1

Goniometria e trigonometria

Misurare gli angoli nel sistema circolare

L’unità di misura del sistema circolare è il radiante

def. Un radiante è la misura di un angolo alla circonferenza che sottende un arco che rettificato è

uguale al raggio della circonferenza stessa

l’arco AB é lungo come il raggio

Poiché all’angolo giro corrisponde l’intera circonferenza ( 2πr) la misura di un angolo giro nel

sistema circolare è 2πrad

Per passare dal sistema circolare al sistema sessagesimale basta fare la proporzione

π : 180° = x rad

: x°

Tutti gli angoli che differiscono per multipli dell’angolo giro si dicono equivalenti.

Esercizio.

Dati i seguenti angoli individuare quelli equivalenti: α=120° β = -600° γ= 480° δ=300°

Poiché α=120° β = 120°-2∙360° γ= 120°+360° δ=120°+180° si ha che α, β, γ sono

equivalenti.

Nel sistema circolare la misura dell’angolo coincide con quella dell’arco corrispondente, quindi si

può parlare di angolo che misura 0.5πrad

o di arco che misura 0.5πrad

SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO

Si dice circonferenza goniometrica la circonferenza di centro O(0,0) e raggio unitario, di equazione

x2+y

2=1

Per definizione :

P(cosα, senα) T(1, tang α )

La prima relazione fondamentale è

cos2 α + sen

2 α = 1

la seconda relazione fondamentale è

cos

sentg

Sapendo in quale quadrante cade il secondo lato

dell’angolo e il valore di una delle sue funzioni angolari

è possibile calcolare le altre due

Si ricordi che cotang x =1/ tang x cosec x= 1/senx sec x=1/cosx

1

P

T

O x

y

α

A

B V

1 radiante

2

Esercizio

Sia x un angolo, si sa che 90°<x<180° e sen x = 1/4 determinare, se è possibile, i valori di cos x

ed tang x.

Svolgimento: poiché il secondo lato dell’angolo appartiene al secondo quadrante, il coseno sarà

negativo e la tangente sarà negativa. __________ ___ ____ ____

Cos x = - -(1/4)2 = - / 4 ed tang x = (1/4) / (- / 4) = - / 15

Esercizio

Sia x un angolo, si sa che 0<x<180° e sen x = 2/3 determinare, se è possibile, i valori di cos x ed

tang x.

Svolgimento: tali valori non si possono determinare in modo univoco poiché ci sono due angoli che

verificano le condizioni richieste.

Esercizio

Quanto misura in radianti l’angolo interno di un pentagono regolare?

La somma degli angoli interni di un poligono di n lati è (n-2)angoli piatti .

Poiché il pentagono è regolare tutti gli angoli sono uguali e ciascuno di essi misura

radianti5

3

Quanto misura in radianti l’angolo esterno di un ettagono regolare?

Misura 2π / 7 radianti

Esercizi da svolgere __

1)Dopo aver disegnato gli archi che corrispondono a cos x = 3 / 2 , trovare dell’arco del quarto

quadrante, le altre funzioni trigonometriche

2) Sapendo che x è un angolo acuto e che sen x = 3/5 calcolare le altre funzioni goniometriche

3)Ragionando sulla circonferenza goniometrica determinare

cos (x+π)=………… sen (π/2 - x)=.................... sen(x+π)=…….. sen(2π-x)=………..

4)Semplificare le espressioni:

tg(x+π)sen(π-x)cos(π+x)+tg(π-x)cos2(-x)=

sen4x-sen

2x-cos

4x+cos

2x=

5) verificare le identità

tang x+ cotang x = 1/(sen x ∙ cos x)

tg2x-sen

2x = tg

2x ∙ sen

2x

6)Determinare per quali valori del parametro k hanno significato le seguenti relazioni. Calcolare poi

le restanti funzioni dell’angolo

3

Le equazioni goniometriche elementari

Esercizio

2 senx = 1

1. Si ricava sen x :

sen x= 1/2

2. In le soluzioni sono:

3. In R le soluzioni sono:

Esercizio

1. Si ricava cos x

2. Le soluzioni in sono:

3. Le soluzioni in R sono:

Esercizio

Risolvere tg x - 3 =0

Si ricava tg x e si ottiene: tg x= 3

La soluzione in [0; ] e' : x = π/3 Le soluzioni in R sono :

Le equazioni goniometriche in una sola funzione angolare

Esempio

2sen2x –senx -1 = 0 ( si risolve come una equazione di secondo grado)

4

senx = 4

31

4

811

quindi sen x = 1 U sen x = -1/2

le soluzioni, in [0,2] sono x= /2 U x= 7/6 U x= 11/6;

le soluzioni in R sono x= /2 +2k U x= 7/6+2k U x= 11/6+2k

Le equazioni lineari in seno e coseno

sen x-cos x +1=0

pongo

sen x = Y cos x = X

1

0122 YX

XY

rappresento retta e circonferenza goniometrica

In [0,2], le soluzioni sono x=0 U x =3/2

In R le soluzioni sono x=0+2k U x =3/2+2k

5

Le curve goniometriche

E’ opportuno memorizzare i grafici della sinusoide, della cosinusoide e della tangentoide, in modo

da poter risolvere agevolmente le disequazioni goniometriche.

Inoltre, da tali grafici si possono ricavare quelli di altre funzioni coem indicato qui di seguito.

La funzione y = senx ha C.E. (-,+) ha codominio [-1,1] ed ha periodo T=2

La funzione y = cosx ha C.E. (-,+) ha codominio [-1,1] ed ha periodo T=2

La funzione y = tang x ha C.E. { xR t.c. x ≠ /2 + k } ha condominio . (-,+)

ha periodo T =

Se y=f(x) ha periodo T, la funzione y = f(x) ha periodo T/

y = sen(3x) ha periodo T=2/3 ( 120°)

y= tang ( x/2) ha periodo T= 2

6

Data la funzione y=f(x), la funzione y=kf(x) determina una dilatazione o contrazione di f(x) nella

direzione dell’asse y pari a |k|, se k<0 allora si ha un ribaltamento del grafico rispetto all’asse x.

Es. y= 2senx

y= - (1/2) sen x

Data la funzione y=f(x) ,il grafico di y= f(x) + h si ottiene traslando il grafico della f(x), verso

l’alto o verso il basso,a seconda che h sia positivo o negativo, di |h| volte l’unitá di misura

y= senx + 1.5

y = senx – 1.5

Data la funzione y=f(x) , il grafico di y= f(x + h) si ottiene traslando il grafico di f(x), verso

sinistra o verso destra, a seconda che h sia positivo o negativo, di |h| volte l’unitá di misura

7

y= sen (x+/3 )

y= sen (x-/3 )

Data la funzione y=f(x), il grafico di y=|f(x)|, si ottiene lasciando invariate le parti in cui f(x) sta

sopra all’asse x e si ribaltano nel semipiano delle x>0 le parti del grafico di y=f(x) negative

y=|sen x|

Data la funzione y=f(x), il grafico di y=f(|x|), si ottiene lasciando invariato il grafico di f(x) nel

sempiano delle x>0 e costruendo il simmetrico di tale grafico nel semipiano delle x<0. Si noti che

y=f(|x|) è una funzione pari

y=sen |x|

8

Esercizi

Rappresentare il grafico della funzione y=sen(x-) per x[0,2]

Rappresentare il grafico della funzione y=sen|x| per x[-2,2]

Le disequazioni goniometriche

Si debba risolvere la disequazione

senx > ½

1. si passa all’equazione senx=1/2 che da come soluzione x= /6 +2k ed x= 5/6+2k

2. di rappresentano sullo stesso grafico le funzioni y=senx ed y=1/2

3. si individuando gli intervalli dell’asse x in cui senx >1/2 determinando cosí il risultato

Risultato

/6 +2k <x< 5/6+2k

9

Le formule

10

11

I triangoli rettangoli e i loro teoremi

Si noti che l’angolo retto si indica con A e che i lati prendono il nome del vertice opposto

c

a b

A

β

B

C

γ

12

c = a cos β b = a sen β c = b tang γ

b = a cos γ c = a sen γ b = c tang β

oppure

Un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente al cateto

Un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto

Un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al cateto che devo trovare

Triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60°

Triangoli rettangoli con angoli di 45°

Calcolo dell’area di un triangolo qualunque

La formula di calcolo dell’area di un triangolo qualunque è ½ lato per lato per il seno dell’angolo

compreso

Il triangolo può essere acutangolo o

ottusangolo e la formula rimane la stessa

A

c b

β

B C

a

A=1/2 a*c*senβ

Teorema del seno

in un triangolo qualunque è costante il rapporto

tra un lato e il seno dell’angolo opposto

A α

c b

β γ

B C

a

Teorema del coseno o di Carnot

In un triangolo qualunque il quadrato della misura di un lato è la somma dei quadrati degli altri due

meno il doppio prodotto degli stessi moltiplicato per il coseno dell’angolo tra essi compreso

A

c b

β

B C

a

b2

= c2

+a2

- c*a*cosβ

l

l/2

2

3l

60°

l l

l

2l 2l

c

sen

b

sen

a

sen

13

Dalle prove di ingresso universitarie

1-

2-

3-

4-

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso di 5 lati?

A. 360°

B. 450°

C. 540°

D. 630°

E. la risposta dipende dalla forma del pentagono

5- Le soluzioni dell’equazione sen x = cos x sono:

A. x = 2k kZ

B. x = /4 + k kZ

C. x = /4 + 2k kZ

D. x = + 2k kZ

14

6-

7-

8-

9- Le soluzioni di sen

2 x + cos

2 x >1 , nell’intervallo [0,2] sono:

A. 0<x</2

B. /4<x<3/4

C. Qualunque valore di x

D. Nessuna delle risposte precedenti è esatta

10- Sia x un angolo , l’espressione

xtang

senx è:

A. cos x B. 1 C. sen x D. cotang x

11- Sia Q un ottagono regolare,. Allora la somma delle tangenti degli angoli interni di Q:

A. è uguale a 8

B. è uguale a -8

15

C. è uguale a 0

D. è uguale a +

E. varia al variare del lato di Q

12- Il valore del coseno della somma degli angoli interni di un triangolo scaleno è pari a:

A. -1 B. 0 C. -1/2 D. 1

13- Il coseno dell’angolo di 110° é :

A. positivo

B. maggiore di -1/2

C. maggiore del seno dell’angolo di 110°

D. uguale al coseno dell’angolo di 290°

E. uguale al seno dell’angolo di 20°

14- In un triangolo rettangolo un angolo misura 30° e l’ipotenusa cm2. Quanto misura il

perimetro?

A. 2

33 cm B. 4cm C. 3

7

8cm D. 3+ 3 cm

15- Il periodo della funzione y =

32cos x è:

A. /3 B. C. + /3 D. 2

16- L’uguaglianza (sen x ) 4 + cos x = (cos x )

4 con x numero reale è verificata :

A. per ogni x B. per nessun x C. solo per x=0 D. soltanto per x=/2 E. per infiniti x,

ma non per ogni x

17- Per gli angoli A, compresi tra 90° e 180° , dire quale delle seguenti affermazioni è esatta:

A. sen A > 0 , cos A > 0

B. sen A < 0 , cos A > 0

C. sen A > 0 , cos A <0

D. sen A < 0 , cos A < 0

16

20-

21

17

22-

23

18

24-

25-

19