1

L’ IPERBOLE

1 by

ax

2

2

2

2

2

ARGOMENTI TRATTATI

1. L’equazione canonica dell’iperbole

2. Questioni basilari

3. Questioni relative alle rette tangenti

4. Curve deducibili dall’iperbole

5. La funzione omografica

6. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro

7. Proprietà ottica dell’iperbole

3

L’EQUAZIONE CANONICA DELL’IPERBOLE

Definizione Si dice iperbole I il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.

Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione canonica dell’iperbole.Siano F1(- c ; 0 ) e F2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della I .Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

:ha si quadrato al Elevando

. ycxa2 ycx

:ossia , a2ycx ycx

: (*) relazione la enteanaliticam oRiscriviam

. ca , 2c2a cioè , FF PFPF

ha si , FPF o triangolil oConsiderat

. (*) Racon 2a PFPF

2222

2222

0

2121

21

21

. acayaxac ; caayaxcxa ; yacxa2caxacxa2axc

; ycx2cxacxa2axc :otteniamo ancora elevando ; ycxa acx

; ycxa4 4a4cx ; ycxa4ycx2cxa4ycx2cx

2222222222422222222222222422

22222422222

222222222222

4

. x assesull' fuochi icon iperboledell' canonica equazione , 1b

y

a

x

: baper dividere possiamo , 0b e 0a poichè , infine , bayaxb

: scivere e Rbcon acb porre possiamo quindi , 0ac esicurament è , ca Poichè

2

2

2

2

22222222

022222

.y assesull' fuochi icon iperboledell' canonica equazione

, 1b

y

a

x

:ottiene si , bc e R ccon , abc e

Rbcon , b2PFPF

ponendo y, delle asseall' noappartengo

fuochi i se che, dimostrare può si teAnalogamen

2

2

2

2

0222

021

5

erso.non trasv asse e o trasversasse menterispettiva

ancora chiamano si BB e AA segmenti i partcolareIn

.ersonon trasv assey assel' e o trasversasse chiama si x assel'

iperbole,dell' vertici chiamano si 0 ; aA e 0 ; aA punti I

sol. nessuna , by

0x

1b

y

a

x :y asse neIntersezio

. a x; a x

0y

1b

y

a

x : x asse neIntersezio

. Rb , Ra che Ricordiamo

xassesull' Fuochi

iperboledell' grafica azioneRappresent

2121

21

222

2

2

2

222

2

2

2

00

. Ry , 0yb ybb

a x;

b

y1a x;

b

y1

a

x

. a x a xcioè , 0ax axa

by ;

a

x1-by ;

a

x1

b

y

:y e x di zaappartenend' insiemi gli Cerchiamo

22222

2

2

2

2

2

22222

2

2

2

2

2

6

erso.non trasv asse e o trasversasse menterispettiva

ancora chiamano si AA e BB segmenti i partcolareIn

.ersonon trasv asse x assel' e o trasversasse chiama siy assel'

iperbole,dell' vertici chiamano si b; 0 B e b ; 0B punti I

b.y , by

0x

1b

y

a

x :y asse neIntersezio

sol. nessuna , a x

0y

1b

y

a

x : x asse neIntersezio

. Rb , Ra che Ricordiamo

y assesull' Fuochi

iperboledell' grafica azioneRappresent

2121

21

222

2

2

2

222

2

2

2

00

. by b y cioè , 0by ybb

a x;

b

y1a x;

b

y1

a

x

. R x , 0ax axa

by ;

a

x1by ;

a

x1

b

y

:y e x di zaappartenend' insiemi gli Cerchiamo

22222

2

2

2

2

2

22222

2

2

2

2

2

7

Osservazioni e altre definizioni

a. Gli insiemi d’appartenenza di x e y indicano che l’iperbole è una curva illimitata, cioè le coordinate dei suoi punti possono assumere valori comunque grandi.

b. L’iperbole è una curva che ha due asintoti di equazione y = ± (b/a)x .

c. Per tracciare il grafico è conveniente tracciare il rettangolo come in figura, avente i lati lunghi 2a e 2b, i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) e le diagonali appartenenti agli asintoti.

d. Il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c .

e. Simmetrie nell’iperbole con equazione canonica:F(-x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0);F(-x;y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ;F(x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x .

f. Considerazione sul grafico per ricordare la relazione c2 – a2 = b2 oppure c2 = a2 + b2 :applicare il teorema di Pitagora sul triangolo OA2H.

g. Coordinate dei fuochi di un’iperbole di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(-c ; 0), F2(c ; 0), oppure F1(0 ;-c ), F2(0 ; c).

h. Se a = b l’iperbole si dice equilatera; il rettangolo del punto ‘c’ diventa un quadrato e gli asintoti hanno equazione y = ± x .

i. Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la distanza fra i vertici di un’iperbole èdetto eccentricità:

22 bac

. o trasversassedell' lunghezza

za focaletandise

8

iperbole.dell' rami

dei apertural' aumenta e verticidai oallontanan si fuochi i

: b anche quindi , c se e

vertici.i originecon semirette due

nelle degenera iperbolel' e verticiicon coincidono fuochi i

:0bper cioè , a bac se 1e

:limite casi due i moconsideria e a'' di valoreil fissiamo

tà,eccentricidell' geometrico osignificat il ecomprenderPer

. a)(c 1econ , a

c

a2

c2 e

xassesull' Fuochi

22

limite. casi due i econsiderar e b'' fissare :precedente caso al analoghe egeometrich ioniconsideraz Seguono

. b)(c 1econ , b

c

b2

c2 e

y assesull' Fuochi

9

QUESTIONI BASILARI

1. Date le seguenti equazioni canoniche di iperboli, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’asse trasverso, l’eccentricità, gli asintoti.

. rettangolo il e tracciargrafico ilPer . x y ; x a

b y asintoti

; 224

a

ce tàeccentrici ; 8 AA o trasversasse

; 0 ; 242F ; 0 ; 241F fuochi ; 0 ; 4A ; 0 ; 4A i vertic

. 24bac ; x assesull' trovanosi fuochi i

; equilatera iperbole , ba ; 4ba ;

4

a.

21

21

22

116

y

16

x 22

.rettangolo il tracciare grafico ilPer . 2y asintoti

; 1,122b

ce tàeccentrici ; 2 BB trasverso asse

; 5 ; 0F ; 5 F ; 1 B ; ; B vertici

. 5ac

; b ; 1a ; y assesull' sono fuochi i

; 4x ; 4xy b.

21

2121

2

222

x

5

22;0fuochi;010

2b

12

1y01

2

2

10

2. Dato il fascio di curve di equazione: kx2 + (2 - 3k )y2 = 1 , con k R - {0 ; 2/3}, determinare per quali valori di k l’equazione rappresenta:

a) un’ellisse ; b) una circonferenza ; c) un’iperbole con i fuochi sull’asse x ; d) un’iperbole con i fuochi sull’asse y ; e) un’iperbole equilatera.

.1k ;3k 2 k ; k321k1 : equilatera iperboleun' avereper e)

; 0k 2/3k

0k ;

0k321

0k1 :y assesull' fuochi icon iperboleun' avereper d)

; 2/3k 2/3k

0k ;

0k321

0k1 : x assesull' fuochi icon iperboleun' avereper c)

; 1/2k ;3k -2 k ; k321k1 : nzacirconfere una avereper b)

; 2/3k0 2/3k

0k ;

0k321

0k1 : ellisseun' avereper a)

: 1b

y

a

x equazioni lecon confrontoun esegui quindi

, 1k321

y

k1

x : canonica forma seguente nella fascio del equazionel' Riscrivi

2

2

2

2

22

11

3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di un’iperbole.

Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’iperbole significa determinare i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio:

• conosco a o b o b/a (coordinate dei vertici o lunghezza del semiasse trasverso o equazione asintoti) • conosco c (coordinate dei fuochi) • passaggio per un dato punto P(xp ; yp) (xp)2 /a2 - (yp)2 / b2 = ± 1 • conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q vedi Iperbole tangente ad una retta .

. canonica equazione 1y16

x ;

1b

4a ... ;

asintoti equaz. , xa

by

a

b

4

1

P)per (passaggio 1b16

9

a

25

. x4

1 y rette le asintoti come

avente e P(5;3/4)per passante , x assel' focale asse come avente iperboledell' equazionel' Determina 3.b

. canonica equazione 14

y x;

2b

1a ; 010a9a ... ;

)bac( ba5

P)per (passaggio 1b

12

a

2

. 32 ; 2P punto ilper

passante e 50;F fuococon , simmetria di assi suoi ai riferita iperboledell' equazionel' Determina a.3

2222

2224

22222

22

2

12

13

QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI

Analizziamo questi due problemi:

1. determinare le equazioni delle rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto di note coordinate;2. determinare l’equazione dell’iperbole tangente ad una retta di nota equazione.

1. Rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto P

Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.

Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene all’iperbole.

Esempi

a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x2 - 9y2 = 9 e parallele alla bisettrice del 2° e 4° quadrante.

. 22xy : Pin tangentiRette

22q ; 072q72q814

Δ ; 09q9xq18x8 ...

qxy

9y9x

nullo ntediscrimina del Metodo

1,22222

22

14

b. Determina l’equazione della retta tangente all’iperbole di equaz. 16x2 - 3y2 = 1 nel suo punto A, del secondo quadrante, di ascissa -1/2 .

. 013y x8 : tangentee polare ettar ; 13y -2

1-16x : tosdoppiamen di formule le applico

1y36x1

1 ; 2

1A

; 1y ; 1y ; 1y34

16 :A di ordinatal' Determino

to"sdoppiamen di formule" delle Metodo

22A

22

c. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x2 - 4y2 = 9 , condotte dal punto P(9/5;0).

Verifico se P appartiene all’iperbole: 81/ 25 9 P non appartiene all’iperbole, quindi posso avere due soluzioni.

. 8

9x

8

5y ;

8

5

9/5-5

2m ;

5

9-xmy : PT e PT tangentidelle equaz. le Determino

2 ; 5T ; 2- ; 5T ; 2y ; 9y4x

5x : T e T tangenzadi punti dei coordinate le eterminoD

. 5 x: polare ettar ; 9 5

9 x: tosdoppiamen di formule le applico

9y4 x

0 ; 5

9P

to"sdoppiamen di formule" delle Metodo

1,21,221

212221

22

15

Grafici relativi agli esempi 1a, 1b, 1c

16

2. Iperbole tangente ad una retta di nota equazione

Esempio

0ba

2

0;2ba

aminDeter

22

22

0 2-y 3-2x

1yx

a

. 0 2-y 3-2x equazione di retta alla

tangente è ed V coordinate di

vertice un ha che 1,yx

tipo del

iperboledell' equazionel'

22

2

22

. 1y4

3

4

x : iperboledell' equazione ;

3

32b

2a

:eConclusion

. 3

4b

4

3B ... 016B-91236

4 ; 012-y12y16B-9 ... ; 1By

16

4y129y

; 1By4

1

2

2y3

1y2

3 x

b

1Bcon , 1By

4

x

2a

22

2222

22

22

2

17

CURVE DEDUCIBILI DALL’ IPERBOLE

Esplicitando l’equazione di secondo grado x2/a2 - y2/b2 = ± 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono otto equazioni, quattro per i fuochi sull’asse x e quattro per i fuochi sull’asse y, con coppie di equazioni del tipo 1, 2, 3, 4, scritte sotto.

Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiiperboli.

. Ry , ybb

ax e , ax -acon x , ax

a

by equazioni delle Grafici

xassesull' Fuochi )a

(2)

22

(1)

22

18

(4)

22

(3)

22

. by b ycon , byb

ax ; R x , ax

a

by equazioni delle Grafici

y assesull' Fuochi b)

19

Esempi.

Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

. 0y ordionata di punti i compresi

, x assel' sopra"" trovasi che semipiano il è 0y

; 1 ; 0V , 1- ; 0V verticidi

iperboleun' di equazionel' è 1y4

x dove

; Rx ; 0y

1b , 2a 1y4

x

; Rx ; 0y

4

x1y

sistema al equivale equazione questa ; 4

x1y .1

43

22

22

22

2

2

. 0 xascissa di punti i compresi

,y assedell' sinistra" a" trovasi che semipiano il è 0 x

; 2 ; 0V , 2- ; 0V verticidi

equilat. iperboleun' di equazionel' è 144

dove

2;y -2y ; 0x

2a 144

sistema al equivale equazione questa ; 4y x.2

43

22

22

2

yx

byx

4yx 2

20

. 027y2x16yxy2y2x16x2y x...

027yy2xx16yyxx yyy

xxx

:one traslazimediante , y;x C simmetria di centro del Ricerca

. )xy''in rerettangola termineil manca (

oriferiment di sistema al rispetto ruotatinon simm. di assi glicon iperboleun' è , 04)1(140

degenere;non conica , 09264282718110801

:(*) conica la iamoClassifich

0)(Radicando 41 x 2 x; 1y

(*) 027y2x16yx sistema al equivale equazione questa ; 17x4

4

x2y .3

0020

20T0T0

2T

2T

0T0T2

0T2

0T0T

0T

00

222

. 1 ; 8V , 1 ; 2V : sono verticii , quindi

14 xe 2x

1y

027y2x16yx

1y

: verticidei Ricerca

. 8;1C cioè , 1y e 8 xquindi

, nulli essere devono y'' e x''in grado primo di

terminii , oriferiment del originenell'

centrata e ruotatanon iperbolel'Per

21

22

00

21

LA FUNZIONE OMOGRAFICA

1. Iperbole equilatera riferita agli asintoti

L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria è x2 - y2 = a2 .

Mediante una rotazione del sistema di riferimento di un angolo = ± 45° , gli asintoti diventano i

nuovi assi cartesiani e l’equazione dell’iperbole diventa xy = k (*) , con k R0 , x0 e y0 .

(Vedi i grafici in coda al capitolo)

. 2

ayx ; ayxa

a

;ay- xabbiamo oriferiment vecchioNel . * la Ricaviamo

o.riferiment del originel'con ecoincident simmetria di centrocon

omografica funzione eparticolar la è questa ; x

ky : scritta anche essere puo , * equazione'L

2

nn2

nn22222

222

22V

2V

42

1 ; nynx2nynxnynx2nynx

2

1

, nynxnynx2

1

yx2

2y

yx2

2x

: 45 rotazione una oeffettuiam 1.

nnv

nnv

22

quadrante. 4 e 2 nel trovasi grafico il , 02

ak se

quadrante; 3 e 1 nel trovasi grafico il , 02

ak se

e,particolarin e kyx ha si , Rkcon , 2

ak ponendo :eConclusion

. 2

ayx ; ayxa

a

2

2

nn0

2

2

nn2

nn22222

222

42

1 ; nynx2nynxnynx2nynx

2

1

, nynxnynx2

1

yx2

2y

yx2

2x

: 45 rotazione una oeffettuiam 2.

nnv

nnv

Osservazioni

1. L’equazione xy = k , ovvero y = k/x , indica che fra le variabili x e y c’è proporzionalità inversa e k è la costante di proporzionalità.

2. Gli assi di simmetria dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti sono le bisettrici dei quadranti e quindi i fuochi e i vertici appartengono a tali rette. Le coordinate dei vertici reali sono le soluzioni del sistema:

k ; kA ; k ; kA ; ky x xy

kxy 0 k se

k ; kA ; k ; kA ; kyx xy

kxy 0 k se

21

21

23

Le coordinate dei fuochi sono:

. 2

ak k2a , a 2c OF , a OA

che ricordare basta , coordinate queste ottenerePer

k2 ; k2A ; k2 ; k2F , 0 k se

k2 ; 2kF ; k2 ; 2kF , 0 k se

2

1,21,2

21

21

.8y xè canonica

equazionel' e , 22k2 a , 8 ; 8F

, 8 ; 8F , 2 ; 2A , 2 ; 2A quindi , 4 k

inoltre , x y retta la o trasversasseper ha

origine;nell' centrata omografica funzione una cioè

asintoti, agli riferita equilatera iperboleun' E'

. 4 xyequazione di conica della canonica

equazionel' ricava e disegna , Descrivi Esempio

22

2

121

24

25

2. Iperbole equilatera traslata – funzione omografica traslata

Mediante una traslazione del sistema di riferimento dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti si ottiene l’equazione della funzione omografica che ha per grafico una curva non centrata nell’origine:

. dcx

baxy : cercata equazionel' ottiene si

, (*)

c

ac

d

c d

kcb

ca

niassegnazio

le fatte quindi , ccx

kcxcy ottiene si

Rcper redenominato e numeratore ndomoltiplica

, x

kxy , kxyx

, kyxy x, kyx

ottiene si kyx equazionenell' oSostituend

. yy

xx one traslazila oeffettuiam

oneDimostrazi

dcx

baxy kyx

n

nn

n

n

0

n

nnnn

nnnnnn

vv

nv

nv

n

nnvv

26

;

1-2/3y ha si 2/3kper ; 2/3k ; dc

ba

. 1/2-x/4y retta la ha si 0kper ; 0k 0c a.

simmetria. di centri dei geometrico luogo il c.

; curve) le tutte a comuni (punti base punti dei coordinate le b.

; equilatere iperboli arappresent equazionel' k di valori qualiper a.

: determina , 1-k

y equazione di funzioni di fascio il Dato Esempio

. ) ; P(-d/c punto del privata ,x asseall' parallela retta una cioè , -d/cx con , y

, dcx

dcxy diventa equazionel' e , dcxbax e db , a che

anche ha si allora , con , b/da/c 0,bc-ad se Infatti . 0bc-addcba b.

retta. una è che , d

ay :diventa equazionel' 0d e 0c se Infatti . 0 c a.

se iperboleun' arappresent equazione L' 2.

. y , c

d-x asintoti degli equazioni le e

c

d-C ) ; C(

, oriferiment nuovo nel C simmetria di centro del coordinate le fornisce (*) sistema precedente Il 1.

. )n'' pedici i otrascuriam punto questo da ( dcx

baxy equazionedell'

4x)3/2(

2x0k24k44k

21k

4kx

2x

c

R

d

bx

c

a

c

a;

Analisi

0

27

. seguente pagina nella grafico Vedi

. 1) 0; P( punto del privata

, 14

xy retta la è centri dei luogo il quindi ; 0con x 1

4

xy

x

4x

x-4

y

;

x

4

1x

4

y

k

1ky

x

4k

k

4x

k

1k;

k

4C a/c) ; C(-d/c simmetria di Centri c.

. 1) ; B(6 , 1/2)- ; A(0 base punti 02xy4

1y ; 0x

02xy4

0x-xy

:sistema il risolviamo , base punti dei coordinate le ottenerePer

. 02xy4x-xyk 2x1ky4-kx :k doraccoglien e

implicita forma nella equazione sua la scrivendo , fascio del base punti i Cerchiamo .b

. 2/3 ; 0-Rk equilatere iperboli arappresent data equazionel' :Conclusine

. 1/2)- ; P(6 punto del privata 2

1-y retta

6-x2

6-x-y

28

29

DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO

CASO IPERBOLE – RETTA

y e/oper x ilimitazion eventuali

retta una di equazione

iperboli di fascioun di equazione

(2) oppure

y e/oper x ilimitazion eventuali

rette di fascioun di equazione

iperboleun' di equazione

(1)

: casi seguenti i presentare possono Si

Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.

Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’iperbole nel caso (1), o la retta interseca le iperboli nel caso (2).

In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1).

Esempi

:grafico) (metodo grafico dal ediscussion la effettuare comodo molto E'

(1) tipodel sistema

0y

0kyx2

4yx

:sistema seguente il Discuti 1.

22

30

. limite soluzione una , 4 kper

i,coincident soluzioni due ammette sistema il 32kper

, ordinaria una e limite soluzione una ha si 4 kper eparticolarin

4;k 4 kper soluzione una

, 32k4per soluzioni due ammette sistema il : eConclusion

. 32k ; 012k3k44

04kkx43x k x2y

4yx : tangenzadi condizione

; 4k : 0 ; 2Vper passaggio ; 4k : 0 ; 2Vper passaggio

; utili archi gli individua grafico Sul

. 2m ang. coeff. improprio, fascio ;k x2y 0kyx2

; (2;0)V , (-2;0)V vertici,equilatera ip. , 2ba ; 4yx

22

2222

21

2122

quindi , 0y

0x

2x

xy

0x

2x

xy

0x : a equivale

2x

xy equazione l'

1x

kyx2x

xy

:sistema seguente il Discuti 2.

31

. O(0;0) ordinaria sol. una e

A(-1;1) limite sol. una 0kper

i;coincident sol. due 223kper

: eparticolarIn

. 0kper sol. una e

0k223per sol. due :iConclusion

. 0k : O(0;0)per Pasaggio

. 0k : A(-1;1)per Pasaggio

. 223kper è interessa che tangentela

; 223k ; 01k6k

0k2xk1 x kyx2x

xy

: 2x

xy curva sulla posta essere deve

tangenzadi condizione la che Osserva

utile. arcol' individua grafico Dal

0x

kyx2x

xy

0x1

kyx2x

xy

: a equivale partenza di sistema il

O

A

1,22

2

32

PROPRIETA’ OTTICA DELL’IPERBOLE

L'iperbole, come l'ellisse, possiede proprietà ottiche. Supponiamo di avere un riflettore di forma iperbolica e poniamo una sorgente luminosa in uno dei due fuochi (F): i raggi vengono riflessi lungo una traiettoria ottenuta congiungendo l'altro fuoco (F’) con il punto di riflessione, si comportano cioè come se provenissero dall'altro fuoco.

Specchio iperbolico