Geometria analitica nel piano

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Sistema di assi cartesiani nel piano

Abbiamo identificato l’insieme dei numeri reali R con i punti diuna retta. Ora, per prima cosa, stabiliamo una corrispondenzabiunivoca fra i punti P del piano e le coppie ordinate di numerireali [a,b].Più precisamente, introdurremo il concetto di sistema di assicartesiani nel piano.Questa terminologia rappresenta un omaggio al grandematematico e filosofo francese René Descartes (Cartesio) che,intorno alla metà del secolo XVII, introdusse questi sistemi diriferimento e li applicò allo studio di vari problemi geometrici.

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Sistema di assi cartesiani nel piano

x

y

O

b Pb

a

III

III IV

Figura 1: Assi Cartesiani

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Terminologia relativa al piano cartesiano

• Assi ortogonali fra loro e orientati come nella Figura 1.

• Nomenclatura: l’asse orizzontale è chiamato asse x, quelloverticale asse y.

• Su ciascuno dei due assi, è fissata un’unità di misura:quando la necessità di realizzare una data figura lo rendeopportuno, è possibile usare un’unità di misura sull’asse ydiversa rispetto a quella fissata sull’asse x.

• Il numero reale a, corrispondente alla proiezioneortogonale di P sull’asse x, è detto ascissa di P, mentre b(corrispondente alla proiezione ortogonale di P sull’asse y)si chiama ordinata di P. La coppia ordinata di numeri reali[a,b] rappresenta le coordinate cartesiane di P (in seguito,le chiameremo semplicemente coordinate di P). L’origine Oè il punto di coordinate [0,0].

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Terminologia relativa al piano cartesiano

Useremo la scrittura R2 per denotare il piano munito di un

sistema di riferimento cartesiano come in Figura 1.Si può anche notare che il piano risulta suddiviso in quattroquadranti, tradizionalmente chiamati I, II, III e IV, comeindicato nella Figura 1 (anche, rispettivamente, primoquadrante, secondo quadrante etc.).Ad esempio, il primo quadrante corrisponde all’insieme:

I ={

[x,y] ∈R2 : x, y ≥ 0

}

.

Invece:IV =

{

[x,y] ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≤ 0

}

.

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Geometria analitica

La geometria analitica consiste nello studio delle proprietàgeometriche delle varie figure attraverso l’uso delle coordinate.In particolare, impareremo alcuni concetti fondamentali che ciconsentiranno, in particolare, di descrivere rette, circonferenze(e parabole) attraverso opportune equazioni. Lo studio critico econsapevole della geometria analitica costituisce, a nostroavviso, una delle migliori palestre per allenare la mente alragionamento matematico.

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Distanza tra 2 punti e punto medio di un segmento

Al fine di acquisire maggiore confidenza con l’uso dellecoordinate svolgiamo un paio di semplici esercizi preliminari:Esercizio 1: Siano P0 = [x0,y0] e P1 = [x1,y1] due punti di R2.

(i) Esprimere la distanza tra P0 e P1 in funzione delle lorocoordinate.

(ii) Esplicitare le coordinate del punto medio M del segmentoP0 P1 in funzione delle coordinate di P0 e di P1.

Soluzione:

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Distanza tra 2 punti

x

y

b

P0

bP1

y0

y1

x0 x1x1 − x0

y 1−

y 0

b Q1

Figura 2: Distanza tra due punti

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Distanza tra due punti

(i) Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo△P0 Q1 P1 si ottiene:

dist(P0,P1) =√

(x1 − x0)2 +(y1 − y0)2 . (1)

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Punto medio di un segmento

x

y

b

P0

bM

bP1

y0

yM

y1

x0 xM x1

b

b

b Q1

Q2

Q3

Figura 3: Coordinate del punto medio di un segmento

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Coordinate del punto medio di un segmento

(ii) Dalla congruenza dei triangoli △P0 Q3 M e △M Q2 P1 inFigura 3 deduciamo che xM è equidistante da x0 e x1, per cuil’ascissa xM vale:

xM = (x0 + x1)/2 .

Ragionando in modo simile per l’ordinata yM si ricava

M = [xM,yM ] =[x0 + x1

2,y0 + y1

2

]

. (2)

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Esercizio

Nell’Esercizio 1 abbiamo dato una risposta a domande dichiara natura geometrica utilizzando le coordinate. Questofornisce una prima idea del metodo di lavoro proprio dellageometria analitica.Esercizio 2: Siano P0 = [2,2] e P1 = [5,6]. Calcolare la distanzatra P0 e P1, e il punto medio M del segmento P0 P1.Soluzione: Applicando (1) e (2), si trova

dist(P0,P1) = 5 , M =[7

2,4]

.

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Equazione della circonferenza

Vediamo in dettaglio la descrizione di una circonferenzamediante l’uso delle coordinate. Per fissare le idee,supponiamo di dover descrivere la circonferenza γ aventecentro C = [x0,y0] e raggio R > 0 assegnati. Geometricamente,possiamo scrivere:

γ ={

P ∈ R2 : dist(P,C) = R

}

. (3)

Ora, indichiamo con P = [x,y] il generico punto di R2. Usando laformula (1) che fornisce la distanza fra due punti, è immediatoconstatare che la (3) equivale a:

γ =

{

[x,y] ∈ R2 :

√

(x− x0)2 +(y− y0)2 = R

}

. (4)

A parole, ciò vuol dire che i punti di γ sono esattamente queipunti di R2 che soddisfano la condizione

√

(x− x0)2 +(y− y0)2 = R . (5)

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Equazione della circonferenza

Elevando al quadrato, la (5) può essere riscritta in modoequivalente come segue:

(x− x0)2 +(y− y0)

2 = R2 . (6)

La (6) è l’equazione cartesiana della circonferenza γ di centroC = [x0,y0] e raggio R(> 0).Il lettore dovrebbe riflettere con attenzione sul significato di (6):intanto bisogna capire che x0, y0 e R (R > 0) sono numeri realifissati.Poi, si deve acquisire il fatto che i punti di γ sono esattamentequelli le cui coordinate soddisfano l’equazione (6). Questo è unconcetto fondamentale che si applica ad ogni situazione in cuiun luogo geometrico di punti (ad esempio, una retta, o unaparabola etc.) è descritto mediante un’equazione.

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Esercizio

Esercizio 3:

(i) Scrivere l’equazione della circonferenza γ di centroC = [3,1] e raggio 5.

(ii) Siano P1 = [1,3], P2 = [2,4], P3 = [0,5]: stabilire quale fraquesti 3 punti appartiene a γ .

Soluzione: (i) Applicando la (6) troviamo che l’equazione di γè:

(x−3)2 +(y−1)2 = 25 , (7)

ovvero:x2 + y2 −6x−2y−15 = 0 .

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Esercizio

(ii) Sostituendo le coordinate di P1 nel membro a sinistradell’equazione (7) abbiamo:

(1−3)2 +(3−1)2 = 8 6= 25 ,

per cui le coordinate di P1 non soddisfano la (7) e quindi P1 6∈ γ .Procedendo in modo simile per P2 si ottiene

(2−3)2 +(4−1)2 = 10 6= 25 ,

per cui anche P2 6∈ γ .Infine, lo stesso tipo di verifica per P3 fornisce

(0−3)2 +(5−1)2 = 25 ,

per cui si conclude che P3 ∈ γ .

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Equazione di una retta

Iniziamo a studiare il caso di una retta r passante per l’origineO, non parallela ad un asse cartesiano e contenuta neiquadranti I e III:

x

y

O

r

P1

b

by1

Q1 = [x1,0]θ

Py

Q = [x,0]b

b

Figura 1: retta passante per l’origine O

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Equazione di una retta

La retta è univocamente individuata dall’assegnazione di unpunto P1 = [x1, y1] ∈ r, P1 6= O. Come in Figura 1, sia P = [x, y]un generico punto di r nel primo quadrante, e siano poi Q1 e Qrispettivamente le proiezioni ortogonali di P1 e P sull’asse x (persemplicità, trattiamo il caso in cui P1 e P si trovano nel primoquadrante: le osservazioni necessarie per trattare i rimanenticasi sono lasciate allo studente). Dalla similitudine dei duetriangoli △OP1Q1 e △OPQ segue che:

y1 : x1 = y : x , (8)

da cuiy1

x1=

yx. (9)

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Equazione di una retta

Posto ora, per convenienza,

y1

x1= m , (10)

vediamo che la condizione (9) può essere riscritta piùsemplicemente come:

y = mx (11)

(si noti che l’equazione precedente risulta verificata anche dallecoordinate [0,0] dell’origine O).

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Equazione di una retta

Riassumendo, l’equazione (11) rappresenta, nel caso m > 0,una retta r passante per O e contenuta nei quadranti I e III.Il numero reale m è chiamato coefficiente angolare della retta r:impareremo successivamente che m coincide con la tangentedell’angolo θ compreso tra r e la semiretta positiva dell’asse x(m = tanθ ).Per ora, invitiamo ancora il lettore a riflettere bene sul fatto chel’equazione (11) va interpretata come segue: un genericopunto P appartiene ad r se e solo se le sue coordinatesoddisfano l’equazione (11), ovvero, in formule,

P = [x,y] ∈ r ⇔ y = mx .

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Esercizio

Esercizio 1:

(i) Scrivere l’equazione della retta r che contiene l’origine e ilpunto P1 = [2,4].

(ii) Siano P2 = [3,2] e P3 = [1,2]. Stabilire se questi due puntiappartengono a r.

Soluzione: (i) In questo caso

m =42= 2 ,

per cui l’equazione di r è

r : y = 2x .

(ii) Non vi sono difficoltà a verificare che P2 6∈ r, mentre P3 ∈ r.

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Equazione di una retta

Ora, con un ragionamento perfettamente analogo alprecedente, possiamo descrivere una retta passante perl’origine, ma contenuta nei quadranti II e IV, ancora con (11),ma con m < 0.Pertanto si può affermare, riassumendo questa discussione,che una generica retta r passante per l’origine, diversadall’asse y, si rappresenta con l’equazione

y = mx , dove m ∈ R (12)

(si noti che, nel caso in cui m = 0, r coincide con l’asse x). Daquesto ragionamento abbiamo dovuto escludere l’asse y .Infatti, questo corrisponderebbe alla situazione (nonaccettabile) in cui x1 = 0 in (9). Osservando che i punti dell’assey sono tutti e solo quelli che hanno la prima coordinata(ascissa) nulla, è evidente che l’equazione dell’asse y èsemplicemente:

x = 0 . (13)22 / 47

Esercizio

Esercizio 2: Sia r la retta di equazione y = 3x. Scriverel’equazione della retta r′ che contiene il punto P′ = [1,5] ed èparallela a r.Soluzione: Aiutiamoci con la seguente Figura 2:

x

y

b

bP′

5

1O

r′ r

b

3

Figura 2: Retta parallela ad una data retta passante per O. 23 / 47

Esercizio

Nella Figura 2 si può osservare che i punti di r′ si ottengono daquelli di r mediante un’opportuna traslazione verticale: in altreparole, si aumenta di un’opportuna quantità fissa, indicata conb(∈ R), il valore dell’ordinata (y) dei punti di r. Deduciamo chel’equazione che governa l’appartenenza a r′ è:

y = 3x+b . (14)

Ora, per calcolare il valore di b, è sufficiente imporre che lecoordinate di P′ soddisfino la (14). Otteniamo

5 = 3 ·1+b ,

da cui si ricava subito b = 2.In conclusione, l’equazione di r′ è:

r′ : y = 3x+2 .

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Equazione di una retta

Riassumendo e generalizzando il contenuto dell’esercizioprecedente possiamo affermare quanto segue:

y = mx+b m,b ∈ R (15)

rappresenta l’equazione di una generica retta di R2, nonparallela all’asse y.La (15) è anche chiamata equazione esplicita della retta.L’Esercizio 2 ci permette inoltre di concludere che due rettesono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficienteangolare.

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Esercizio

Esercizio 3: Sia P = [2,3].

(i) Scrivere l’equazione della retta r1 passante per P eparallela all’asse x;

(ii) Scrivere l’equazione della retta r2 passante per P eparallela all’asse y.

Soluzione: La condizione che esprime l’appartenenza di ungenerico punto P a r1 è semplicemente che l’ordinata di P siauguale a 3. Pertanto l’equazione di r1 è y = 3. Analogamente, siottiene l’equazione di r2: x = 2.Queste due rette sono rappresentate nella seguente Figura 3:

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Esercizio

x

y

b

b

bP

r2

r1

2

3

Figura 3: rette parallele agli assi

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Esercizio

Esercizio 1: Siano P1 = [2,1] e P2 = [3,3]. Determinarel’equazione della retta r che contiene P1 e P2.

Per risolvere questo esercizio possiamo procedere in due modidistinti: per via puramente algebrica, oppure ragionandogeometricamente.Risoluzione per via algebrica: l’equazione di r è della forma:

r : y = mx+b ,

dove i coefficienti incogniti m e b possono essere determinatiimponendo che le coordinate dei due punti P1 e P2 soddisfinol’equazione della retta r. Più precisamente, l’appartenenza diP1 a r equivale alla condizione:

1 = m ·2+b . (16)

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Esercizio

Invece, l’appartenenza di P2 a r corrisponde a:

3 = m ·3+b . (17)

Sottolineiamo che i coefficienti incogniti m e b devonosoddisfare entrambe le equazioni (16) e (17). In questi casi siutilizza la simbologia seguente:

{

1 = m ·2+b3 = m ·3+b

(18)

e si dice che (18) è un sistema di equazioni nelle due incognitem e b. In generale, lo studio dei sistemi di equazioni è alquantocomplesso; ma, nella nostra semplice situazione, è invecefacile pervenire alla sua soluzione mediante sempliciconsiderazioni algebriche.

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Esercizio

Infatti, dalla prima equazione in (18), possiamo ricavare:

b = 1−2m . (19)

Sostituendo questa informazione nella seconda equazione di(18) deduciamo che:

3 = 3m+(1−2m) ,

da cui ricaviamo immediatamente:

m = 2 . (20)

Usando (20) in (19), concludiamo:

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Esercizio

b = 1−2 ·2 ,

da cuib =−3 . (21)

Ne segue che l’equazione della retta r richiesta è:

r : y = 2x−3 . (22)

A titolo di verifica ulteriore, il lettore può controllare sia il fattoche le coordinate di P1 e P2 soddisfano (22), sia la validità dientrambe le equazioni in (18) quando b =−3 e m = 2.

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Esercizio

Risoluzione per via geometrica: visualizziamo la situazioneattraverso la Figura 1, dove abbiamo tracciato la retta r′

parallela alla retta r e passante per l’origine.

x

y

bP1

b Q

bP2

bP∗

Q∗ 2 3

1

3

r′ r

O

Figura 4: retta passante per due punti assegnati

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Esercizio

Le rette r′ e r sono parallele per costruzione e quindi, perquanto osservato precedentemente, hanno lo stessocoefficiente angolare m.Sfruttando la similitudine dei triangoli △OP∗Q∗ e △P1P2Q inFigura 4, possiamo dedurre che

m =P∗Q∗

OQ∗=

P2Q

P1Q=

(3−1)(3−2)

= 2 .

Poi, dato che r deve contenere P1 = [2,1],si ricava:

r : y = 2x−3 = 2(x−2)+1 , (23)

risultato che coincide con (22).

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Considerazioni conclusive

A margine dell’esercizio precedente proponiamo una breveriflessione sul metodo di lavoro: è importante, quando si studiaun problema matematico, abituarsi ad usare tutte leconoscenze a propria disposizione, confrontando fra lororisultati eventualmente ottenuti mediante procedimenti diversi,anche cercando di controllarne la coerenza; ciò favorisce unamigliore assimilazione dei metodi impiegati ed aiuta adelaborare utili relazioni tra tutte le nozioni utilizzate. Una buonaapplicazione di queste considerazioni consiste nel portare atermine lo svolgimento del seguente esercizio: a tal fine, èsufficiente applicare i ragionamenti illustrati nel corso dellosvolgimento dell’Esercizio 1.

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Retta passante per due generici punti assegnati

Esercizio 2: Siano P1 = [x1,y1] e P2 = [x2,y2] due generici puntidi R2, (P1 6= P2).

(i) Determinare l’equazione della retta r che contiene P1 e P2.

(ii) Determinare l’equazione della generica retta r checontiene P1.

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Retta passante per due generici punti assegnati

Soluzione:(i) Caso x1 6= x2:

m =y2 − y1

x2 − x1(24)

e

r : y =

[

y2 − y1

x2 − x1

]

(x− x1)+ y1 . (25)

Caso x1 = x2 (retta parallela all’asse y):

r : x = x1 . (26)

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Retta passante per due generici punti assegnati

(ii) La generica retta passante per P1 (non parallela all’asse y)è:

r : y = m(x− x1)+ y1 , dove m ∈ R . (27)

La retta r passante per P1 e parallela all’asse y è invece la (26).

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Grafico di una funzione

Per prima cosa stabiliamo un collegamento diretto tra lageometria analitica e lo studio di funzioni.Definizione: Siano A, B ⊆ R. Data una funzione f : A → B, ilsuo grafico è il sottoinsieme Γf di R2 definito da:

Γf ={

[x, f (x)] ∈ R2 : x ∈ A

}

. (28)

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Grafico di una funzione: esempio

Esercizio 1: Sia f : R→ R la funzione definita da:

f (x) = x−1 , ∀ x ∈R .

Disegnare il grafico di f .Soluzione: Per definizione

Γf ={

[x, x−1] ∈ R2 : x ∈R

}

. (29)

La (29) ci dice che, per i punti del grafico, il legame fral’ordinata e l’ascissa è espresso dall’equazione:

y = x−1 , x ∈R . (30)

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Grafico di una funzione: esempio

Ne segue che Γf è la retta rappresentata nella figura seguente:

x

y

−11O

b

x0

bf (x0)

Figura 5: grafico della funzione dell’Esercizio 1

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Polinomi di primo grado e rette

In realtà, il procedimento descritto nell’Esercizio 1 ha validitàpiù generale: in particolare, consente di affermare che ognifunzione f : R→ R del tipo:

f (x) = mx+b , ∀ x ∈ R , (31)

con m e b numeri reali assegnati, ha come grafico la retta diequazione:

y = mx+b .

Se m 6= 0, una funzione come in (31) viene chiamata polinomiodi primo grado.

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Polinomi di secondo grado

Un polinomio di 2o grado è una funzione f : R→ R definita da:

f (x) = ax2 +bx+ c , ∀ x ∈ R , (32)

dove a, b, c sono tre numeri reali fissati, con a 6= 0.Ragionando come nel precedente Esercizio 1, possiamoconcludere che il grafico del polinomio di 2o grado (32) è illuogo di punti (chiamato parabola) del piano R

2 definitodall’equazione:

y = ax2 +bx+ c , x ∈ R , (a 6= 0) . (33)

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Funzione valore assoluto

Introduciamo ora una funzione che risulta di grandissima utilitàin svariate situazioni.Iniziamo dicendo che la scrittura |x| (si legge valore assoluto dix) significa quanto segue:

|x|=

{

x se x ∈ R, x ≥ 0−x se x ∈ R, x < 0 .

(34)

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Funzione valore assoluto

Risulta quindi naturale definire la funzione valore assolutof : R→ R ponendo:

f (x) = |x| , ∀ x ∈ R . (35)

Esercizio 2: Disegnare il grafico della funzione valore assolutodefinita in (34)–(35).

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Grafico della funzione valore assoluto

Soluzione: In corrispondenza degli x ≥ 0 il grafico coincide conla bisettrice del primo quadrante, cioè la semiretta

y = x , x ≥ 0 .

Invece, per gli x < 0, il grafico è dato da

y =−x , x < 0 .

Mettendo insieme queste osservazioni si arriva facilmente algrafico di Figura 6.

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Grafico della funzione valore assoluto

x

y

f (x) = |x|

Figura 6: grafico della funzione valore assoluto

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Varie

• Esercizi sulla funzione valore assoluto;

• Traslazioni verticali e orizzontali di grafici;

• Disequazioni varie e esercizi su parabole.

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