Riccarda Rossi - unibs.it · Esercizio 1. Determinare la retta tangente e i versori tangente e...

Esercizi sulle curve

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi II

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Curve Analisi II 1 / 60

Esercizio 1.Determinare la retta tangente e i versori tangente e normale alla curva

�!r (t) = cos(t)�!i 1 + sin(t)

�!i 2 t 2 [0, 2⇡]

in t0 =⇡4 .


Cassegnato ]

Es. 2.Sia ↵ 2 R e si consideri la curva

�!r (t) = t sin(t)�!i 1 + t cos(t)

�!i 2 + ↵t2

�!i 3.

Determinate ↵ 2 R tale che

k�!v (1)k = 2


-

Raheem

Jwterpretaz. mechanics del Concetta di

annan. I # : traieltnia delle

pentrcelee in

Moto,be ari velocitalv→LH=r→k)

Rector tangentalla arwa

.


thtk ( tsrnltl,

tcosltl,

a E)rYtl= ( srmltltteosttl ) up

+ ( cosltl . tsmithizstzxtejs

His

'H)H=✓(srmH+teosH#Ht÷Z 2+ <÷• 0=||8m4HtEws4Ht2twskut.ws?FHt+t2sfm2tH-2tasH#tl+ax2t2

=


*2+422+2

⇒ hv%) 11=115%711 = 2F4£limping ohe = 2

-

E'

verse e solo se

2+422=22--4 # LEz1←→a=±kz

Es. 3.Sia ↵ 2 R. Una particella si muove seguendo la traiettoria

�!r (t) = (↵� 2) cos(t)�!i 1 + 3 sin(t)

�!i 2 + 6t

�!i 3

t 2 [0, 2]

Determinare per quali ↵ il vettore velocita �!v (t) e ortogonale al vettoreaccelerazione �!a (t) per ogni t 2 [0, 2].


81+1=64 th ( G- a simlt ),

3 cos H, 6)

alters "H=§€( is 'H)

= ( ( tacos LH,

→ sinltl,

o )


Lnpougo eke tttcto ,2]

O= VTH . a→H= ( ( talsrmltl

,3eosH

, 6) • ( Galeotti,

-38nA ,o)

= ( 2×12 srmthwslt ) - 9 srmetlwsltl

=

#aka ) srmltlwsltt

Srceome voghs eke sra=o ¥ ttto ,2],Clumicepssikeitaeehe 4=5

( (2×12.9)=0 ( ⇒ 2-2*3/4=-1

Es. 4Sia

�!r (t) = 3(t cos(t) + sin(t))�!i 1

+ 3(t sin(t)� cos(t))�!i 2 t 2 [0, 2⇡]

Determinare il versore tangente alla curva �!r nel punto (x0, y0) = (0,�3).


Ricoroliamo eheie Versoretangeutealla cnwa is in E. Ho )

e- Fao) =

Fao)

n#to ) 11

Ciwene dato non to,

mats Hot GO.yd.to ,- 3)


Coleolo

tottntiiteehe( 0, -3k t.lt ) we

'

O= 3 (toestsimlto ) )

{ -3=3 ( tosrmlto ) - eoslto )@Prow on to =

%vedo ohesddisfa .

→ Rimgnedie

collageR'

( 01 afoi To )


Es :

r→40k ( 6,

o ) les . )

y = 6 ( 1,:Flo) = ( s , D= is

Es. 5Calcolare la retta tangente in (4, 5) a

�!r (t) = 2t�!i 1 + (1 + t2)

�!i 2, 1 t 5.


" Rko)

Laveta tangent alla aura risk )

nel punto Alto ) = 14,5 ) to ?hdepmezione C in forma paranoia )

RattayEllo ) H - tdtrtto )


Cereo to Ett , 5J tale ehe

145 )=r→Hol= ( zto,

1++02 )

I 4=2+0| 5= ettoz# to =z

Vector tangentr→TH=( 2,2T )

IYTO) = I 'C4= ( 24 )


Lleeewazine perametwa delle

rate tangent e-

If,t¥KH '

,yH)=rTto)H. to )+r→Ho )

= Lt 2) . ( 2. 4) t ( 4, 5)

Trove eepwaz . Psrnmetrecs delle rate

{nut 2*21+4

,t←R

yltt 4 It -21+5


Trove eepwaz . Psmmetrecs delle rate

{seat 2*21+4

,t←R

yltt 41+-21+5

Per vcovare lleqmetnine certesrana

Y= Axtbsmxtqden trovore una rdazrohe frale

vavabiei xey ,

a elimimemdo "

R parametw t.


Trove eepwaz . Psrnmetreas delle rate

{seat 2*21+4

,t←R

yltt 41+-21+5

⇒ xttl - 4 =t-2=941-5- -

2 4

EQVAZ .⇒ k¥ =

4=45 ←→ fc^rtEnANA

y -5=2 ( x - 4) C⇒ y=2× - 3

Es. 6.Data

�!r (t) = 2t�!i 1 � ↵ cos

⇣⇡2t⌘�!

i 2, ↵ 2 R,

determinare ↵ tale che

1 �!v (1) sia parallelo a y = 3x ;

2 �!v (1) sia ortogonale a y = 2x .


Cassegno ]

Es. 7.Calcolare la lunghezza della curva

�!r (t) = p

3

4t3 + 1

!�!i 1 +

✓3

4t2 � 1

◆�!i 2, t 2 [�2, 0]


Lark jab " r' Kindt

. on At ( 3dg F) it t 3zt Is,

tee. we 'Hh=✓2Ig the + 9g t2

t.EE# ⇒


unthawed'i¥'

= µ § It I 3atN at

= - [02 3zt Ft dt

I ,

3zt= Katz t 'T


= - % dat Ratti ) (feet That

=tk÷"I := -

} ( k - (3+1133)=23 ( 4312 . if


NI . Le bmghesozg di una ana

Lark fab " Hundt > 0

€0Solo

se heSe avessi dimenlraetoie avwae

modulo,

avvi peso degenere)Um memo e ie nsnetat sarelose

state} ( i -43 's ) - 0 Pfund

Es. 8.Calcolare la lunghezza di

�!r (t) = 3p2t�!i 1 + log(t)

�!i 2 +

9

2t2�!i 3, t 2 [1, 3],


Pkk ( 3 rz, tf ,

st )=

HR ' K ) 11 = Test1+2 +

8 It2

llrk f3 ftp.shet → ¥


Tiffee= 5,3 ftp. It

= 5,3 lsttizldt =

= 5,3 ( st + se ) at =

= ( stet light ]3,

= 3Gt log ( 31

Es. 9.Calcolare la lunghezza di

�!r (t) = 4(cos(t))2�!i 1 + 2(cos(t) + sin(t))2

�!i 2

t 2 [0,⇡]


IYTK fswsttisrmltl )i?

+ ( Ifsrmkteos # . 2. ( eosltksrn # if→ sinktt

=- fwslttsrmltli

, Zaosltlsrmlt )

+ 4 ( with . sniatliz =

←zt ) -


= (-4 srmczt ),

4 eoslzt ) )Htetae ]

→ KHCH 11=16srnicztlt 16 cos ?C2t )

= 4 -srnyztti as ?aH = 4

⇒ L(e|= µnr' t Hhdt=4I

Es. 10.Calcolare la lunghezza del grafico della funzione

f (x) = 1�⇣1� x2/3

⌘3/2ristretta a

1

2, 1

�.


At Lake ,adcolero ' he evnghezaa delle

AWWA grafrco-

anouata a f .

NI . Date f :[ a , b) → R,

lacuna

grafrco e'

perametnrzzata de

seat = tit + feaizs ,tetaib ]


nai = itnpt A- AISP ' ) is,

tet 's ,D

thtt ( s, -33k:#Ft } .

E 's ) )= ( 1

,E 's G- th )k)

" FH Hikeat 1 " I'T= the =

FEI


Llrtfgstfsat =

sf; Itt 'S dt . § E 's dt=

= zte'3Jy=a ttfa ]

Riccarda Rossi - unibs.it · Esercizio 1. Determinare la retta tangente e i versori tangente e...

Documents

Transcript of Riccarda Rossi - unibs.it · Esercizio 1. Determinare la retta tangente e i versori tangente e...