Elementi di trigonometria - Home - people.unica.it · 160 Elementi di trigonometria 5.1 Le funzioni...

5Elementi ditrigonometria5.0 Scopi del capitolo

La trigonometria rappresenta uno degli strumenti più utili all’interno delcosiddetto calculus, termine di origine latina impiegato nella lingua ingleseper indicare l’insieme delle aree fondamentali intorno alle quali si sviluppala matematica moderna: analisi matematica, geometria analitica e algebralineare. In questo capitolo verranno esposti i concetti introduttivi relativialle principali funzioni trigonometriche: sin x, cosx e tanx. Vedremo poialcune applicazioni di questi concetti allo studio di problemi di naturageometrica. In un contesto avanzato, l’acquisizione di maturità scientificaaccresce la consapevolezza della sostanziale unità dei vari rami della mate-matica e, più generalmente, delle scienze matematiche, fisiche e dell’areachimico-biologica. In questo ordine di idee, attraverso lo studio di questocapitolo, il lettore inizierà a percepire direttamente il collegamento diret-to tra i concetti di base della geometria euclidea classica (Capitolo 1), lanozione di funzione (Capitolo 2) e l’analisi matematica nel contesto dellageometria analitica (Capitolo 3).

160 Elementi di trigonometria

5.1 Le funzioni trigonometriche fondamentali

x

y

O

P

H A

Q

α

γ

cosα

sinα

tanα

Figura 5.1 – La circonferenza trigonometrica (di raggio unitario).

Facciamo riferimento alla Figura 5.1: A è il punto di coordinate [1, 0].Dunque la circonferenza in Figura 5.1, che chiamiamo γ, ha centro O eraggio 1. Tutti gli angoli saranno misurati in radianti : in particolare,ricordiamo che la misura in radianti dell’angolo α è data dalla lunghezza

del corrispondente arco di circonferenza, cioè⌢AP , divisa per la lunghezza

del raggio OA. Sinteticamente, ciò equivale a dire

α =

⌢AP

OA.

Da questa scrittura deduciamo che la misura in radianti di α, essendo ilrapporto tra due lunghezze, è adimensionale o, in termini equivalenti, èsemplicemente un numero reale.Supponiamo ora di far variare il punto P su γ, percorrendola a partireda A in senso antiorario. Quando P avrà percorso un intero giro, il cor-rispondente angolo α sarà cresciuto da 0 a 2π: ciò conduce a definire leprime due funzioni trigonometriche fondamentali, cioè il seno e il cosenodi α, che denoteremo rispettivamente sinα e cosα.

5.1 Le funzioni trigonometriche fondamentali 161

Definizione 5.1. Dato un angolo α ∈ [0, 2π], definiamo

sinα = ordinata di P , ∀α ∈ [0, 2π] (5.1.1)

cosα = ascissa di P , ∀α ∈ [0, 2π] . (5.1.2)

Ragioniamo sulla funzione seno guardando la Figura 5.1. Possiamo osser-vare che, quando α cresce da 0 a π/2, sinα cresce dal valore 0 al valore1. Se poi α passa da π/2 a π, sinα decresce da 1 a 0. In modo simile,quando α cresce da π a 3π/2, sinα decresce da 0 a −1, per poi crescere da−1 a 0 quando α passa da 3π/2 a 2π. Una volta capito ciò, non dovrebbesorprendere che la funzione seno, sull’intervallo [0, 2π], abbia l’andamentodella Figura 5.2.

x

y

π2

π 3π2

2π−π2

−π− 3π2

0

1

−1

Figura 5.2 – Il grafico di sinx.

Si noti che, per uniformità di trattazione, in questa figura abbiamo chia-mato x l’argomento della funzione seno (cioè abbiamo scritto sin x invecedi sinα). Inoltre, pensando che P compia un numero infinito di giri lungoγ, abbiamo esteso la definizione di sin x a ogni x ∈ R. La funzione risultaquindi essere una funzione periodica su R di periodo T = 2π, cioè, informule,

sin(x) = sin(x+ T ) , ∀ x ∈ R . (5.1.3)

Sottolineiamo che è molto importante, a questo punto, aver capito beneil legame tra la Figura 5.1, la definizione (5.1.1) e il grafico di sin x dellaFigura 5.2. Si dovrebbero poi riconoscere, ragionando sulla Figura 5.3, leulteriori seguenti proprietà, valide ∀ x ∈ R:


x

y

π2−α

α

π2+α

π−α

π+α −α

O

Figura 5.3 – Angoli complementari e supplementari.

(i) sin(−x) = − sin x

(ii) sin(x+ π) = − sin x

(iii) sin(π − x) = sin x .

(5.1.4)

La (i) evidenzia che sin x è una funzione dispari.

◃ Esercizio 5.1. Verificare che:

(i) sin2 x+ cos2 x = 1

(ii) sin (π

4) =

√2

2

(iii) sin (π

6) =

1

2.

(5.1.5)

Nota: sin2 x significa (sin x)2 e non sin(x2).

Soluzione. La (i) segue dall’applicazione del Teorema di Pitagora al triangolorettangolo △OH P in Figura 5.1.Per verificare la (ii), si può osservare che sin (π/4) = cos (π/4). Sostituendoquesta relazione nella (i), si ottiene 2 sin2 (π/4) = 1, da cui la conclusione èimmediatamente deducibile.


Per quanto riguarda la (iii), il lettore deve riconoscere che △OH P , quandoα = π/6, è la metà di un opportuno triangolo equilatero con lato di lunghezza1. ▹

Ragionando in modo analogo a quanto fatto per sin x, si arriva alle seguentiproprietà di cosx, valide ∀ x ∈ R:

(i) cosx = cos(x+ 2π)

(ii) cosx = cos(−x)

(iii) cos(x+ π) = − cos x

(iv) cos(π − x) = − cosx .

(5.1.6)

La (ii) mostra che cosx è una funzione pari. Inoltre, sempre ragionan-do sulla Figura 5.3, è utile rendersi conto che valgono anche le seguentirelazioni:

(i) sin(x+π

2) = cos x

(ii) cos(x+π

2) = − sin x

(iii) sin(π

2− x) = cos x

(iv) cos(π

2− x) = sin x .

(5.1.7)

Il grafico di cos x è illustrato nella Figura 5.4. A questo punto, riteniamoopportuno un chiarimento sul metodo di studio: ragionare sulla Figu-ra 5.1 (ampliandone, all’occorrenza, i dettagli) in relazione alle formulee ai grafici fino a Figura 5.4 è un esercizio molto formativo e utile. Alcontrario, riteniamo che sia poco produttivo memorizzare le varie identitàtrigonometriche: conviene piuttosto consultare un formulario ed impararead utilizzarlo.

In genere, con il termine risoluzione dei triangoli si indica il processoche conduce alla determinazione completa del valore dei tre angoli e dellelunghezze dei tre lati di un dato triangolo. Il prossimo esercizio consente di


x

y

π2

π 3π2

2π−π2

−π− 3π2

0

1

−1

Figura 5.4 – Il grafico di cosx .

concludere che la risoluzione di un triangolo rettangolo è possibile quandosi conoscano un lato ed un angolo α (α ̸= π/2).

◃ Esercizio 5.2. Si consideri il triangolo rettangolo in Figura 5.5a. Lelettere a, b, c indicano le lunghezze dei lati, mentre α e β sono i due angoliopposti rispettivamente ai lati a e b. Dimostrare che valgono le seguenti

α

β

O′ H′

P ′

b

ac

(a)

x

y

r=1

H

P

O

α

(b)

Figura 5.5 – Relazioni fra angoli e lati in un triangolo rettangolo.

relazioni:

(i) b = c cosα (ii) a = c sinα (iii)a

b=

sinα

cosα. (5.1.8)


Soluzione. Dal confronto di (a) e (b) in Figura 5.5 deduciamo che i duetriangoli rettangoli △OH P e △O′H ′ P ′ sono simili. Dunque possiamo scriverela seguente proporzione:

O′H ′ : OH = O′ P ′ : OP ,

che equivale a:b : cosα = c : 1 ,

da cui si ricava immediatamente la (5.1.8)(i). La (5.1.8)(ii) è simile, mentrela (5.1.8) (iii) è diretta conseguenza di (5.1.8)(i)–(ii). ▹

L’esercizio precedente ci offre anche lo spunto per un’osservazione gene-rale: l’origine greca della parola trigono-metria (triangolo-misura) richia-ma, nello spirito già evidenziato nel §5.0, il fatto che l’essenza di questabranca della matematica consiste nel fornire uno strumento di misurazio-ne e calcolo che nasce direttamente dall’applicazione di concetti, quali lasimilitudine tra opportuni triangoli, nati nell’ambito della geometria eu-clidea classica (dopo queste considerazioni il lettore riprovi eventualmentela verifica delle formule (5.1.7)).Ora possiamo passare all’altra funzione trigonometrica fondamentale, cioèla funzione tangente di α, denotata tanα. Più precisamente, la (5.1.8)(iii)suggerisce di definire:

tanα =sinα

cosα, (5.1.9)

∀α ∈ R tale che cosα ̸= 0, cioè ∀α ∈ R, α ̸= π/2 + kπ, k ∈ Z.Dalla similitudine dei triangoli rettangoli △OH P e △OAQ in Figura 5.1deduciamo che tanα coincide con l’ordinata del punto Q: in particolare,quando l’angolo α varia da −π/2 a π/2, la funzione tanα cresce da −∞ a+∞. Quindi, estendendo a tutti gli x ∈ R, x ̸= π/2 + kπ, k ∈ Z, abbiamoil grafico della funzione tanx riportato nella Figura 5.6.

Osservazione 5.1. Come anticipato nel Capitolo 3, la tangente dell’angoloθ, compreso tra una retta r e l’asse x (parte positiva), coincide con ilcoefficiente angolare m della retta stessa. Per verificare questa proprietàsi consideri la Figura 5.7. Applicando (5.1.8)(iii) al triangolo △OQP edutilizzando la definizione di coefficiente angolare (3.1.13), si trova

tan θ =y

x= m .


x

y

π2

π 3π2

−π2

−π− 3π2

0

Figura 5.6 – Il grafico di tanx, x ∈ R, x ̸= π

2+ kπ .

x

y

P

O

y

Q=[x,0]

r

θ

Figura 5.7 – Interpretazione del coefficiente angolare di una retta.

Anche se in questo libro non ne faremo uso segnaliamo, per completezza, ladefinizione delle seguenti funzioni, chiamate rispettivamente cotangente,

5.2 Ulteriori esempi di identità trigonometriche 167

secante e cosecante:

(i) cot x =cos x

sin x, x ∈ R , x ̸= kπ, k ∈ Z

(ii) sec x =1

cos x, x ∈ R , x ̸= π

2+ kπ, k ∈ Z

(iii) csc x =1

sin x, x ∈ R , x ̸= kπ, k ∈ Z .

(5.1.10)

5.2 Ulteriori esempi di identità trigonometri-che

Nelle sezioni precedenti abbiamo preso confidenza con le principali fun-zioni trigonometriche ed abbiamo verificato una prima serie di identità dinotevole importanza, quali le (5.1.4)–(5.1.8). Fornire un quadro completodi tutte le identità trigonometriche che trovano impiego in matematica,fisica e ingegneria è, comprensibilmente, un obiettivo ben al di là dei no-stri scopi. In questa e nella successiva sezione ci proponiamo piuttosto didiscutere solo alcune importanti identità, introducendo però anche queiragionamenti geometrici che stanno alla base della loro dimostrazione:questo dovrebbe contribuire a consolidare, nel lettore, la percezione dellostrettissimo legame tra trigonometria e geometria euclidea classica.Iniziamo con le cosiddette formule di addizione e sottrazione che, appa-rentemente, sembra che fossero già note a Tolomeo nel 150 d.C.:

cos(α− β) = cosα cos β + sinα sin β (5.2.1)

cos(α+ β) = cosα cos β − sinα sin β (5.2.2)

sin(α + β) = sinα cos β + cosα sin β (5.2.3)

sin(α− β) = sinα cos β − cosα sin β , (5.2.4)

dove α e β sono angoli qualsiasi. Spieghiamo ora, per prima cosa, da qualeargomentazione geometrica derivi la (5.2.1): osserviamo la Figura 5.8.Dato che A = [1, 0], segue direttamente dalla definizione delle funzioniseno e coseno che le coordinate dei punti P , Q e R sono rispettivamente:


x

y

P

R

Q

α−β

A=[1,0]α

β

Figura 5.8 – Dimostrazione della (5.2.1).

(i) P = [cosα, sinα](ii) Q = [cos(α− β), sin(α− β)](iii) R = [cos β, sinβ] .

(5.2.5)

Ora osserviamo che i segmenti PR e QA hanno la stessa lunghezza, inquanto si tratta di due corde sottese ad angoli uguali, in quanto entrambidi ampiezza pari a (α− β). Pertanto, utilizzando le coordinate (5.2.5) deivari punti, è facile verificare, applicando la formula della distanza tra duepunti, che la relazione di uguaglianza

!

dist(P,R)"2

=!

dist(Q,A)"2

equivale a

(cosα−cos β)2+(sinα−sin β)2 = [cos(α−β) −1]2+sin2(α−β) . (5.2.6)

Svolgendo i calcoli in (5.2.6) e tenendo conto della relazione fondamenta-le (5.1.5)(i) si perviene a

2− 2 cosα cos β − 2 sinα sin β = 2− 2 cos(α− β) (5.2.7)

che, effettuate le ovvie semplificazioni, dà proprio (5.2.1). ▹

5.2 Ulteriori esempi di identità trigonometriche 169

◃ Esercizio 5.3. Usando la (5.2.1), verificare le relazioni (5.2.2), (5.2.3)e (5.2.4).

Soluzione. La (5.2.2) segue dalla (5.2.1) sostituendo β con −β e usando lesimmetrie seguenti:

cos β = cos(−β) ; sin(−β) = − sin β .

In modo simile, si ottiene la (5.2.4) dalla (5.2.3). Per verificare la (5.2.3)osserviamo che, usando (5.1.7)(ii), si ha:

sin(α+ β) = − cos#

(α+ β) +π

2

$

= − cos#

α+%

β +π

2

&

$

. (5.2.8)

Usando ora la (5.2.2) in (5.2.8) deduciamo che

sin(α+ β) = −'

cosα cos%

β +π

2

&

− sinα sin%

β +π

2

&

(

. (5.2.9)

Applicando ancora (5.1.7) arriviamo a

sin(α+ β) = − [cosα (− sin β)− sinα cos β] , (5.2.10)

che equivale a (5.2.3). ▹

◃ Esercizio 5.4 (Formule di duplicazione). Verificare che

(i) cos 2α = cos2 α − sin2 α(ii) sin 2α = 2 sinα cosα .

(5.2.11)

Soluzione. La (i) segue immediatamente da (5.2.2), con α = β, mentre (ii)discende da (5.2.3), sempre con α = β. ▹

◃ Esercizio 5.5. Verificare che

(i) cos2 α = 12 (1 + cos 2α)

(ii) sin2 α = 12 (1− cos 2α) .

(5.2.12)

Soluzione. Per la (i) usiamo la (5.2.11)(i). Otteniamo

12 (1 + cos 2α) = 1

2

!

1 + cos2 α − sin2 α"

= 12

!

(1 − sin2 α) + cos2 α"

= 12

!

2 cos2 α"

= cos2 α .

La verifica della (ii) è analoga e pertanto lasciata al lettore. ▹


5.3 Esercizi di riepilogo

◃ Esercizio 5.6. Verificare i valori della seguente tabella

x cosx sin x

0 1 0π/6

√3/2 1/2

π/4√2/2

√2/2

π/3 1/2√3/2

π/2 0 1

Soluzione. I valori del seno sono stati calcolati nell’Esercizio 5.1 tranne sin(π/3).Si osservi che, essendo sin(π/6) = 1/2, si ottiene dalla (5.1.5)(i) che cos(π/6) =√3/2. Da quest’ultima, utilizzando la (5.1.7)(iii) si trova sin(π/3) = sin(π/2 −

π/6) = cos(π/6) =√3/2. In modo analogo si trovano i rimanenti valori del

coseno.▹

◃ Esercizio 5.7. Verificare la validità della seguente disuguaglianza:

sinα < α < tanα , ∀α ∈#

0,π

2

$

(5.3.1)

Suggerimento: con riferimento alla Figura 5.9, ricondurre la (5.3.1) allaseguente, geometricamente ovvia, disuguaglianza di aree:

Area (△OAP ) < Area

)

⌢

OAP

*

< Area (△OAQ) , (5.3.2)

dove⌢

OAP denota il settore circolare individuato da O, A e P .

Soluzione. Sempre con riferimento alla Figura 5.9,

P = [cosα, sinα] e Q = [1, tan α] .

Le altezze dei due triangoli △OAP e △OAQ, relative alla base OA, valgonorispettivamente sinα e tanα, per cui

Area (△OAP ) =1

2·OA · PH =

1

2· 1 · sinα =

1

2sinα ; (5.3.3)

5.3 Esercizi di riepilogo 171

x

y

α

A=[1,0]O

P

Q

H

γ

Figura 5.9 – Illustrazione relativa all’Esercizio 5.7.

Area (△OAQ) =1

2· OA · AQ =

1

2· 1 · tanα =

1

2tanα . (5.3.4)

Per quanto riguarda l’area del settore circolare⌢

OAP possiamo scrivere la se-guente proporzione, in cui usiamo il fatto che l’area del disco delimitato da γvale π, mentre la lunghezza totale della circonferenza γ misura 2π:

π : Area

)

⌢OAP

*

= 2π : α . (5.3.5)

Dalla (5.3.5) si ricava

Area

)

⌢OAP

*

=α

2. (5.3.6)

Ora, sostituendo le espressioni (5.3.3), (5.3.4) e (5.3.6) in (5.3.2) si ottiene im-mediatamente la (5.3.1). ▹

Osservazione 5.2. Le tre funzioni coinvolte in (5.3.1) sono dispari. Quindi,tenendo conto della definizione della funzione valore assoluto |x| introdottanel Capitolo 3, possiamo concludere che vale la seguente generalizzazionedi (5.3.1):

| sinα| < |α| < | tanα| , ∀ α t.c. 0 < |α| < π

2. (5.3.7)


◃ Esercizio 5.8. Assumendo la notazione fissata nella Figura 5.10a,verificare le seguenti identità di validità generale:

(i) a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

(ii) A = 12 b c sinα

(iii)a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ,

(5.3.8)

dove A denota l’area del triangolo.Suggerimento: considerare il triangolo di partenza come l’unione di duetriangoli rettangoli, come in Figura 5.10b.

α

γ β

a

cb

(a)

α

h

m

a

c−m

b

(b)

Figura 5.10 – (a) Triangolo generico (per l’Esercizio 5.8). (b) h è l’altezzarispetto al lato c.

Soluzione. (i) Usando il risultato dell’Esercizio 5.2, possiamo scrivere

m = b cosα ; h = b sinα .

D’altra parte, per il Teorema di Pitagora,

a2 = h2 + (c−m)2 .

Ne segue che:

a2 = (b sinα)2 + (c− b cosα)2 = b2 sin2 α + c2 − 2bc cosα + b2 cos2 α= b2 + c2 − 2bc cosα .


(ii) Si trova immediatamente

A =1

2c h =

1

2c b sinα .

(iii) Moltiplicando per a la (5.3.8)(ii) si trova

aA =1

2a b c sinα

da cuia

sinα=

a b c

2A.

In analogia con il punto (ii) si trovano le seguenti espressioni per l’area deltriangolo

A =1

2a c sin β =

1

2a b sin γ ,

le quali implicano che

b

sin β=

abc

2Ae

c

sin γ=

abc

2A,

da cui segue la tesi. ▹

Osservazione 5.3. La formula (5.3.8)(i) è nota come Teorema del cosenoo Teorema di Carnot. Nel caso particolare in cui α = (π/2), la relazio-ne (5.3.8) coincide con il risultato del Teorema di Pitagora. La formula(5.3.8)(iii) è nota come Teorema dei seni.

◃ Esercizio 5.9. Con riferimento alla Figura 5.11, come può un osserva-tore posto in A calcolare la distanza tra A e P senza attraversare il lago,ma con l’ausilio di un goniometro azimutale?

Soluzione. Scelto un secondo punto B dalla stessa sponda del lago (dal qualeil punto P sia visibile), si calcolano la distanza c tra A e B e gli angoli α e βutilizzando il goniometro azimutale. Infine, applicando il Teorema dei seni altriangolo △AB P , si trova

PA

sin β=

c

sin(π − α− β),

da cuiPA =

c sin β

sin(π − α− β).


α

β

A

B

P

c

lago

Figura 5.11 – Illustrazione dell’Esercizio 5.9.

▹

L’Esercizio 5.8 suggerisce una considerazione di carattere generale: spes-so, durante lo studio di proprietà di oggetti geometrici, risulta convenientesuddividere la figura in un’unione di triangoli, eventualmente rettangoli.In questo ordine di idee, vediamo ora un’importante applicazione allo stu-dio dei poligoni regolari. Come già illustrato nel Capitolo 1, ricordiamoche un poligono regolare è un poligono avente lati ed angoli uguali. Ri-cordiamo che per raggio del poligono si intende il raggio r del cerchiocircoscritto, mentre l’apotema a è la lunghezza del segmento che unisce ilcentro con il punto medio di un lato. Ad illustrazione di quanto detto,nella Figura 5.12 abbiamo un poligono regolare con n = 5 lati (pentagonoregolare).

α

β

H

ar

O

A

Figura 5.12 – Pentagono regolare.


◃ Esercizio 5.10. (i) Scrivere la formula che esprime l’apotema a infunzione di r e del numero n di lati di un poligono regolare.

(ii) Scrivere le formule che esprimono il lato ℓ e l’area A del poligonoregolare in funzione di r e n.

Soluzione. (i) La Figura 5.12 rappresenta il caso particolare n = 5, ma illettore non dovrebbe avere difficoltà a generalizzarne l’idea, arrivando così adedurne la seguente considerazione generale: i raggi che congiungono il centroO con i vertici del poligono regolare lo suddividono in n triangoli congruenti,ciascuno dei quali risulta unione di due triangoli rettangoli del tipo △AOH inFigura 5.12. In particolare, possiamo dire che, in funzione di n,

(i) β =1

2

)

2π

n

*

=π

n

(ii) α = π − π

2− β = π

)

n− 2

2n

*

.

(5.3.9)

Usando le (5.1.8) ora deduciamo che

a = r cos#π

n

$

. (5.3.10)

(ii) Il lato ℓ, come deducibile dalla Figura 5.12, misura il doppio di AH. Pertanto

ℓ = 2r sin#π

n

$

. (5.3.11)

L’area A risulta dunque espressa da

A = 2 · n ·Area (△AOH) = 2 · n · 12· ℓ2· a . (5.3.12)

Sostituendo ora (5.3.10) e (5.3.11) in (5.3.12) si conclude:

A =n

22r sin

#π

n

$

r cos#π

n

$

=n r2

2sin

)

2π

n

*

. (5.3.13)

▹

Osservazione 5.4. Il lettore attento dovrebbe aver notato che la (5.3.12)equivale alla ben nota formula: area uguale perimetro per apotema divisodue.


Osservazione 5.5. Al crescere di n, l’area A tenderà a coincidere con l’areadel cerchio circoscritto, che vale π r2 (si confronti con il §1.5). A beneficiodei lettori che già hanno familiarità con il concetto di limite e la relativaterminologia, riscriviamo ciò nel modo seguente:

limn→+∞

n r2

2sin

)

2π

n

*

= π r2 ,

fatto che, analiticamente, equivale in pratica al noto limite fondamentale

limx→0

sin x

x= 1 .

◃ Esercizio 5.11. Risolvere la seguente disequazione procedendo grafi-camente:

| sinx| ≥ 1

2. (5.3.14)

Soluzione. Nella Figura 5.13 vediamo il grafico della funzione (periodica diperiodo T = π) f(x) = | sinx| e quello della funzione f : R → R definita daf(x) = 1/2, ∀x ∈ R (cioè la funzione costante identicamente uguale a (1/2) ).

x

y

π2

π 3π2

2π−π2

−π− 3π2

π6

5π6

0

1

12

Figura 5.13 – I grafici di f(x) = | sinx| e di g(x) ≡ (1/2) .

Ne deduciamo che, limitatamente all’intervallo 0 ≤ x ≤ π, le soluzioni del-la (5.3.14) sono x1 ≤ x ≤ x2, dove x1 = (π/6) e x2 = (5π/6) . Ora, tenendoconto del fatto che f(x) = | sinx| ha periodo T = π, concludiamo che le soluzionidella (5.3.14), in R, sono date da:

A =

+

x ∈ R :#π

6+ kπ

$

≤ x ≤)

5π

6+ kπ

*

, k ∈ Z

,

. (5.3.15)

In pratica, A è un’unione di infiniti intervalli. Utilizzando maggior formalismo,si può riscrivere la (5.3.15) nel modo seguente:

A =-

k∈Z

Ik ,

5.4 Le funzioni trigonometriche inverse (*) 177

dove

Ik =

+

x ∈ R :#π

6+ kπ

$

≤ x ≤)

5π

6+ kπ

*,

.

▹

5.4 Le funzioni trigonometriche inverse (*)

Iniziamo con lo studio dell’inversa del seno. Come già evidenziato, adesempio, al momento dell’introduzione del concetto di radice quadrata,per poter invertire una data funzione è necessario poter precisare dominioe codominio in modo che la funzione considerata risulti bigettiva. Piùprecisamente, nel nostro caso prendiamo

f :'

−π

2,π

2

(

→ [−1, 1] , f(x) = sin x , ∀ x ∈'

−π

2,π

2

(

. (5.4.1)

Questa funzione è bigettiva e la sua inversa, chiamata funzione arcoseno,si denota

arcsin x , x ∈ [−1, 1] .

Il grafico dell’arcoseno è in Figura 5.14b.

x

y

π2

−π2

0

1

−1

(a)

x

y

1−1 0

π2

−π2

(b)

Figura 5.14 – (a) Grafico della funzione sinx. (b) Grafico della funzione arcsinx.


Si noti che arcsin(−1) = −π

2, arcsin(1) =

π

2, arcsin(0) = 0. L’arcoseno è

una funzione dispari, strettamente crescente.

◃ Esercizio 5.12. Quanto valgono arcsin

.√2

2

/

e arcsin

)

1

2

*

?

Soluzione.

arcsin

.√2

2

/

=π

4, arcsin

)

1

2

*

=π

6.

▹

L’inversa della funzione tangente si ottiene considerando la funzione bi-gettiva:

f :#

−π

2,π

2

$

→ R , f(x) = tan x , ∀ x ∈#

−π

2,π

2

$

. (5.4.2)

La sua inversa, detta arcotangente, si denota col simbolo arctan x, x ∈R. È una funzione dispari, strettamente crescente, con grafico come inFigura 5.15b.Per quanto riguarda l’inversa del coseno, chiamata arcocoseno, si procedeconsiderando la funzione bigettiva:

f : [0, π] → [−1, 1] , f(x) = cos x , ∀ x ∈ [0, π] . (5.4.3)

La funzione inversa, arccosx, x ∈ [−1, 1] , è strettamente decrescente e hagrafico come in Figura 5.16b.Il lettore è invitato a constatare, osservando i grafici delle funzioni seno,coseno, tangente e quelli delle rispettive inverse, che il grafico di f(x) equello di f−1(x) risultano essere uno il simmetrico dell’altro rispetto allabisettrice y = x: questo è un fatto di validità generale, come abbiamovisto nella Proprietà 4.2.

◃ Esercizio 5.13. Sia f : R →#

−π

2,π

2

$

la funzione bigettiva definitada

f(x) = arctan(x3 + 1) , x ∈ R .

Determinare l’espressione di f−1 :#

−π

2,π

2

$

→ R .

5.4 Le funzioni trigonometriche inverse (*) 179

x

y

π2−π

20

(a)

x

y

π2

−π2

0

(b)

Figura 5.15 – (a) Grafico della funzione tangente. (b) Grafico della funzionearcotangente.

x

y

π2

π0

1

−1

(a)

x

y

1−1 0

π

(b)

Figura 5.16 – (a) Grafico della funzione cosx. (b) Grafico della funzione arccosx.


Soluzione. Scrivendo y = arctan(x3 + 1), ricaviamo tan y = x3 + 1 e poix = 3

0

(tan y)− 1. Da questo deduciamo che

f−1(x) = 30

(tan x)− 1 , x ∈#

−π

2,π

2

$

.

▹

◃ Esercizio 5.14. Si consideri la funzione f : R → R definita da:

f(x) = 1− sin(4x) , ∀ x ∈ R .

(i) Stabilire se f è periodica e, in caso affermativo, determinarne ilperiodo T .

(ii) Disegnare il grafico di f relativamente all’intervallo 0 ≤ x ≤ π .

Soluzione. (i) Sia g(x) una funzione definita su R, periodica di periodo T .Allora, se c > 0 è una costante fissata, la funzione

hc(x) = g(cx) , ∀ x ∈ R ,

sarà a sua volta periodica, di periodo Tc = (T/c). Infatti,

hc(x+ Tc) = g(c(x + Tc)) = g(cx+ c Tc) = g(cx + T ) = g(cx) = hc(x) ,

dove la penultima uguaglianza è conseguenza della periodicità di g(x) (inoltre,questa stessa periodicità assicura anche che Tc sia il più piccolo numero reale percui vale la precedente catena di uguaglianze). Poiché sappiamo che la funzionesinx è periodica di periodo T = 2π, da quanto detto segue facilmente che lafunzione f(x) dell’esercizio è periodica con periodo T ′ dato da:

T ′ =T

4=

2π

4=

π

2.

(ii) Il lettore è ora invitato a ragionare autonomamente al fine di arrivare aduna realizzazione qualitativamente accettabile del grafico di f(x): il risultato èriassunto in Figura 5.17.

▹

◃ Esercizio 5.15. Determinare le soluzioni della seguente disequazione:

4 cos2 x+ 2 sin2 x+ sin x− 3 ≥ 0 . (5.4.4)

5.5 Esercizi proposti 181

x

y

π2−π

20

1

2

Figura 5.17 – Grafico della funzione 1− sin 4x .

Soluzione. Usando la relazione cos2 x = 1−sin2 x troviamo che la disequazione(5.4.4) è equivalente a:

2 sin2 x− sinx− 1 ≤ 0 . (5.4.5)

Ora, per comodità poniamo y = sinx. In termini di y, la (5.4.5) diventa:

2 y2 − y − 1 ≤ 0 . (5.4.6)

Studiando questa disequazione di secondo grado si perviene alla condizione

− 1

2≤ y ≤ 1 ,

ovvero:− 1

2≤ sinx ≤ 1 . (5.4.7)

Infine, la (5.4.7) è soddisfatta in tutti i seguenti intervalli Ik, con k ∈ Z

arbitrario:

Ik =

+

x ∈ R : − π

6+ 2kπ ≤ x ≤ 7π

6+ 2kπ

,

.

▹

5.5 Esercizi proposti

◃ Esercizio 5.16. Calcolare la misura in radianti di un angolo di 20o .

◃ Esercizio 5.17. Determinare le soluzioni in R di

sin x−√3 cosx+ 2− sin2 x = cos2 x .



1− sin2 x+ cosx > 0 .


sin x

sin x+ cosx≥ 0 .

◃ Esercizio 5.20. Sia f : R → (−π2 ,

π2 ) definita da:

f(x) = arctan#

3√x5 + 1

$

.

Determinare l’espressione che definisce l’inversa di f .

5.6 Commenti e note bibliografiche

La origini della trigonometria si perdono nella notte dei tempi. Già inepoca molto antica gli egiziani misuravano l’inclinazione di un piano ri-spetto ad un altro attraverso calcoli trigonometrici. Ancora una voltaquesti calcoli sono contenuti nel papiro di Rhind del quale abbiamo par-lato nel Capitolo 1.

Sicuramente lo sviluppo della trigonometria è legato alle sue applicazioniin astronomia, come si evince dai lavori di Tolomeo, Ipparco e, più vicinia noi, Copernico (si veda, per esempio, Palladino-Sicoli [14]). Una sor-prendente applicazione del calcolo trigonometrico permise ad Eratostenedi misurare il meridiano terreste.

Per un approccio essenziale ai concetti di base, è disponibile un bel librointroduttivo scritto da Gelfand [13], grande matematico contemporaneo.In alternativa, si possono consultare vari testi delle scuole superiori, o, peresempio, Calvi [6].

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