LE FORMULE GONIOMETRICHE 1. GLI ANGOLI ASSOCIATI

Semplifica le seguenti espressioni.

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

Disegna il grafico della seguente funzione, dopo avere opportunamente semplificato l'espressione.

2. LE FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Applicando le formule di addizione o di sottrazione, calcola il valore delle seguenti funzioni goniometriche.

Sapendo che ! e che! , calcola il valore della seguente funzione goniometrica.

1

2 ! ( ) ( ) ( ) ( )αααα −°++°+−°+− 180sen180sen90coscos

![ ]cos senα α−! ( ) ( ) ( ) ( )sen sen 90 cos 180 cos 180α α α α− + °− + °+ − °−

![ ]cos senα α+

3

4!

5 7 5 3 74sen cos 2cos 3tg sen

6 6 6 4 2π π π π π⋅ − + +

!

2 12

⎡ ⎤+−⎢ ⎥⎣ ⎦!

°−°−°−° 780cos405sen210tg33300cos2

![ ]4−

5!

( )3sen 3cos

2y x xπ π⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

6 ! ; ! ; ! .sen105° cos195° tg 75°!

6 2 2 6; ; 2 34 4

⎡ ⎤+ − −+⎢ ⎥

⎣ ⎦

5cos

13α =

270 360α° < < °

7

8 ! ( )cos 60α + °

!

5 12 326

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦! ( )sen 30α + °

!

5 12 326

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

Semplifica le seguenti espressioni.

3. LE FORMULE DI DUPLICAZIONE

Calcola il valore della seguente espressione.

Sapendo che ! e che ! , calcola la seguente funzione goniometrica senza determinare α.

9

10!

4 1 5 7cos sen cos sen

3 2 6 6α π α α π α π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

!

2 3cos

2α

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦!

1 5 11cos sen cos sen

3 2 6 6π

α α α π α π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

!

33 sen cos

2α α

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

11 [(sin α - 4 cos α)/(2 sin α)]!

21 cos 2 1tg 2cos sen 2

sen 2 2α

α α αα

+ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

15cos

17α = −

180 270α< <° °

12

13 ! cos 2α

!

240289⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦! sen 2α

!

161289⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

14 Trova ! .

!

cosα

!

210⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

1. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

Verifica le seguenti identità.

Risolvi le seguenti equazioni goniometriche elementari.

1

2

3!

3 1sen sen sen 23 6 4 2π π

α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

!( ) ( ) ( )2sen 1 cos cos 2sen 2sen cos 1 2α α α α α α+ + + = + +

!

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2 2cos 180 sen 180

cos sen 180sen 180 cos 180

α αα α

α α

°− − °−+ − = − °−

°− + °+

4

5

6

7

8

9

10

!3tg5 2 3 2 tg5x x+ = +!

, 20 5

x k kπ π⎡ ⎤= + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

Z

!1 5 2sen

sen cos2 2

xx x

++ − =

!

4 2 , 3

x k kπ π⎡ ⎤= ± + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦Z

!

15sen22 tg 4 2cos

6tg 42

xx

π ππ

= +⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

![ ]180 , x k k= ° ∈Z!tg tg 45 4sen90

5 5x + °

= °−

!,

24 4x k k

π π⎡ ⎤= + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦Z

!1 2cos

sen cos2

xx x

++ =

![ ]impossibile

!,

12 3x k k

π π⎡ ⎤= − + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦Z! 2 tg3 5 4 tg3x x+ = +

!2sen 1

sen cos2x

x x−

+ =

!

52 ; 2 , 6 6

x k x k kπ

π π π⎡ ⎤= + = + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦Z

2. LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

Risolvi (graficamente) in R le seguenti disequazioni goniometriche elementari.

Determina il dominio della seguente funzione.

3. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Disegna il grafico delle seguenti funzioni. (suggerimento: utilizza prima gli angoli associati per semplificare l’espressione della funzione)

11

12

13

14

15!3tg 2 tg 12x

x+

> +

!

5 72 2 , 4 4

k x k kπ π π π⎡ ⎤+ < < + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦Z

!,

2k x k k

ππ π⎡ ⎤< < + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

Z

! 2cos 1 0x + >

! 2sen 3 0x + <!

4 52 2 , 3 3

k x k kπ π π π⎡ ⎤+ < < + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦Z

!

2 22 2 , 3 3

k x k kπ π π π⎡ ⎤− + < < + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦Z

! 2cos 2 0x + >!

3 32 2 , 4 4

k x k kπ π π π⎡ ⎤− + < < + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦Z

! 2sen 2 0x + <

16

!

!

sen2 2sentg 1

xy x

x= − −

−

( ) ( )5 32 1 2 2 2 1 ,4 2

k x k k x k kπ π π π π π⎡ ⎤+ ≤ < + ∨ + < ≤ + ∈⎢ ⎥⎣ ⎦Z

17

18 y = 3 sin (x/2 + π) - 1

!2cos 1

4 2x

yπ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠