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OTTAVIO SERRA

L'EVOLUZIONE DELLA MATEMATICA

La nascita del calcolo infinitesimale nel 1600

TANGENTI e AREE.

Cosenza, novembre 2010

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Cominciamo a parlare di tangenti.

Come si trova la tangente a una curva? Prima di tutto, che cos’è?

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E’ una retta che ha in comunecon la curva un solo punto. NO!E’ una retta che ha in comune con la curva due punti coincidenti. Questa mi piace! Due punti sempre più vicini (Vedi fig seguente: h --> 0).

Fig. 1Fig. 1

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Fig.2Fig.25

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Le figure 1 e 2 suggeriscono un metodo per il calcolo approssimato. In particolare, la Fig.2 mostra che mt

è, a parità di h (o di k), quasi uguale a

3

( ) ( )

2s

f x k f x km

k

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Ma la tangente si può determinare in modo “esatto” col calcolo differenziale creato da Newton e da Leibniz che, insieme al calcolo integrale, (l’altra faccia di una stessa medaglia!), costituisce l’Analisi infinitesimale.

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Area di una figura piana Il metodo degli indivisibili di

Cavalieri. L'area come somma di strisce

infinitamente sottili: L'approssimazione con

rettangoli o trapezi inscritti e circoscritti.

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1) Se due figure piane si possono disporre in modo che una retta variabile in un fascio di rette parallele determina corde uguali, le due figure sono equivalenti (hanno area uguale).

2) Se due solidi si possono disporre in modo che un piano variabile in fascio di piani paralleli determina sezioni equivalenti, i due solidi sono equivalenti (hanno volume uguale).

N.B. Il viceversa è falso!

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Fare degli esempi e dei contro-esempi.Passiamo ora all’approssimazione con rettangoli.

Fig. 3Fig. 3

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Fig. 4Fig. 4

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L'area esatta è la somma delle parti in verde e azzurro; la parte verde dà un valore per difetto come somma di rettangoli inscritti; aggiungendo alla parte in verde e azzurro la parte in marrone, si ha una somma di rettangoli circoscritti, che approssimano l'area per eccesso.

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Facendo fette sempre più sottili (e di conseguenza sempre più numerose), l'approssimazione per difetto cresce, quella per eccesso decresce e si hanno valori sempre più precisi per l’area.

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L’approssimazione versoil valore esatto diventa più veloce usando trapeziinvece di rettangoli.

Fig. 5Fig. 5

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La base della figura si può dividere in parti disuguali, come nella Fig. 5 di pag. 16, oppure uguali, come nelle Fig. 3 e 4 di pag. 11 e 12. Fare parti uguali è più comodo nei calcoli.

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Le parti in verde (Vedi pag. 11 e 12) danno l’area per difetto, i rettangoli fino alla parte marrone la danno per eccesso. Ciò è vero anche con i trapezi di pag. 16?

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Siccome l’area è calcolata come somma di rettangoli (o di trapezi), il simbolo usato è una S allungata (Integrale).

Area = ( )b

a

f x dx

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Con a e b si indicano le ascisse estreme, f(x) è la funzione (integranda) il cui grafico limita superiormente la figura. (Vedi fig.3 e 4 a pag 11 e 12 o fig.5 a pag. 16)

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I Greci sapevano calcolare le aree dei poligoni e di alcune lunule; Archimede calcolò l’area del cerchio e di tante figure curvilinee (e volumi). Ma solo con Newton e Leibniz si trovarono metodi generali.

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Il metodo ideato da Newton e Leibniz èil Calcolo Integrale.

Però, se la funzione f(x) è molto complicata, l’integrale esatto non si sa fare e si ricorre all’approssimazione.

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Una volta l’approssimazione si faceva manualmente (che noia!). Ora ci sono i computer! Però bisogna saper programmare (o usare software già pronto).

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Torniamo alle aree e ad Archimede: Il famoso calcolo di π

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Archimede parte dall’esagono regolare inscritto nel cerchio di raggio 1 perchè il lato è pure 1.

Perciò il perimetro è 6.

L’esagono circoscritto ha lato 1,1547 (perché ?), perciò il suo perimetro è 6,928.

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La lunghezza della circonferenza è perciò compresa tra i due valori e π è compreso tra 3 e 3,464.

Detto l il lato del poligono regolare inscritto, L di quello circoscritto, si ha:

Come si giustifica?Come si giustifica?27

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2

l

lL

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Nella prossima diapositiva si passa dall’esagono al dodecagono regolare inscritti.

Qual è la relazione tra i loro lati, in generale tra l2n ed ln?

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Relazione tra l2n ed ln :

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22 2 4 ( )n nl l

Un po’ di geometria. Perché si è partiti dall’esagono? Andrebbe bene il quadrato?

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La formula precedente è corretta, però soffre di un grave inconveniente nel calcolo numerico approssimato (errore di cancellazione), perciò conviene trasformarla così:

222 4

nn

n

ll

l

FINEFINE32

Sarebbe il caso di vedere qualche bel programma in azione!

Lo Vediamo?