CIRCONFERENZA E CERCHIO

a cura di Sarah SciamanniniSMS “Luigi Valli” Narni

SOMMARIO Definizioni

Angoli al centro e angoli alla circonferenza

Proprietà della circonferenza

Settori, segmenti e corona circolare

Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza

Posizioni reciproche di due circonferenze

Poligoni inscritti e circoscritti

Misura della circonferenza, del cerchio e di loro parti

DEFINIZIONI

LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO

• La CIRCONFERENZA è una linea chiusa costituita da tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza detta RAGGIO da un punto fisso il CENTRO.

• Il CERCHIO è la parte di piano formata da una circonferenza e da tutti i punti interni alla circonferenza.

ELEMENTI DELLA CIRCONFERENZA

• L’ARCO è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti, detti estremi dell’arco.

• La CORDA è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza.

• Il DIAMETRO è la corda massima e passa per il centro.

• Gli estremi di uno stesso diametro dividono la circonferenza in due parti congruenti, ciascuna delle quali si chiama SEMICIRCONFERENZA.

• Una semicirconferenza e il relativo diametro costituiscono il contorno di un SEMICERCHIO

ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA

CIRCONFERENZA

V;

angolo al centro che insiste sull’arco AB

ANGOLI AL CENTRO

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

K e J;

angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AB

RELAZIONI TRA ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA

CIRCONFERENZA

Y e T si dicono corrispondenti e risulta che :

Y = 2T

T = K

PROPRIETÀ DELLA CIRCONFERENZA

1° PROPRIETA’ DELLA CIRCONFERENZA

Si ha la seguente costruzione:

OBA è un triangolo isoscele perché :

OB = OA = r B = A BH = HA

OH è detta DISTANZA dalla corda AB dal centro O

2° PROPRIETA DELLA CIRCONFERENZA

Si ha la seguente costruzione:

PH = PK

OHP e OKP

sono rettangoli e congruenti

3° PROPRIETÀ DELLA CIRCONFERENZA

b = c = d = 90°

perché

a = 180°

SETTORI, SEGMENTI E CORONA CIRCOLARE

SETTORE CIRCOLARE

Si dice SETTORE CIRCOLARE ciascuna delle due parti di cerchio limitata da due raggi.

SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE

Si dice SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE ciascuna delle due parti in cui il cerchio è diviso da una corda.

SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI

Si dice SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

CORONA CIRCOLARE

Si dice CORONA CIRCOLARE la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche.

POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO A UNA CIRCONFERENZA

RETTA ESTERNA

Una retta si dice ESTERNA a una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è maggiore del raggio.

RETTA TANGENTE

Una retta si dice TANGENTE a una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è uguale al raggio.

RETTA SECANTE

Una retta si dice SECANTE a una circonferenza se la sua distanza dal centro dalla circonferenza è minore del raggio.

POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE

CIRCONFERENZE

C e C’ non hanno punti in comune

OO’ › r + r’

CIRCONFERENZE ESTERNE

CIRCONFERENZE TANGENTI

ESTERNAMENTE

C e C’={A}

OO’= r + r’

CIRCONFERENZE TANGENTI

INTERNAMENTE

C e C’={A}

OO’= r - r’

CIRCONFERENZE SECANTI

C e C’={A,B}

OO’‹ r + r’

CIRCONFERENZE INTERNE

C e C’non hanno punti in comune

OO’ < r - r’

CIRCONFERENZE CONCENTRICHE

C e C’non hanno punti in comune

O ≡ O’

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

POLIGONI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA

Un poligono si dice inscritto in una

circonferenza se tutti i suoi vertici

appartengono alla circonferenza

CRITERIO DI INSCRITTIBILITÀ

Un poligono è inscrittibile in una

circonferenza se gli assi dei suoi lati si

incontrano in un unico punto, detto

circocentro, coincidente con il centro della

circonferenza

POLIGONI CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA

Un poligono si dice circoscritto ad una

circonferenza se tutti i suoi lati sono

tangenti alla circonferenza

CRITERIO DI CIRCOSCRITTIBILITÀ

Un poligono è circoscrittibile ad una

circonferenza se le bisettrici dei suoi

angoli si incontrano in un unico punto, detto incentro, coincidente

con il centro della circonferenza

MISURA DELLA CIRCONFERENZA, DEL

CERCHIO E DI LORO PARTI

LUNGHEZZA DI UNA CIRCONFERENZA

C = 2 · π · r

FORMULA INVERSA:

r =2

C

LUNGHEZZA DI UN ARCO

L : α = C : 360°

L =

α =

C=

360

C

C

L 360

360L

α

AREA DEL CERCHIO

Ac = π · r²

r = Ac

AREA DEL SETTORE CIRCOLARE

As : α = Ac : 360°

As =

α =

Ac =

360

Ac

Ac

As 360

360As

α

AREA DEL SEGMENTO CIRCOLARE

Tssc AAA

Tssc AAA