LA TEORIA IN SINTESItE EGTUAZIONI E LE DISEQUAZIONI

GONIOMETRICHE

I. LE EGIUAZIONI GONIOMETRICHE ETEMENTARIr Equazione goniometrica: contiene almeno una funzione goniometrica dell'incognita.r Equazionegoniometricaelementare: è deltipo senr : a,cosx: b,tgx = c.

, d e t e r m i n a t a s e - l < a < 1sen,r :4(

\impossibile se a(-I v a)l

x = ( n - o ) + 2 k n

, rdeterminata se - | < b < |

cosx:o(\impossiblle se b(-1 v b)l

1 = j ì + 2 k n

Y_ \ i

X, / \/ \,"\ $

\ j / Xx

J

y = - B + 2 k n

tgx= c determinataVce lR

$sartFeoiarí *quax!**l i elem*mtarà Fr*prle&* d! rissluaiqx',e

s e n 0 : s e n 0 seno . : seno ' < r o : o ' *Zk t t Y 0+o ' : 7 t +2k î l

sen 0. : -sen 0 - sen 0' : sen(- o')

s e n 0 : c o s 0 cos 0' : r."(+ - r')

s e n q : - c o s 0 -cos 0' : -. .r,(f - * ') = *"(-; * * ')

cos0 = coscì l cos 0. = cos

cos0 = -cosc lú ' - cos 0' = cos (n - o')

t o r t = t o r l ,' b * ' b * tg o : tg o.'<+ ct" : u' I kr

Í o N = - l o î ú' ò * ' b * - tg 0 ' : tg( - o ' )

c o t g 0 : c o t g 0/ n \

. ^ + ú f l : 1 6 1 1 ! - a l' " ' ò * ' b \ 2 * l

2. LE EGIUAZIONI TINEARI IN SENO E COSENOr Equazioni lineari: sono della fprma a senx * b cosx * c : 0, con a I 0 e b * 0.

r Metodo di risoluzione algebrico

. c : 0: si dividono i membri per cos.r I 0 e si risolve I'equazione in tangente.

. c + 0 i- si determinano eventuali soluzioni del tipo x : T + 2k7r;

- si utilizzano le formule parametriche per x I n l- 2kt;

2 t l - t 2 xsenrc =

GF e cosJr :

1* r t ' con r = tgt ;

- si risolve I'equazione in ú.

r Metodo di risoluzione grafico

. Si esegue la sostituzione senÍ = Y e cosx = X.

. S i r iso lvei ls is tematraequazionedel la ret taaY+bX+ c:0 e *+y2 = l ,equazionedel lac i rconferenza

goniometrica.

. Le soluzioni dell'equazione sono i punti di intersezione tra retta e circonferenza.

r Metodo di risoluzione dell'angolo aggiunto

. Si considera asenx * bcosx: rsen(x * o) , con r = \ /d + bt etga: L.

. Si sostituisce in asenx * bcosx * c : 0:

rsen(x * c) * c = 0 sen(x * ù =-* ,equazione e lementare '

3. LE EGIUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO

r Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno: sono le equazioni riconducibili alla forma:

a 'sen2x * bsenxcosx * ccos2x = 0.

r Metodo risolutivo

P r i m o c a s o : a = 0 V c = 0 .

L'equazione diventa:

. se a . = 0 : bsenxcosx* ccos2 r :0 * cosx (bsenx* ccos r ) : Q ;

. s e c = 0 ' . e s e n 2 x * b s e n x c o s x = 0 s e n x ( a s e n x * b c o s r ) = Q .

Si risolve con la legge di annullamento del prodotto.

Secondocaso: a *0 A cf 0.

Si divide per cos2x (diverso da 0, essendo a + 0) e si ottiene:

a'tg2x * b fg x -f c = 0.

r Sono riconducibili a omogenee di secondo grado in seno e coseno le equazioni del tipo:

a. sen2x* b ' senxcosx * c cos2r = d (d f 0) .

I Metodo risolutivo

. Si moltipli ca d per 1 : sen2x -| cos2r.

. Si risolve I'equazione omogenea così ottenuta nella forma:

a ' sen2x * b ' sen rcosx*c cos2x : d ' ( sen2x *cos2x ) .