Caratteristiche, potenziali e limiti di uninterpretazione dinamica della tangente Progetto di...

Caratteristiche, potenziali e limiti di un’interpretazione dinamica della tangente

Progetto di ricerca di Pietro Milici

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La tangente in geometria

Retta passante per un punto di una curva con determinate proprietà (data una curva e un punto si trova la tangente)

Utilizzo costruttivo: tangenti per definire curve tramite inviluppo (senza continuità, processo di limite)

Movimento trazionale: utilizzo dinamico e continuo delle proprietà della tangente per costruire in modo continuo la curva che soddisfi tali proprietà (la curva e la tangente nascono dalla rispettiva correlazione)

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INTRODUZIONE STORIA FONDAMENTI DIDATTICA

Assunto di base (da verificare)

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L’interpretazione dinamico/concreta della tangente può facilitare lo studente


Questioni didattiche

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Utilizzo di artefatti per l’analisi?Costruzione assiomatica della

teoria sottostante la geometria trazionale?

Il cambiamento epistemologico può portare a una rilettura dell’analisi?


Questioni fondazionali

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Che limiti ha l’interpretazione della derivata come “ruota”? Fino a che livello dell’analisi va bene?

Confronto la “concreta” ruota con l’attuale più potente mezzo concreto: Macchina di Turing


Confronto con la computabilità

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Interpretazione concreta e costruttiva della tangente

Strumenti storici:Peso tirato con fune

Ruota che rotola senza strisciare

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La Trattrice di Perrault

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Un grave in posizione iniziale B0 è trascinato tramite una fune di lunghezza fissa a la cui estremità si muove lungo r (seconda metà 17° secolo)


Huygens e il movimento trazionale

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Problema: legittimazione curve trascendenti con puro movimento geometrico (1693)


Esempi di movimento trazionale

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Perks (inizi del 18° secolo)


Integrafi

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Coradi (1889)


Differential analyzer

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Vannevar Bush, M.I.T. (1931)


Rivoluzione digitaleParadigma di calcolo da analogico

a digitale (maggiore controllo sugli errori)

Turing 1936: introduzione della Macchina Universale (tesi Church-Turing)

Nascita e sviluppo delle scienze informatiche

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Cosa fatto storicamente sul Movimento Trazionale

Singole macchinette per risolvere graficamente singoli problemi

Generalizzazione del metodo: come passare da classi di equazioni differenziali alle relative macchine trazionali (Riccati, 1752)

Non si ha né una giustificazione del perché fisico del movimento né una assiomatizzazione geometrica

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Base del movimento trazionale

Piano di baseStrumenti:

◦Assi – corpi rigidi rettilinei (3 gradi di libertà)◦Carrelli – usa un asse come binario (1 grado

di libertà)Vincoli:

◦Perno – vincola due strumenti a ruotare attorno al loro punto in comune

◦Ruota – obbliga un punto di un asse a non muoversi perpendicolarmente all’asse cui appartiene

(modello NON minimale!) 15


Confronto con modelli notiGeneral Purpose Analog Computer

(GPAC),Shannon (1941) per Differenzial

Analyzer (calcola tutte e sole le funzioni soluzioni di sistemi di eq. differenziali polinomiali)

Componenti:AddizionatoriIntegratoriCostanti 16


Risultati ottenutiMovimento trazionale:Estende curve algebricheCostruisce tutte le funzioni del

GPACRisolve equazioni differenziali in C

(ad esempio costruzione cicloide e^ix)

Permette la proiezione di funzioni complesse sui reali, estendendo GPAC con funzioni non analitiche

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Limiti del movimento trazionale

Impossibili funzioni discontinue (confronto con computabilità di funzioni reali)

Basta per creare un collegamento con gli algoritmi? Estendibilità in più dimensioni?

Possibile estendere modello per derivate non intere? (la funzione Gamma di Eulero

è computabile ma non DAE)

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1

0( ) z tz t e dt


Sbocchi didatticiInterpretazione epistemologica

della tangenteMacchine matematiche e artefatti

(Bartolini Bussi, Rabardel)Vedere risolvere con mezzi

meccanici equazioni differenziali in R e C (e possibilità di vedere differenze tra i campi)

Creare un sistema assiomatico ad hoc

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Esempio: studio di funzione

Funzione radice quadrata:

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FILOSOFIA STORIA EPISTEMOLOGIA

FONDAMENTI

DIDATTICA

1'( ) 2 ( )

(1) 1

f x f x

f

Esempio: studio di funzione

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Registro analitico Registro geometricoDominio: {x≥0} Qui si vede una grande differenza con la parte analitica. Infatti la

macchinetta, osservata staticamente, non permette di valutare il campo di esistenza. Questo è dovuto al fatto che le ascisse vengono utilizzate dinamicamente. D’altro canto si può però vedere come la macchinetta si blocchi se f(x)=0

f è sempre non negativa

Se si ha f(x)=0, non si può continuare a sinistra (la macchinetta, come già detto, si blocca). Pertanto, per continuità, f è sempre non negativa

f è crescente Considerando la macchinetta (tangente perpendicolare al segmento passante per (x+½,0) ), la derivata sarà positiva quando f è non negativa (in tutto il dominio [sarebbe 0 solo se f(x)= ∞] )

Per x→+∞, f tende all’infinito e f’ tende a 0

Sappiamo che f è crescente, quindi non può oscillare. Per assurdo consideriamo che converga, pertanto la derivata dovrà tendere a 0, e in tal caso la tangente sarà perpendicolare alla retta passante per (x,f(x)) e (x+½,0), che dovrà essere parallela all’asse delle ordinate: questo implica che f(x) deve tendere ad ∞, da cui l’assurdo: perciò diverge.Una volta vista la divergenza, per il ragionamento dell’assurdo, la tangente tenderà a divenire orizzontale.


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