DISEQUAZIONI Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado Disequazioni di grado superiore al 2°...

DISEQUAZIONI•Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado

•Disequazioni di grado superiore al 2° ad esse riconducibili•Disequazioni con valori assoluti

•Disequazioni irrazionali

Classe III a.s. 2012/2013

Prof.ssa Rita Schettino

PREMESSA

• Le slides seguenti danno appunti operativi per risolvere i vari tipi di disequazioni esplicitate nella copertina

• Non ripetiamo i concetti di base e l’operatività delle disequazioni lineari o delle disequazioni fratte o dei sistemi di disequazioni che sono reperibili in altre presentazioni sulla medesima pagina

prof.ssa R. Schettino 2

Disequazioni

Segno di un trinomio di 2° grado• Studiare il segno di un trinomio significa determinare

quali valori di , sostituiti alla variabile, danno un risultato nullo o positivo o negativo

• Si può anche dire che si vogliono determinare i valori o gli intervalli di per cui il trinomio risulti nullo o positivo o negativo

• Si comprende quindi che questa problematica rientra nel determinare valori di una incognita per cui si verifichi la uguaglianza a zero di un trinomio o la sua positività o la sua negatività

• Si comprende altresì che si tratta di risolvere equazioni o disequazioni (nel caso della positività o della negatività)


Disequazioni

Segno di un trinomio di 2° grado• Dato quindi un trinomio di 2° grado (scritto ovviamente in forma normale) si tratta di

determinare i valori reali di x per cui:a) Il trinomio sia uguale a zero (equazione di 2° grado)b) Il trinomio sia positivo (disequazione di 2° grado)c) Il trinomio sia negativo (disequazione di 2° grado)N. B. Quelle indicate sono disequazioni strette ma può

richiedersi anche o il cui significato è noto.prof.ssa R. Schettino 4

cbxax 2

02 cbxax

02 cbxax

02 cbxax

Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

• Forma normale :

con a > 0• Si risolvono seguendo due passi:a) Risoluzione dell’equazione associatab) Determinazione degli intervalli delle soluzioni


0 oppure 0 22 cbxaxcbxax

Disequazioni


• La dimostrazione di quanto segue fa parte del corso in aula, qui ricordiamo le regole:

• L’equazione associata può ammettere1)Due soluzioni reali e distinte x1 x2

2)Due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2

3)Soluzioni non reali (o complesse) x1, x2 C


Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADOcbxax 2 normale formaa>0

• >0 x1 x2

x1 = x2

x1 e x2 complesse

• <0 x1 x2

x1 = x2

x1 e x2 complesse N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI



• Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici x1 e x2

• Soluzioni: tutti i numeri reali tranne x1

• Soluzioni: tutti i numeri reali

• Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici x1 e x2

• Nessuna soluzione• Nessuna soluzione

Disequazioni


• Le regole precedenti valgono nel caso a>0• Se a<0 si può cambiare il segno di tutti i

coefficienti e il verso della disequazione e riportarsi al caso precedente

• Oppure si determinano comunque le radici dell’equazioni associata e le regole per gli intervalli delle soluzioni della disequazione sono all’incontrario delle precedenti


Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADOa<0• >0 x1 x2

x1 = x2

x1 e x2 complesse

• <0 x1 x2

x1 = x2

x1 e x2 complesse

• Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici: x1<x<x2

• Nessun valore reale

• Nessun valore reale

• Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici: x<x1, x>x2

• Soluzioni: tutti i valori reali tranne x1=x2

• Tutti i numeri reali


Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO• Notiamo che (da memorizzare benissimo!): Per DETERMINARE L’INTERVALLO DELLE

SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONEBisogna guardare sia il segno del primo coefficiente

(a) sia il segno del trinomioBisogna guardare la natura delle radici della

equazione associata: a seconda se sono distinte, coincidenti o complesse si ha un diverso intervallo di soluzioni



• Le regole precedenti si possono riassumere così:• Dopo aver determinato le radici dell’equazione

associata si ha:

Se le radici sono distinte

Se le radici sono coincidenti

Se le radici sono complesse

• N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO


Concordanza tra a e il segno della disequazione: valori esterni

Discordanza tra a e il segno : valori interni

Concordanza tra a e il segno: sempre verificato tranne x1

Discordanza tra a e il segno: mai verificato

Concordanza tra a e il segno: sempre verificato

Discordanza tra a e il segno: mai verificato

Disequazioni

DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

• Le disequazioni algebriche di grado superiore al secondo si risolvono riconducendole a disequazioni di 2° grado

• Quindi vanno applicate sia le regole delle equazioni di grado superiore al 2°, che ad esse si riconducono, sia quelle ora esposte delle disequazioni di 2° grado.

• Es.


Disequazioni

012214

0232

02

24

36

24

xx

xx

xx Si può scomporre in fattori ed applicare il falso sistema

È trinomia quindi si svolge come le disequazioni di 2° grado e poi, in seconda battuta, come quelle di 1°grado

È biquadratica quindi si svolge con le regole delle disequazioni di 2° grado, per due volte

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

• Ricordiamo la definizione di VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO REALE (v. a.)

a se a 0 vale a dire: è il numero• a = stesso se questo è 0, è il - a se a < 0 suo opposto se è < 0. Da ciò discende che per risolvere equazioni o disequazioni con il

valore assoluto bisogna contemplare il segno del suo argomento (a) e quindi eliminare il v. a. a seconda se a è 0 o < 0.

Ricordiamo inoltre che e che


Disequazioni

kakka kakaka


• Poiché in un’equazione o disequazione non si conosce il valore dell’incognita, come si fa a sciogliere (eliminare) il v. a. non sapendo il segno dell’argomento contenente l’incognita?

• Ebbene si considerano i vari casi utilizzando la rappresentazione grafica degli intervalli di positività o negatività (molto utile se non addirittura necessaria nel caso vi siano più valori assoluti all’interno dell’esercizio)

• Es.


3

065

23

2

xxx

xx

xx

Disequazioni


• I termini all’interno dei v. a. sono gli argomenti dei v. a. che, come si vede nel 3°e 4° es. , sono più di uno per cui bisogna considerare vari casi.

• Nel 1° esempio vanno risolte due disequazioni: l’una se 5x+60, l’altra se 5x+6<0. Ciò perché nel 1° caso il v. a. va sciolto con il suo segno così com’è, nel secondo caso il v. a. va sciolto cambiato di segno perché l’argomento è negativo.


Disequazioni


• Nel 2° es. per contemplare i quattro casi che si possono presentare per i due v. a. (a voi la risposta del perché i casi possibili sono quattro), utilizziamo la rappresentazione grafica sulla retta dei numeri reali nel seguente modo.

• Poniamo i due argomenti entrambi positivi e usiamo la linea continua per indicare la positività dell’argomento, la linea tratteggiata per indicare la negatività, per cui sulla retta si ha:


- 3 0

Disequazioni


• Quindi si risolvono in questo esempio tre casi:• Nell’intervallo x < -3 in cui entrambi gli argomenti

sono negativi e i v. a. vanno sciolti cambiando ad entrambi i segni

• Nell’intervallo -3 x < 0 in cui il 1° va sciolto cambiato di segno e il 2° va sciolto con il suo segno

• Nell’intervallo x 0 in cui entrambi gli argomenti sono positivi e quindi i due v.a. vanno sciolti con il loro segno


Disequazioni


• Nel 3° es. va applicata la stessa procedura del 1° es.

• N. B. gli esempi presentano disequazioni; è implicito che per le equazioni valgono le stesse identiche procedure

• Per vedere questi ed altri esempi risolti clicca la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI


Disequazioni


RIASSUMIAMODisequazioni


Disequazioni

ULTERIORI CONSIDERAZIONI• Quando si devono risolvere disequazioni del

tipo si può procedere più rapidamente risolvendo il sistema di disequazioni

(perché é un sistema?)

• Quando si devono risolvere disequazioni del tipo si può procedere risolvendo

e unire le soluzioni delle due disequazioni

• Le regole precedenti sono generali, queste ultime valgono solo in questi casi


kxA )(

kxAk )(

kxA )(

kxAkxA )(,)(

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

• Una disequazione si dice IRRAZIONALE se l’incognita compare nel radicando di un radicale

• È quindi del tipo • Può anche contenere più di un radicale, può

anche avere un numero reale al 2° membro• Ricordiamo innanzitutto i Domini dei radicali:


dispari è se

pari è se 0)()(

n

nxAxAn

)()( o )()( xBxAxBxA nn

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI• Vediamo come si risolvono le disequazioni con radicali con

indice dispari (le più semplici)• Dopo aver isolato il/i radicali al 1° membro, si elevano ad n

(indice) entrambi i membri della disequazione finché i radicali non vengono eliminati e si risolve l’ultima disequazione le cui soluzioni sono quelle della disequazione data

• Ciò perché si conserva, cioè, il verso della disuguaglianza, se n è dispari,

con l’elevamento a potenza• Ricordiamo che• Vale a dire che, con l’elevamento a potenza pari, si conserva il

verso della disequazione solo se le basi sono positive


b e a dispari n con )b(oa)b(oa nn

b e a pari n con )b(oa)b(oa nn

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI• Molto diversa è la procedura per le disequazioni se l’indice

è pari• Cominciamo col tipo • È equivalente al sistema• Esaminiamo il sistema:• per l’esistenza del radicale (Dominio)• perché, dovendo essere maggiore del

radicale(positivo), deve essere anch’esso positivo• elevando al quadrato entrambi i membri della

disequazione (che sono positivi per le condizioni precedenti)• Per gli esempi svolti vedere la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI


)()( xBxA

)()(

0)(

0)(

2 xBxA

xB

xA

0)( xA0)( xB

)()( 2 xBxA

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI• Esaminiamo il tipo• È equivalente all’unione dei due sistemi

• Esaminiamo il 1° : per l’esistenza del radicale (Dominio)• perché, dovendo essere, dal tipo di disequazione,

minore di un radicale positivo, B(x) può essere <0 • Le soluzioni di questo sistema soddisfano sicuramente la

disequazione data perché A(x) ha significato ed è positivo, B(x)è negativo, quindi il 1° membro è maggiore del 2° come è nella disequazione data


)()( xBxA

)()(

0)(

0)(

0)(2 xBxA

xB

xB

xA

0)( xA

0)( xB

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

• Esaminiamo il 2°: perché B(x) può essere anche positivo o nullo, pur dovendo essere minore del radicale

• perché, essendo per le condizioni poste, entrambi i membri positivi, si possono elevare al quadrato i due membri della disequazione data e non cambia ilverso della disequazione

• Nel 2° sistema non compare la condizione del dominio perché viene ad essere implicita nella seconda condizione, dove è > di una quantità positiva e quindi anch’essa positiva

• Vedere gli esercizi svolti la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI


0)( xB

)()( 2 xBxA

0)( xA

Disequazioni

ESEMPIÈ di indice dispari (si elevano i due membri alla

terza potenza)È di indice dispari e contiene una disequazione

frattaÈ dello steso tipo del primo esempio

È dello stesso tipo del secondo esempio

È di indice pari: si isola il radicale al 1° membro ed è del tipo

È di indice pari ed è del tipo

Sono di indice pari e contengono due radicali: si imposta il sistema formato dalle condizioni dei domini e dall’elevamento alla seconda dei due membri


6

13

1

12

12

1

4

41

0165

21

100

12

11

1

12612

22

42

2

5

3 3

7

3 2

x

x

x

x

xxx

xxx

xxx

x

x

xx

x

x

xxx

)()( xBxA

)()( xBxA

Disequazioni

CONCLUSIONI • Per risolvere equazioni e disequazioni algebriche di

qualunque tipo, è bene inquadrarle prima nella tipologia giusta

• La risoluzione deve essere logica, secondo le regole di ciascuna tipologia

• Le equazioni e disequazioni possono essere miste, cioè presentare più tipologie insieme e quindi vanno risolte con estrema attenzione procedendo per gradi

• Studiare gli esempi svolti e ….. Buon lavoro


Disequazioni

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