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Formule di duplicazione e dilatazioni del piano

1 Daniela Valenti, Treccani scuola

Espressioni con funzioni trigonometriche e dilatazioni del piano cartesiano


Ecco un’animazione per riflettere: una cosinusoide disegnata su un piano cartesiano che viene dilatato o contratto.

Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta2a

Espressioni con funzioni trigonometriche e dilatazioni del piano cartesiano


Un’altra animazione per riflettere: una sinusoide disegnata su un piano cartesiano che viene dilatato o contratto.

Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta2b

Funzioni trigonometriche e dilatazioni


Attenzione alla lettura delle formule

A. La moltiplicazione per un numero intero indica un’addizione ripetuta

Con lettere e numeri affiancati è sottintesa la moltiplicazione

Ricordate perché non c’è moltiplicazione sottintesa fra sin e (2α) o fra sin e α?!

Definizione di sinα e cosα


P percorre la circonferenza goniometrica in verso antiorario

sinα = yP

cosα = xP

P(cosα, sinα)

sin α è una sigla (come SIM, DVD, …) che sintetizza il procedimento per ottenere sin α. Analoga osservazione vale per cos α.




B. Scrivere la moltiplicazione per un numero razionale

Con lettere e numeri affiancati è sottintesa la moltiplicazione




In un’espressione dove compaiono funzioni trigonometriche, moltiplicazioni (e divisioni), i calcoli si eseguono in questo ordine stabilito: 1. funzioni trigonometriche; 2. moltiplicazioni (e divisioni).

Le parentesi cambiano questo ordine stabilito

€

2cosπ = 2 ⋅ (−1)prima il coseno

= −2

€

cos 2π( ) = 1prima la parentesi

Esempi

C. Funzioni trigonometriche e priorità delle operazioni



Le espressioni con funzioni trigonometriche si sono diffuse in Europa a partire dal Rinascimento; i lunghi calcoli con carta e penna hanno portato ad abbreviazioni di scrittura.

Attenzione alla lettura delle formule D. Abbreviazioni di scrittura per le funzioni trigonometriche



Attenzione alle formule abbreviate! In espressioni con funzioni trigonometriche e moltiplicazione troviamo convenzioni di scrittura per evitare errori di lettura.


Formule di duplicazione Finora è chiaro che cosa NON si può fare in espressioni con funzioni trigonometriche e moltiplicazioni: - non posso dimenticare che sin 2α o cos 2α sono sigle,

perciò non posso immaginare una moltiplicazione sottintesa fra sin e 2α (o fra cos e 2α); - non posso dimenticare alcune convenzioni per

leggere e scrivere correttamente le formule.

Ma allora ci sono delle regole di calcolo per sviluppare formule come cos(2α) o sin(2α)? !

Sì. Prendono il nome di ‘Formule di duplicazione’ e le studiamo in questa lezione.

Attività 2. Ricavare le formule di duplicazione


Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare.

Avete 40 minuti di tempo

Nel lavoro di gruppo sarete voi a partire dalle formule di addizione per ricavare le formule di duplicazione vederne immediate applicazioni.

Ecco che cosa abbiamo trovato

Daniela Valenti, Treccani scuola 12

Formule di duplicazione di seno e coseno


sin(2α) = 2sinα cosα Effetto delle formule di duplicazione

Da un’espressione di 1° grado a un’espressione più lunga, di 2° grado.



Trasformare una funzione trigonometrica di 2° grado in una funzione trigonometrica di 1° grado.



Trasformare una funzione trigonometrica di 2° grado in una funzione di 1° grado.

Formule di bisezione di seno e coseno


Nelle formule di bisezione compare il segno ± davanti al simbolo di radice quadrata; c’è un motivo algebrico: estrarre la radice quadrata nell’insieme dei numeri reali porta a due risultati opposti, ma c’è anche un motivo trigonometrico che ora vediamo.

C’è qualche valore di β per cui le formule perdono significato? No, perché le due espressioni sotto radice non diventano mai negative, dato che risulta -1 ≤ cosβ ≤ 1.



€

cosβ2

= ±1+ cosβ

2 sin β

2= ±

1− cosβ2

Con le formule posso calcolare seno e coseno di β/2 anche se conosco solo cosβ ESEMPIO: conosco solo cosβ = ½ e potrei avere le seguenti situazioni:



€

cosβ2

= ±1+ cosβ

2 sin β

2= ±

1− cosβ2

Se però conosco l’angolo β, non ho più l’indecisione del doppio segno ESEMPIO: conosco β = 45° e quindi β/2 = 22°30’

€

cos22°30'=1+

12

2

€

sin22°30'=1− 1

22

Formula di bisezione della tangente


C’è qualche valore di β per cui la formule perde significato? Sì, se β/2 = 90°, dato che non esiste tan90°. In questo caso anche il 2° membro perde significato, perché risulta: β = 180° e 1 + cos 180° = 0. Se pensiamo alla funzione periodica y = tan(x/2), questa situazione si ripete ogni volta che aggiungiamo a β = π multipli del periodo 2π.

Formula di duplicazione della tangente


Non esiste tan90° perciò la formula perde significato se

α = 90° 2α = 90°α = 45°

Pensiamo alla funzione periodica y = tan(2x) e aggiungiamo a questi angoli multipli interi del periodo π/2.

Formule e tavole trigonometriche


I calcoli appena eseguiti ci immergono in una storia che ha radici antiche, ma arriva fino a circa trent’anni fa, quando non erano diffuse le calcolatrici tascabili: per calcolare seno, coseno o tangente di un angolo si usavano le tavole e le formule.

Per questo erano molto importanti le formule di bisezione.

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