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Corso di Matematica – Trigonometria

- 1 – ing. L. Balogh [email protected]

Trigonometria

La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): misurazione del triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica e delle scienze. Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito, vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Angoli e misura di un angolo (gradi e radianti)

Definizione e significato di radiante (raggio = 1 e angolo = arco)

Utilizzando il goniometro, è possibile misurare l’angolo �. Il grado sessagesimale è la trecentosessantesima parte dell’angolo giro, in altre parole, l’angolo giro è composto da 360°. Nell’esempio riportato in figura, l’angolo � misura 40°. Ad un angolo di 40°, se il raggio vale una unità, corrisponde un arco della lunghezza di 0.7 unità. Si può dunque dire che l’angolo � vale 0.7 radianti. Il senso positivo di apertura di un angolo avviene in senso antiorario.

Esempio, quanti radianti vale l’angolo coperto da un ciclista che percorre 200 metri su una pista circolare che dista 300 metri dal centro? Esempio: Il pianeta terra compie una rivoluzione completa attorno al sole in circa 365 giorni (si ponga 360 per semplicità dei calcoli), la distanza della terra dal sole vale mediamente circa 150'000'000 Km. Che angolo copre il nostro pianeta in 80 giorni? E che distanza percorre nello spazio?



Misura degli angoli: Grado sessagesimale

Un grado sessagesimale (o grado d'arco, o semplicemente grado), indicato dal simbolo ° (in apice) o con l'abbreviazione "deg", è un'unità di misura per gli angoli; rappresenta 1/360 della circonferenza di un cerchio. Quando si usano i gradi, vengono utilizzati anche dei sottomultipli: i minuti (1/60 di grado, o 1/21600 di circonferenza, indicato dal simbolo ' ) e i secondi (1/60 di minuto, o 1/1296000 di circonferenza, indicato dal simbolo '' ).

Passaggio da grado sessagesimale a numero decimale e viceversa

Per trasformare un numero sessagesimale in numero decimale, si prende la parte intera e vi si sommano i minuti primi divisi per sessanta più i secondi divisi per 3600. Per passare invece dai numeri decimali ai numeri sessagesimali, occorre prendere la parte intera e sommarvi l’ulteriore parte intera della parte decimale moltiplicata per sessanta, e si somma ancora l’ulteriore parte decimale approssimando gli eventuali decimali al secondo. Esempi:

Da sessagesimale a decimale Da decimale a sessagesimale

4°30�00�� = 4 + 3060 = 4.5 4.5 = 4°�0.5 ∙ 60�� = 4°30�00�� 4°30�36�� = 4 + 3060 + 363600 = 4.51 4.51 = 4°�0.51 ∙ 60�� = 4°30��0.6 ∙ 60�� = 4°30��36��

5°52′26" = 5 + 5260 + 263600 ≅ 5.8739 5.8739 = 5°�0.8739 ∙ 60�� = 4°52��0.434 ∙ 60�� ≅ 5°52�26�� 4°72′00" = 4 + 7260 = 5.2 5.2 = 5°�0.2 ∙ 60�� = 5°12′00′′ 5°52′83" = 5 + 5260 + 833600 ≅ 5.89 5.89 = 5°�0.89 ∙ 60�� = 5°53��0.4 ∙ 60�� = 5°53′24′′



Misura degli angoli: Rapporto tra circonferenza e diagonale: PI greco e Radiante

Facendo il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, si ottiene sempre lo stesso numero. Questo numero, noto fin dall’antichità, prende il nome di Pi greco, lo si rappresenta col simbolo �, è un numero irrazionale, possiede cioè infinite cifre decimali, e, pertanto, si può unicamente calcolare una sua approssimazione, a seconda delle cifre significative di cui si necessita.

�� = !"#!$%&'#'%()*")+',#$

Circonferenza: siccome:

! = - # . = 1 ⟹ 0 = 2�

dunque, l’angolo giro vale:

12"#$ = - #)*

Per trovare il valore degli altri angoli, si procede calcolando i sottomultipli:

13"),,$ = #)* 1#',,$ = - #)*

Attività: Si prenda un oggetto rotondo (canestro della carta) e si misuri la sua circonferenza con un metro da sarta, si misuri anche il diametro e si faccia il rapporto tra la circonferenza e il diametro. Se le misure sono state prese con precisione, si dovrà ottenere un valore prossimo a 3.14.

Conversione gradi – radianti e viceversa, con una proporzione e con la formula

Per convertire il valore di un angolo dai gradi ai radianti e viceversa, basta fare una proporzione:

Proporzione Passaggio da gradi a radianti Passaggio da radianti a gradi

1 4*'25678 = 1 4#)*5 1 4#)*5 = 1 4*'25 ∙ 678 1 4*'25 = 1 4#)*5 ∙ 678

Esempi:

Trasforma

in radianti: Soluzione:

Trasforma

in gradi: Soluzione:

180° 180 ∙ �180 = � .9: � .9: � ∙ 180� = 180°

90° 90 ∙ �180 = �2 .9: �2 .9:

�2 ∙ 180� = 90°

30° 30 ∙ �180 = �6 .9: �6 .9:

�6 ∙ 180� = 30°

;56° ;56 ∙ �180 = ; 1445 � .9: ; 1445 � .9: ; 1445 � ∙ 180� = ;56°

43° 43 ∙ �180 ≅ 0.75 .9: 0.75 .9: 0.75 ∙ 180� ≅ 42.97°

Attività: Si utilizzino le formule per trasformare i gradi in radianti e viceversa per gli angoli in questa pagina, si provi poi con angoli qualsiasi.

� = 0|=>| ⟺ 0 = � ∙ |=>| |=>| = 2. ⟹ 0 = 2�.



Multipli dell’angolo di 45° e multipli dell’angolo di 30°

Multipli di 45°, /A #)* Multipli di 30°, /B #)*

angolo in gradi angolo in radianti nome angolo angolo in gradi angolo in radianti

0 0 angolo nullo 0 0

45 �/4 30 �/6

60 �/3

90 /- angolo retto 90 /-

135 3�/4 120 2�/3

150 5�/6

180 angolo piatto 180

225 5�/4 210 7�/6

240 4�/3

270 C /- 270 C /-

315 7�/4 300 5�/3

330 11�/6

360 - angolo giro 360 -

Esempio: per calcolare l’angolo di 225°, si può contare quanti multipli di �/4 occorrono, nel caso specifico, all’angolo di 225°, occorrono 5 multipli di �/4, dunque l’angolo vale 5�/4. Analogamente, l’angolo di 270° corrispondono 3 multipli dell’angolo retto, dunque esso vale 3�/2.

Esempio: per calcolare l’angolo di 150°, si può contare quanti multipli di �/6 occorrono, nel caso specifico, all’angolo di 225°, occorrono 5 multipli di �/6, dunque l’angolo vale 5�/6. Analogamente, l’angolo di 240° corrispondono 8 multipli dell’angolo �/6, dunque esso vale 8�/6, cioè 4�/3.

Attività: Si trovino, e si costruisca una tabella come quella sopra, per i multipli dell’angolo di 15°.



Cerchio Goniometrico

I valori delle funzioni seno e coseno possono variare entro un intervallo compreso tra ;6 e 6, una volta compiuto un intero giro, i valori delle funzioni si ripetono, si dice cioè che le funzioni trigonometriche sono funzioni periodiche.

Relazione fondamentale (Pitagora) ed equazione della circonferenza: |DEF|G + HDEIHG = 1 ⟺ ��J-�1� + J�K-�1� = 6

Dato il Cerchio goniometrico, si possono individuare le seguenti grandezze: raggio: |LM| = # = 6

coseno dell’angolo: |LMN| = ��J�1�

Periodo: -O , O ∈ R

seno dell’angolo: HLMSH = J�K�1�

Periodo: -O , O ∈ R

tangente dell’angolo:

|TU| = HLMSH|LMN| = VWK�1� = J�K�1��J�1�

Periodo: O , O ∈ R

cotangente dell’angolo |XY| = ��VWK�1�

Periodo:

Valori cardinali delle funzioni seno, coseno e tangente

È fondamentale, per le innumerevoli applicazioni matematiche e tecniche in generale che questo aspetto comporta, saper ricostruire mentalmente le quattro situazioni cardinali sottostanti, e saper sempre ricostruire i relativi valori trigonometrici

Angolo nullo 40°, 0 .9:5 e angolo giro 4360°, 2� .9:5

Angolo retto Z90°, �2 .9:[ Angolo piatto 4180°, � .9:5

supplementare ang. retto

\270°, 32 � .9:]

��J�8� = 6 ��J�^8� = 8 ��J�678� = ;6 ��J�-_8� = 8 J�K�8� = 8 J�K�^8� = 6 J�K�678� = 8 J�K�-_8� = ;6 VWK�8� = 8 VWK�^8� = ∞ VWK�678� = 8 VWK�-_8� = ; ∞



Alcuni valori notevoli delle funzioni seno, coseno e tangente

Z30°, �6 .9:[ Z45°, �4 .9:[ Z60°, �3 .9:[ � 4:ab5 � 4.9:5 sin�� cos�� tan��

0 0 0 1 0

30 �6

12 12 √3

13 √3

45 �4

12 √2 12 √2 1

60 �3

12 √3 1/2 √3

90 �2 1 0 ∞

cos�30� = 12 √3 cos�45� = 12 √2 cos�60� = 12

sin�30� = 12 sin�45� = 12 √2 sin�60� = 12 √3

tan�30� = 13 √3 tan�45� = 1 tan�60� = √3

Dimostrazione dei valori notevoli dell’angolo di 45° e degli angoli di 30° e 60°

Angolo di 45° : semidiagonale del quadrato

Quando l’angolo vale 45°, il raggio può essere considerato come il lato del quadrato OPQR. Il seno e il coseno dell’angolo sono la mezza diagonale di questo quadrato. Essendo la diagonale di un quadrato pari al lato moltipliocato per la radice di due, ed essendo il lato pari al raggio, ossia, uguale a uno, vale:

��J�Ak� = J�K�Ak� = 6- √-

Angoli di 30° e 60°: altezza del triangolo equilatero

Quando l’angolo vale 30°, il raggio può essere considerato come il lato del triangolo OPV, che è un triangolo equilatero, di conseguenza, essendo tutti i lati uguali, PT vale 0.5:

J�K�C8� = 6-

Il coseno invece può essere ricavato tramite pitagora:

cos�30� = l1 ; m12nG = l34 ⟹ ��J�C8� = 6- √C

Quando l’angolo vale 60°, valgono le medesime considerazioni per l’angolo di 30°, se non che seno e coseno, essendo in questa situazione simmetrici, si scambiano i valori:

��J�B8� = 6- ; J�K�B8� = 6- √C



Dominio e codominio delle funzioni trigonometriche

Funzione Notazione Dominio Codominio Zeri Periodo F. inversa

seno sen, J�K ℝ 4;1 , +15 r� 2r� arcoseno

coseno ��J ℝ 4;1 , +15 �2 + r� 2r� arcocoseno

tangente VWK, tg ℝ\ u�2 + r�v ℝ r� r� arcotangente (cotangente)

Funzioni trigonometriche: coseno e seno di un angolo

Funzione del coseno

Funzione del seno

Funzione della tangente

Sovrapposizione delle funzioni del coseno e del seno e della tangente di un angolo



Operazioni trigonometriche inverse: arcocoseno, arcoseno, e arcotangente

Le operazioni trigonometriche inverse, permettono di trovare il valore dell’angolo partendo dai lati noti.

Trovare l’angolo dato il coseno

(ipotenusa e cateto adiacente) cos�� = w ⟺ � = arccos�w� = yz{{9 09{0|{9w.}0a: cos��w�

Trovare l’angolo dato il seno

(ipotenusa e angolo opposto) sin�� = w ⟺ α = arcsin�w� = yz{{9 09{0|{9w.}0a: sin��w�

Trovare l’angolo data la tangente

(due cateti) tan�� = w ⟺ � = arctan�w� = cotan�w� = tan��w� = 1tan�w�

Attenzione: arccos�w� = cos��w� ≠ 1cos�t� ≠ 1cos�α� arcsin�w� = sin��w� ≠ 1sin�t� ≠ 1sin�α�

Dominio e codominio delle funzioni trigonometriche

Funzione Notazione Dominio Codominio Zeri Periodo F. inversa

arcoseno arcsen W��J�K

4;1 , +15 Z; �2 , �2[ 0 - arcoseno

arcocoseno W��J 4;1 , +15 40, �5 1 - arcocoseno

arcotangente

(cotangente) ��V, tan�� ℝ\�r�� [; �2 , �2Z 0 -

arco cotangente (tangente)

Utilizzo della calcolatrice tascabile classica

Le funzioni arcocoseno e arcocoseno sono rappresentate rispettivamente con i simboli cos�� e sin�� , questi vanno interpretati come l’inverso della funzione coseno e l’inverso della funzione seno, nel senso appunto di arcocoseno e arcoseno rispettivamente, e non come l’inverso del prodotto. L’arcotangente invece, oltre ad essere la funzione inversa della tangente, è anche l’inverso del prodotto della tangente. Per eseguire i calcoli goniometrici con una calcolatrice tascabile classica, occorre digitare il numero (il quale appare sul display) e poi premere il tasto con l’operazione desiderata (sin, cos, tan). Quando si eseguono i calcoli goniometrici è molto importante specificare se si sta operando con gradi sessagesimali (DEG) o in radianti (RAD), solitamente, sul display appare la dicitura “DEG” o “RAD”, a seconda del modo attivo. Esiste anche una terza unità, il gradiente, quando si opera in modalità gradiente, sul display appare la dicitura “GRA”. L’impostazione del modo “DEG”, “RAD” o “GRA” sulla calcolatrice varia da modello a modello, a volte basta premere un tasto, a volta occorre premere una combinazione di tasti. Sulle calcolatrici, oltre ai simboli e alle funzioni disponibili sui tasti, si possono utilizzare i simboli e le funzioni visualizzabili sopra i tasti (o sotto), per accedervi, occorre premere il tasto “INV” (“SHIFT” o “2nd” o altre diciture ancora a seconda del modello) prima del tasto desiderato.



Esempio: per visualizzare il numero � sul display, premere INV � .

Operando in gradi: deg

MODE 4

Operando in radianti: rad

MODE 5

Esempio: si calcoli il seno di 70°:

7 0 sin Il risultato ritornato è:

Esempio: si calcoli il coseno di -56°:

5 6 +/- cos Il risultato ritornato è:

Esempio: la tangente di 40°:

4 0 tan Il risultato ritornato è:

Esempio: si calcoli il seno di �/5:

INV � ÷ 5 = sin Il risultato ritornato è:

Esempio: il coseno di ;3�/7

3 x INV � +/- ÷ 7 = cos Il risultato ritornato è:

Esempio: la tangente di �/3:

INV � ÷ 3 = tan Il risultato ritornato è:

Esempio: l’arcoseno di 0.84:

0 . 8 4 INV sin�� Il risultato ritornato in gradi:

Il risultato in radianti:

Esempio: l’arcoseno di 0.36:

0 . 3 6 INV cos�� Il risultato ritornato in gradi:


Esempio: l’arcotangente di -0.15:

0 . 1 5 +/- INV tan�� Il risultato ritornato in gradi:


Attività: si verifichino i risultati mostrati utilizzando una calcolatrice tascabile.

Triangolo rettangolo costruito sul semicerchio dell’ipotenusa

Data una diagonale =>��, i cateti che dagli estremi = e > s’incontrano nel punto C (� ≠ = ≠ >) sulla semicirconferenza, individuano sempre un angolo retto. �: Ortocentro, D: Incentro ), �: cateti, !: ipotenusa Pitagora: 0G = 9G + �G �: angolo retto Soma angoli: � + � = � = 90°

La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo vale 180°, ed essendo , di un triangolo rettangolo, retto uno dei tre angoli, si conclude che la somma degli altri due valga 90°. Attività: si verifichi che l’angolo in � (così come in �� e �G)sia retto, si misurino gli angoli � e � e si verifichi che la loro somma valga effettivamente 90°. Attività: Si disegnino alcuni triangolo qualsiasi, si misurino i suoi angoli interni e si verifichi che la loro somma valga sempre 180°



Risoluzione del triangolo rettangolo: coseno, seno e tangente di un angolo

Le funzioni trigonometriche trovano un’immediata applicazione geometrica nel triangolo rettangolo, in particolare, dato un lato qualsiasi e un altro lato o angolo, è possibile risolverlo in tutti gli altri lati e angoli. Triangolo rettangolo Relazioni:

J�K-�1� + ��J-�1� = !-

��J�1� = �! ⟺ � = ! ∙ ��J�1�

J�K�1� = )! ⟺ ) = ! ∙ J�K�1�

VWK�1� = )� ⟺ VWK�1� = J�K�1��J�1�

��VWK�1� = �) = VWK�6�1� = ��J�1�J�K�1�

In un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo rappresenta la lunghezza del lato adiacente moltiplicato per

la lunghezza dell'ipotenusa, il seno invece è il lato opposto moltiplicato per l'ipotenusa. La tangente di un angolo è poi il rapporto tra il seno e il coseno dello stesso angolo,cioè tra il lato opposto e il lato adiacente, e non dipende dall’ipotenusa.

Esempi risolti

Dati: Trovare: Soluzione algebrica: Sostituzione numerica e risultati:

due cateti 9 = 5 z � = 8 z

0 =? � =? � =?

0 = �9G + �G

tan�� = �9 ⟹ � = tan�� m�9n

� = 90 ; �

0 = �5G + 8G = √89 z ≅ 9.43 z

� = tan�� m85n ≅ 58° � ≅ 90 ; 48 ≅ 42°


angolo e cateto opposto � = 35° 9 = 5 z

� =? 0 =? � =?

� = 9 ∙ tan�� 0 = 9cos�� |��. 0 = �9G + �G

� = 90 ; �

� = 5 ∙ tan�35� ≅ 3.50 z

0 = 5cos�35� ≅ 6.10 z

� = 90 ; 35 = 55°


angolo e cateto adiacente � = 27° � = 6 z

9 =? 0 =? � =?

9 = � ∙ tan��

0 = �sin�� |��. 0 = �9G + �G

� = 90 ; �

9 = 6 ∙ tan��27� ≅ 11.78 z

0 = 6sin�27� ≅ 13.22 z

� = 90 ; 27 = 63°


angolo e ipotenusa � = 54° 0 = 9 z

9 =? � =? � =?

9 = 0 ∙ cos�� = 0 ∙ sin�� = 90 ; �

9 = 9 ∙ cos�54� ≅ 5.29 z � = 9 ∙ sin�54� ≅ 7.28 z � = 90 ; 54 = 36°


cateto e ipotenusa 9 = 9 z 0 = 15 z

9 =? � =? � =?

9 = �0G ; �G cos�� = 90 ⟹ � = arccos u90v � = 90 ; �

9 = �15G ; 9G = 12 z

� = arccos m 915n ≅ 53.13° � ≅ 90 ; 53.13 ≅ 36.87°

9: cateto opposto ad � �: cateto adiacente ad � 0: ipotenusa



Attività: Si rappresentino i triangoli degli esercizi appena visti. Esercizi con soluzione: Si svolgano i seguenti esercizi con l’ausilio della calcolatrice e si confrontino le soluzioni

Tipo di problema

due cateti angolo e cateto adiacente

angolo e cateto opposto

angolo e ipotenusa

cateto e ipotenusa

Dati del problema

9 = 2 z � = 4 z � = 70° 9 = 6 z

� = 28° � = 5 z � = 22° 0 = 12 z

9 = 6 z 0 = 13 z

Soluzioni: 0 = 4.47 z � = 63.43° � = 26.57

� = 16.48 0 = 17.54 � = 20°

9 =? 0 =? � =?

9 =? � =? � =?

9 =? � =? � =?

Attività: Si rappresentino i triangoli degli esercizi appena svolti.

Area del triangolo qualunque, con l’utilizzo della trigonometria

Altezza: ℎ = � ∙ sin��

Area:

=�� = 12 0ℎ = 12 �0 ∙ sin��

=�� = 9G ∙ sin�� sin��2 sin��

=�� = 9�04. = 2.G sin�� sin�� sin��

Erone:

perimetro: � = 9 + � + 0 ��: = � 2⁄ �� ≔ �� ; 9 �� ≔ �� ; � �� ≔ �� ; 0 =�� = �� + �� + �� + ��

Attività: Una volta compresi i meccanismi della trigonometria, si provi a disegnare dei triangoli e si utilizzino le varie tecniche conosciute per calcolare l’area dei vari triangoli e si confrontino i risultati ottenuti, si utilizzi anche la formula di Erone.

Teorema della corda !J�K�� = -#

Teorema del seno )J�K�1� = �J�K�� = !J�K��

Teorema del coseno )- = �- + !- ; -�! ∙ ��J �1� �- = )- + !- ; -)! ∙ ��J�� !- = )- + �- ; -)� ∙ ��J ��



Relazioni fondamentali

��J-�1� + J�K-�1� = 6 VWK�1� = J�K�1��J�1�

Periodicità delle funzioni trigonometriche cos�� = cos�� + - � sin�� = sin�� + - � tan�� = tan �� + �

Multipli di alcuni archi cos�� = cos�;�� sin�� = ;sin�;�� tan�� = ; tan�;�� cos�� = ;cos�� ; �� sin�� = sin�� ; �� tan�� = ; tan�� ; �� cos�� = ;cos�� + �� sin�� = ;sin�� + �� tan�� = tan�� + ��

cos�� = sin u�2 ; �v sin�� = cos u�2 ; �v cot�� = tan u�2 ; �v

cos�� = sin u�2 + �v sin�� = ;cos u�2 + �v cot�� = ;tan u�2 + �v

Formule di addizione e sottrazione

Le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli. J�K�1 + �� = J�K�1� ��J�� + ��J�1� J�K�� J�K�1 ; �� = J�K�1� ��J�� ; ��J�1� J�K�� J�1 + �� = ��J�1� ��J�� ; J�K�1� J�K�� J�1 ; �� = ��J�1� ��J�� ; J�K�1� J�K��

tan�� + �� = tan�� + tan��1 ; tan��tan�� tan�� ; �� = tan�� ; tan��1 + tan��tan��

Formule di duplicazione

cos�2�� = cosG�� ; sinG�α� sin�2α� = 2sin�α�cos�α� tan�2�� = 2tan��1 ; tanG��

Formule di bisezione

cosG u�2v = 1 + cos��2 sinG u�2v = 1 ; cos��2

tanG u�2v = 1 ; cos��1 + cos�� tan u�2v = 1 ; cos��sin�� = sin��1 + cos��

Formule di prostaferesi: Trasformazione di una somma in un prodotto

J�K�1� + J�K�� = - ∙ J�K m1 + �- n ∙ ��J m1 ; �- n J�K�1� + ��J�� = - ∙ ��J m1 + �- n ∙ ��J m1 ; �- n

J�K�1� ; J�K�� = - ∙ ��J m1 + �- n ∙ J�K m1 ; �- n ��J�1� ; ��J�� = ; - ∙ J�K m1 + �- n ∙ ��J m1 ; �- n

Formule di Werner: Trasformazione di un prodotto in una somma

sin�� cos�� = 12 4sin�� + �� + sin�� ; ��5 cos�� cos�� = 12 4cos�� + �� + cos�� ; ��5 cos�� cos�� = 12 4cos�� + �� + cos�� ; ��5



Applicazioni

Proiezione di un vettore

Piano inclinato

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