1

LA CIRCONFERENZA

0 c by ax y x 22

2

ARGOMENTI TRATTATI

1. Le equazioni della circonferenza

2. Questioni basilari

3. Questioni relative alle rette tangenti

4. Curve deducibili dalla circonferenza

5. Disposizione di due circonferenze nel piano

6. Fasci di circonferenze

7. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro

3

LE EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA

Definizione Si dice circonferenza C di centro C e raggio r, il luogo geometrico dei punti P del piano aventi da C distanza uguale ad r.

Da questa definizione, ponendoci in un riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della circonferenza, o rappresentazione analitica.Iinfatti, se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P della C , le coordinate P(x;y), si ha:

. normale equazione 0cbyaxy x : ottiene si

(2),

cr

2b-

2a-

anche o , (1)

cr

-2b

-2a

pone si se e

, ry2yx2 x:ottiene si oSviluppand

. cartesiana equazione rβyαx

r βyαx r CP

22

22222

22222

222

22

• Moltiplicando i due membri dell’equazione normale per una costante arbitraria k 0 si ha:

kx2 + ky2 + kax + kby + kc = 0 equazione generale .

4

• Se il centro C(;) coincide con l’origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè = 0 e =0 , l’equazione normale diventa:

. ry x:anche scrivere può si canonica equazionel' quindi

, ) r c ( r c che inoltre Osserviamo

. canonica equazione 0cy x

0b ; 2βb

0a ; 2αa

0cbyaxyx

222

2222

22

22

Osservazioni sulle equazioni normale e generale:

1. manca in esse il termine rettangolare in xy;

2. i coefficienti dei due quadrati x2 e y2 sono uguali (uguali a 1 nella normale);

1. premesso che dall’equazione generale si passa immediatamente a quella normale dividendo entrambii membri per k 0, se è nota l’equazione normale x2 + y2 + ax + by + c = 0 , allora, dal sistema (2), si determinano prontamente le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza:

c4

b

4

a cβαr ;

2

bβ

2

aα

con βα;C22

22

5

4. non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, l’equazione normale rappresenti unacirconferenza. Dall’espressione del raggio, scritta nel sistema (2), si hanno infatti i seguenti casi:

l’equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza reale ( r immaginario );

2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c l’equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere) di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C;

l’equazione normale rappresenta una circonferenza reale.

5. circonferenze particolari:

0

0

0

6

Considerazioni sul caso ‘c = 0’.

Se c = 0 , il grafico della curva passa per l’origine perché l’equazione diventa

x2 + y2 + ax + by = 0 ,

quindi una delle infinite soluzioni è sempre la coppia di numeri x = 0 e y = 0 , cioè il punto O(0 ; 0) .

7

QUESTIONI BASILARI

1. Verifica se le equazioni date rappresentano circonferenze reali; in caso affermativo determinane centro e raggio.

a. x2 + y2 = 4 ; a = 0; b = 0; c = - 4 ; a2/4 + b2/4 – c = 4 si, l’equazione data rappresenta una circonferenza reale di centro C( ; ) = C(-a/2 ; -b/2) = C(0;0) e di raggio r = 2.

b. x2 + y2 + 9 = 0 ; a = 0; b = 0; c = 9; a2/4 + b2/4 – c = - 9 no, l’equazione data non rappresenta una circonferenza reale, bensì immaginaria.

c. x2 + 2y2 + x + 3y - 5 = 0 ; non è l’equazione di una circonferenza perché i coefficienti dei termini di secondo grado, x2 e y2, sono diversi; si tratta di un’ellisse, infatti 0. 2δ

8

2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione 3x2 + 3y2 – 6(k-1)x + 27 = 0 rappresenta una circonferenza.

0y

3xper solo ata verific, 0y3x 09x6yx 4kper

0y

3xper solo ata verific, 0y3x 09x6yx -2kper

: ha si Infatti

4.kper , (3;0)C e , -2kper , (-3;0)C

punti ai riduce si e 0),(r degenere è nzacirconfere la 4 kper e -2kper eparticolarIn

. 4 k -2kper icata verif, 0 8-2k -k ; 091-k cioè , 0c4b4a

che re verificadeve si nzacirconfere una irappresent data equazionel' Affinchè

. 09x1k2yx 027x1k6y3x3 : normale equazionel' Ricaviamo

2222

2222

21

2222

2222

3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una circonferenza.

Facendo riferimento all’equazione normale, determinare l’equaz. di una circ. significa determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare tre equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio:

9

3.a Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(-2; 1/2) e raggio r = 1.

. generale equazione 0134y16x4y4x

normale equazione 04

13y4xy x

cartesiana equazione 121y2x

13/41 1/44c ; rβαc

1 (1/2)2b ; 2b

42)(2 a ; 2a

22

22

22

222

• conosco le coordinate del centro C(;) (sono due condizioni) a = - 2 ; b = - 2

• conosco il raggio r r2 = 2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c

• passaggio per un dato punto P(xp ; yp) (xp)2 + (yp)2 + axp + byp + c = 0

• centro C(;) su una retta di nota equazione y = mx + q = m + q , oppure -b/2 = -ma/2 + q

• tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q vedi Circonferenza tangente ad una retta .

3.b Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(0 ; -2), B(0 ; 6), C(8 ; 0).

.cartesiana equaz. 164252y413-x

generale; equaz. 0 24y 8x 13y22x

normale; equaz. 0 12y 4x 2

13y x

12c

4 b

213a

Cper passaggio 0ca864

Bper passaggio 0cb636

Aper passaggio 0cb24

: ha si 0 cby axy xnormale equazione Dall'

22

22

22

22

10

3.d Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1 ; 2) e B(3 ; 4) e avente il centro sulla retta t di equazione x – 3y – 1 = 0 .

normale. equaz. 0 7y 2x 8y x

7c

2 b

8a

2b3a

25 cb4a3

5cb2a

2b;2a-Cper t retta passaggio 012b32a

Bper circonf. della passaggio 0cb4a3169

Aper circonf. della passaggio 0cb2a41

metodo 1

22

3.c Scrivi l’equazione della circonf. avente per diametro il segmento di estremi A(-3 ; 1) e B(2 ; 5).

.01y6xy x

-141/4-91/4 r-c

-62b

12a

quindi

;2

415123

2

1 r :raggio 3), C(-1/2, :centro del Coordinate

22

222

22

11

.07y2x8y x 710-116c quindi

, 102114ACr raggio il Trovo

; -2b ; 1

; -8a ; 4

1y

4x

05-yx

01-3y-x : );C( Trovo

. 05-y x 2)--(x3-y : quindi

, M(2;3) AB, di medio punto ilper passa assel'

-1;m ; 131

42

xx

yym'con ,

m'

1-m

: qmxy AB, di sseadell' .equazl' ominDeter

. rc cui da raggio, il trovasi quindi

AB, corda della assel'con t retta della neinterseziodall'

;C centro del coordinate le odeterminan Si

metodo 2

22

22

BA

BA

222

3.e Determina per quali valori del parametro reale k la circonferenza di equazione

x2 + y2 – 2(k – 1)x + 2ky + k – 4 = 0

. 21k ;-k 1-k -kβ ; 2b-β

1-kα ; 2a-α :y xretta alla appartiene centro il c.

23k

0k ; 03k2k ; 4kk1-k5 ; c4b4ar : 5r raggio ha b.

;53k ; 04k4k1-k2-41 : P(1;-2)per passa a.

2

1222222

12

QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI

Analizziamo questi due problemi:

1. determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza, condotte da un punto di note coordinate;2. determinare l’equazione della circonferenza tangente ad una retta di nota equazione.

1. Rette tangenti ad una conica condotte da un punto P

Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento, ma anche con altri accorgimenti che, relativamente alla questione in esame, possono semplificare i calcoli (vedi esempi seguenti).

In sintesi: metodi generali, validi per tutte le coniche: a. metodo del discriminante nullo, b. metodo delle formule di sdoppiamento.

metodi particolari, validi solo per la circonf.: c. metodo della distanza retta-centro uguale al raggio, d. metodo della tangente perpendicolare al raggio (solo se il punto P appartiene alla circonf.) .

Di solito conviene applicare

il metodo ‘c’, se il punto P non appartiene alla circonferenza, il metodo ‘b’, se il punto P appartiene alla circonferenza .

13

Esempi

1. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y2 - 2x = 0 , condotte dal punto P(9/4 ; 0).

Verifico se P appartiene alla circonf.: 81/16 – 9/2 0 P non appartiene alla circonf., quindi posso avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno alla circonferenza.

Metodo ‘a’

. 3x3

4y ; 3x

3

4y : Pin tangentiRette

. 3

4m ; 0256144m

4

Δ ; 081mx3272mxm116 ...

9/4)m(xy

02xyx1,2

2222222

. 3-x3

4y

5/94/9

5/9x

3/5

3/5y : PT retta ; 3x

3

4-y

5/94/9

5/9x

3/5-

3/5-y : PT retta

: tangentirette delle equazioni le Determino

3/5- ; 9/5T ; 3/5 ; 9/5T 5

3y

0x2yx

9/5x

: T e T tangenzadi punti dei coordinate le determino 5/9 x: polare ttaRe

. 5

9 x; 09-5x ; 0

4

9x-x

4

9 tosdoppiamen di formule le applico

0x2yx

0 ; 9/4P

21

2122

21

22

Metodo ‘b’

14

. 3x3

4y ; 3x

3

4y : Pin tangentiRette

. 3

4m ;

9

16m ; 16m1625m

; 16m165m- ; 116m16

m5 ; 1

16m16

m9041m4

1,2222

2

22

Metodo ‘c’

• Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;0) ; r = 1.

• Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: 4mx – 4y – 9m = 0.

• Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

15

2. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y2 - 2x - 6y - 10 = 0 , condotte dal punto P(5 ; 5).

Verifico se P appartiene alla circonf.: 25 + 25 – 10 – 30 – 10 = 0 P appartiene alla circonf., quindi ho sicuramente una e una sola soluzione.

Metodo ‘a’

. 15x2y : Pin tangenteRetta

. 2m ; 02m ; 04m4m ; 016m16m44

Δ

; 015m20m25 x1m25m 2 xm1 ... 55mmxy ; )5m(x5y

0106y2xyx

222

222222

Metodo ‘b’

. 512xy : tangenteretta ; 0302y4x

; 0105y35x-5y5x tosdoppiamen di formule le applico 010y6x2yx

5 ; 5P 22

Metodo ‘c’

• Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;3) ; r = 201/2.• Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: mx – y – 5m + 5 = 0.• Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

16

. 15x2y : Pin tangenteRetta fascio) del (equaz. 55m-mxy

-2m

. 2m ; 02m ; 04m4m ; 016m164m ; 20m20m16416m

; 1m 202m4 ; 201m

2m4 ; 20

1m

5m531m

22222

2

22

Metodo ‘d’

• Determino le coordinate del centro C: C(1;3) .• Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P(5;5) : y = mx – 5m + 5 .• Determino il coeff. angolare m1 della retta CP perpendicolare alla tangente in P :

. 152xy : Pin tangenteretta

; 2m

1m quindi ;

2

1

15

35

xx

yym

1CP

CP1

17

2. Circonferenza tangente ad una retta di nota equazione

Esempi

1. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;4) e B(5;0) e tangente alla retta di equazione y = – x + 1 .

.05y4x6yx

5c

4b

6a

;

25a5c

2 ab

6a

6a ; 011a214

; 011a2x2 x...

025a51x2aax1x x 1xy

0cbyaxyx

: tangenzadi condizione la Ricavo

2ab ; 2ba 8 4b 4a

25 c a5

17cb4a : ha si equaz. due prime delle lineare necombinazio allad

0

25a5c 25 ca5

17cb4a

tangenzadi condizione 0 1xy

0cbyaxyx

0 5;Bper circonf. della passaggio 0ca525

4 ; 1Aper circonf. della passaggio 0cb4a161

nzacirconfere della equazione

222

2222

22

18

Traccio il grafico.

Dall’equazione x2 + y2 - 6x - 4y + 5 = 0

si ricavano le coordinate del centro C(3; 2).

2. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;2) e B(3;4) e tangente alla retta di equazione y = – 3x + 3 .

0

25 cb4a3

5cb2a

tangenzadi condizione 0 3x3y

0cbyaxyx

4 3;Bper circonf. della passaggio 0cb4a3169

2 ; 1Aper circonf. della passaggio 0cb2a41

22

19

. 7/2 ; /23C 012y7x3yx

1 ; 4C 07y2x8yx

: soluzioni due abbiamo caso questoIn

12c

7b

3a

;

7c

2b

8a

3a e 8a

; 024a11a ...4

; 03ax3a25x ...

015a3x310aax3x3 x

3x3y

0cbyaxyx

: tangenzadi condizione la Ricavo

. 15ac ; 5c10-a-2a

: equazione prima nella Sostiusco

. 10ab 20 b2 2a

25 c b4a3

5cb2a

2

22

1

22

2

2

2

1

1

1

21

2

2

22

22

Esprimo b e c in funzione di a. Dalla combinazione lineare delle prime due equazioni si ha:

20

1. Determina l’equazione della circonferenza di centro C(-2 ; -3) e tangente alla retta di equazione y = 3x -1 .

Trovo il raggio della circonferenza, sapendo che coincide con la distanza del centro C dalla retta tangente:

. 05

576y4xy x

57/5c ; 8/594c

6b

4a

: normale formain equazionel' Scrivo

. 5

83y2x

:è nzacirconfere della cartesiana equazionel' quindi

, 10

4r ;

10

13123r

:retta'-punto' distanza della formula la applico

; 01y3x

:implicita formain retta della equazionel' scrivo

22

22

21

4. Determina l’equazione della circonferenza tangente agli assi cartesiani e passante per il punto P(3 ; 2/3) .

La circonferenza si trova nel primo quadrante e il suo centro appartiene alla retta y = x , quindi =

e a = b . Osservo inoltre che il raggio misura = - a/2 , quindi si ha:

. 02530y-30x-9y9x 9

25c ;

3

10ba

0289102y-102x-9y9x 9

289c ;

3

34ba

: soluzioni due quindi ammette problema Il

3

10a

3

34a

0340a1329a ...

2/3) ; P(3per passaggio di cond. 0cb)3/2(a39/49

2/a c ;2/a2/a2/ac

2/a r

ba

22222

22111

2

12

2222

22

... 0-y avere deve soluzioni ammettereper kxx-y equazionel' che Ricorda

se x

se xcon kyyx (2)

se y

se y con kxxy )1(

: costanti parti le ek con indicando sintetico,più modoin equazioni queste Scriviamo

. cy2y x cx2xy

2

cy2y4a2x

2

cx2x442y

:ottiene si 2b e 2a osostituend

2

cbyy4aax

2

caxx4bby

2

22

2222

2222

2222

CURVE DEDUCIBILI DALLA CIRCONFERENZA

Esplicitando l’equazione di secondo grado x2 + y2 + ax + by + c = 0 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, due del tipo (1) e due del tipo (2), ricavate sotto.

Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semicirconferenze.

23

Esempi.

Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

. 2 y ordionata di punti i compresi

, 2y retta la sopra"" trovasi che semipiano il è 2y

, 3r raggio e 2) ; C(0 centro di nzacirconfere

una di equazionel' è 054yy xdove

2y

054yyx

02y

x-92-y

sistema al equivale equazione questa ; x-92y .1

22

22222

2

. 2 xascissa di punti i compresi

, 2 xretta della destra" a" trovasi che semipiano il è 2 x

, 3r raggio e 4) ; C(-2 centro di nzacirconfere

una di equazionel' è 011y8x4y xdove

2x

011y8x4yx

02x

78yy2x

sistema al equivale equazione questa ; 78yy2 x.2

22

222

22

2

24

. ordinate della asse dell' sinistra" a" semipiano 0con x

, 22r raggio e 0) ; C(-2 centro ha 04x4y x

; 0 xascissa di punti i compresi

, ordinate della asse dell' destra" a" semipiano 0con x

, 22r raggio e 0) ; C(2 centro ha 04x4y x

04x4yx

0x

04x4yx

0x : sistemi due dei

unioneall' equivale equazione questa ,04x4y x.3

22

22

2222

22

. 2y retta la sotto"" trovasi che

semipiano 2ycon , 22r raggio e 1) ; (2C

centro di nzacirconfere 03y2x4y x

; 2y ordinata di punti i compresi , 2y retta la sopra""

semipiano 2ycon , 4r raggio e 1)- ; (2C

centro di nzacirconfere 011y2x4y x

03y2x4yx

2y

011y2x4yx

2y

: sistemi due dei

unioneall' equivale equazione questa ,074y2x4y x.4

2

22

1

22

2222

22

25

Determinazione degli eventuali punti comuni A, B o T.

Per determinare gli eventuali punti d’intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema di quarto grado formato dalle equazioni delle due circonferenze. Conviene procedere come segue:

DISPOSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE NEL PIANO

Due circonferenze di equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 possono presentare nel piano le seguenti disposizioni:

. b'bcon , b'-b

a'-am angolare coeff. , )'cc(x

b'-b

a'-ay : radicale asse dell' esplicita Notazione

nze.circonfere due delle radicale asse chiamata vieneretta Tale

retta. una arappresent perciò , y"" e x""in lineare equazioneun' è 0'ccy'bbxa'-a

0'cy'bx'ayx

0cbyaxyx22

22

26

. b'b o a'acon

0'ccy'bbxa'-a

0'cy'bx'ayx oppure

0'ccy'bbxa'-a

0cbyaxyx 2222

Tali sistemi ammettono

• due soluzioni se le circonferenze sono secanti;

• una soluzione se le circonferenze sono tangenti;

• nessuna soluzione se le circonferenze non sono secanti, né tangenti.

Osserva che se a = a’ e b = b’ non si ottiene l’equazione della retta ‘ asse radicale ’; in questo caso le due circonferenze sono concentriche e non hanno punti in comune o sono coincidenti.

Quindi si risolve uno dei due sistemi di secondo grado fra l’equazione della retta ‘ asse radicale ‘ e l’equazione di una delle due circonferenze:

27

. lariperpendico sono rette due le cioè , -1m'm

, 1'aa

'bb

b'b

a'a

'aa

'bb

/2'aa/2

/2b'b/2m' CC' retta angolare tecoefficien

b'b

a'am radicale asse dell' angolare tecoefficien

: infatti

, /2b'/2;a'C' e b/2a/2; C

nzecirconfere due delle centri iper passante retta alla lareperpendico è radicale assel' : neOsservazio

Particolari rette ‘ asse radicale ’:

• se a = a’ e b b’ le due circ. hanno i centri di uguale ascissa e l’asse radicale ha equazione y = k ;• se a a’ e b = b’ le due circ. hanno i centri di uguale ordinata e l’asse radicale ha equazione x = k.

Si può concludere quindi che:

• se le circonferenze sono tangenti, l’asse radicale coincide con la tangente alle circonferenze nel loro punto di tangenza T;• se si conosce l’equazione dell’asse radicale, si possono trovare i punti comuni delle due circonferenze.

28

Esempi

1. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 + 2x - 4y – 11 = 0 e x2 + y2 + 2x - 16y + 13 = 0 .

. 2 ;1C , 8 ;1C : grafico ilPer

. 3;2B e 5;2-A punti nei secanti sono

nzecirconfere due le quindi , 3x

5x 015x2x

; 0118x24x 2y

011y4x2yx

. 2 y 024-12y

013y16x2yx

011y4x2yx

: radicale assedell' equazionel' Trovo

21

2

12

222

22

22

2. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione:

x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 3x + 2 = 0 .

. 1 x 03-3x

02x3yx

01yx : radicale assedell' equazionel' Trovo

22

22

29

3. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due

circonferenze di equazione:

x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 12 = 0 .

. 0;2C , 0;0C : grafico ilPer

. comuni punti hannonon circ. le ; soluzione nessuna

quindi , 16

105y ; 01y

16

121

4/11x

01yx

. 4/11 x 0114x

012x4yx

01yx

: radicale assedell' equazionel' Trovo

21

2222

22

22

. 0 ; 2/3C , 0 ; 0C : grafico ilPer

. 1 xequazione di radicale assel' è

tangenteretta la e 1;0Tin tangentisono nzecirconfere le cioè

, 0y

1x : soluzione sola una èc' quindi

, 0y ; 01y1 1x

01yx

21

222

30

Esercizi

1. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze assegnate.

neintersezio nessuna 07914x3y3x 0439y16x4y4x e)

25

3;

25

21B ; 1;0A 033y4xy x 035y2xy xd)

2;0A 01610xy x 02xy xc)

3;-1-B ; 2;2A 02014y8xy x 0124y2xy xb)

neintersezio nessuna 062y6xy x 02xy xa)

2222

2222

2222

2222

2222

2. Determina l’equazione della circonferenza avente come diametro la corda comune alle circonferenze di equazione x2 + y2 - 12x + 4y + 6 = 0 e x2 + y2 + 4x + 4y – 10 = 0 . [ x2 + y2 - 2x + 4y – 4 = 0 ]

1. Determina l’area del quadrilatero i cui vertici sono i centri delle circonferenze di equazione x2 + y2 - 8x + 6y + 8 = 0 e x2 + y2 + 4x + 6y – 16 = 0 e i loro punti d’intersezione. [ 6·131/2 ]

2. Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 2x – 9 = 0 e x2 + y2 + 4x – 2y – 35 = 0 sono tangenti internamente e trova il punto di tangenza T. [ T(4; -1) ]

3. Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 2y – 19 = 0 e x2 + y2 – 10x + 18y + 61 = 0 sono tangenti esternamente e determina l’equazione dell’asse radicale e della retta dei centri. [ x – 2y – 8 = 0 ; 2x + y – 1 = 0 ]

4. Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 6x – 12y + 40 = 0 e x2 + y2 – 9x – 18y + 100 = 0 sono tangenti esternamente e determina il punto di tangenza. [ T(4; 8) ]

5. Calcola l’area del triangolo individuato dall’asse delle y, dala retta dei centri delle circonferenze di equazione x2 + y2 + 6x – 1 = 0 e x2 + y2 + 8x – 6y + 5 = 0 e dal loro asse radicale. [ 15 ]

31

FASCI DI CIRCONFERENZE

Definizione Fascio di circonferenze

Date due circonferenze C e C’ , di equazioni x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 rispettivamente, si chiama fascio di circonferenze definito da C e C’ l’insieme avente per elementi la circonferenza C’ e tutte le circonferenze rappresentate dall’equazione:

x2 + y2 + ax + by + c + k(x2 + y2 + a’x + b’y + c’) = 0 , con kR . (*)

Questa equazione è l’equazione del fascio e le circonferenze C e C’ si dicono generatrici del fascio.

L’equazione del fascio può essere scritta come segue:

(1+k)x2 + (1+k)y2 + (a + ka’)x + (b + kb’)y + c + kc’ = 0 , con k -1.

Per k = -1 l’equazione del fascio diventa l’equazione della retta ‘ asse radicale ’ del fascio:

(a -a’)x + (b -b’)y + c -c’ = 0

Osservazioni

• Si ottiene lo stesso fascio se le equazioni di C e C’ si combinano linearmente mediante due parametri reali qualsiasi, non entrambi nulli: (x2 + y2 + ax + by + c) + (x2 + y2 + a’x + b’y + c’) = 0 , con e R e o 0. Se, per esempio, è 0, questa combinazione lineare generale può essere ricondotta alla (*) dividendo per e ponendo / = k .

• Si ottiene lo stesso fascio se a C e C’ si sostituiscono altre due circonferenze del fascio, dove una delle due può essere l’asse radicale ( l’asse r. può essere considerato come una circonf. degenere di raggio infinito).

32

• Le generatrici C e C’ possono avere uno o due punti comuni; tali punti si chiamano punti base del fascio.

• Il luogo dei centri delle circonferenze del fascio è una retta perpendicolare all’asse radicale e si chiama asse centrale.

• Si possono avere i seguenti tipi di fasci:

33

Esercizi

1. Determina l’equazione del fascio di circonferenze definito dalle circonferenze di equazione x2 + y2 – 10x – 6y + 24 = 0 e x2 + y2 – 4x = 0, quindi trova le equazioni dell’asse radicale e dell’asse centrale del fascio.

Combiniamo linearmente le due equazioni mediante un parametro reale k: x2 + y2 – 10x – 6y + 24 + k( x2 + y2 – 4x) = 0 o anche (1+k)x2 + (1+k)y2 – (10 + 4k)x – 6y + 24 = 0 .

L’equazione dell’asse radicale si ottiene per k = –1: – 6x – 6y + 24 = 0 ; y = – x + 4 .

Equazione dell’asse centrale :

. 2xy ; 2xmy radicale) asse centrale asse ( ang. coeff. 1m

0x4y xcirc. della centro )0 ; 2(C 22

2. Determina l’equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti A(-1;2) e B(3;0).

A e B sono i due punti base (1° caso in figura), quindi facciamo la combinazione lineare fra i due elementi del fascio che possiamo trovare facilmente: asse radicale, cioè retta AB e circonferenza di diametro AB.

34

. 01k3-y 1-k2x2-ky xoppure

03-2yxk 3-2y-2x-y x: fascio del Equazione

. 03-2y-2x-yx

3511c ; rβα c

2b ; 2βb

2a ; 2αa

quindi

1;1C ; 12

yyβ ; 1

2

xxα : centro

54162

1 yyxx

2

1 raggio

: 0 ; 3B e 2 1;-Acon , AB diametro di nzaCirconfere

; 03-2yx ; 2

3x

2

1-y ; 1x

13

22y

; xxxx

yyy-y : radicale Asse

22

22

22

222

BABA

2BA

2BA

AAB

ABA

3. Studiare il fascio di circonferenze di equazione x2 + y2 – 3(2 – k)x + 4ky – 16 – 34k = 0 .

L’equazione può scriversi: x2 + y2 – 6x – 16 + k (3x + 4y – 34) = 0 , quindi il fascio è generato dalla

circonferenza x2 + y2 – 6x – 16 = 0 di centro C(3 ; 0) e dalla retta ‘ asse radicale ’ 3x + 4y – 34 = 0.

35

. 4-x3

4 y ;

63

40

6-x

4-y ;

xx

yy

x-x

y-y

equazione di , CTper passante

centrale" asse" retta sulla trovanosi nzecirconfere

delle centri i e Tin tangentinzecirconfere di fascioun

, 2- k per , arappresent data equazionel' :eConclusion

. Tin tangentelacon coincide radicale

assel' quindi , soluzione sola una ammette sistema Il

. 4) ; T(6 4y

6x ...

... 034y4x3

016x6yx : base punti eventuali gli Cerco

. 052-1636 raggio e

4) ; T(6 centro di circ. , 052y8x12yx

:ha si -2kper , infatti ; 4) ; T(6 punto il

con coincide che degenere, circ. la ha si 2- k Per

. 2 - kper cioè , 0k3416k4k24

9

per reali nzecirconfere arappresent fascio Il

TC

TC

T

T

22

22

22

36

4 . Studiare il fascio di circonferenze di equazione x2 + y2 – 4x + 2y + k – 3 = 0 .

Osservo che le coordinate del centro = - a/2 = 2 e = - b/2 = -1 sono costanti , indipendenti dal parametro k , quindi si tratta di un fascio di circonferenze concentriche di centro C(2 ; -1).

Il fascio rappresenta circonferenze reali per 4 + 1 – k + 3 0 , cioè per k 8 . Per k = 8 si ha la circonferenza degenere, che coincide con il punto C(2 ; -1). Infatti, per k = 8 si ha: x2 + y2 - 4x + 2y + 5 = 0, equazione che rappresenta una circonferenza di centro C(2; -1) e raggio = 4 + 1 – 5 = 0.

Conclusione: l’equazione data rappresenta, per k 8, un fascio di circonferenze concentriche, di centro C(2 ; -1) .

37

DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO

CASO CIRCONFERENZA – RETTA

y e/oper x ilimitazion eventuali

retta una di equazione

nzecirconfere di fascioun di equazione

(2) oppure

y e/oper x ilimitazion eventuali

rette di fascioun di equazione

nzacirconfere una di equazione

(1)

: casi seguenti i presentare possono Si

Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.

Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la circonferenza nel caso (1), o la retta interseca le circonferenze nel caso (2).

Esempi

:grafico) (metodo grafico dal ediscussion la effettuare comodo molto E'

(1) tipodel sistema

0y ; 4x0

03yk1kx

0x4yx

:sistema seguente il Discuti 1.

22

38

. 3 3;F fascio del centro , 3y

xy sono igeneratric rette Le

. 03yy-xk forma nella scrivere può si che rette, di proprio fascio 03yk1kx

A(4;0). e O(0;0)per passante e 2 raggio 0), C(2; centro di nzacirconfere 0x4yx 22

Le limitazioni 0 < x 4 e y 0 individuano l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza.

Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le rette tangenti e per le rette passanti per A(4;0) e per O(0;0).

• Retta per O: è la retta generatrice y = x , alla quale non corrisponde alcun valore di k.

• Retta per A: 4k - 3 = 0 ; k = 3/4 .

• Rette tangenti:

. 2

61-k ; 05-4k4k

... 2k1k

3-2k

2

22

39

. 0y

4x , limite soluzione una e

ordinaria soluzione una ha si 3/4 kper , icoincident sono soluzioni due le 2

61-kper eparticolarIn

. soluzioni due ammette sistema il 4

3;

2

61-

2

6-1-; -kper

soluzione; una ammette sistema il ; 3/4 kper

:che deduce si grafico Dal iConclusion

. 1/2- m angolare coeff.

con rette di improprio fascio 02ky2x

. 2 raggio e

O(0;0) centro di nzacirconfere 04y x

(1) tipodel sistema

0y

02ky2x

04yx

:sistema seguente il Discuti 2.

22

22

40

La limitazione y 0 individua l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza.

Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per la retta tangente in T e per le rette passanti per A(-2;0) e per B(2;0).

• Retta per A: - 2 + k – 2 = 0 ; k = 4 .

• Retta per B: 2 + k – 2 = 0 ; k = 0 .

• Retta tangente in T:

. icoincident sol. due 522 kper

, 0y

2x , limite una e ordinaria sol. una 4 k per ,

0y

2x , limite soluzione una 0kper eparticolarIn

. soluzioni due ammette sistema il 522 ; 4 kper

soluzione; una ammette sistema il 4 ; 0kper

:che deduce si grafico Dal iConclusion

. 522k ; 522 k ; 016-4k- k ; 25

2-kT1,2

2

41

. 1x2

1y : esplicita formaIn . 1/2- m angolare coeff. di retta 02y2x

. C(1;2) punto nel degenera circonf. la 8kPer

. 8k : reali nzecirconfere avereper condizione la cui da

, k-8 3k-41r ,k di funzionein

espresso raggio, e 2) C(1; centro di heconcentric nzecirconfere di fascio 03ky4x2y x

(2) tipodel sistema

6x2

02y2x

03ky4x2yx

:sistema seguente il Discuti 3.

22

22

La limitazione -2 x 6 individua sulla retta x + 2y + 2 = 0 il segmento utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni retta – circonferenze.

Il segmento utile ha come estremi A(-2 ; 0) e B(6 ; -4) .

Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le circonferenze tangenti e per le circonf. secanti il segmento AB.

• Circ. per A: 4 + 4 + k – 3 = 0 ; k = - 5 .

• Circ. per B: 36 + 16 – 12 + 16 + k – 3 = 0; k = -53.

• Circ. tangente:

. 9/5 -k ;5k -4049 ; k85

241

42

. icoincident sol. due 9/5 kper

, 0y

2x , limite una e ordinaria sol. una 5- k per

, 4 y

6x , limite sol. una 53kper eparticolarIn

sol. due ammette sistema il 9/5 - ; 5 - kper

soluzione; una ammette sistema il 5- ; 53kper

:che deduce si grafico Dal iConclusion