥2 + 2𝑘𝜋

5. Le equazioni sin 𝑥 = 1, , sin 𝑥 = −1, , cos 𝑥 = 1, cos 𝑥 = −1 hanno UNA soluzione in [0; 2𝜋).

6. Fuori da [−1; 1] l’equazione con seno e coseno è SENZA soluzioni: sin 𝑥 = √2, cos 𝑥 = −2…

7. Le equazioni 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑐𝑜𝑠𝑎 hanno SEMPRE 2 soluzioni in [0; 2𝜋):

𝒙𝟏 = 𝜶 𝒙𝟐 = 𝝅 + 𝜶 Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione

8. tan 𝑥 ha periodo 𝑘𝜋, cioè le soluzioni sono 𝑥1 + 𝑘𝜋

sin 2𝑥 ha periodo 𝑘𝜋, sin 3𝑥 periodo 2𝑘𝜋

3, sin 4𝑥 periodo

𝑘𝜋

2, sin 5𝑥 periodo

2𝑘𝜋

5…

sin𝑥

2 ha periodo 4𝑘𝜋, sin

𝑥

3 ha periodo 6𝑘𝜋… La stessa cosa vale per il coseno.

La tangente ha sempre periodo metà di seno e coseno.

8

FORMULE:

Fondamentali:

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 = 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝒙 =𝐬𝐢𝐧 𝒙

𝐜𝐨𝐬 𝒙 cot 𝑥 =

cos 𝑥

sin 𝑥

cos2 𝑥 significa (cos 𝑥)2 mentre cos 𝑥2 significa cos(𝑥2)

Periodicità:

cos 𝑥 = cos(𝑥 + 2𝜋) sin 𝑥 = sin(𝑥 + 2𝜋) tan 𝑥 = tan(𝑥 + 𝜋)

Simmetrie:

𝐜𝐨𝐬(−𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧(−𝒙) = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 tan(−𝑥) = − tan 𝑥

cos (𝜋

2− 𝑥) = sin 𝑥 sin (

𝜋

2− 𝑥) = cos 𝑥 tan (

𝜋

2− 𝑥) = cot 𝑥

cos(𝜋 − 𝑥) = − cos 𝑥 sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥 tan(𝜋 − 𝑥) = − tan 𝑥

Somma, differenza, duplicazione:

𝐜𝐨𝐬(𝒙 + 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒚

𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝒙 − 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝐬𝐢𝐧 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒙

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 (= 2 cos2 𝑥 − 1 = 1 − 2 sin2 𝑥) 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙

Teorema dei seni: Teorema del coseno: Formule area triangolo:

sin 𝛼

𝑎=

sin 𝛽

𝑏=

sin 𝛾

𝑐 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 𝐴𝑟𝑒𝑎 =

𝑏𝑎𝑠𝑒∙𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎

2

oppure 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝛽 𝐴 = √𝑎+𝑏+𝑐

2∙

−𝑎+𝑏+𝑐

2∙

𝑎−𝑏+𝑐

2∙

𝑎+𝑏−𝑐

2

𝑎

sin 𝛼=

𝑏

sin 𝛽=

𝑐

sin 𝛾 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 𝐴 =

𝑎∙𝑏∙sin 𝛾

2=

𝑏∙𝑐∙sin 𝛼

2=

𝑐∙𝑎∙sin 𝛽

2

9

ESERCIZI BASE DI TRIGONOMETRIA

Risolvere un triangolo significa trovare tutti gli angoli, tutti i lati, perimetro e area usando i teoremi dei seni e

del coseno. Di seguito alcuni esempi:

1. Conosco tre lati 𝑎 = 7 cm, 𝑏 = 3 cm, 𝑐 = 5 cm.

Uso uno dei teoremi del coseno, ad esempio il secondo:

32 = 72 + 52 − 2 ∙ 7 ∙ 5 cos 𝛽 cos 𝛽 =65

70=

13

14 𝛽 = 21,79°

Uso di nuovo il teorema del coseno: 72 = 32 + 52 − 2 ∙ 3 ∙ 5 cos 𝛼 𝛼 = 120°

Il terzo angolo è 𝛾 = 180° − 𝛽 − 𝛼 𝛾 = 38,21°

2. Conosco due lati e l’angolo tra i lati 𝑎 = 8 cm, 𝑏 = 5 cm, 𝛾 = 60°.

Uso il teorema del coseno 𝑐2 = 82 + 52 − 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ cos 60° 𝑐 = 7 cm

Poi continuo come l’esempio 1 𝛼 = 81,79°

𝛽 = 38,21°

3. Conosco un lato e due angoli 𝑏 = 10 cm, 𝛼 = 40°, 𝛽 = 75°.

Trovo subito 𝛾 = 180° − 𝛼 − 𝛽 𝛾 = 65°

Uso il teorema dei seni 10

sin 75°=

𝑎

sin 40° 𝑎 = 6,65 cm

Uso il teorema dei seni 10

sin 75°=

𝑐

sin 65° 𝑐 = 9,38 cm

4. Conosco 2 lati e l’angolo non compreso 𝑏 = 7 cm, 𝑐 = 5 cm, 𝛾 = 40°

Uso il teorema dei seni 5

sin 40°=

7

sin 𝛽 Due possibili soluzioni 𝛽 = 64,15° 𝛽 = 115,85°

Trovo il terzo angolo 𝛼 = 180° − 𝛽 − 𝛾 𝛼 = 75,85° 𝛼 = 24,15°

Uso il teorema del coseno 𝑎2 = 72 + 52 − 2 ∙ 7 ∙ 5 cos 𝛼 𝑎 = 7,54 cm 𝑎 = 3,18 cm

✓ Usa sempre la formula con una sola incognita

✓ Dai precedenza al teorema del coseno

✓ Se si usa il teorema del seno per trovare un angolo possono esserci 2 soluzioni!

10

ESERCIZI:

1) Il perimetro di una circonferenza di raggio 1 è 2𝜋. Trova la lunghezza della parte rossa:

2) Scrivi una regola per passare da gradi a radianti.

3) Scrivi una regola per passare da radianti a gradi.

Scrivi in radianti l’angolo che formano le lancette dell’orologio alle ore:

4) 6:00

5) 9:00

6) 3:00

7) 1:00

8) 2:00

9) 11:00

10) 12:00

11) 4:00

12) 8:00

13) 7:00

14) 5:00

15) 10:00

16) 4:30

17) 7:30

18) 10:30

19) 1:30

Trasforma da gradi in radianti:

20) 30°

21) 45°

22) 90°

23) 60°

24) 120°

25) 150°

26) 210°

27) 270°

28) 225°

29) 0°

30) 240°

31) 330°

32) −45°

33) 315°

34) 360°

35) 180°

36) 300°

37) 100°

38) 10°

39) 1°

40) 18°

41) −1°

42) 15°

43) 36°

44) 720°

45) 1080°

46) 450°

47) 2°

Trasforma da radianti a gradi:

48) 𝜋

4

49) 2

3𝜋

50) 𝜋

51) 3

4𝜋

52) 3

2𝜋

53) 𝜋

3

54) 7

4𝜋

55) 2𝜋

56) 5

3𝜋

57) 𝜋

6

58) 5

6𝜋

59) 11

6𝜋

60) 3𝜋

61) 7

6𝜋

62) 𝜋

2

63) 5

4𝜋

64) 2

5𝜋

65) 4𝜋

66) 5

3𝜋

67) 9

4𝜋

11

Trasforma questi angoli in angolo compresi tra [0; 360) oppure tra [0; 2𝜋):

68) 400° =

69) 720° =

70) 1000° =

71) 600° =

72) 5

2𝜋 =

73) 7𝜋 =

74) 10

3𝜋 =

75) 450° =

76) −90° =

77) −180° =

78) 500° =

79) 7

2𝜋 =

80) 25𝜋 =

81) 17

6𝜋 =

82) 1200° =

83) 1440° =

84) 700° =

85) 405° =

86) −𝜋

4=

87) −4𝜋 =

88) 11

2𝜋 =

89) −45° =

90) −60° =

91) −30° =

92) −360° =

93) −𝜋 =

94) −𝜋

2=

95) −𝜋

3=

Trova SENZA CALCOLATRICE il risultato:

96) cos 30° =

97) sin 60° =

98) tan 45° =

99) sin 30° =

100) cos 45° =

101) tan 90° =

102) sin 0° =

103) cos 90° =

104) tan 0° =

105) tan 60° =

106) cos 135° =

107) sin 270° =

108) cos 300° =

109) tan 270° =

110) cos 315° =

111) sin 330° =

112) tan 180° =

113) cos 360° =

114) sin 225° =

115) tan 315° =

116) cos 𝜋 =

117) tan𝜋

3=

118) sin3

4𝜋 =

119) tan7

6𝜋 =

120) cos11

6𝜋 =

121) sin5

3𝜋 =

122) tan5

4𝜋 =

123) cos3

2𝜋 =

124) sin 2𝜋 =

125) tan7

4𝜋 =

126) cos7

4𝜋 =

127) sin5

6𝜋 =

128) cos5

3𝜋 =

129) tan5

3𝜋 =

130) sin7

4𝜋 =

131) tan𝜋

4=

132) cos9

2𝜋 =

133) cos𝜋

2=

134) sin7

3𝜋 =

135) tan25

4𝜋 =

136) sin 600° =

137) Disegna le funzioni 𝑦 = sin 𝑥 e 𝑦 = cos 𝑥.

𝑥 𝑦

0

𝜋 6⁄

𝜋 4⁄

𝜋 3⁄

𝜋 2⁄

2 𝜋 3⁄

5𝜋 6⁄

𝜋

7𝜋 6⁄

…

− 𝜋 6⁄

12

138) I dati si riferiscono al triangolo rettangolo in figura. Completa CON LA CALCOLATRICE

la tabella (le misure sono in centimetri):

Triangolo |𝐴𝐶| |𝐵𝐶| |𝐴𝐵| 𝛽 cos 𝛽 sin 𝛽 tan 𝛽 |𝐴𝐶|

|𝐵𝐶| cos2 𝛽 + sin2 𝛽

1° 1 10°

2° 1 20°

3° 1 30°

4° 1 40°

5° 1 50°

6° 1 60°

7° 1 70°

8° 1 80°

139) Usa goniometro e righello. In tutti questi triangoli usiamo le lettere come nella figura a destra. Tutte le

misure sono in centimetri. Completa la tabella e disegna tutti i triangoli SENZA CALCOLATRICE:

|𝐵𝐶| |𝐴𝐶| |𝐴𝐵| 𝛼 𝛽 𝛾 sin 𝛼 cos 𝛼 sin 𝛽 cos 𝛽 |𝐴𝐶|

|𝐴𝐵|

|𝐵𝐶|

|𝐴𝐵|

1° 3 70° 90°

2° 5 50° 90°

3° 4 50° 90°

4° 6 45° 90°

5° 5 30° 90°

6° 8 70° 90°

7° 4 4 90°

8° 3 6 90°

9° 4 2 90°

10° 8 45° 90°

11° 7 20° 90°

12° 7 70° 90°

13° 3 5 90°

13

140) Completa la tabella SENZA calcolatrice:

141) Per quali angoli il coseno è positivo?

142) Per quali angoli il coseno è negativo?

143) Per quali angoli il seno è positivo?

144) Per quali angoli il seno è negativo?

145) Per quali angoli la tangente è positiva?

146) Per quali angoli la tangente è negativa?

147) Disegna 30° e 135° in alto. Trova seno e coseno.

148) Quali angoli hanno seno e coseno uguali?

149) Trova tutte le soluzioni di sin 𝛼 =√3

2

150) Trova tutte le soluzioni di cos 𝛼 = 0,5

angolo gradi coseno seno

0 0° 1 0

𝜋

6

√3

2

1

2

𝜋

4

√2

2

𝜋

3

√3

2

𝜋

2 0

2

3𝜋 −

1

2

3

4𝜋

√2

2

5

6𝜋

𝜋 −1

7

6𝜋 −

1

2

5

4𝜋 −

√2

2

4

3𝜋

3

2𝜋

5

3𝜋

7

4𝜋

11

6𝜋

2𝜋

9

4𝜋 405°

√2

2

7

3𝜋

5

2𝜋

3𝜋

9

2𝜋

−𝜋

4

14

151) Completa la tabella senza calcolatrice, ma con

l’aiuto del disegno:

𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼 tan 𝛼

0,6

0,6

−0,4

−0,4

−1

Risolvi queste equazioni e disequazioni SENZA CALCOLATRICE nell’intervallo [0; 2𝜋):

152) sin 𝑥 = 1

153) cos 𝑥 =√2

2

154) tan 𝑥 =√3

3

155) cos 𝑥 = 0

156) sin 𝑥 =√3

2

157) cos 𝑥 = −1

2

158) tan 𝑥 = √3

159) cos 𝑥 = −√3

2

160) sin 𝑥 = −√3

2

161) tan 𝑥 = −1

162) cos 𝑥 = −√2

2

163) sin 𝑥 >√2

2

164) cos 𝑥 = 2

165) sin 𝑥 = −1

2

166) sin 𝑥 ≤ −1

2

167) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ≥ −𝟏

𝟐

168) tan 𝑥 > 1

169) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 < 𝟏

170) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ≤ 𝟏

171) tan 𝑥 = −√3

3

172) sin 𝑥 = 0

173) √2 cos 𝑥 = 2

174) 2 sin 𝑥 − 1 = 0

175) cos 𝑥 − √2 = 0

176) 2 sin 𝑥 + √2 = 0

177) tan 𝑥 − √3 ≤ 0

178) tan 𝑥 + √3 ≥ 0

179) 2 cos 𝑥 + √3 = 0

180) 2 sin 𝑥 − √3 ≤ 0

181) cos 𝑥 > √3

182) 𝐬𝐢𝐧 𝒙

𝐜𝐨𝐬 𝒙= 𝟏

183) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝟕

𝟒𝝅

184) 𝐬𝐢𝐧 𝒙

𝐜𝐨𝐬 𝒙≤ 𝟎

185) √𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙

186) cos 𝑥 = cos𝜋

3

187) sin 𝑥 + cos 𝑥 = 0

188) cos 𝑥 < −√3

2

189) sin 𝑥 > −2

190) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≤ −𝟏

191) sin 𝑥 = sin5𝜋

4

192) sin 𝑥 + 2 ≤ 0

193) sin(𝜋 + 𝑥) =1

2

194) cos (𝜋

2+ 𝑥) =

√2

2

195) tan(𝜋 + 𝑥) = −1

196) sin (𝑥 +2𝜋

3) =

√3

2

197) Risolvi gli esercizi 160-170 nell’intervallo (−∞; +∞).

167) 𝑥 ∈ [0;5

4𝜋] ∪ [

7

4𝜋; 2𝜋) 169) 𝑥 ≠ 0 170) 𝑥 ∈ [0; 2𝜋) 182) 𝑥 =

𝜋

4 𝑒

5

4𝜋

183) 𝑥 =7

4𝜋 e

5

4𝜋 184) 𝑥 ∈ (

𝜋

2; 𝜋] ∪ (

3

2𝜋; 2𝜋] 185) 𝑥 =

𝜋

3 𝑒

4

3𝜋 190) 𝑥 = 𝜋

15

Esercizi vari:

198) cos 𝑥 sin 𝑥 = 0

199) sin2 𝑥 = 0

200) (cos 𝑥 − 1)(sin 𝑥 + 1) = 0

201) (cos 𝑥 + tan𝜋

4) (cos 𝑥 − 1) = 0

202) (tan 𝑥 + 1)(2 sin 𝑥 − 1) = 0

203) (tan 𝑥 − √3) (cos 𝑥 −√2

2) = 0

204) (tan 𝑥 + log 10)(cos 𝑥 − 2) = 0

205) (sin 𝑥 − log4 2)(2 cos 𝑥 + √3) = 0

Trova TUTTE le soluzioni di queste equazioni nell’intervallo [0; 2𝜋):

206) sin 2𝑥 = 1

207) sin 3𝑥 =1

2

208) sin 4𝑥 = −1

209) tan 2𝑥 =√3

3

210) cos 3𝑥 =1

2

211) cos 5𝑥 = −1

2

212) tan 4𝑥 = 1

213) sin 3𝑥 = −√2

2

214) tan 3𝑥 = −1

215) cos 4𝑥 = −1

2

216) tan 4𝑥 = −√3

217) sin 2𝑥 = −1

2

218) cos 4𝑥 = −1

219) cos 5𝑥 =√3

2

220) sin 3𝑥 = −√3

2

221) cos(−𝑥) =√2

2

222) sin(−𝑥) = 0

223) tan(−𝑥) = 1

Risolvi queste equazioni nell’intervallo (−∞; +∞) con la sostituzione 𝑎 = cos 𝑥:

224) cos2 𝑥 − 1 = 0

225) cos2 𝑥 + 1 = 0

226) 2 cos2 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 1 = 0

227) 2 cos2 𝑥 + 1 = 3 cos 𝑥

228) 2 cos2 𝑥 = 1

229) 4 cos2 𝑥 = 1

230) 4 cos2 𝑥 = 3

231) (cos 𝑥 − 1)(2 cos 𝑥 − 1) = 0

232) cos2 𝑥 + cos 𝑥 − 2 = 0

233) 2 cos2 𝑥 + 3 cos 𝑥 − 2 = 0

Risolvi queste equazioni nell’intervallo [0; 2𝜋) con la sostituzione 𝑎 = sin 𝑥:

234) sin2 𝑥 − 1 = 0

235) sin2 𝑥 + 1 = 0

236) 2 sin2 𝑥 + 3 sin 𝑥 + 1 = 0

237) 2 sin2 𝑥 + 1 = 3 sin 𝑥

238) 2 sin2 𝑥 = 1

239) 4 sin2 𝑥 = 1

240) 4 sin2 𝑥 = 3

241) (sin 𝑥 − 1)(2 sin 𝑥 − 1) = 0

242) sin2 𝑥 + sin 𝑥 − 2 = 0

243) 2 sin2 𝑥 + 3 sin 𝑥 − 2 = 0

Risolvi queste equazioni nell’intervallo (−∞; +∞) con la sostituzione 𝑎 = tan 𝑥:

244) tan2 𝑥 − 1 = 0

245) tan2 𝑥 = 3

246) tan2 𝑥 + 3 = 0

247) tan2 𝑥 +1

√3tan 𝑥 = 0

248) tan2 𝑥 + tan 𝑥 = 0

249) tan2 𝑥 = tan 𝑥

250) 3 tan2 𝑥 = 1

251) tan 𝑥 =1

tan 𝑥

16

Risolvi questi esercizi usando le formule di pagina 8:

252) sin 𝑥 + cos 𝑥 = 0

253) sin 𝑥 − cos 𝑥 = 0

254) √3 sin 𝑥 = cos 𝑥

255) cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 0

256) sin2 𝑥 − cos2 𝑥 = 0

257) sin2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 0

258) 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟎

259) cos2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + sin2 𝑥 = 0

260) cos2 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + sin2 𝑥 = 0

261) cos2 𝑥 + 2 sin2 𝑥 = 0

262) sin2 𝑥 + 5 cos2 𝑥 = 4

263) cos 2𝑥 = cos 𝑥

264) cos 2𝑥 = sin 𝑥

265) 2 cos2 𝑥 + sin 𝑥 = 2

266) 3 + 3 sin 𝑥 = 2 cos2 𝑥

267) 2 cos2 𝑥 = 3 sin 𝑥

268) 2 sin2 𝑥 + 3 cos 𝑥 = 0

269) sin 2𝑥 − cos 𝑥 = 0

270) sin 2𝑥 + sin 𝑥 = 0

271) 2 sin 𝑥 = √3 tan 𝑥

272) 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 1

273) sin 2𝑥 − 2 sin2 𝑥 = 0

274) 𝐬𝐢𝐧𝟒 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬𝟒 𝒙 = 𝟎

275) sin4 𝑥 − cos4 𝑥 + cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 0

276) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧(−𝒙) = 𝟏

277) 𝐜𝐨𝐬 (𝒙 +𝝅

𝟑) + 𝐜𝐨𝐬 (𝒙 −

𝝅

𝟑) + 𝟏 = 𝟎

278) sin (𝑥 +𝜋

6) − sin (𝑥 −

𝜋

6) = 0

279) sin (𝑥 +𝜋

3) + sin (𝑥 −

𝜋

3) =

1

2

280) sin2 2𝑥 = 2 − cos2 2𝑥

281) 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 = 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙

282) cos(𝑥 + 2𝜋) + cos 𝑥 = 1

283) sin(𝑥 + 2𝜋) + sin 𝑥 = √3

284) cos 𝑥 + cos(−𝑥) = 1

285) sin 𝑥 + sin(𝑥 − 𝜋) = 1

286) cos 𝑥 + cos(𝑥 − 𝜋) = 1

287) cos 2𝑥 + sin 2𝑥 = 1

288) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝟏

Calcola questi valori senza calcolatrice usando le formule di somma e differenza di angoli:

289) cos 15° =

290) sin7

12𝜋 =

291) sin5

12𝜋 =

292) cos 165° =

293) cos 75° =

294) sin13

12𝜋 =

Problemi SENZA calcolatrice:

295) Se cos 𝑥 = 0,28, quanto vale sin 𝑥 ?

296) Se sin 𝑥 =8

17, quanto vale cos 𝑥 ?

297) Se tan 𝑥 =3

4, quanto valgono sin 𝑥 e cos 𝑥?

298) Se tan 𝑥 =12

5, quanto valgono sin 𝑥 e cos 𝑥?

258) SEMPRE 274) Diventa (sin2 𝑥 + cos2 𝑥)(sin2 𝑥 − cos2 𝑥) … 276) ∄

277) Diventa cos 𝑥 cos𝜋

3− sin 𝑥 sin

𝜋

3+ cos 𝑥 cos

𝜋

3+ sin 𝑥 sin

𝜋

3+ 1 = 0 e quindi cos 𝑥 + 1 = 0 …

281) cos2 𝑥 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥 − sin2 𝑥 e si divide tutto per cos2 𝑥 … 288) Si fa come l’esercizio 287

17

299) Disegna su Geogebra le funzioni 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 e 𝒚 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 e descrivi le differenze.

300) Disegna su Geogebra le funzioni 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 e 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 e descrivi le differenze.

301) Trova con la calcolatrice questi risultati:

arctan 5 = arcsin 0,4 = arccos(−0,9) = arcsin(−1,1) =

78,69° 23,58° 154,16° ∄

302) Dimostra la formula sin 𝛼

𝑎=

sin 𝛽

𝑏 usando la figura a destra.

Usa il lato CD e la definizione di seno

303) Dimostra che 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼 usando la figura a destra.

Usa |𝐷𝐵| = 𝑐 − 𝑏 cos 𝛼

Risolvi matematicamente i seguenti triangoli e disegnali (le misure sono in centimetri e in gradi):

304) 𝑎 = 5 𝑏 = 6 𝑐 = 7 𝛼 = 44,42°; 𝛽 = 57,12°; 𝛾 = 78,46°; 𝐴 = 14,7

305) 𝑎 = 5 𝑏 = 3 𝑐 = 4 𝛼 = 90°; 𝛽 = 36,87; 𝛾 = 53,13°; 𝐴 = 6

306) 𝑎 = 6 𝛽 = 45° 𝛾 = 60° 𝑏 = 4,39; 𝑐 = 5,38; 𝐴 = 11,41

307) 𝑏 = 7 𝛼 = 35° 𝛽 = 70° 𝑎 = 4,27; 𝑐 = 7,2; 𝐴 = 14,44

308) 𝑏 = 5 𝑐 = 5 𝛼 = 50° 𝑎 = 4,23; 𝛽 = 65°; 𝛾 = 65°; 𝐴 = 9,58

309) 𝑎 = 4 𝑐 = 6 𝛽 = 60° 𝑏 = 5,29; 𝛼 = 40,9°; 𝛾 = 79,1°; 𝐴 = 10,39

310) 𝑎 = 5 𝑏 = 2 𝛾 = 45° 𝑐 = 3,85; 𝛼 = 113,48°; 𝛽 = 21,52°; 𝐴 = 3,54

311) 𝑐 = 8 𝛼 = 20° 𝛾 = 100° 𝑎 = 2,78: 𝑏 = 7,04; 𝐴 = 9,62

312) 𝑎 = 7 𝑏 = 5 𝑐 = 6 𝛼 = 78,46°; 𝛽 = 44,42°; 𝛾 = 57,12°; 𝐴 = 14,7

313) 𝑎 = 5 𝑏 = 13 𝛾 = 67,38° 𝑐 = 12; 𝛼 = 22,62°; 𝛽 = 90°; 𝐴 = 30

314) 𝑏 = 7,5 𝑐 = 8,5 𝛼 = 28,07° 𝑎 = 4; 𝛽 = 61,93°; 𝛾 = 90°; 𝐴 = 15

315) 𝑎 = 6 𝑏 = 5 𝑐 = 12

316) 𝑎 = 4 𝑏 = 7 𝛼 = 30° 𝑐 = 8; 𝛽 = 61,04°; 𝛾 = 88,96°; 𝐴 = 14

𝑐 = 4,13; 𝛽 = 118,96°; 𝛾 = 31,04°; 𝐴 = 7,22

317) 𝑎 = 7 𝑐 = 4 𝛼 = 80° 𝑏 = 6,48; 𝛽 = 65,76°; 𝛾 = 34,25°; 𝐴 = 12,77

318) 𝑏 = 6 𝑐 = 8 𝛽 = 36,87° 𝑎 = 10; 𝛼 = 90°; 𝛾 = 53,13°; 𝐴 = 24

𝑎 = 2,8; 𝛼 = 16,26°; 𝛾 = 126,87°; 𝐴 = 6,72

319) 𝑎 = 5 𝑏 = 6 𝛽 = 40° 𝑐 = 8,9; 𝛼 = 32,39°; 𝛾 = 107,61°; 𝐴 = 14,3

320) 𝑎 = 8 𝑐 = 4 𝛾 = 30° 𝑏 = 6,93; 𝛼 = 90°; 𝛽 = 60°; 𝐴 = 13,86

321) 𝑏 = 11 𝑐 = 11 𝛾 = 60° 𝑎 = 11; 𝛼 = 60°; 𝛽 = 60°; 𝐴 = 52,39

322) 𝑏 = 24 𝑐 = 21 𝛾 = 60° 𝑎 = 15; 𝛼 = 38,21°; 𝛽 = 81,79°; 𝐴 = 155,88

𝑎 = 9; 𝛼 = 21,79°; 𝛽 = 98,21; 𝐴 = 93,53

18

323) Risolvi i seguenti esercizi:

324) Nel lancio del disco uno strumento nel punto A misura

distanze e angoli. La distanza AB è 10 metri.

Il raggio della pedana è 2 metri.

Il primo atleta lancia il disco, lo strumento misura

𝐴𝐶 = 75𝑚, 𝛼 = 77°.

Il secondo atlet lancia il disco, lo strumento misura

𝐴𝐶 = 77𝑚, 𝛼 = 60,5°.

Chi ha vinto? Con quale misura?

325) Un triangolo iscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo.

In una circonferenza l’angolo al centro è sempre

il doppio dell’angolo sulla circonferenza.

Il punto D è il centro della semicirconferenza. |𝐴𝐷| = |𝐷𝐶| = |𝐷𝐵| = 1

Dimostra che 2 sin 𝛼 cos 𝛼 = sin 2𝛼.

Usa il teorema del coseno in BCD per trovare |𝐵𝐶| Usa il triangolo ABC per trovare |𝐵𝐶|

326) L’ombra è lunga 139,7 m. Calcola l’altezza della piramide.

19

ASTRONOMIA (LE PRIME MISURE DEGLI ASTRI)

327) Eratostene nel 200 a.C. misurò il raggio della Terra

conoscendo la distanza Siene – Alessandria di 787 Km. A

mezzogiorno il sole è verticale a Siene e forma un angolo di

7° ad Alessandria. Trova il raggio della Terra.

328) Il tempo tra il sorgere della luna e il suo essere

verticale alla terra è 5h56m17s, cioè 89,07°. Se il

raggio della Terra è 6350 Km, quanto è la distanza

Terra – Luna?

329) La distanza Terra – Luna è circa 385.000 Km.

Quando c’è mezzaluna, forma un angolo di 90°

con il sole. Se l’angolo S–T–L è 89,852°, quanto

è la distanza Terra – Sole?

330) Se si tiene una moneta da 1 centesimo (diametro 16,25 mm) a 1,8 m di distanza, la moneta copre

perfettamente la luna piena. Se la distanza Terra – Luna è 385.000 Km, quanto è il diametro della luna?

331) La luna appare grande esattamente quanto il sole. Se la luna ha diametro 3500 Km, e sappiamo che la

distanza Terra – Luna è 385.000 Km e la distanza Terra – Sole 150.000.000 Km, quanto è il diametro

del sole?

20

Esercizi di goniometria, trigonometria della maturità:

332) sin2 𝑥 − cos 𝑥 = 1 (anno 2017)

333) 2 sin(𝑥) + √2 sin(2𝑥) = 0 (anno 2016)

334) cos(2𝑥) + sin(𝑥) = 1 (anno 2015)

335) Risolvere il triangolo in cui 𝛼 = 𝛽 = 4𝛾 e 𝑐 = 8 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 2014)

336) cos(4𝑥) + √2 sin(2𝑥) = 1 (anno 2013)

337) Risolvere il triangolo in cui 𝛼 = 30°, 𝑎 = 4, 𝑐 = 4√2 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 2012)

RIPASSO POTENZE E LOGARITMI

Esercizi su logaritmi e potenze alla maturità:

338) Risolvi log0,5(𝑥 − 2) ≥ 0 (anno 2017)

339) Scrivi quando 𝑦 = log(𝑥 + 2) + log(6 − 𝑥) è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2016)

340) Risolvere l’equazione 32𝑥 − 3 ∙ 3𝑥 = 4 nell’insieme dei numeri reali. (anno 2016)

341) Scrivi quando 𝑦 =10 log 𝑥

𝑥 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2015)

342) Scrivi quando 𝑦 =−10 log 𝑥+10

𝑥2 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2015)

343) Scrivi quando 𝑦 = (𝑥 − 1) ∙ 3𝑥 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2014)

344) Risolvi log(3 − 𝑥) + log(𝑥 + 4) = log(2 − 𝑥) (anno 2014)

345) Scrivi quando 𝑦 = (3𝑥 + 5) ∙ 2𝑥 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2013)

346) Risolvi (1

2)

𝑥2

>1

16 (anno 2013)

347) Scrivi quando 𝑦 = 𝑥2 ln 𝑥 è positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2012)

348) Risolvi 2012 ∙ (1

2)

𝑥2

> 503 (anno 2012)

Risolvi queste equazioni e disequazioni:

349) 3𝑥 − 1 ≥ 0

350) 2𝑥 − 1 < 0

351) 2−𝑥 − 1 > 0

352) 4−𝑥 + 1 ≤ 0

353) (1

2)

𝑥

−1

16> 0

354) (3

2)

𝑥

−2

3≤ 0

355) log 𝑥 + 1 ≤ 0

356) log(𝑥 + 1) ≤ 0

357) log 𝑥 − 2 > 0

358) log16 𝑥 = 2

359) √2 𝑥

=1

2

360) √8 𝑥

=1

√23

361) log√2 𝑥 = 4

362) log(𝑥2 − 3) = 0

363) log 𝑥 − log(𝑥 + 1) = 1

364) log1

4

𝑥 =1

2

365) log 𝑥 + log(2𝑥 + 1) = 1

366) log(3𝑥2 + 5𝑥) = 2

Trova il risultato SENZA calcolatrice:

367) 43

2 =

368) (1

9)

−3

2=

369) log21

√32=

370) log1

2√32 =

371) 1005

2 ∙ 0,13 ∙ 10000 =

372) log √1000∙√0,001

0,01=