CIRCONFERENZA

TEORIA

PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI

CIRCONFERENZA.- E' L'INSIEME INFINITO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDISTANTI DA UN PUNTO DETTO CENTRO DELLA CIRCONFERENZA

ELEMENTI DI UNA CIRCONFERENZA

A B

M

N

Rettatangente

Rettasecante

Freccia o sagitta

DiametroAB( )

Centro

T

Punto di tangenza

Q

P

Raggio

Arco BQ

Corda PQ

PROPRIETA' FONDAMENTALI

01.- Il raggio che ha un estremo sul punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente.

RL

LR

02.- Il raggio o il diametro perpendicolari a una corda la bisecano (la dividono in due segmenti congruenti).

P

Q

M

N

R

MQ PM PQ R

03.-Corde parallele determinano archi congruenti compresi fra le parallele.

A B

C D

BDAC CD // AB : Se

04.- A corde congruenti in una stessa circonferenza corrispondono archi congruenti.

A

B

C

D

Corde congruentiArchi congruenti

Le corde sono equidistanti dal

centro

CD AB CD AB : Se

POSIZIONI RELATIVE DI DUE CIRCONFERENZE

01.- CIRCONFERENZE CONCENTRICHE.- Hanno lo stesso centro.

r

R

d = distanza fra i centri ; d : pari a zero d = distanza fra i centri ; d : pari a zero

R

r

Distanza frai centri (d)

02.- CIRCONFERENZE ESTERNE.- Non hanno punti in comune.

d > R + rd > R + r

R r

d = R + r d = R + r

03.- CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza.

r

R

R r

Punto di tangenza

Distancza frai centri (d)

d

R

d = R - rd = R - r

04.- CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza.

d: Distanza fra i centri

R

r

Punto di

tangenza

05.- CIRCONFERENZE SECANTI.- Hanno due punti comuni che sono i punti d'intersezione.

R r

( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )

Distanza frai centri (d)

06.- CIRCONFERENZE ORTOGONALI.- I raggi sono perpendicolari nel punto d'intersezione.

d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2

Distanza frai centri (d)

rR

06.- CIRCONFERENZE INTERNE.- Non hanno punti comuni.

R r

d

d < R - rd < R - r d: Distanza fra i centri

1.- Da un punto esterno a una circonferenza si possono disegnare due rette tangenti che determinano due segmenti congruenti. Nel punto di tangenza, il raggio risulta perpendicolare alla tangente.

PROPIETA' DELLE TANGENTI

AP = PBAP = PB

A

B

P

R

R

2.- TANGENTI ESTERNE COMUNI.- segImenti AB e CD sono congruenti

AB = CDAB = CD

A

B

C

D

R

Rr

r

3.- TANGENTI INTERNE COMUNI.- I segmenti AB e CD sono congruenti.

AB = CDAB = CD

A

B

C

DR

R

r

r

TEOREMA DI PONCELET.- In tutti i triangoli rettangoli, la somma dei cateti è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa più il doppio del raggio inscritto. Poichè l'ipotenusa è uguale al doppio del raggio della circonferenza circoscritta, allora la somma dei cateti è uguale al doppio della somma del raggio inscritto e di quello circoscritto.

a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )

a

b

c

r

R R

Raggio inscritto

Raggio circoscritto

TEOREMA DI PITOT.- In tutti i quadrilateri circoscritti a una circonferenza, accade che la somma delle lunghezze dei lati opposti è uguale.

a + c = b + d a + c = b + d

d

a

b

c

Quadrilatero circoscritto

1.- MISURA DELL'ANGOLO AL CENTRO.- E' uguale alla misura dell'arco che gli si oppone.

A

B

C

r

r

= AB = AB

A

C

B

D

2.- MISURA DELL'ANGOLO INTERNO.- E' uguale alla semisomma delle misure degli archi opposti

2

CDAB

A

B

C

3.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( INSCRITTO ).- E' la metà della misura dell'arco opposto.

2

AB

4.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( SEMI-INSCRITTO ).- E' uguale alla metà dell'arco opposto.

A

B

C

2

AB

A

BC

2

ABC

1.- MISURA DELL'ANGOLO ESCRITTO.- E' uguale alla metà della misura dell'arco ABC.

A

B

C O

6.-ANGOLI ESTERNI.- Si distinguono tre casi :

a.- Misura dell'angolo formato da due rette tangenti la circonferenza.- E' uguale alla semidifferenza delle misure degli archi opposti.

+ AB = 180° + AB = 180°

2

mAB - mACB

A

B

C

O

D

b.- Angolo formato da due rette secanti.- E' uguale alla semidifferenza della misura degli archi opposti.

2

CD -AB

A

B

C

O

c.- Misura dell'angolo formato da una retta tangente e da una secante.- E' uguale alla semidifferenza della misura dei due archi opposti.

2

BC - AB

50°70º+x

XR

S

Q

140°

2X

X + (X+70) + 50° = 180°

X = 30°X = 30°

Per l'angolo escritto PQS

Problema Nº 01

RISOLUZIONE

P

xx

AngoloPQS

º702

2º140Sostituendo:

Nel triangololo PQS:

Risolvendo l'equazione:

PSQ = xSi disegna la corda SQ 2

QRSAngoloPQS

Dal punto “P” esterno a una circonferenza si disegnano la tangente PQ e la secante PRS. Se RS misura 140º e l'angolo QPS misura 50º, calcola la misura dell'angolo PSQ.

20°

70°X

X = 40°X = 40°R

Q

H

Nel triangolo rettangolo RHS

140°Si tratta di proprietà che porta

a:

140° + X = 180°

Per l'angolo inscritto si ha

Problema Nº 02

RISOLUZIONE

P

S

L'angolo S = 70º

Risolvendo:

PSQ = x

2º70QR

QR = 140°

Da un punto “P” esterno a una circonferenza si hanno le due rette tangenti PQ y PR. Sull'arco maggiore QR si pone un punto “S”, si traccia la RH perpendicolare alla corda QS. Se l'angolo HRS=20º, quanto misura l'angolo QPR?

x130°

A

C

B

DX = 40°X = 40°

2

50 130X

50°

Problema Nº 03

RISOLUZIONE

PRisolvendo:

APD = xMisura dell'angolo interno

Misura dell'angolo esterno

902

130 BCBC = 50°

Da un punto “P” esterno a una circonferenza si disegnano le secanti PBA e PCD tali che le corde AC e BD siano perpendicolari fra loro; calcola la misura dell'angolo APD quando l'arco AD misura 130º.

x

X = 18°X = 18°

2

X 54X

M

N

54°

xx

Problema Nº 04

RISOLUZIONE

PAB

APN = xSi disegna ioil raggio OM:

o

Dati: OM(raggio) = PM

Allora il triangolo PMO è isoscele

L'angolo al centro è uguale all'arco

Misura dell'angolo esterno

Risolvendo:

In una circunferenza, il cui diametro AB si prolunga fino al punto “P”, dal quale si disegna una retta secante PMN tale che la lunghezza di PM sia uguale al raggio. L'arco AN misura 54º. Qual è la misura dell'angoloAPN?

x

70°

Misura dell'angola inscritto:

X = 55°X = 55°

2

110X

A

B

C

PQ

R

110°

Problema Nº 05

RISOLUZIONE

PRQ = x

Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti:

Risolvendo:

70° + PQ = 180° PQ = 110°

In un triangolo ABC si inscrive una circonferenza. Essa è tangente i lati AB, BC e AC nei punti “P”, “Q” e “R”. Se l'angolo ABC è di 70º, quanto misura l'angoloPRQ?

Calcola la misura dell'angolo “X”.

Problema Nº 06

70°

B

A

X P

Risoluzione

RISOLUZIONE

Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti:

Misura dell'angolo inscritto:

70°

B

A

X PC

140º

140º + x = 180º Risolvendo: X = 40º

2º70AB

AB=140º

Calcolare la misura dell'angolo “x”

Problema Nº 07

B

A

X P130º

Risoluzione

RISOLUZIONE

B

A

X P130º C

Misura dell'angolo inscritto:

Nella circonferenza:

260º

Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti:

X = 80º

2º130AB

AB = 260º

ACB = 100º

ACB + x = 100º

260º + ACB = 360º

Calcula il perímetro del triangolo ABC.

Problema Nº 08

2

5 5A

B

C

Risoluzione

Teorema di Poncelet: a + b = 10 + 2(2)

Allora il perimetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10

(2p) = 24

RISOLUZIONE

2

5 5A

B

C

a b

a + b = 14 (1)(2)

Sostituendo la (1) nella (2)

(2p) = 14 + 10

X

Disegno

Q

R

S

80º Pa

a

Problema Nº 09

Dal punto “P” esterno alla circonferenza si disegna la tangente PQ e la secante PRS in modo che gli archi SQ e SR siano congruenti.

Se l'arco QR misura 80º, qual è l'ampiezza dell'angolo QPR .

Risoluzione

2a + 80º = 360º a = 140º

Misura dell'angolo esterno:

Xa

80

2

140 80

2

º º ºX = 30º

Nella circonferenza:

Risoluzione

X

Q

R

S

80º Pa

a

P

Q

R

S

2

3

Disegno

Problema Nº 10In un quadrilatero ABCD con angoli Q = S = 90º si disegna la diagonale PR. I raggi inscritti dei triangoli PQR e PRS misurano 3cm e 2cm rispettivamente. Se il perimetro del quadrilatero PQRS è 22cm, qual è la lunghezza di PR

Risoluzione

Teorema di Poncelet:

a b

cd

PQR a + b = PR+2(3) +

a +b + c + d = 2PR + 10

PR = 6cm

Dato:

a + b + c + d = 22cm

PSR c + d = PR+2(2)

22 = 2PR + 10

Risoluzione

P

Q

R

S

2

3