Manuale di Goniometria e Trigonometria · trigonometria riassume una forma piu sistematica, in cui...

Manuale di Goniometria e

Trigonometria

di Simone Camosso

“E’ solo con la Trigonometria che le cause dei fenomeni e dei cambiamen-

ti che avvengono possono con certezza essere scoperte. La conoscenza dei

movimenti dei corpi celesti non puo essere desunta con il semplice studio dei

fenomeni e dei movimenti del mondo se non mediante quelle semplici figu-

re, come i triangoli, la cui misurazione e pensata dalla Trigonometria. Con

questo sostegno gli ingegneri calcolano le distanze accessibili e quelle inac-

cessibili... i geografi misurano le distanze dei luoghi situati sulla superficie

della Terra e gli astronomi la lontananza di quelle stelle le cui longitudini

e latitudini sono conosciute. Anche l’arte della navigazione dipende intera-

mente dalla Trigonometria. L’utilizzo della Trigonometria e cosı ampio in

tutte le branche della Matematica che sarebbe impossibile farne a meno. A

tal punto che anche le piu importanti e utili parti della conoscenza sarebbero

completamente perse se l’umanita la ignorasse.”

Jacques Ozanam

“Trigonometria e l’arte di misurare triangoli, o di calcolare i lati di ogni

triangolo cercato, e questa puo essere piana o sferica.”

Dizionario di Inglese di Samuel Johnson (1755)

“Visto che stai studiando la geometria e la trigonometria, ti sottopongo

un problema. Una nave sta navigando in mezzo all’oceano. Ha lasciato

Boston con un carico di lana di circa 200 tonnellate ed e diretta a Le Havre.

Il timone principale e rotto, un mozzo e sul ponte e con lui ci sono gli altri

12 passeggeri a bordo. Il vento soffia in direzione Est Nord-Est. L’orologio

segna le tre e un quarto del pomeriggio. Siamo al mese di maggio. Quanti

anni ha il capitano?”

Flaubert alla sorella Caroline

Indice

1 La nascita della Trigonometria 1

2 Nozioni fondamentali di goniometria 7

2.1 L’angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Misura degli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Angoli notevoli per le funzioni goniometriche . . . . . . . . . . 17

2.5 Formule notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema

di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Nozioni fondamentali di trigonometria 25

3.1 Formule di addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Formule di duplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Formule di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Formule di prostaferesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5 Formule di Werner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Calcolare l’altezza di una torre, il cui piede appoggia sul piano

orizzontale ove opera l’osservatore . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.7 Il piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.8 Area di un triangolo conoscendo i tre angoli e un lato . . . . . 32

3.9 Calcolo di una distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.10 Formule di Briggs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.11 Dimostrazione della formula di Erone . . . . . . . . . . . . . . 36

5

6

3.12 Raggio della circonferenza inscritta . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.13 Raggio circonferenza circoscritta . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.14 Formule di triplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.15 Formule parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.16 Eguaglianza del parallelogramma . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.17 Risoluzione di un triangolo rettangolo . . . . . . . . . . . . . . 41

3.18 Risoluzione di un triangolo qualunque . . . . . . . . . . . . . . 42

3.19 Fenomeni ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.20 Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi . . . . 44

3.21 La relazione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.22 Funzioni secante e cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.23 Equazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.24 Equazioni lineari in seno e coseno . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.25 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno . . . . 49

4 Cenni sulla goniometria cubica 51

4.1 Le funzioni della goniometria cubica . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Derivabilita periodica dei coseni cubici . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Espressione dei coseni cubici in forma reale . . . . . . . . . . . 53

4.4 Formule inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5 Formule di scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6 Formule di addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.7 Formule di duplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.8 Formule cubiche di Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Questioni trigonometriche 57

5.1 Teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Teorema delle tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Diseguaglianza trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4 Misura del raggio terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5 Identita per angoli costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6 Funzione sinc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

INDICE 7

5.7 La tangente e i polinomi elementari simmetrici . . . . . . . . . 65

6 Trigonometria sferica 67

6.1 Sfere, geodetiche e lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 Triangoli sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3 Il teorema di Pitagora sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.4 Distanza tra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.5 Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Bibliografia 75

Capitolo 1

La nascita della Trigonometria

In epoca molto antica gli Egizi misuravano l’inclinazione di un piano ri-

spetto a un altro (pensiamo per esempio all’inclinazione delle facce di una

piramide, rispetto alla base) con un rapporto tra segmenti che oggi potremmo

paragonare alla cotangente (questo si capisce ad esempio dal problema 56 del

papiro di Rhind, scritto intorno al 1650 a.C.). L’uso delle funzioni trigono-

metriche nasce pero principalmente in astronomia (ad esempio i Babilonesi,

si dedicano parecchio alle osservazioni astronomiche). Da cio si puo capire

perche nasce prima la trigonometria sferica e dopo quella piana. Parliamo

ora prevalentemente di quest’ultima. Qui entrano in scena i Greci. L’astro-

nomia presso i greci diventa una scienza ed e molto legata alla matematica,

al punto di essere considerata parte integrante di essa. La prima opera si-

stematica sulle funzioni trigonometriche di cui si ha notizia e correlata alle

corde del cerchio ed e dovuta all’astronomo greco Ipparco di Nicea, vissuto

nel II secolo a.C. Dato un cerchio di raggio fissato, ci si pone il problema di

calcolare la lunghezza della corda relativa a un dato angolo al centro (per un

cerchio di raggio unitario, la lunghezza della corda relativa a un angolo di

ampiezza θ, con le notazioni attuali e data da 2 sin θ2). Ipparco tabula i valori

delle corde degli archi circolari e per questo e ricordato come il fondatore

della trigonometria. Nel I secolo d.C. il matematico greco Menelao produce

altre tabelle riportanti i valori delle corde; quest’opera e andata perduta,

1

2 1. La nascita della Trigonometria

mentre una sua opera sulla trigonometria sferica si e conservata ed e la piu

antica opera nota su tale argomento. In quest’opera si dimostra un famoso

teorema di trigonometria sferica, noto ora come teorema di Menelao, che nel

caso piano (forse gia noto ai suoi predecessori) afferma che se i lati AB, BC,

AC di un triangolo (o i loro prolungamenti) sono tagliati da una trasversale

rispettivamente nei punti D, E, F , allora e verificata l’uguaglianza:

AD ·BE · CF = BD · CE · AF.

L’opera trigonometrica piu influente e significativa dell’antichita e la Sin-

tassi Matematica (o Almagesto) del famoso astronomo alessandrino Tolomeo

(circa II secolo d.C.), che riporta delle tavole sulle corde molto accurate. Se-

guendo la tradizione dei Babilonesi, probabilmente seguita anche da Ipparco,

Tolomeo divide il cerchio in 360 parti uguali e il diametro in 120 parti. Egli,

come i suoi predecessori, usa per il calcolo delle corde una variante della rela-

zione fondamentale che ora indichiamo con sin2 θ+ cos2 θ = 1 (che deriva dal

teorema di Pitagora). Nei calcoli delle corde di Tolomeo ha un ruolo centrale

una proprieta dei quadrilateri detta oggi teorema di Tolomeo (la somma dei

prodotti dei lati opposti di un quadrilatero inscrittibile in un cerchio e uguale

al prodotto delle diagonali). Da essa si possono oggi ricavare le 4 formule

per calcolare seno e coseno della somma e della differenza di due angoli, oggi

dette formule di Tolomeo. Egli conosceva anche la proprieta che attualmente

si esprime con le uguaglianze: asinα

= bsinβ

= csin γ

(dove a, b, c sono i lati di

un triangolo opposti agli angoli α, β, γ). Tolomeo inscrive nel cerchio poli-

goni di 3, 4, 5, 6 e 10 lati e cio gli permette di calcolare le corde sottese da

angoli di 120, 90, 72, 60 e 36 gradi. Poi utilizza nelle sue tavole le formule per

la corda della somma e della differenza di due angoli (paragonabili a quelle

attuali per il seno della somma e della differenza) e applica un metodo per

trovare la corda sottesa dalla meta dell’angolo di una corda data. In questo

modo, con un’interpolazione, riesce a calcolare corde con un buon grado di

approssimazione. Passiamo ora agli Indiani o Indu. La prima apparizione

3

dell’attuale seno di un angolo si ha nell’opera del matematico indiano Arya-

bhata (circa nel 500), che tabula i valori di mezze corde, che egli indica con

il simbolo jiva. Le stesse tabelle appaiono nell’opera del matematico india-

no Brahmagupta (nel 628), mentre il matematico indiano Bhaskara nel 1150

descrive in un suo testo un metodo dettagliato per il calcolo di tabelle di

seni per ogni angolo. Tuttavia i matematici indiani non facevano trattazio-

ni sistematiche. Vediamo ora cosa fanno gli Arabi. Essi, dopo un primo

periodo in cui proseguono con l’uso delle corde fatto da Tolomeo, adottano

l’uso indiano di lavorare con la funzione seno. Nel 980 con Abu’l-Wafa la

trigonometria riassume una forma piu sistematica, in cui vengono dimostrati

risultati come le formule di bisezione e di duplicazione (per le funzioni tri-

gonometriche). Il termine indu jya (per l’attuale seno) viene trasformato in

arabo, per assonanza, in jiba, parola senza significato. In seguito, pero, gli

Arabi adottano il termine jaib, che significava piega. Quando gli autori eu-

ropei traducono le opere matematiche in latino, questa parola diventa sinus,

che significava appunto anche piega. A volte si usava il termine sinus rectus

arcus. Per inciso, bisogna dire che le funzioni tangente e cotangente (delle

quali sembra arduo attribuire una paternita precisa) si sono sviluppate nei

contesti in cui era utile calcolare la lunghezza di un’ombra proiettata da un

oggetto (per esempio nelle meridiane e per calcolare l’altezza di un edificio;

ricordiamo che Talete, nel VII-VI secolo a.C. misura l’altezza delle pirami-

di proprio paragonando la loro ombra con quella proiettata da un bastone

piantato per terra). Le piu antiche tavole di ombre di cui si ha notizia sono

quelle prodotte dagli Arabi nel 860 circa. In latino, per indicare tali valori

si usano poi i termini umbra recta e umbra versa. L’astronomo tedesco Jo-

hannes Muller (1436-1476), detto Regiomontano, pubblica nel 1533 l’opera

De triangulis omnimodis, un’esposizione sistematica dei metodi per risolve-

re problemi relativi a triangoli, che contiene risultati di trigonometria piana

e sferica e che segna la rinascita della trigonometria. In particolare tratta

il seno e la sua funzione inversa. Essa pare abbia influenzato, attraverso i

contatti con il matematico prussiano Georg Joachim Rheticus, l’astronomo


polacco Niccolo Copernico (1473-1543) che nel suo famoso trattato De re-

volutionibus orbium coelestium (1543) riporta ampie parti di trigonometria.

Rheticus scrive inoltre il trattato di trigonometria piu elaborato fino allora

prodotto, l’Opus Palatinum de triangulis (pubblicato postumo nel 1596), in

cui riporta tutta la trigonometria utile per l’astronomia. Qui egli abbandona

la tradizionale considerazione delle funzioni rispetto all’arco del cerchio e con-

centra l’attenzione sui lati del triangolo rettangolo, usa tutte e sei le funzioni

trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante) e

produce tavole molto elaborate. Da questo momento la trigonometria si svi-

luppa prevalentemente in Europa, con un costante sviluppo, fino al secolo

XVIII. Dopo il seno, la funzione trigonometrica piu usata in tutto questo

periodo e il seno verso, che ora non si usa piu, definibile in notazioni attuali

come segue: versin(θ) = 1 − cos θ. Essa corrisponde al seno ruotato di 90

gradi. Per indicare il coseno di un angolo, il matematico francese Francois

Viete (1540-1603) usa il termine sinus residuae (ricordiamo che la lingua di

comunicazione scientifica ufficiale, almeno fino al XVIII secolo, era il lati-

no), mentre l’inglese Edmund Gunter suggerira nel 1620 il termine cosinus.

Quanto alla notazione per il seno di un angolo, Gunter, nel 1624, e il primo

ad usare l’abbreviazione sin in un disegno, mentre nel 1634 il matematico

francese Pierre Herigone la usa in un libro. Il termine tangente viene usato

per primo dal matematico danese Thomas Fincke nel 1583 e cotangente da

Gunter nel 1620. Fincke e il primo a pubblicare la formula della legge delle

tangenti. Viete puo essere considerato il padre di quel metodo analitico per

trattare la trigonometria che viene anche detto goniometria. Egli deriva, con

un metodo diverso da quello consistente nell’applicare ricorsivamente le for-

mule di Tolomeo, le formule per determinare sinnθ e cosnθ. Inoltre applica

la trigonometria a problemi aritmetici ed algebrici, tra cui quello della trise-

zione dell’angolo. Ricava anche alcune delle formule dette oggi di prostaferesi

(formule che trasformano il prodotto di due funzioni trigonometriche in una

somma) o di Werner (dal nome di Johann Werner, 1468-1522, matematico

tedesco); pare che tali formule fossero gia note parzialmente agli Arabi, ma

5

l’uso generale di esse prevale solo verso la fine del XVI secolo. Alla fine del

XVI secolo e all’inizio del XVII secolo si ha un grosso entusiasmo per la trigo-

nometria, con la conseguente produzione di manuali e compendi. Il termine

trigonometria appare per la prima volta nel titolo del libro Trigonometria

di Bartholomaeus Pitiscus (1561-1613) nel 1595. Proprio in quegli anni si

inventano i logaritmi; uno dei principali artefici della nascita dei logaritmi

e lo scozzese John Napier (1550-1617), affascinato pare proprio dal metodo

di prostaferesi. Nel XVIII secolo si cominciano a studiare le funzioni trigo-

nometriche di variabile complessa. I matematici svizzeri Johann Bernoulli

(1667-1748) e Jakob Bernoulli (1654-1705) riscoprono le serie per sin(nx) e

cos(nx) gia note a Viete e le estendono (senza pensarci troppo su) anche a

valori razionali di n. Nel 1702 Johann Bernoulli trova la relazione tra l’arco-

tangente e il logaritmo in campo complesso. Nello stesso periodo il francese

Abraham De Moivre stabilisce la formula che oggi porta il suo nome:

(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ,

e che lega la trigonometria all’analisi. Il matematico svizzero Leonhard Eu-

ler (1707-1783) dimostra la formula: eiθ = cos θ+ i sin θ, equivalente a quella

forse gia nota al matematico inglese Roger Cotes (1682-1716), nella versio-

ne: iθ = log (cos θ + i sin θ) e grazie a tale relazione Euler chiarisce varie

proprieta dei logaritmi in campo complesso. Le funzioni trigonometriche

iperboliche vengono infine introdotte grazie al matematico italiano Vincenzo

Riccati (1707-1775) e successivamente dal tedesco Johann Heinrich Lambert

(1728-1777). Bisogna infine dire che il termine radiante appare per la pri-

ma volta stampato nel 1873, da parte di James Thomson, fratello di Lord

Kelvin. Altri matematici del periodo avevano proposto altri termini. Per

quel che riguarda, pero, la storia del concetto di misura in radianti di un

angolo, qualunque nome avesse prima, non e molto chiara. L’uso di misurare

gli angoli in gradi perdura per un certo tempo tra i matematici della prima

meta dell’Ottocento, accanto a quello di misurarli in radianti: un po’ come

era accaduto per la notazione numerica romana accanto a quella indo-araba.

Capitolo 2

Nozioni fondamentali di

goniometria

2.1 L’angolo

Il termine goniometria significa misura dell’angolo, per studiare le pro-

prieta di tale ente occorrera prima definirlo. Consideriamo quindi un piano

euclideo orientato:

Definizione 2.1. Si chiama angolo ciascuna delle due parti del piano in

cui esso e diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O (incluse le

due semirette). Cioe piu precisamente esso si identifica conoscendo la coppia

ordinata di semirette ∠(s1, s2) aventi l’origine in comune.

Il punto O si dice vertice dell’angolo. Le due semirette ∠(s1, s2) si dicono

lati o contorno dell’angolo.

Definizione 2.2. Si definisce arco di circonferenza la parte di circonferenza

inclusa in un angolo al centro della circonferenza stessa.

I punti A e B di intersezione dei lati dell’angolo al centro con la cir-

conferenza, si dicono estremi dell’arco. Un arco di estremi A e B si indica

con:

7

8 2. Nozioni fondamentali di goniometria

Arc(AB).

Definizione 2.3. Un angolo avente come lati delle rette si dice angolo piatto.

Definizione 2.4. Un angolo con i lati coincidenti si dice angolo nullo.

Per poter confrontare gli angoli in modo da poterli poi addizionare occorre

considerare opportune classi di angoli.

Definizione 2.5. Due insiemi di punti M1 e M2 si dicono congruenti nello

stesso senso, in simboli M1∼= M2, se e possibile portare M1 in M2 attraverso

un movimento rigido pari, si dicono congruenti, in simboli M1 ≡ M2, se M1

puo essere portato in M2 attraverso un movimento rigido.

Si verifica che le precedenti relazioni sono relazioni di equivalenza. Attra-

verso le precedenti relazioni si generano nell’insieme degli angoli che indico

con A delle classi di equivalenza. Pertanto:

A/ ≡ .

Se ASB e un angolo la sua classe di equivalenza si indica con [ASB].

Mentre per la seconda relazione:

A/ ∼= .

In questo caso la classe di equivalenza di ASB si indica con ASB. Tutti

gli angoli nulli appartengono alla stessa classe chiamata 0 e lo stesso vale per

gli angoli piatti.

Osservazione 1. Nella geometria si parla di angoli, anche se in realta, si

intenderebbero le classi di angoli. Nella geometria scolastica si tratta di

classi[ASB

], inseguito anche delle classi ASB, per le quali si adoperano

delle lettere greche.

Nell’esempio, riportato in figura, gli angoli ASB,A′S ′B′ appartengono

alla stessa classe ASB mentre l’altro appartiene alla classe inversa.

2.1 L’angolo 9

Tutti pero rappresentano la stessa classe [ASB].

Per addizionare due classi di angoli α, β si scelgono due rappresentanti con

lo stesso vertice, per i quali il secondo lato del primo angolo si sovrapponga

al primo lato del secondo. Si definisce:

α + β = ∠(s1, s2) + ∠(s2, s3) = ∠(s1, s3).

Le classi di angoli costituiscono rispetto all’addizione appena definita un

gruppo commutativo, isomorfo al gruppo di rotazioni rispetto ad un punto.

In base alla orientazione assegnata sul piano posso vedere quale e il lato

positivo e negativo di s, con s lato di un angolo.

Definizione 2.6. Un angolo che non sia ne quello nullo, ne quello piatto, si

dice positivo (negativo) se il secondo lato giace sul lato positivo (negativo)

del primo.

Esempio 2.1. Un angolo piatto e positivo.

Posso poi trasportare la definizione da angoli a classi di angoli tramite i

rappresentanti.

Definizione 2.7. Siano α e β positivi, allora α si dice maggiore di β(analogamente

α < β), se α− β e positivo.

Definizione 2.8. Un angolo ∠(s1, s2) ∈ α si dice angolo retto, se α e positivo

e α + α viene rappresentato mediante un angolo piatto.


Definizione 2.9. Un angolo si dice acuto (ottuso) se α e minore (maggiore)

di un angolo retto.

Definizione 2.10. Si definisce angolo giro la somma di due angoli piatti.

2.2 Misura degli angoli

Per misurare un angolo occorre fissare l’unita di misura che chiamiamo il

grado.

Definizione 2.11. Un grado e la 360a parte di un angolo giro.

In molte questioni di matematica pero si impone una misura diversa da

quella in gradi. E’ noto infatti dalla geometria che in due circonferenze, di

raggi rispettivamente r ed r′, due archi l, l′ che corrispondono ad angoli al

centro di eguale ampiezza, sono proporzionali ai rispettivi raggi.

Infatti:

l =α

180πr, (2.1)

ed

l′ =α

180πr′, (2.2)

dividendo membro a membro ho:

l : l′ = r : r′. (2.3)

Se inoltre due circonferenze sono concentriche e se un angolo al centro

individua un arco l di lunghezza pari al raggio r nella prima circonferenza,

allora lo stesso angolo individuera un arco l′ di lunghezza pari al raggio r′

sulla seconda circonferenza. Possiamo dare una definizione alternativa di

angolo:

2.2 Misura degli angoli 11

Definizione 2.12. Si definisce angolo radiante l’angolo al centro di una

circonferenza di raggio arbitrario, che sottende un arco di lunghezza eguale

al suo raggio.

Poiche la misura di circonferenza e espressa da:

C

r= 2π. (2.4)

Segue che l’angolo giro, in radianti, misura 2π. Analogamente l’ango-

lo piatto π, retto π2, ... Riportiamo la misura in radianti di alcuni angoli

notevoli:

0◦ = 0

18◦ =π

10

30◦ =π

6

45◦ =π

4

60◦ =π

3

90◦ =π

2

120◦ =2π

3

135◦ =3π

4

150◦ =5π

6180◦ = π

270◦ =3π

2360◦ = 2π

La proporzione che permette il passaggio dalla misura in radianti a quella

in gradi e viceversa e:

360 : 2π = g : r, (2.5)

con r misura in radianti e g misura in gradi.


2.3 Funzioni goniometriche

Consideriamo una circonferenza di raggio r centrata per comodita nell’ori-

gine del piano. Consideriamo inoltre un angolo θ orientato in senso antiorario,

come mostra la figura:

Si definiscono seno e coseno dell’angolo θ i rapporti:

sin θ =QP

OP, (2.6)

e

cos θ =OQ

OP. (2.7)

Osservazione 2. Dalle definizioni date risulta evidente che il seno ed il coseno

di un angolo sono numeri relativi.

Osservazione 3. Le funzioni seno e coseno sono funzioni dell’angolo.

Osservazione 4. Se consideriamo una circonferenza di raggio unitario avremo

che le definizioni di seno e coseno si riducono alle proiezioni sui due assi

cartesiani:

sin θ = QP cos θ = OQ. (2.8)

Teorema 2.3.1. La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso

angolo e uguale ad 1. Cioe:

sin2 θ + cos2 θ = 1. (2.9)

2.3 Funzioni goniometriche 13

Dimostrazione.

sin2 θ + cos2 θ =

(QP

OP

)2

+

(OQ

OP

)2

=QP 2 +OQ2

OP 2=

utilizzo il teorema di Pitagora:

=OP 2

OP 2= 1.

Riportiamo alcuni valori fondamentali del seno:

sin 0◦ = sin 0 = 0,

sin 90◦ = sin(π

2

)= 1,

sin 180◦ = sinπ = 0,

sin 270◦ = sin

(3π

2

)= −1,

sin 360◦ = sin 2π = 0.

esso risulta essere positivo per gli angoli compresi tra π+2kπ > θ > 0+2kπ,

nullo per θ = 0 + kπ e negativo per gli altri con k ∈ Z. Riportiamo alcuni

valori fondamentali del seno:

cos 0◦ = cos 0 = 1,

cos 90◦ = cos(π

2

)= 0,

cos 180◦ = cosπ = −1,

cos 270◦ = cos

(3π

2

)= 0,

cos 360◦ = cos 2π = 1.

esso risulta essere positivo per gli angoli compresi tra π2

+ 2kπ > θ ≥ 0 e3π2

+ 2kπ < θ ≤ 2π , nullo per θ = π2

+ kπ e negativo per gli altri con k ∈ Z.


Osservazione 5. Il seno e coseno di un angolo sono sempre compresi tra −1

e 1. Sono numeri che appartengono all’intervallo chiuso [−1, 1]. Ovvero:

−1 ≤ sin θ ≤ 1, (2.10)

e

−1 ≤ cos θ ≤ 1. (2.11)

Sia il seno che il coseno sono entrambe funzioni periodiche di periodo 2π,

ovvero f(θ+2π) = f(θ). Questo comporta inoltre che assumono infiniti zeri,

come mostra la loro rappresentazione sul grafico considerando x = θ:

f(x) = sinx

f(x) = cos x

2.3 Funzioni goniometriche 15

E’ possibile anche definire altre due importanti funzioni goniometriche,

la tangente e la cotangente come:

tan θ =sin θ

cos θ, (2.12)

e

cot θ =cos θ

sin θ. (2.13)

A differenza del seno e del coseno queste due funzioni non sono continue

ovvero presentano delle singolarita cioe, dei punti dove non sono definite. La

tangente risulta infatti non essere definita in tutti i punti dove si annulla il

denominatore cioe il coseno, analogamente la cotangente. Se prendiamo in

considerazione la tangente in questi punti abbiamo una discontinuita di 2◦

specie cioe un asintoto verticale:

f(x) = tan x


f(x) = cot x

Riportiamo alcuni valori fondamentali della tangente e cotangente:

tan 0◦ = tan 0 = 0,

tan 180◦ = tanπ = 0,

cot 90◦ = cot(π

2

)= 0,

cot 270◦ = cot

(3π

2

)= 0.

Per il valore π2

la tangente non esiste. Si esprime questo dicendo che

quando θ tende a π2

la tangente cresce a ∞. Anche le funzioni tangente e

2.4 Angoli notevoli per le funzioni goniometriche 17

cotangente sono periodiche ma il loro periodo invece di essere 2π e π, anche

loro possiedono infiniti zeri tutti distanti multipli di π.

2.4 Angoli notevoli per le funzioni goniome-

triche

Ci sono degli angoli con particolari valori di seno e coseno che si utilizzano

molto spesso. Consideriamo la circonferenza goniometrica considerata in

precedenza questa volta con il segmento OP = 1. Consideriamo l’angolo di

45◦ cioe π4

ho che OQ = QP e per il teorema di Pitagora, indicando con

l = OQ = QP ho:

2l2 = 1,

da cui l =√22

, quindi OQ = QP =√22

cioe:

sin(π

4

)=

√2

2= cos

(π4

). (2.14)

Mentre:

tan(π

4

)= 1 = cot

(π4

). (2.15)

Consideriamo adesso l’angolo di 30◦ cioe π6, ho che QP = 1

2OP = 1

2, cioe

e la meta del triangolo equilatero di lato OP . Anche qui applico Pitagora:

OQ =

√1− 1

4=

√3

2,

cioe:

cos(π

6

)=

√3

2sin(π

6

)=

1

2. (2.16)

Mentre

tan(π

6

)=

1√3, cot

(π6

)=√

3. (2.17)


Con un ragionamento analogo trovo per π3:

cos(π

3

)=

1

2, sin

(π3

)=

√3

2. (2.18)

Mentre

tan(π

3

)=√

3, cot(π

3

)=

1√3. (2.19)

2.5 Formule notevoli

Fino ad ora si sono viste due importanti relazioni che legano le grandezze

goniometriche:

tan θ =sin θ

cos θ, (2.20)

e

sin2 θ + cos2 θ = 1. (2.21)

La seconda e detta relazione fondamentale e da essa possiamo ricavare

altre espressioni del tipo:

cos θ = ±√

1− sin2 θ, (2.22)

oppure:

sin θ = ±√

1− cos2 θ, (2.23)

sostituendo queste nella tangente ottengo:

tan θ =sin θ

±√

1− sin2 θ, (2.24)

e

tan θ =±√

1− cos2 θ

cos θ. (2.25)

2.5 Formule notevoli 19

Inoltre se suppongo noto il valore della tangente ho che posso riscrivere

la relazione fondamentale come:

sin2 θ

cos2 θ+ 1 =

1

cos2 θ(2.26)

da cui:

tan2 θ + 1 =1

cos2 θ, (2.27)

da cui si ricava:

cos θ =1

±√

1 + tan2 θ. (2.28)

Dividendo poi membro a membro di questa equazione sin θ = sin θ per

quella sopra ottengo:

tan θ = sin θ(±√

1 + tan2 θ), (2.29)

da cui:

sin θ =tan θ

±√

1 + tan2 θ. (2.30)

Osservazione 6. Per le formule goniometriche valgono anche importanti rela-

zioni che si ottengono in maniera immediata dal disegno della circonferenza

goniometrica:

del tipo:

sin(π

2+ θ)

= cos θ,


sin(π

2− θ)

= cos θ,

sin (π + θ) = − sin θ,

sin (π − θ) = sin θ,

sin (−θ) = − sin θ.

Analogamente per le altre funzioni goniometriche.

2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teo-

rema dei seni, teorema di Carnot

Consideriamo un triangolo qualunque ∆ABC

supponiamo note le misure di a, b dei lati BC,AC e la misura di γ l’angolo

fra essi compreso. Sia h la misura dell’altezza, dal triangolo ∆ACH si ha:

h = b sin γ.

E l’area A = 12ah, quindi:

A =1

2ab sin γ, (2.31)

similmente:

A =1

2ac sin β A =

1

2bc sinα. (2.32)

Teorema 2.6.1 (della corda). In un triangolo qualunque, il rapporto fra

la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto e eguale alla misura del

diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.

2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema diCarnot 21

Dimostrazione. Consideriamo il triangolo:

di raggio R, vogliamo dimostrare ad esempio che:

a

sinα= 2R.

Consideriamo i due casi.

1) L’angolo α e acuto, si tracci il diametro BD e si congiunga D con C.

Il triangolo BCD cosı ottenuto e rettangolo poiche BCD e inscritto

in una semicirconferenza. Si osservi inoltre che l’angolo acuto BDC

e eguale all’angolo BAC del triangolo dato perche angoli sulla circon-

ferenza che insistono su di uno stesso arco Arc(BD). Dal triangolo

rettangolo ho:

BC = BD sinα,

ricordo che BC = a,BD = 2R, dunque:

a = 2R sinα.

2) L’angolo α e ottuso, si procede allo stesso modo anche se la figura

risulta essere diversa con l’accorgimento che BDC = 180◦ − α ma

sin 180◦ − α = sinα dunque:


BC = BD sinα,

e

a = 2R sinα.

Teorema 2.6.2 (dei seni). In un triangolo qualunque le misure dei lati sono

proporzionali ai seni degli angoli opposti.

Dimostrazione. Dal teorema precedente si procede in modo analogo per gli

altri due lati ed ottengo:

a

sinα= 2R,

b

sin β= 2R,

c

sin γ= 2R, (2.33)

dalle quali segue:

a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ. (2.34)

Teorema 2.6.3 (Carnot). In un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura

di ogni lato e uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due,

diminuita del doppio delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo

da essi compreso.

Dimostrazione. Si utilizza il metodo vettoriale, ovvero considero il triangolo

dove i lati sono costituiti da vettori, quindi ho che:

2.6 Applicazioni: Area di un triangolo, teorema dei seni, teorema diCarnot 23

considero ~c = ~b− ~a ed elevo al quadrato ambo i membri, ottenendo:

~c · ~c = (~b− ~a) · (~b− ~a),

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

Analogamente sugli altri lati del triangolo:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα, b2 = a2 + c2 − 2ac cos β.

Capitolo 3

Nozioni fondamentali di

trigonometria

3.1 Formule di addizione e sottrazione

Consideriamo:

e i vettori ~u = cosα~i + sinα~j e ~v = cos β~i + sin β~j. Facendo il prodotto

scalare ottengo:

~u · ~v = cosα cos β + sinα sin β,

ma per definizione si ha:

25

26 3. Nozioni fondamentali di trigonometria

~u · ~v = cos (α− β),

confronto le due:

cos (α− β) = cosα cos β + sinα sin β, (3.1)

detta formula di sottrazione del coseno. Sostituendo β con −β e conside-

rando il fatto che sin (−β) = − sin (β) e cos (−β) = cos (β) ho la formula di

addizione del coseno:

cos (α + β) = cosα cos β − sinα sin β. (3.2)

Per la formula di sottrazione del seno, ricordo che sin (α− β) = cos[π2− (α− β)

]=

cos[(

π2

+ β)− α)

]quindi:

sin (α− β) = cos(π

2+ β

)cosα + sin

(π2

+ β)

sinα, (3.3)

essendo cos(π2

+ β)

= − sin β , sin(π2

+ β)

= cos β ho:

sin (α− β) = cos β sinα− sin β cosα, (3.4)

analogamente sostituendo β con −β e ricordando alcune relazioni tra angoli:

sin (α + β) = cos β sinα + sin β cosα. (3.5)

Per la tangente ho che:

tan (α− β) =sin (α− β)

cos (α− β)=

cos β sinα− sin β cosα

cosα cos β + sinα sin β,

divido i due termini dell’ultima frazione ottenuta per cosα cos β supponendo

cosα 6= 0 e cos β 6= 0 e si ha:

tan (α− β) =tanα− tan β

1 + tanα tan β, (3.6)

anche in questo caso per la formula di addizione sostituisco β con −β ed

ottengo:

3.2 Formule di duplicazione 27

tan (α + β) =tanα + tan β

1− tanα tan β(3.7)

(cambiano i segni poiche nella tangente c’e il seno).

3.2 Formule di duplicazione

Ponendo α = β ottengo le formule di duplicazione:

sin (α + α) = sinα cosα + cosα sinα

cos (α + α) = cosα cosα− sinα sinα

tan (α + α) = tanα+tanα1−tanα tanα

da cui:

sin 2α = 2 sinα cosα, (3.8)

cos 2α = cos2 α− sin2 α, (3.9)

e

tan 2α =2 tanα

1− tan2 α, (3.10)

per la validita di questa ultima formula bisogna supporre α 6= π2

+ kπ.

Osservazione 7. Ricordando la formula fondamentale possiamo esprimere la

formula di duplicazione del coseno anche come:

cos 2α = 1− sin2 α− sin2 α = 1− 2 sin2 α,

oppure

cos 2α = −1 + cos2 α + cos2 α = −1 + 2 cos2 α.


3.3 Formule di bisezione

Considero la formula di duplicazione del coseno:

cos 2α = 1− 2 sin2 α,

sostituisco α2

al posto di α ed ho che:

cosα = 1− 2 sin2(α

2

),

da cui ricavo

sin(α

2

)= ±

√1− cosα

2, (3.11)

analogamente partendo dall’altra formula di duplicazione si ottiene:

cos(α

2

)= ±

√1 + cosα

2, (3.12)

e per la tangente:

tan(α

2

)= ±

√1− cosα

1 + cosα. (3.13)

3.4 Formule di prostaferesi

Permettono di trasformare in prodotto, la somma o differenza dei seni e

la somma o differenza dei coseni. Considero le formule di addizione:

sin (α + β) = cos β sinα + sin β cosα,

sin (α− β) = cos β sinα− sin β cosα,

prima le sommo membro a membro e poi ne faccio la differenza membro a

membro ottenendo:

3.5 Formule di Werner 29

{sin (α + β) + sin (α− β) = 2 sinα cos β

sin (α + β)− sin (α− β) = 2 sin β cosα(3.14)

Analogamente partendo dalle altre formule di addizione e sottrazione del

coseno si ottiene:{cos (α + β) + cos (α− β) = 2 cosα cos β

cos (α + β)− cos (α− β) = −2 sin β sinα. (3.15)

per dare una espressione piu semplice di queste formule si pone α + β =

p, α−β = q da cui sommandole e sottraendole dopo a membro a membro ho

α = p+q2, β = p−q

2. Sostituendo nelle precedenti ho le formule di prostaferesi:

sin p+ sin q = 2 sinp+ q

2cos

p− q2

, (3.16)

sin p− sin q = 2 cosp+ q

2sin

p− q2

, (3.17)

cos p+ cos q = 2 cosp+ q

2cos

p− q2

, (3.18)

e

cos p− cos q = −2 sinp+ q

2sin

p− q2

. (3.19)

3.5 Formule di Werner

Si ricavano direttamente dai sistemi 3.14 e 3.15 ottenendo:

sinα sin β =1

2[cos (α− β)− cos (α + β)] , (3.20)

cosα cos β =1

2[cos (α + β) + cos (α− β)] , (3.21)

e

sinα cos β =1

2[sin (α + β) + sin (α− β)] . (3.22)


3.6 Calcolare l’altezza di una torre, il cui pie-

de appoggia sul piano orizzontale ove ope-

ra l’osservatore

Se si suppone che il piede della torre sia accessibile, abbiamo la situazione

illustrata in figura:

Si prenda sul terreno un punto C; si misuri la base AC = a; si collochi

in C il teodolite, e sia CC ′ la sua altezza. Sul piano verticale ABC ′, si

misura l’angolo α di elevazione che il raggio visuale C ′B forma con il raggio

orizzontale C ′D. Dopo di cio dal triangolo si ricava:

DB = a tanα.

A questa misura si aggiunge la misura di AD, che e uguale all’altezza

CC ′ dello strumento, e si avra l’altezza cercata.

3.7 Il piano inclinato

Il piano inclinato e una macchina semplice costituita da un piano rigido

che forma un certo angolo di inclinazione α rispetto al piano orizzontale. Un

corpo messo sul piano inclinato tende a spostarsi sotto l’azione del proprio

peso di intensita P . Per mantenerlo in equilibrio occorre applicargli una certa

forza R.

3.7 Il piano inclinato 31

Nel caso di forza parallela al piano, si ha equilibrio quando la forza equi-

librante e uguale ed opposta alla componente T del peso, agente nella stessa

direzione. Il peso P del corpo, che agisce verticalmente, si scompone nelle

forze N e T , rispettivamente perpendicolare e parallela al piano. Essendo α

l’angolo di inclinazione all’orizzontale, si avra:

N = P cosα, T = P sinα, T = N tanα. (3.23)

Quando siano note le dimensioni b, h, l dei tre lati del triangolo rettangolo

che rappresenta la sezione del piano inclinato, si ha:

cosα =b

l, sinα =

h

l, (3.24)

per cui la condizione di equilibrio:

F = T = P sinα, (3.25)

diventa:

F = T = Ph

l. (3.26)


3.8 Area di un triangolo conoscendo i tre an-

goli e un lato

Supponiamo di conoscere la misura di un lato, per esempio a e, le misure

dei tre angoli del triangolo. Dal teorema dei seni si ha:

b

sin β=

a

sinα,

da cui:

a sin β

sinα= b,

sostituendo questo valore al posto di b nella formula dell’area:

A =1

2

a2 sin β

sinαsin γ. (3.27)

3.9 Calcolo di una distanza

3.9 Calcolo di una distanza 33

Ci si pone il problema di calcolare la distanza che separa due punti sul-

l’altra sponda impiegando le nozioni del calcolo trigonometrico del triangolo.

Supponiamo di dover calcolare la distanza tra i punti A e B rappresentati in

figura:

Conosciamo la lunghezza del segmento CD e degli angoli α, β, γ e δ. Nel

triangolo ACD si ha:

AD

sin β=

CD

sin (180◦ − (β + δ − γ)), (3.28)

cioe:

AD

sin β=

CD

sin (β + δ − γ). (3.29)

Applicando il teorema del seno otteniamo la lunghezza del segmento AD.

Si ripete la stessa procedura considerando il triangolo BCD:

BD

sin (β − α)=

CD

sin (β + δ − α). (3.30)

Si utilizza poi Carnot:

AB2 = AD2 +BD2 − 2AD ·BD · cos γ, (3.31)

cioe:


AB =√AD2 +BD2 − 2AD ·BD · cos γ. (3.32)

3.10 Formule di Briggs

Grazie a queste formule e possibile procedere alla risoluzione di un trian-

golo conoscendo solo le misure dei tre lati. Sono le seguenti:

Teorema 3.10.1. Per un triangolo qualunque aventi noti i lati valgono le

seguenti formule relative al triangolo rappresentato in figura:

sin(α

2

)=

√(p− b)(p− c)

bc, sin

(β

2

)=

√(p− a)(p− c)

ac, sin

(γ2

)=

√(p− b)(p− a)

ba(3.33)

cos(α

2

)=

√p(p− a)

bc, cos

(β

2

)=

√p(p− b)ac

, cos(γ

2

)=

√p(p− c)ba

(3.34)

tan(α

2

)=

√(p− b)(p− c)p(p− a)

, tan

(β

2

)=

√(p− a)(p− c)p(p− b)

, tan(γ

2

)=

√(p− b)(p− a)

p(p− c)(3.35)

Dimostrazione. Si dimostreranno solo le prime di ciascuno dei tre gruppi: si

pone p semiperimetro del triangolo. Si consideri l’uguaglianza a+ b+ c = 2p

3.10 Formule di Briggs 35

si sottragga ad ambo i membri una volta 2a, una volta 2b, una volta 2c, e si

ottiene

−a+ b+ c = 2(p− a),

a− b+ c = 2(p− b),

e

a+ b− c = 2(p− c).

Considero le due formule di bisezione:

sin(α

2

)=

√1− cosα

2,

e

cos(α

2

)=

√1 + cosα

2.

Per Carnot opero la sostituzione: cosα = (−a2+b2+c2)2bc

, quindi:

sin(α

2

)=

√1− cosα

2=

√1− (−a2+b2+c2)

2bc

2=

=

√(2bc+ a2 − b2 − c2)

4bc=

√(+a2 − (b− c)2)

4bc=

√(a+ b− c)(a− b+ c)

4bc=

=

√2(p− c)2(p− b)

4bc=

√(p− c)(p− b)

bc,

e per il coseno:

cos(α

2

)=

√1 + cosα

2=

√1 + (−a2+b2+c2)

2bc

2=

=

√(2bc− a2 + b2 + c2)

4bc=

√(−a2 + (b+ c)2)

4bc=

√(a+ b+ c)(−a+ b+ c)

4bc=


=

√2(p)2(p− a)

4bc=

√p(p− a)

bc,

infine per la tangente basta eseguire il rapporto tra il seno ed il coseno

semplificando.

3.11 Dimostrazione della formula di Erone

Teorema 3.11.1. Dato un triangolo di lati a, b, c e angoli α, β, γ, mostrato

in figura:

vale la formula per il calcolo dell’area:

A =√p(p− a)(p− b)(p− c), (3.36)

detta anche formula di Erone.

Dimostrazione. Considero la formula di duplicazione del seno

sinα = 2 sin(α

2

)cos(α

2

)=

uso le formule di Briggs ed ho:

sinα = 2

√(p− b)(p− c)

bc

p(p− a)

bc=

=2

bc

√p(p− a)(p− b)(p− c)

3.12 Raggio della circonferenza inscritta 37

quindi:

A =bc

2sinα =

√p(p− a)(p− b)(p− c).

3.12 Raggio della circonferenza inscritta

Si consideri il triangolo:

La circonferenza ha raggio r, l’area del triangolo e data dai contributi dei

triangoli indicati in figura:

A =1

2ar +

1

2br +

1

2cr =

a+ b+ c

2r = pr,

da cui segue che:

r =A

p. (3.37)

Ricordando la formula di Erone e una delle formule di Briggs, si puo

scrivere:

r =A

p=

√(p− a)(p− b)(p− c)

p= (p− a)

√(p− b)(p− c)p(p− a)

, (3.38)

e quindi se si conosce ad esempio la misura di un angolo del triangolo α:


r = (p− a) tan(α

2

), (3.39)

ragionando analogamente trovo:

r = (p− b) tan

(β

2

), r = (p− c) tan

(γ2

). (3.40)

3.13 Raggio circonferenza circoscritta

Teorema 3.13.1. La misura R del raggio della circonferenza circoscritta ad

un triangolo e data dal rapporto tra il prodotto delle misure dei suoi lati, per

il quadruplo dell’area A del triangolo. Sussiste la relazione:

R =abc

4A. (3.41)

Dimostrazione. Dal teorema della corda sappiamo che il raggio della circon-

ferenza circoscritta ad un triangolo e dato da:

R =c

2 sin γ.

Moltiplico ambo i termini per ab ed ho:

R =abc

2ab sin γ,

riconosco che A = 12ab sin γ quindi segue:

R =abc

4A.

3.14 Formule di triplicazione

Utilizzando l’identita fondamentale e del formule di duplicazione ho:

3.15 Formule parametriche 39

sin 3θ = sin (θ + θ + θ) = sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ =

= 2 sin θ cos2 θ + (cos2 θ − sin2 θ) sin θ =

= 3 sin θ cos2 θ − sin3 θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ,

ovvero

sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ. (3.42)

In modo analogo si dimostrano:

cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ tan 3θ =3 tan θ − tan3 θ

1− 3 tan2 θ. (3.43)

3.15 Formule parametriche

Altre formule trigonometriche importanti sono le formule parametriche

che esprimono il sin θ, cos θ il funzione razionale di tan(θ2

). Ricordiamo le

formule di duplicazione del seno e del coseno, sotto la seguente formule:

sinα = 2 sin(α

2

)cos(α

2

), (3.44)

e

cosα = cos2(α

2

)− sin2

(α2

). (3.45)

Ricordando la formula fondamentale della trigonometria possiamo riscri-

vere quelle sopra come:

sinα =2 sin

(α2

)cos(α2

)cos2

(α2

)+ sin2

(α2

) , (3.46)

e


cosα =cos2

(α2

)− sin2

(α2

)cos2

(α2

)+ sin2

(α2

) , (3.47)

poiche: cos2(α2

)+ sin2

(α2

)= 1. Dividendo numeratore e denominatore dei

secondi membri, per cos2(α2

), supponendo α 6= π + 2kπ, si ottengono:

sinα =2 tan

(α2

)1 + tan

(α2

) , (3.48)

e

cosα =1− tan2

(α2

)1 + tan2

(α2

) , (3.49)

si puo poi ulteriormente porre:

t = tan(α

2

),

avro:

sinα =2t

1 + t2, (3.50)

e

cosα =1− t2

1 + t2. (3.51)

3.16 Eguaglianza del parallelogramma

Proposizione 3.16.1. Dato un parallelogramma ho che la somma dei qua-

drati delle diagonali e uguale a due volte la somma dei quadrati dei lati.

Dimostrazione. Si utilizza anche in questo caso il calcolo vettoriale (la lun-

ghezza dei lati risulta essere uguale ai moduli dei vettori) e si considera il

parallelogramma con i vettori:

3.17 Risoluzione di un triangolo rettangolo 41

ho che:

|~a+~b|2 + |~a−~b|2 = (~a+~b) · (~a+~b) + (~a−~b) · (~a−~b) =

= ~a · ~a+~b ·~b+ 2~a ·~b+ ~a · ~a+~b ·~b− 2~a ·~b = 2~a · ~a+ 2~b ·~b =

= 2|~a|2 + 2|~b|2.

3.17 Risoluzione di un triangolo rettangolo

Dato un triangolo rettangolo come illustrato in figura lo si vuole risolvere

ovvero, riuscire a determinare tutti i lati e gli angoli a seconda dei dati forniti.

I CASO: noti due cateti b e c.

Da b = c tan β si ottiene tan β = bc

da cui ricavo β. Poi γ = 90◦ − β. Per

il valore dell’ipotenusa a, ricordo b = a sin β da cui ricavo:

a =b

sin β.


II CASO: noti ipotenusa e un cateto a e b.

Da b = a sin β si ottiene sin β = ba

da cui ricavo β. Poi γ = 90◦ − β. Per

il valore del cateto c, ricordo c = a sin γ.

III CASO: noti il cateto b e un angolo acuto β.

Si ha γ = 90◦ − β e c = b tan γ.

IV CASO: noti l’ipotenusa a e un angolo acuto β.

Si ha γ = 90◦ − β e b = a sin β e c = a cos β.

3.18 Risoluzione di un triangolo qualunque

Dato un triangolo qualunque come illustrato in figura lo si vuole risolvere

ovvero, riuscire a determinare tutti i lati e gli angoli a seconda dei dati forniti.

I CASO: noti due angoli α e β e un lato a. Si ha γ = 180◦ − (α + β)

inoltre, per il teorema dei seni:

b = sin βa

sinα, (3.52)

e

c = sin γa

sinα. (3.53)

3.19 Fenomeni ondulatori 43

II CASO: noti due lati a e b l’angolo compreso γ. Dal teorema di Carnot

o del coseno:

c =√a2 + b2 − 2ab cos γ, (3.54)

poi da quello dei seni:

sin β =b

csin γ, (3.55)

e si trova β ed infine α = 180◦ − (β + γ).

III CASO: dati i tre lati a, b, c. Dal teorema del coseno:

cosα =b2 + c2 − a2

2bc, (3.56)

trovo α poi per il teorema dei seni trovo γ, cioe:

sin γ =c

asinα, (3.57)

ed infine β = 180◦ − (α + γ).

IV CASO: due lati ed un angolo opposto ad uno di essi. Per il teorema

dei seni:

sin β =b

asinα. (3.58)

Se ba

sinα > 1 il triangolo non e risolubile, perche non puo mai essere

sin β > 1. Se ba

sinα ≤ 1, allora posso ricavare β. Si ha poi γ = 180◦−(α+β)

e per il teorema dei seni si ricava ancora:

c = asin γ

sinα. (3.59)

3.19 Fenomeni ondulatori

Suppongo di avere due oscillazioni che giungono in uno stesso punto,

abbiano la medesima frequenza e la medesima ampiezza, e corrispondano

alle equazioni:


ψ1 = a cosωt, ψ2 = a cos (ωt+ ϕ0). (3.60)

Per trovare il moto composto si ricorre alla formula di prostaferesi del

coseno ed ho che:

ψ = ψ1 + ψ2 = a cosωt+ a cos (ωt+ ϕ0) = 2a cos(ϕ0

2

)cosωt+

(ϕ0

2

).

(3.61)

Quindi si ottiene un nuovo moto di frequenza ω eguale a quella dei moti

componenti, la fase iniziale di questo moto e ϕ0

2, mentre l’ampiezza vale

A = 2a cos(ϕ0

2

).

3.20 Rappresentazione trigonometrica dei nu-

meri complessi

Se al posto del piano ordinario di considera il piano di Gauss, ovvero il

piano avente come asse delle ascisse l’asse reale e come asse delle ordinate

quello immaginario, possiamo rappresentare ogni numero complesso con la

trigonometria. Infatti consideriamo un generico numero complesso:

z = a+ ib,

consideriamo il modulo del numero complesso ρ =√a2 + b2, ho che posso

considerare il triangolo di lati a, b, ρ e affermare che:

a = ρ cos θ, (3.62)

3.21 La relazione di Eulero 45

e

b = ρ sin θ, (3.63)

pertanto:

z = ρ(cos θ + i sin θ). (3.64)

3.21 La relazione di Eulero

Si puo osservare inoltre che le funzioni trigonometriche oltre ad essere

funzioni periodiche ammettono derivate periodiche, infatti:

d sin θ

dθ= cos θ, (3.65)

d2 sin θ

dθ2= − sin θ, (3.66)

d3 sin θ

dθ3= − cos θ, (3.67)

d4 sin θ

dθ4= sin θ, (3.68)

analogamente per il coseno. Esiste inoltre una importante relazione che lega

le funzioni trigonometriche con l’esponenziale ed e la relazione di Eulero:

eiθ = cos θ + i sin θ. (3.69)

Questa risulta essere una relazione molto curiosa oltre che di enorme

utilita soprattutto per l’analisi complessa, infatti se pongo θ = π ottengo:

eiπ = −1, (3.70)

La formula di Eulero si dimostra facilmente ricorrendo agli sviluppi in serie

di seno e coseno.


3.22 Funzioni secante e cosecante

Esistono altre funzioni trigonometriche che sono la secante, cosı definita:

sec θ =1

cos θ, (3.71)

e la cosecante:

sin−1 θ =1

sin θ, (3.72)

ovviamente nei punti in cui il denominatore sia diverso da 0.

3.23 Equazioni goniometriche elementari

Consideriamo:

sinx = b, (3.73)

significa determinare tutti i valori degli angoli il cui seno vale b. Osservando

la figura:

posso concludere che questi angoli sono due:

x = α + k360◦, x = (180◦ − α) + k360◦ (3.74)

dove con α indico l’angolo tra l’asse x e il segmento OA. Analogamente per

il coseno:

cosx = a, (3.75)

3.23 Equazioni goniometriche elementari 47

significa determinare tutti i valori degli angoli il cui seno vale a. Osservando

la figura:

posso concludere che questi angoli sono due:

x = ±α + k360◦. (3.76)

Per la tangente invece:

tanx = c, (3.77)

osservo la figura:

Le soluzioni saranno date da:

x = α + k180◦. (3.78)

Esempio 3.1. Risolvere:

sinx =

√2

2.

Risoluzione.

Si ha che:

x = π4

+ 2kπ e x = 3π4

+ 2kπ, ovviamente ∀k ∈ Z.


Esempio 3.2. Risolvere:

sin 2x = sin 3x.

Risoluzione.

Deve risultare 2x = 3x+ k2π oppure 2x = π − 3x+ k2π, da cui: x = −k2π

, x = π+k2π5

.

3.24 Equazioni lineari in seno e coseno

Definizione 3.1. Una equazione goniometrica si dice lineare in seno e coseno

se si presenta sotto la forma:

a sinx+ b cosx = c, (3.79)

con a 6= 0 e b 6= 0.

Se c = 0 allora procedo in questo modo:

a sinx = −b cosx,

poi divido per il coseno supponendo che non si annulli:

tanx =−ba,

procedo come le elementari.

Se c 6= 0 sostituisco al posto di seno e coseno le formule parametriche

ottenendo:

a2t

1 + t2+ b

1− t2

1 + t2= c, (3.80)

supponendo in questo caso che x 6= (2k + 1)π e, eseguendo i calcoli ho che:

(b+ c)t2 − 2at+ c− b = 0, (3.81)

trovo t1, t2 e mi riconduco ad equazioni elementari che so risolvere:

3.25 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno 49

t1 = tan(x

2

), (3.82)

e

t2 = tan(x

2

). (3.83)

3.25 Equazioni omogenee di secondo grado in

seno e coseno

Definizione 3.2. Una equazione goniometrica di secondo grado omogenea

e del tipo:

a sin2 x+ b sinx cosx+ c cos2 x = d, (3.84)

con a, b, c, d 6= 0.

divido per cos2 x avendolo supposto diverso da 0. Inoltre ricordo l’iden-

tita:

1

cos2 x= tan2 x+ 1, (3.85)

con queste sostituzioni ottengo:

a tan2 x+ b tanx+ c = d(tan2 x+ 1), (3.86)

si risolve l’equazione di secondo grado e le due elementari che ottengo da

quest’ultima.

Capitolo 4

Cenni sulla goniometria cubica

La goniometria cubica o tetragoniometria, e una nuova trigonometria,

avente per riferimento fondamentale la superficie cubica (sfera cubica) :

x3 + y3 + z3 − 3xyz = 1,

anziche il cerchio o l’iperbole equilatera. La goniometria conserva quella

simmetria delle formule che la trigonometria usuale perde nel passare dal

piano allo spazio. Essa e caratteristica per uno spazio, che soddisfi al teorema

cubico di Pitagora a3 + b3 + c3 − 3abc = d3, per questo le sue applicazioni

concrete, allo stato attuale delle conoscenze fisiche, sono forse modeste, ma

le sue applicazioni astratte sono innumerevoli e molto interessanti. Essa e

stata inventata dal professor Lando Degoli nel 1961.

4.1 Le funzioni della goniometria cubica

Diremo coseni cubici le funzioni a due variabili:

A(θ, ϕ) =1

3

(eθ+ϕ + eεθ+ε

2ϕ + eε2θ+εϕ

), (4.1)

B(θ, ϕ) =1

3

(eθ+ϕ + εeεθ+ε

2ϕ + ε2eε2θ+εϕ

), (4.2)

51

52 4. Cenni sulla goniometria cubica

C(θ, ϕ) =1

3

(eθ+ϕ + ε2eεθ+ε

2ϕ + εeε2θ+εϕ

), (4.3)

dove e e la base dei logaritmi naturali ed ε, ε2 sono radici cubiche dell’unita.

Da queste tre equazioni di ottengono:

A+B + C = eθ+ϕ, (4.4)

A+ εB + ε2C = eε2θ+εϕ, (4.5)

A+ ε2B + εC = eεθ+ε2ϕ. (4.6)

Moltiplicando membro a membro le equazioni sopra si ottiene:

A3 +B3 + C3 − 3ABC = 1, (4.7)

ossia: ∣∣∣∣∣∣∣∣A B C

C A B

B C A

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1. (4.8)

Le prime sei formule vengono dette formule cubiche di Eulero, mentre la

4.7 viene detta espressione fondamentale della goniometria solida. Con la

sfera cubica si indica la superficie x3 + y3 + z3 − 3xyz = 1.

4.2 Derivabilita periodica dei coseni cubici

I coseni cubici sono funzioni indefinitivamente derivabili negli argomenti

θ, ϕ, le derivate sono periodiche di periodo 3. Si vede subito che:

dA

dθ= B

dA

dϕ= C, (4.9)

d2A

dθ2= C

d2A

dθdϕ= A

d2A

dφ2= B, (4.10)

4.3 Espressione dei coseni cubici in forma reale 53

d3A

dθ3= A

d3A

dϕdθ2= B

d3A

dϕ2dθ= C

d3A

dφ3= A. (4.11)

Osservazione 8. Osservo che:

• A(0, 0) = 1,

• B(0, 0) = 0,

• C(0, 0) = 0.

4.3 Espressione dei coseni cubici in forma rea-

le

Ricordando che ε = −1+i√3

2e ε2 = −1−i

√3

2, si possono eliminare gli

immaginari dall’espressione di A,B,C Si ottiene:

A =1

3

[eθ+ϕ + 2e−

θ+ϕ2 cos

(√3

2

)], (4.12)

B =1

3

[eθ+ϕ − e−

θ+ϕ2 cos

(√3

2

)−√

3e−θ+ϕ2 sin

(√3

2

)], (4.13)

B =1

3

[eθ+ϕ − e−

θ+ϕ2 cos

(√3

2

)+√

3e−θ+ϕ2 sin

(√3

2

)]. (4.14)

Osservazione 9. Per tutti i valori di θ e ϕ reali i coseni cubici sono reali.

4.4 Formule inverse

Dalle formule di Eulero si ottiene:

θ =ε log (εx+ ε2y + z)− ε2 log (ε2x+ εy + z)

ε2 − ε, (4.15)


ϕ =ε log (ε2x+ εy + z)− ε2 log (εx+ ε2y + z)

ε2 − ε, (4.16)

con x = A, y = B, z = C.

Osservazione 10. E’ possibile eliminare l’immaginario applicando la nota

formula:

log (u+ iv) = log√u2 + v2 + i v

u.

4.5 Formule di scambio

Ho che:

A(θ, ϕ) = A(ϕ, θ),

B(θ, ϕ) = C(ϕ, θ),

C(θ, ϕ) = B(ϕ, θ).

In particolare:

• A(0, ϕ) = A(ϕ, 0) = A(ϕ),

• A(θ, 0) = A(0, θ) = A(θ),

• B(0, ϕ) = C(ϕ, 0) = C(ϕ),

• B(θ, 0) = C(0, θ) = B(θ),

• C(0, ϕ) = B(ϕ, 0) = B(ϕ),

• C(θ, 0) = B(0, θ) = C(θ).

4.6 Formule di addizione 55

4.6 Formule di addizione

Si dimostra che valgono le seguenti formule di addizione:

A(θ+ λ, ϕ+ µ) = A(θ, ϕ)A(λ, µ) +B(θ, ϕ)C(λ, µ) +C(θ, ϕ)B(λ, µ), (4.17)

B(θ+ λ, ϕ+ µ) = C(θ, ϕ)C(λ, µ) +A(θ, ϕ)B(λ, µ) +B(θ, ϕ)A(λ, µ), (4.18)

C(θ+ λ, ϕ+ µ) = B(θ, ϕ)B(λ, µ) +A(θ, ϕ)C(λ, µ) +C(θ, ϕ)A(λ, µ). (4.19)

4.7 Formule di duplicazione

Usando l’addizione si dimostra:

A(2θ, 2ϕ) = A2 − 2BC, (4.20)

B(2θ, 2ϕ) = C2 − 2AB, (4.21)

C(2θ, 2ϕ) = B2 − 2AC. (4.22)

4.8 Formule cubiche di Moivre

In analogia con la formula di de Moivre, valgono:

[A(θ, ϕ) +B(θ, ϕ) +C(θ, ϕ)]n = A(nθ, nϕ) +B(nθ, nϕ) +C(nθ, nϕ), (4.23)

[A(θ, ϕ) + εB(θ, ϕ) + ε2C(θ, ϕ)]n = A(nθ, nϕ) + εB(nθ, nϕ) + ε2C(nθ, nϕ),

(4.24)


[A(θ, ϕ) + ε2B(θ, ϕ) + εC(θ, ϕ)]n = A(nθ, nϕ) + ε2B(nθ, nϕ) + εC(nθ, nϕ).

(4.25)

Capitolo 5

Questioni trigonometriche

5.1 Teorema di Pitagora

Teorema 5.1.1 (Pitagora). Dato un triangolo rettangolo l’area del quadrato

costruito sull’ipotenusa e eguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti

sui due cateti.

Dimostrazione. Si consideri la figura:

57

58 5. Questioni trigonometriche

Cominciamo con le quattro copie dello stesso triangolo rettangolo. Tre

di questi sono stati ruotati rispettivamente di 90◦,180◦ e 270◦, ognuno ha

un’area di ab2

. Mettiamoli insieme senza le rotazioni addizionali cosı che essi

formino un quadrato con lato c. Il quadrato ha un quadrato in mezzo con

lato (a− b). Quindi l’area del quadrato piu piccolo e:

(a− b)2,

l’area dei quattro triangoli e 4ab2

, quindi:

c2 = (a−b)2+2ab = a2−2ab+b2+2ab = a2+2ab−2ab+b2 = a2+b2. (5.1)

5.2 Teorema delle tangenti

Teorema 5.2.1 (Nepero o delle tangenti). In un triangolo qualsiasi la som-

ma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli

angoli opposti ai suddetti lati sta alla tangente della loro semidifferenza.

Ovvero considerando la figura:

b+ c

b− c=

tan(β+γ2

)tan(β−γ2

) , (5.2)

c+ a

c− a=

tan(γ+α2

)tan(γ−α2

) , (5.3)

a+ b

a− b=

tan(α−β2

)tan(α−β2

) . (5.4)

5.2 Teorema delle tangenti 59

Dimostrazione.

b+ c

b− c=

(b+ c)2

(b+ c)(b− c)=

a2(b+ c)2

a2(b+ c)(b− c)=

a2

b2 − c2

(c+ b

a

)2

=

=(a2 + b2 − c2) + (a2 − b2 + c2)

(a2 + b2 − c2)− (a2 − b2 + c2)

(c+ b

a

)2

.

Utilizzo il teorema dei seni, a = 2R sinα, b = 2R sin β, c = 2R sin γ:

(a2 + b2 − c2) + (a2 − b2 + c2)

(a2 + b2 − c2)− (a2 − b2 + c2)

(a+ b

c

)2

=

=(sin2 α + sin2 β − sin2 γ) + (sin2 α− sin2 β + sin2 γ)

(sin2 α + sin2 β − sin2 γ)− (sin2 α− sin2 β + sin2 γ)

(sin γ + sin β

sinα

)2

,

usando prostaferesi, la duplicazione del seno e l’identita α + β + γ = π ho

che la parte di destra diventa:(2 sin β+γ

2cos β−γ

2

2 sin β+γ2

cos β+γ2

)2

=

(cos β−γ

2

cos β+γ2

)2

.

Considero il primo addendo del numeratore sin2 α + sin2 β − sin2 γ. Uso

bisezione del coseno e prostaferesi ottenendo le identita α + β + γ = π e

cos(π2− x)

= sinx, da cui segue che:

sin2 α+sin2 β−sin2 γ = 1−cos2 α+1−cos2 β−1+cos2 γ = 1−cos 2α + 1

2−cos 2β + 1

2+cos2 γ =

= cos2 γ + cos γ cos (α− β) = cos γ(cos γ + cos (α− β)) =

= 2 cos γ cosα− β + γ

2cos−α + β + γ

2=

= 2 sinα sin β cos γ.

Analogamente si ottiene che:


sin2 α− sin2 β + sin2 γ = 2 sinα cos β sin γ.

Sostituiamo le espressioni e utilizziamo la formula del seno:

b+ c

b− c=

2 sinα sin β cos γ + 2 sinα cos β sin γ

2 sinα sin β cos γ − 2 sinα cos β sin γ

(cos β−γ

2

cos β+γ2

)2

=

=sin (β + γ)

sin (β − γ)

(cos β−γ

2

cos β+γ2

)2

=

usando duplicazione del seno si ha:

=2 sin β+γ

2cos β+γ

2

2 sin β−γ2

cos β−γ2

(cos β−γ

2

cos β+γ2

)2

=

=tan(β+γ2

)tan(β−γ2

) .

Esiste tuttavia una dimostrazione del teorema molto piu veloce che uti-

lizza le proprieta delle proporzioni:

Dimostrazione. Per il teorema dei seni vale:

b

sin β=

c

sin γ,

quindi:

b : c = sin β : sin γ,

si ricorda inoltre che, in una proporzione, la differenza dei primi due termini

sta alla loro somma come la differenza degli altri due sta alla loro somma,

cio implica che:

b− cb+ c

=2 sin β−γ

2cos β+γ

2

2 sin β+γ2

cos β−γ2

,

5.3 Diseguaglianza trigonometrica 61

e infine:

b− cb+ c

=tan(β+γ2

)tan(β−γ2

) .

5.3 Diseguaglianza trigonometrica

Considerando la figura:

si vede che l’area del triangolo OPA e minore di quella del settore circolare

OPA, a sua volta minore di quella del triangolo OTA. Segue che:

1

2· 1 · sinx ≤ 1

2· 1 · x ≤ 1

2· 1 · tanx,

ossia:

sinx ≤ x ≤ tanx, (5.5)

questa diseguaglianza risulta importante per il calcolo del limite:

limx→0

sinx

x= 1,

infatti la stessa diseguaglianza di prima si puo scrivere come:

1 ≤ x

sinx≤ 1

cosx, (5.6)

e per x→ 0 si ha che:

1 ≤ limx→0

x

sinx≤ 1, (5.7)


e per il teorema di confronto tra limiti:

limx→0

x

sinx= 1. (5.8)

Osservazione 11. L’area di un settore circolare si calcola con la proporzione:

C : l = Ac : As,

dove As e l’area del settore cioe:

As =lπr2

2πr=l · r2,

nel caso di una circonferenza goniometrica r = 1 pertanto:

As =l

2.

5.4 Misura del raggio terrestre

Questo metodo, ideato dal matematico Eratostene per misurare il raggio

della Terra , risale al III sec.a.C.

I punti A e B giacciono sullo stesso meridiano terrestre, la misurazione

viene eseguita quando il sole e allo zenit per A e quindi i suoi raggi in questo

5.5 Identita per angoli costanti 63

punto raggiungono il suolo perpendicolarmente, nello stesso istante si misu-

rera l’inclinazione β che i raggi hanno rispetto al suolo nel punto B, quindi

si potra calcolare l’ampiezza α dell’angolo al centro e si ottiene:

α +(π

2+ β

)= π, (5.9)

cioe

α =π

2− β. (5.10)

Infine misurata la distanza d come misura dell’arco Arc(AB):

r =d

α. (5.11)

La misura fu eseguita durante il solstizio d’estate a mezzogiorno, A era

la citta di Syene (oggi Assuan), B era Alessandria che dista dalla prima

circa 833, 5km. L’angolo β era stato stimato in 82◦30′, Eratostene era quindi

giunto alla conclusione che il raggio terrestre dovesse misurare circa 6364km

(si consideri che il raggio terrestre, calcolato con i mezzi moderni, e di circa

6356 km ai poli e 6377 all’equatore).

5.5 Identita per angoli costanti

La seguente curiosa identita e stata appresa da Richard Feynman quando

era ragazzino:

cos (20◦) cos (40◦) cos (80◦) =1

8. (5.12)

Si tratta di un caso particolare della identita in cui compare una variabile:

k−1∏j=0

cos (2jx) =sin (2kx)

2k sinx. (5.13)

Altre identita senza variabili:


cos (36◦) + cos (180◦) =1

2, (5.14)

cos (24◦) + cos (48◦) + cos (96◦) + cos (168◦) =1

2. (5.15)

5.6 Funzione sinc(x)

La funzione sinc(x) = sinxx

e assai nota e ha notevoli applicazioni pratiche,

per esempio alla elaborazione dei segnali. La funzione sinc(x) si esprime come

prodotto infinito di coseni, mediante questa bellissima identita:

sinc(x) = cos(x

2

)cos(x

4

)· · · . (5.16)

Come direbbe E. Maor, “la dimostrazione di questo fatto e sorprenden-

temente facile”. Per dimostrarla ricordiamo, dalla trigonometria elementare,

la formula

sinx = 2 sin(x

2

)cos(x

2

). (5.17)

Ricordiamo inoltre il limite fondamentale

limx→0

sinx

x= 1. (5.18)

Applicando piu’ volte la formula precedentemente ricordata ed otteniamo:

sinx = 2 sin(x

2

)cos(x

2

)= (5.19)

= 4 sin(x

4

)cos(x

4

)cos(x

2

)= (5.20)

= 8 sin(x

8

)cos(x

8

)cos(x

4

)cos(x

2

)= · · · (5.21)

dopo n iterazioni della formula si ha:

5.7 La tangente e i polinomi elementari simmetrici 65

sinx = 2n sin( x

2n

)cos( x

2n

)· · · cos

(x4

)cos(x

2

), (5.22)

divido ambo i lati per x e riordinando si ha:

sinc(x) =sin(x2n

)x2n

cos(x

2

)· · · cos

( x2n

), (5.23)

fissando un valore di x diverso da 0 e facendo tendere n all’infinito si hax2n→ 0 e quindi per il limite fondamentale

sin ( x2n )x2n

→ 1 ottenendo:

sinc(x) =sinx

x=∞∏n=1

cos( x

2n

). (5.24)

Questa formula venne scoperta da Eulero ed e il primo esempio di prodot-

to infinito. Un altro prodotto infinito simile puo essere ottenuto considerando

la formula di duplicazione della tangente.

5.7 La tangente e i polinomi elementari sim-

metrici

Sia ek il k-esimo polinomio elementare simmetrico nella variabile

xi = tan (θi),

per 1 = 0, 1, 2, · · · . Ovvero:

e0 = 1

e1 =∑i

xi =∑i

tan (θi)

e2 =∑i<j

xixj =∑i<j

tan (θi) tan (θj)

e3 =∑i<j<k

xixjxk =∑i<j<k

tan (θi) tan (θj) tan (θk)


ecc...

Allora:

tan

(∑i

θi

)=e1 − e3 + e5 − · · ·e0 − e2 + e4 − · · ·

. (5.25)

Il numero di termini nel lato destro dipendono dal numero di termini del

lato sinistro. Ad esempio:

tan (θ1 + θ2) =e1

e0 − e2=

x1 + x21− x1x2

=tan (θ1) + tan (θ2)

1− tan (θ1) · tan (θ2). (5.26)

Per maggiori dettagli consultare [3]. Per un numero generico si ricorre al

principio di induzione.

Capitolo 6

Trigonometria sferica

6.1 Sfere, geodetiche e lune

Una circonferenza ottenuta intersecando una superficie sferica di raggio

R con un piano passante per il suo centro, cioe una delle circonferenze di

raggio massimo ottenibili sulla superficie sferica, e detta geodetica. Il piano

secante e il generatore della geodetica. Ad esempio, supponendo che la Terra

sia una sfera perfetta, i meridiani sono geodetiche, ma tra i paralleli, l’unica

geodetica e l’equatore. Due geodetiche diverse si intersecano in due punti

diametralmente opposti P e Q. I loro piani generatori formano due coppie di

diedri opposti al vertice. Ogni diedro di misura λ individua sulla superficie

sferica una regione delimitata da due semicirconferenze di estremi P e Q

detta luna di vertici P e Q e lati PAQ e PBQ. I punti P e Q sono i vertici

di due angoli sferici entrambi di misura λ .

67

68 6. Trigonometria sferica

Si dira anche che la luna PAQL e una luna L di angolo λ.

L’area L di una luna di angolo λ sta alla superficie della sfera come

l’angolo λ sta a 2π. Cioe:

L : 4πR2 = λ : 2π, (6.1)

quindi

L = 2λR2. (6.2)

L’insieme di tutte le geodetiche che si intersecano negli stessi punti P e

Q e detto fascio di geodetiche di poli PQ.

6.2 Triangoli sferici

Intersecando una luna A di angolo α di un fascio di poli AZ con una terza

geodetica che non appartenga allo stesso fascio e che quindi intersechi i lati

di A nei punti B e C, si divide la luna A in due regioni di vertici ABC e

ZBC dette triangoli sferici.

L’area del triangolo ZBC si ottiene sottraendo dall’area della luna A

l’area del triangolo ABC.

Area(ZBC) = 2αR2 − Area(ABC). (6.3)

6.2 Triangoli sferici 69

Il triangolo ABC e dato dall’intersezione delle lune B di angolo β e C di

angolo γ. Dunque l’area dell’unione di B e C e data dalla somma delle loro

singole aree diminuita dell’area del triangolo ABC (che, altrimenti, verrebbe

valutato due volte).

Area(B ∪ C) = 2βR2 + 2γR2 − Area(ABC). (6.4)

Se all’unione delle lune B e C si unisce poi il triangolo individuato dagli

antipodi di Z,B e C, congruente con il triangolo ZBC, si copre una semisfera.

Dunque sommando all’area dell’unione di B e C, l’area del triangolo ZBC

si ottiene l’area della superficie della semisfera.

Area(B ∪ C) + Area(ZBC) = 2πR2. (6.5)

Unendo questi risultati si ottiene:

2βR2 + 2γR2 − Area(ABC) + 2αR2 − Area(ABC) = 2πR2, (6.6)

e quindi l’area del triangolo sferico:

Area(ABC) = (α + β + γ − π)R2. (6.7)

Dato che l’area di un triangolo sferico deve essere positiva, si deduce che

la somma degli angoli interni di un triangolo sferico e maggiore di un angolo

piatto.


6.3 Il teorema di Pitagora sferico

Su una superficie sferica di raggio R e centro O, si consideri un triangolo

sferico di vertici A,B e C tale che l’angolo interno ACB sia retto. Si indicano

con a, b e c le misure dei lati opposti rispettivamente ad A,B e C.

In questo caso e possibile determinare un sistema di riferimento cartesiano

ortogonale con origine nel centro O tale che il piano Oyz coincida con il piano

generatore del lato AC e il piano Oxz coincida con il piano generatore del

lato BC.

I segmenti OA, OB possono essere descritti come vettori di modulo R.

Indicando con α la misura dell’angolo AOC, con β la misura dell’angolo

BOC, e con ~i,~j e ~k i versori degli assi si ha:

~vOA = R(

sinα~j + cosα~k), (6.8)

~vOB = R(

sin β~i+ cos β~k), (6.9)

eseguendo il prodotto scalare tra i due vettori:

~vOA · ~vOB = R2 cosα cos β, (6.10)

ma questo prodotto puo essere anche ottenuto moltiplicando i moduli dei

vettori per il coseno dell’angolo compreso dunque

~vOA · ~vOB = R2 cos γ. (6.11)

6.3 Il teorema di Pitagora sferico 71

Si ottiene quindi:

cos γ = cosα cos β, (6.12)

e poiche la misura in radianti di un angolo al centro di una circonferenza si

ottiene dal rapporto tra arco e raggio,

cosc

R= cos

a

Rcos

b

R. (6.13)

Il risultato ottenuto rappresenta una generalizzazione del teorema di Pi-

tagora. Infatti da:

cos2c

R= cos2

a

Rcos2

b

R, (6.14)

si ottiene

1− sin2 c

R=

(1− sin2 b

R

)(1− sin2 a

R

), (6.15)

1− sin2 c

R= 1− sin2 b

R− sin2 a

R+ sin2 a

Rsin2 b

R, (6.16)

sin2 c

R= sin2 b

R+ sin2 a

R− sin2 a

Rsin2 b

R, (6.17)

per R→∞ l’argomento tende a 0 e l’argomento del seno tende a coincidere

con il seno. Quindi al limite si ha:

c2 = a2 + b2. (6.18)


6.4 Distanza tra due punti

Siano A e B due punti su una superficie sferica di raggio R. Indicando con

C il punto dell’equatore sullo stesso meridiano di A e assumendo il meridiano

di A come meridiano zero, i vettori ~vOA e ~vOB in coordinate cartesiane sono

espressi da:

~vOA = R(

sinα~j + cosα~k)

(6.19)

~vOB = R(

cos γ sin β~i+ sin γ~j + cos β cos γ~k), (6.20)

il prodotto scalare tra i due vettori e

~vOA · ~vOB = R2 (sinα sin γ + cosα cos β cos γ) , (6.21)

ma anche da:

~vOA · ~vOB = R2 cosAOB, (6.22)

quindi

cosAOB = (sinα sin γ + cosα cos β cos γ) . (6.23)

La distanza AB, sulla superficie sferica, si ottiene quindi da

6.5 Teorema del coseno 73

Dist(AB) = R arccos (sinα sin γ + cosα cos β cos γ). (6.24)

6.5 Teorema del coseno

Se i punti A e B sono su una superficie sferica di raggio unitario, si ha:

cosAOB = cos c, sinα = sin b, cosα = cos b, cos β cos γ = cos a, (6.25)

l’ultima formula e il teorema di Pitagora per il triangolo CBB′. Si ha inoltre:

sin γ = BB′ = BB′′ cosACB = sin a cosACB. (6.26)

Sostituendo i secondi membri di queste identita nell’equazione

cosAOB = sinα sin γ + cosα cos β cos γ, (6.27)

si ottiene

cos c = sin b sin a cosACB + cos a cos b. (6.28)


Questa identita esprime una relazione tra un lato (c) e gli altri due (a e b)

in funzione del coseno dell’angolo formato da questi due. Rappresenta quindi

la versione sferica del noto teorema del coseno della trigonometria piana.

Bibliografia

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[2] R.Bigoni “Note di trigonometria sferica”,

http://www.robertobigoni.it/Matematica/Sferica/sferica.html.

[3] M.Bronstein “Simplification of real elementary functions”. In G. H. Gon-

net (ed.). Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 International Sympo-

sium on Symbolic and Algebraic Computation. ISSAC’89 (Portland US-

OR, 1989-07). New York: ACM. pp. 207–211. doi:10.1145/74540.74566.

ISBN 0-89791-325-6.

[4] U.Cerruti “Formule di Vieta, di Wallis e altri prodotti infiniti collegati

a π”.

[5] L.Degoli “Goniometria cubica”.

[6] Zwirner, Scaglianti “Analitica e trigonometria”.

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