Teoria C7-1

C7. Circonferenza e cerchio

C7.1 Introduzione ai luoghi geometrici Un luogo geometrico è l’insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del luogo geometrico. Esempio L’asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento. Si era definito precedentemente l’asse di un segmento come la retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso. Ora si è data una differente definizione di asse di un segmento. Per essere sicuri che le due definizioni coincidano bisogna dimostrare i teoremi seguenti. Teorema C7.1a La retta passante per il punto medio di un segmento AB e perpendicolare ad esso è formata da punti equidistanti dagli estremi del segmento AB. Teorema C7.1b I punti equidistanti da A e B sono tutti e soli quelli che si trovano sulla retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso. Le dimostrazioni dei due teoremi sono abbastanza semplici e sono lasciate per esercizio. Esempio La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell’angolo. Anche in questo caso si era definita precedentemente la bisettrice come la retta che divide un angolo in due angoli congruenti. Per essere sicuri che le due definizioni coincidano è necessario dimostrare i teoremi seguenti. Teorema C7.1c La retta che divide in due parti congruenti un angolo è formata dai punti equidistanti dai lati dell’angolo. Teorema C7.1d I punti equidistanti dai lati dell’angolo formano una retta che divide l’angolo in due parti congruenti. Anche in questo caso le due dimostrazioni vengono lasciate per esercizio. I luoghi geometrici verranno approfonditi in geometria analitica, quando si introdurranno le coordinate cartesiane nel piano.

C7.2 Circonferenza e cerchio Dato un punto O e un segmento r si dice circonferenza di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano tali che OP=r. Dato un punto O e un segmento r si dice cerchio di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano tali che OP≤r.

A

B

M

D

Fig. C7.1 Asse di un segmento.

Fig. C7.2 Bisettrice di un angolo.

Teoria C7-2

Un punto è detto interno alla circonferenza se la distanza tra il punto e il centro è minore del raggio. Un punto è detto esterno alla circonferenza se la distanza tra il punto e il centro è maggiore del raggio. In base alle definizioni di punti interni ed esterni il cerchio è l’insieme formato sia dai punti della circonferenza che da quelli interni ad essa. Anche se risulta ovvio non è dimostrabile dalle definizioni precedenti e si deve prendere la seguente affermazione come assioma. Assioma: ogni segmento avente come estremi un punto interno e uno esterno alla circonferenza interseca la circonferenza in un solo punto. Costruzione Dati tre punti A, B e C non allineati trovare la circonferenza passante per i tre punti. Procedimento:

• Determinare l’asse del segmento AB. • Determinare l’asse del segmento BC. • Determinare l’intersezione degli assi dei segmenti AB e BC. Il punto trovato p il centro della circonferenza. • Il raggio è il segmento avente come estremi il centro e uno qualunque dei punti A, B o C.

Teorema Esiste una sola circonferenza passante per tre punti non allineati. DIMOSTRAZIONE La dimostrazione non è altro che la costruzione precedente, in quanto tale costruzione permette, in base a tre punti non allineati, di determinare l’unica circonferenza passante per essi.

Costruzione dell’asse del segmento AB Costruzione dell’asse del segmento BC

L’intersezione degli assi dei due segmenti è il centro della circonferenza.

Fig. C7.3 Circonferenza e cerchio.

Circonferenza. Cerchio.

Fig. C7.4 Costruzione della circonferenza passante per 3 punti.

Teoria C7-3

Osservazione Si applichi il procedimento per trovare la circonferenza passante per tre punti se gli stessi sono allineati. In questo caso si trova che gli assi dei segmenti AB e BC risultano essere paralleli e pertanto non si intersecano in alcun punto. Per tale ragione non esiste una circonferenza passante per 3 punti allineati.

C7.3 Diametri e corde La circonferenza ha un centro di simmetria, che è il centro della circonferenza, e nella figura C7.5 è indicato con O. Il segmento che ha come estremi due punti della circonferenza è detto corda. Nella figura C7.5 il segmento CD è una corda. Se una corda passa per il centro allora è detta diametro. Nella figura C7.5 il segmento AB è un diametro. In base alle definizioni precedenti si può affermare che:

• Il diametro è il doppio del raggio. • Tutti i diametri di una circonferenza sono congruenti tra loro. • Ogni diametro è asse di simmetria della circonferenza. • Tra tutte le corde di una circonferenza il diametro è quella maggiore.

Teorema C7.3a Data una qualsiasi corda AB di una circonferenza di centro C il suo asse di simmetria passa per il centro della circonferenza. IPOTESI: la retta r è asse di simmetria della corda AB. TESI: C∈r. DIMOSTRAZIONE L’asse del segmento AB è formato dai punti equidistanti da A e B per quanto detto nei teoremi C7.1a e C7.1b. Il centro è equidistante da A e da B per definizione di circonferenza, quindi esso appartiene all’asse del segmento. Teorema C7.3b Il diametro perpendicolare a una corda la divide a metà. IPOTESI: AB è perpendicolare a CD. TESI: CH≅HD. DIMOSTRAZIONE: Il triangolo COH e il triangolo OHD sono rettangoli, hanno il cateto OH in comune e OC≅OD perché sono entrambi raggi. Per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli avendo congruenti un cateto e l’ipotenusa i triangoli COH e OHD sono congruenti. Essendo congruenti lo sono tutti i loro angoli e lati, e in particolare lo sono

quindi anche CH e HD. ■

A

B

C D

Fig. C7.7 Teorema del diametro perpendicolare a una corda.

O

H

A

B

C D

Fig. C7.5 Diametro e corda.

O

A B

Fig. C7.6 Il centro della circonferenza appartiene all’asse

di simmetria di una qualsiasi corda.

C

M

r

Teoria C7-4

Teorema C7.3c La perpendicolare a una corda passante per il centro di una circonferenza è l’asse della corda. IPOTESI: AB è perpendicolare a CD, O∈AB. TESI: AB è l’asse di CD. DIMOSTRAZIONE: Sia H il punto di intersezione tra AB e CD. Dal fatto che OC e OD sono raggi della stessa circonferenza segue che OC≅OD, dunque il triangolo OCD è isoscele sulla base CD e OH è l’altezza del triangolo isoscele OCD poiché per ipotesi AB⊥CD. In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche mediana, da cui segue che CH≅HD. La retta passante per A e B risulta dunque essere perpendicolare a CD e passante per il punto medio di CD, dunque essa è l’asse di CD. Teorema C7.3d Se due corde sono congruenti allora esse hanno la stessa distanza dal centro. IPOTESI: CD≅EF, CD e EF corde di una circonferenza avente centro O, OH⊥CD, OG⊥EF. TESI: OH≅OG. DIMOSTRAZIONE Per i teoremi precedenti G e H sono i punti medi di EF e CD rispettivamente.

Dal fatto che CD≅EF per ipotesi segue che 1 1CH CD AB EG2 2

≅ ≅ ≅ .

Si considerino ora i triangoli COH e EGO. Essi hanno congruenti: • OC≅OE perché sono entrambi raggi della stessa circonferenza. • CH≅EG come appena dimostrato.

• ˆˆOHC OGE≅ perché sono entrambi angoli retti per i teoremi precedenti.

I due triangoli sono dunque congruenti per criteri di congruenza dei triangoli rettangoli e dunque hanno congruenti tutti i lati e tutti gli angoli. In particolare risulta OH≅OG. Teorema C7.3e Se due corde hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti. IPOTESI: OH≅OG, CD e EF corde di una circonferenza avente centro O, OH⊥CD, OG⊥EF. TESI: CD≅EF. DIMOSTRAZIONE Si considerino ora i triangoli COH e EGO. Essi hanno congruenti:

• OC≅OE perché sono entrambi raggi della stessa circonferenza. • OH≅OG per ipotesi.

A

B

C D

Fig. C7.8 Teorema del diametro perpendicolare a una corda.

O

H

A

C D

Fig. C7.9 Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro.

O

H

E

F

G

B

A

C D

Fig. C7.10 Due corde aventi la stessa distanza dal centro sono congruenti.

O

H

E

F

G

B

Teoria C7-5

• ˆˆOHC OGE≅ perché sono entrambi angoli retti per i teoremi precedenti.

I due triangoli sono dunque congruenti per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli e dunque hanno congruenti tutti i lati e tutti gli angoli. In particolare risulta CH≅EG. Da ciò segue che CD≅2CH≅2EG≅EF. Il seguente teorema ha una dimostrazione un po’ più elaborata che si omette. Teorema C7.3f Se una corda ha distanza maggiore dal centro rispetto a un’altra allora la sua lunghezza è minore. IPOTESI: OH<OG. TESI: CD>EF.

C7.4 Angoli al centro

Ognuno degli angoli che ha come lati due raggi è detto angolo al centro. In figura C7.12 ˆCOD è l’angolo al centro.

Le parti della circonferenza delimitate dai due punti C, D appartenenti alla circonferenza è detta arco. In figura C7.12 uno degli archi di circonferenza è segnato non tratteggiato, mentre l’altro è segnato tratteggiato. Se come corda si prende un diametro allora l’arco è detto semicirconferenza. La parte di cerchio delimitata da un angolo al centro prende il nome di settore circolare. Osservazione Ad ogni angolo al centro corrisponde una corda e un arco. Ad ogni corda corrisponde un angolo al centro e un arco. Ad ogni arco corrisponde un angolo al centro e una corda. Osservazione Riferendosi alla stessa circonferenza valgono le seguenti affermazioni:

• Ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti e corde congruenti. • A corde congruenti corrispondono angoli al centro congruenti e archi congruenti. • Ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti e corde congruenti.

A

C D

Fig. C7.11 Due corde aventi distanze differenti dal centro.

O

H

E

F

G

B

O

C D

Fig. C7.12 Angolo al centro.

O

C D

Fig. C7.13 Corde, archi e angoli al centro congruenti.

Teoria C7-6

C7.5 Posizioni reciproche tra retta e circonferenza Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza minore del raggio si dice che la retta è secante. In questo caso la retta interseca la circonferenza in due punti. Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza uguale al raggio si dice che la retta è tangente. In questo caso la retta interseca la circonferenza in un punto detto punto di tangenza. Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza maggiore del raggio si dice che la retta è esterna. In questo caso la retta non interseca la circonferenza. Osservazione Risulta ovvio dalle definizioni precedenti che:

• Il raggio passante per il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente. • Dato un raggio si tracci la perpendicolare ad esso passante per il punto del raggio sulla circonferenza. La retta

tracciata è una retta tangente. Per un punto esterno alla circonferenza passano sempre due rette tangenti, come risulta chiaro dalla figura C7.15. In questo caso i segmenti indicati con AB e AC in figura C7.15 sono detti segmenti di tangente. Per un punto sulla circonferenza passa una e una sola retta tangente, per l’osservazione precedente. Per un punto interno alla circonferenza non passano rette tangenti. Teorema C7.5a Condotte le rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno ad essa i segmenti di tangenza sono congruenti. IPOTESI: r, s sono le rette tangenti a una circonferenza C passanti per un punto A esterno ad essa. r∩ C=B, s∩ C=C.

TESI: AB≅AC. DIMOSTRAZIONE Si considerino i triangoli ABO e ACO. Essi hanno congruenti:

• OB≅OC perché raggi della stessa circonferenza • OA≅OA perché in comune

• ˆˆOBA OCA≅ perché angoli retti per le osservazioni precedenti.

Per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli essi sono congruenti, dunque hanno congruenti tutti gli angoli e tutti i lati. In particolare AB≅AC. La dimostrazione precedente permette di dimostrare anche il seguente teorema. Teorema C7.5b Condotte le rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno ad essa la retta passante per il punto esterno ad essa e per il centro della circonferenza è la bisettrice dell’angolo formato dalle rette tangenti.

r

r r

retta secante retta tangente retta esterna

Fig. C7.14 Rette secanti, tangenti, esterne.

Fig. C7.15 Rette tangenti a una circonferenza condotte da

un punto esterno ad essa.

B O

C A s

r

Teoria C7-7

C7.6 Angolo alla circonferenza Si è già definito l’angolo al centro. Si dice angolo alla circonferenza l’angolo convesso che ha il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza oppure uno secante e l’altro tangente. In figura C7.16 l’angolo alla

circonferenza è ˆACB , ed ha come lati due rette secanti la circonferenza, mentre l’angolo al centro è ˆAOB . In figura

C7.17 l’angolo alla circonferenza è sempre ˆACB , ma ha come lati una retta secante ed una tangente, mentre l’angolo

al centro è ˆAOC .

Teorema C7.6a In una circonferenza l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza.

IPOTESI: ˆBOC angolo al centro e ˆBAC angolo alla circonferenza.

TESI: ˆBOC ≅2 ˆBAC .

DIMOSTRAZIONE La dimostrazione va fatta per casi, a seconda di dove si trovino i punti A, B e C sulla circonferenza.

I caso: ˆ ˆDOC BOD≅ .

Il triangolo AOC è isoscele, in quanto i lati OA e OC sono entrambi raggi e quindi sono congruenti.

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto, quindi ˆ ˆˆOAC ACO AOC+ + ≅ π . Ma anche

ˆ ˆ ˆAOD AOC DOC≅ + ≅ π . Da ciò segue che ˆ ˆˆOAC ACO DOC+ ≅ . Ma ˆOAC e ˆACO sono congruenti perché AOC è isoscele.

Vale dunque ˆˆ2 OAC DOC⋅ ≅ . Ma ˆOAC è la metà di ˆBAC e ˆDOC è la metà di ˆBOC . Quindi ˆ ˆBOC 2 BAC≅ ⋅ .

II caso: O è interno all’angolo ˆBAC .

Analogamente al caso precedente si dimostra che ˆˆ2 OAC DOC⋅ ≅ e che ˆˆ2 OAB DOB⋅ ≅ .

Da ciò segue che ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆBOC DOB DOC 2 OAC 2 OAB 2 OAC OAB 2 BAC≅ + ≅ ⋅ + ⋅ ≅ + ≅ ⋅ .

A

B

C

O

Fig. C7.16 Angolo al centro e angolo alla circonferenza.

Due rette secanti passanti per C.

A

B

C

O

Fig. C7.17 Angolo al centro e angolo alla circonferenza.

Una retta secante e una tangente passanti per C.

A

B C

Fig. C7.18 Teorema degli angoli al centro e degli

angoli alla circonferenza. Caso I.

O

D

A

B C

Fig. C7.19 Teorema degli angoli al centro e degli

angoli alla circonferenza. Caso II.

O

D

Teoria C7-8

III caso: O∈AC. Il triangolo AOB è isoscele sulla base AB in quanto AO≅BO in quanto raggi. Come nel primo caso si ha:

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆBOC AOC AOB AOC 2 OAB 2 OAB 2 OAB≅ − ≅ − − ⋅ ≅ − + ⋅ ≅ ⋅π π π .

IV caso: O è esterno all’angolo ˆBAC .

Per quanto detto precedentemente valgono ˆ ˆCOD 2 CAD≅ ⋅ e ˆ ˆBOD 2 BAD≅ ⋅ .

Da ciò segue che ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆBOC BOD COD 2 BAD 2 CAD 2 BAD CAD 2 BAC≅ − ≅ ⋅ − ⋅ ≅ − ≅ ⋅ .

Il teorema appena dimostrato è importante perché permette di dimostrare agevolmente i seguenti corollari. Corollario C7.6b Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti tra loro. DIMOSTRAZIONE Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tutti congruenti a metà dell’angolo al centro, quindi sono tutti congruenti tra loro. (Figura C7.22). Corollario C7.6c I triangoli inscritti in una circonferenza aventi come lato il diametro sono tutti rettangoli. DIMOSTRAZIONE Tutti gli angoli inscritti in una semicirconferenza sono metà dell’angolo al centro che è un angolo piatto, quindi sono tutti angoli retti. (Figura C7.23). Gli angoli che insistono su un diametro sono quindi tutti retti.

Fig. C7.22 Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.

A

B C

Fig. C7.20 Teorema degli angoli al centro e degli

angoli alla circonferenza. Caso II.

O

A

B C

Fig. C7.21 Teorema degli angoli al centro e degli

angoli alla circonferenza. Caso IV.

O D

Fig. C7.23 Angoli che insistono su un diametro.

Teoria C7-9

Costruzione A partire da una circonferenza di centro O e da un punto A esterno ad essa tracciare le rette tangenti alla circonferenza passanti per A. Procedimento:

• Si determina il punto medio M del segmento OA. • Si traccia la circonferenza di centro il punto medio M e raggio OM. • La circonferenza di centro M e raggio OM interseca la circonferenza di centro O in due punti S e T. Le rette

tangenti sono quelle passanti per A e S e per A e T.

Esercizio svolto Determinare gli angoli del quadrilatero in figura C7.25.

I dati del problema sono gli angoli al centro ˆBOC 58≅ ° e ˆCOD 82≅ ° e l’angolo ˆOBA 40≅ ° .

Fig. C7.24 Costruzione delle rette tangenti a una

circonferenza per un punto esterno a d essa.

Fig. C7.25 Angoli di un quadrilatero.

Teoria C7-10

RISOLUZIONE Il triangolo ABO è isoscele sulla base AB, e da ciò segue che gli angoli alla base sono congruenti, quindi anche

ˆOAB 40≅ ° . Dal fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto segue che

ˆBOA 180 2 40 100≅ ° − ⋅ ° ≅ ° . E’ ora possibile determinare anche l’angolo al centro ˆAOD per differenza considerando

l’angolo giro di centro O. ˆAOD 360 100 58 82 120≅ ° − ° − ° − ° ≅ ° .

Si consideri ora il triangolo isoscele BOC sulla base BC. Sapendo che l’angolo al centro ˆBOC 58≅ ° si possono

determinare gli angoli ( )ˆˆOBC OCB 180 58 :2 61≅ ≅ ° − ° ≅ ° .

Si consideri ora il triangolo isoscele COD sulla base CD. Sapendo che l’angolo al centro ˆCOD 82≅ ° si possono

determinare gli angoli ( )ˆˆODC OCD 180 82 :2 49≅ ≅ ° − ° ≅ ° .

Si consideri ora il triangolo isoscele AOD sulla base AD. Sapendo che l’angolo al centro ˆAOD 120≅ ° si possono

determinare gli angoli ( )ˆ ˆODA OAD 180 120 :2 30≅ ≅ ° − ° ≅ ° .

Ora si possono determinare i quattro angoli interni del quadrilatero:

ˆ ˆ ˆABC ABO OBC 40 61 101≅ + ≅ ° + ° ≅ ° . ˆ ˆ ˆBCD BCO OCD 61 49 110≅ + ≅ ° + ° ≅ ° .

ˆ ˆ ˆCDA CDO ODA 49 30 79≅ + ≅ ° + ° ≅ ° . ˆ ˆ ˆDAB DAO OAB 30 40 70≅ + ≅ ° + ° ≅ ° .

C7.7 Posizioni reciproche di due circonferenze Due circonferenze sono dette esterne se non hanno punti di intersezione e i centri di ognuna delle due circonferenze sono punti esterni rispetto all’altra circonferenza. Due circonferenze sono dette tangenti esternamente se hanno un punto di intersezione e i centri di ognuna delle due circonferenze sono punti esterni rispetto all’altra circonferenza. Due circonferenze sono dette secanti se hanno due punti di intersezione. Due circonferenze sono dette tangenti internamente se hanno un punto di intersezione e il centro di una è un punto interno all’altra.

Fig. C7.26 Circonferenze esterne.

Fig. C7.27 Circonferenze tangenti esternamente.

Fig. C7.28 Circonferenze secanti.

Fig. C7.29 Circonferenze tangenti internamente.

Teoria C7-11

Due circonferenze sono dette interne se non hanno punti di intersezione e il centro di una è un punto interno all’altra. Un caso particolare di circonferenze interne è quando i centri coincidono. In tal caso le circonferenze sono dette concentriche. Teorema Si indichino con O e O’ i centri di due circonferenze e con r e r’ i loro raggi. In tal caso valgono le seguenti doppie implicazioni:

• Le circonferenze sono esterne se e solo se OO’>r+r’. • Le circonferenze sono tangenti esternamente se e solo se OO’≅r+r’. • Le circonferenze sono secanti se e solo se r-r’<OO’<r+r’. • Le circonferenze sono tangenti internamente se e solo se OO’≅r-r’. • Le circonferenze sono interne se e solo se OO’<r-r’. • Le circonferenze sono concentriche se e solo se O≅O’.

La dimostrazione è omessa.

C7.8 Poligoni inscritti e circoscritti Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza. In questo caso si dice che la circonferenza è circoscritta al poligono.

Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. In questo caso si dice che la circonferenza è inscritta nel poligono.

Fig. C7.30 Circonferenze interne.

Fig. C7.31 Circonferenze concentriche.

Fig. C7.32 Poligono inscritto in una circonferenza.

Fig. C7.33 Poligono circoscritto ad una circonferenza.

Teoria C7-12

Non tutti i poligoni sono inscrivibili o circoscrivibili a una circonferenza. I triangoli sì, sono tutti sia circoscrivibili che inscrivibili a una circonferenza, mentre per i poligoni è necessario verificare se valgono le seguenti condizioni di circoscrivibilità e inscrivibilità. Teorema C7.8a (condizioni di inscrivibilità di un poligono) Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se e solo se tutti gli assi di simmetria dei suoi lati si incontrano in un punto. DIMOSTRAZIONE ⇒) Se un poligono è inscrivibile a una circonferenza allora i suoi vertici appartengono tutti alla circonferenza, pertanto il centro ha la stessa distanza da tutti i vertici. L’asse di simmetria di ogni lato è formato dai punti equidistanti dai vertici, e se il centro ha la stessa distanza da tutti i lati allora appartiene a tutti gli assi di simmetria. ⇐) Se tutti gli assi di simmetria si incontrano in un punto allora, per definizione di asse di simmetria, tale punto è equidistante da tutti i vertici, e questo punto è dunque il centro della circonferenza. Teorema C7.8b (condizioni di circoscrivibilità di un poligono) Un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza se e solo se tutte le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un punto. DIMOSTRAZIONE ⇒) Se un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza allora i suoi lati sono tutti tangenti alla circonferenza. Per il teorema C7.5b la retta passante per un punto esterno alla circonferenza e per il centro della stessa è la bisettrice dell’angolo formato dalle rette tangenti, quindi tutte le bisettrici passano per il centro. ⇐) Se tutte le bisettrici si incontrano in un punto allora questo punto è equidistante da tutte le rette tangenti. Esso è dunque il centro della circonferenza e il raggio è la distanza tra questo punto e una qualsiasi delle rette tangenti. Per quanto riguarda in particolare i quadrilateri è possibile fissare delle condizioni per l’inscrivibilità che possono essere più semplici da verificare. Teorema C7.8c (condizioni di inscrivibilità di un quadrilatero) Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari. DIMOSTRAZIONE ⇒) Dato il quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza di centro O si vuole mostrare che gli angoli opposti sono supplementari.

In riferimento alla figura C7.34 l’angolo convesso ˆ ˆAOC 2 ADC≅ ⋅ mentre l’angolo concavo ˆ ˆAOC 2 ABC≅ ⋅ . Da ciò segue

che ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 AOC concavo AOC convesso 2 ABC 2 ADC 2 ABC ADC 2≅ + ≅ ⋅ + ⋅ ≅ + ≅π π . Da ciò segue che ˆ ˆABC ADC+ ≅ π .

⇐) Se gli angoli opposti sono supplementari si vuole mostrare che il quadrilatero ABCD è inscrivibile in una circonferenza.

Fig. C7.34 Condizioni di inscrivibilità di un quadrilatero.

Fig. C7.35 Condizioni di inscrivibilità di un quadrilatero.

Teoria C7-13

Siano ˆA C+ ≅ π e ˆ ˆB D+ ≅ π . Esiste sicuramente una circonferenza passante per A, B e C. Si vuole mostrare che anche

D appartiene alla stessa circonferenza. Supponiamo per assurdo che non vi appartenga. In questo caso si prolunghi CD fino a incontrare la circonferenza in un punto E. Il quadrilatero ABCE è inscritto in una

circonferenza, pertanto gli angoli opposti sono supplementari, ossia ˆA C+ ≅ π e ˆ ˆB E+ ≅ π . Da ˆ ˆB D+ ≅ π e ˆ ˆB E+ ≅ π

segue che ˆ ˆD E≅ . Non possono esistere due punti, uno sulla circonferenza e uno al suo interno (o esterno) tali che

ˆ ˆD E≅ , pertanto i punti D ed E coincidono e quindi D appartiene alla circonferenza. Teorema C7.8d (condizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero) Un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

⇒) Dato un quadrilatero circoscrivibile a una circonferenza si vuole dimostrare che AB+CD≅AD+BC. Per il teorema C7.5a si sa che i segmenti di tangenza sono congruenti, per cui AH≅AE, DH≅DG, CG≅CF, BF≅BE. Da ciò segue che AD+BC≅AH+DH+BF+CF≅AE+DG+BE+CG≅AB+CD.

⇐) Sapendo che AB+CD≅AD+BC si consideri la circonferenza tangente per 3 dei 4 lati del quadrilatero ABCD, ossia tangente a BC, CD e DA. Si deve dimostrare che anche il quarto lato è tangente alla circonferenza. Supponiamo per assurdo che non lo sia, in tal caso esiste un punto I tale che il quadrilatero BCDI è circoscritto alla circonferenza. Da ciò segue, per il punto precedente, che BI+CD≅BC+DI. Sottraendo membro a membro AB+CD≅AD+BC e BI+CD≅BC+DI si ottiene AB+CD-BI-CD≅AD+BC-BC-DI, da cui segue AB-BI≅AD-DI≅AI, ossia AI+BI≅AB. Ciò è assurdo perché per la disuguaglianza triangolare la somma di due lati in un triangolo è sempre maggiore del terzo lato. Da ciò si deduce che non si poteva supporre che il quarto lato non fosse tangente alla circonferenza, quindi anche il quarto lato è tangente alla circonferenza e quindi il quadrilatero è circoscrivibile alla circonferenza.

C7.9 Poligoni regolari Un poligono regolare è un poligono avente tutti i lati e tutti gli angoli congruenti. Il poligono regolare di tre lati è il triangolo equilatero. Il poligono regolare di quattro lati è il quadrato. Il poligono regolare di cinque lati è il pentagono regolare. Il poligono regolare di sei lati è l’esagono regolare. Osservazioni

• Tutti i poligoni regolari hanno tanti assi di simmetria quanti sono i loro lati. • Tutti i poligoni regolari con un numero pari di lati hanno un centro di simmetria. • Tutti i poligoni regolari sono inscrivibili in una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il

centro della circonferenza circoscritta ed è detto centro del poligono regolare. • Tutti i poligoni regolari sono circoscrivibili a una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria

è il centro della circonferenza inscritta ed è detto centro del poligono regolare.

Fig. C7.36 Condizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero.

Fig. C7.36 Condizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero.

Teoria C7-14

Dato un poligono regolare si considerino la circonferenza inscritta e la circonferenza circoscritta ad esso. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema del poligono regolare. In figura C7.37 l’apotema del poligono regolare è il segmento OH. Il raggio della circonferenza circoscritta è detto raggio del poligono regolare. In figura C7.37 il raggio del poligono regolare è il segmento OE

Fig. C7.37 Raggio e apotema di un poligono regolare.