Equazioni goniometriche elementari - treccani.it · Risolvere equazioni goniometriche elementari ....
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Equazioni goniometriche elementari
1 Daniela Valenti, Treccani scuola
Questa presentazione è dedicata a risolvere equazioni trigonometriche elementari
2 Daniela Valenti, Treccani scuola
• Richiamare la funzione y = sin(x) e la sua inversa. • Determinare tutte le soluzioni di equazioni del tipo
sin(x) = m. • Ripetere i primi due passi per risolvere equazioni
del tipo cos(x) = m e tan(x) = m.
Percorso proposto
Sono dette ‘elementari’ le equazioni del tipo sin(x)=m, cos(x) = m e tan(x) = m, con m numero reale.
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La fisica suggerisce la legge d = sin(t)
Daniela Valenti, Treccani scuola
A sinistra, P gira sulla circonferenza in verso antiorario e percorre ogni secondo un arco AP lungo 1. Proietto P sul diametro verticale, dove leggo il seno dell’arco AP. A destra, riporto sull’asse delle ascisse l’arco AP e sull’asse delle ordinate il seno dell’arco AP.
Trigo_equazioni_Geogebra_Presenta1a
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Il movimento continua
Daniela Valenti, Treccani scuola
Per disegnare il grafico ripeto tante volte l’arco rosso, che ho disegnato all’inizio solo nell’intervallo [0; 2π], che è lungo 2π.
Si ottiene un grafico periodico con periodo T = 2π.
P continua a girare sulla circonferenza e la sua proiezione continua a oscillare sul diametro.
d = sin(t)�
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La funzione y = sin(x) e la sinusoide
Daniela Valenti, Treccani scuola
La legge d = sin(t) viene applicata per risolvere problemi del tipo: è dato il tempo t = x e ricavo d = y. Questo porta a ‘dimenticare’ la fisica e osservare le figure qui sotto: - In alto P può girare anche in verso opposto (cioè orario) - In basso, per ricordare il cambiamento di verso, distendiamo l’arco AP
sull’asse delle ascisse, a partire dall’origine O anche nel verso negativo e continuiamo il grafico.
y =sin(x)
La curva prende il nome di sinusoide
Invertire la funzione y = sin(x)
6 Daniela Valenti, Treccani scuola
Ma gli oscillatori e la legge d = sin(t) possono essere applicati anche per scandire il tempo; in questi casi è data d = x e ricavo il tempo t = y. Questo porta a cercare la funzione inversa di y = sin(x).
La funzione y = sin x non è biunivoca
7 Daniela Valenti, Treccani scuola
In questo caso la formula y = sin x, con dominio sottinteso l’insieme R, definisce una funzione che non è biunivoca. Perciò la simmetrica rispetto a b non è il grafico di una funzione.
Per avere una funzione invertibile, sempre con la stessa formula, bisogna scegliere un dominio più ristretto.
y = sinx Dominio: [-π/2; π/2] Codominio: [-1; 1]
y = arcsinx Funzioni una inversa dell’altra
Inversa della funzione seno
8 Daniela Valenti, Treccani scuola
Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in radianti
Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in gradi
Con la matematica
Tasti del tascabile
Equazione elementare sin(x)=m. Un esempio
9 Daniela Valenti, Treccani scuola
È data la funzione y = sin(x) definita nell’insieme R dei numeri reali. Determina tutti gli archi x che corrispondono all’ordinata y = ½ .
€
sin(x) =12
L’equazione esprime in forma sintetica il seguente problema
Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell’equazione.
L’interpretazione grafica dà un primo orientamento.
Equazione sin(x) = m Interpretazione grafica dell’esempio
10 Daniela Valenti, Treccani scuola
€
sin(x) =12⇔
y = sin(x)
y =12
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
Il grafico ricorda che la funzione y = sin(x) è periodica con periodo 2π. Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo 2π. L’equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo l’asse delle x.
Come posso descrivere tutte le soluzioni dell’equazione?
Equazione sin(x) = m. Le soluzioni dell’esempio
11 Daniela Valenti, Treccani scuola
Una soluzione nell’intervallo
€
−π2
, π2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
y = sin(x)
Equazione sin(x) = m Le soluzioni dell’esempio
12 Daniela Valenti, Treccani scuola
Due soluzioni nell’intervallo
€
−π2
, 32π
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Equazione sin(x) = m. Tutte le soluzioni dell’esempio
13 Daniela Valenti, Treccani scuola
Nell’insieme R le soluzioni si ripetono con periodo 2π
Per riassumere tutte le soluzioni
€
xk =π6
+ 2kπ x'k =56π + 2kπ
Con k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
Le equazioni del tipo sin(x) = m
14 Daniela Valenti, Treccani scuola
Se m < -1 oppure m > 1 NESSUNA SOLUZIONE REALE
Le equazioni del tipo sin(x) = m
15 Daniela Valenti, Treccani scuola
Solo se -1 ≤ m ≤ 1, tutte le soluzioni sono date da
€
xk =α + 2kπ x'k = π −α + 2kπCon
α= arcsin(m) k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1b
Risolvere equazioni del tipo sin(x) = m
16 Daniela Valenti, Treccani scuola
Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = sin(x). ESEMPI
Equazioni del tipo cos(x) = m
17 Daniela Valenti, Treccani scuola
Seguo lo stesso percorso, con qualche modifica
Inverto la funzione coseno
18 Daniela Valenti, Treccani scuola
Anche la funzione y = cos x non è biunivoca
19 Daniela Valenti, Treccani scuola
Anche la formula y = cos x, con dominio sottinteso l’insieme R, definisce una funzione che non è biunivoca. Perciò la simmetrica rispetto a b non è il grafico di una funzione. Per avere una funzione invertibile, sempre con la stessa formula, bisogna scegliere un dominio più ristretto.
y = cosx Dominio: [0; π] Codominio: [-1; 1]
y = arccosx
Funzioni una inversa dell’altra
20 Daniela Valenti, Treccani scuola
Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in gradi
Con la matematica Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in radianti
Inversa della funzione coseno
Equazione elementare cos(x)=m. Un esempio
21 Daniela Valenti, Treccani scuola
È data la funzione y = cos(x) definita nell’insieme R dei numeri reali. Determina tutti gli archi x che corrispondono all’ordinata y = ½ .
€
cos(x) =12
L’equazione esprime in forma sintetica il seguente problema
Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell’equazione.
L’interpretazione grafica dà un primo orientamento.
Equazione cos(x) = m Interpretazione grafica dell’esempio
22 Daniela Valenti, Treccani scuola
€
cos(x) =12⇔
y = cos(x)
y =12
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
Il grafico ricorda che la funzione y = cos(x) è periodica con periodo 2π. Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo 2π. L’equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo l’asse delle x.
Descrivo tutte le soluzioni anche di questa equazione
Equazione cos(x) = m. Le soluzioni dell’esempio
23 Daniela Valenti, Treccani scuola
Una soluzione nell’intervallo [0 , π]
y = cos(x)
Equazione cos(x) = m Tutte le soluzioni dell’esempio
24 Daniela Valenti, Treccani scuola
Nell’insieme R: - la funzione y = cos(x) è pari, perciò trovo - le soluzioni si ripetono con periodo 2π.
Per riassumere tutte le soluzioni
€
xk = ±π3
+ 2kπ
Con k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
€
α =π3
, α'= −π3
Le equazioni del tipo cos(x) = m
25 Daniela Valenti, Treccani scuola
Se m < -1 oppure m > 1 NESSUNA SOLUZIONE REALE
Le equazioni del tipo cos(x) = m
26 Daniela Valenti, Treccani scuola
Solo se -1 ≤ m ≤ 1, tutte le soluzioni sono date da
€
xk = ±α + 2kπCon
α= arccos(m) k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1c
Risolvere equazioni del tipo cos(x) = m
27 Daniela Valenti, Treccani scuola
Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = cos(x). ESEMPI
Equazioni del tipo tan(x) = m
28 Daniela Valenti, Treccani scuola
Seguo lo stesso percorso, con qualche modifica
Inverto la funzione tangente
29 Daniela Valenti, Treccani scuola
Dominio l’insieme dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2.
Anche la funzione y = tan x non è biunivoca
30 Daniela Valenti, Treccani scuola
Anche con la formula y = tanx, si può definire una funzione invertibile solo scegliendo opportunamente il dominio.
y = tanx Dominio: Codominio: R
y = arctanx
Funzioni una inversa dell’altra
€
−π2
, π2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
31 Daniela Valenti, Treccani scuola
Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in gradi
Con la matematica Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in radianti
Inversa della funzione tangente
Equazione elementare tan(x) =m. Un esempio
32 Daniela Valenti, Treccani scuola
È data la funzione y = tan(x) definita nell’insieme R dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2. Determina tutti gli archi x che corrispondono all’ordinata y = -1 .
L’equazione esprime in forma sintetica il seguente problema
Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell’equazione.
L’interpretazione grafica dà un primo orientamento.
tan(x) = −1
Equazione tan(x) = m Interpretazione grafica dell’esempio
33 Daniela Valenti, Treccani scuola
€
tan(x) = −1⇔y = tan(x)y = −1
⎧ ⎨ ⎩
Il grafico ricorda che la funzione y = tan(x) è periodica con periodo π. Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo π. L’equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo l’asse delle x. Descrivo tutte le soluzioni anche di questa equazione
Equazione tan(x) = m. Le soluzioni dell’esempio
34 Daniela Valenti, Treccani scuola
Una soluzione nell’intervallo
€
−π2
, π2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
y = tan (x)
Equazione tan(x) = m Tutte le soluzioni dell’esempio
35 Daniela Valenti, Treccani scuola
Nell’insieme dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2 le soluzioni si ripetono con periodo π.
Per riassumere tutte le soluzioni
€
xk = −π4
+ kπ
Con k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
Le equazioni del tipo tan(x) = m
36 Daniela Valenti, Treccani scuola
€
xk = α + kπCon
α= arctan(m) k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
Tutte le soluzioni sono date da
Posso scegliere a piacere il numero reale m e trovare le soluzioni dell’equazione.
Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1d
Risolvere equazioni del tipo tan(x) = m
37 Daniela Valenti, Treccani scuola
Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = tan(x). ESEMPI
Sintesi di equazioni trigonometriche elementari
38 Daniela Valenti, Treccani scuola
Risolvere equazioni senza tracciare il grafico di funzioni circolari. FORMULE RISOLUTIVE
39 Daniela Valenti, Treccani scuola
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare.
Avete 15 minuti di tempo
Nel lavoro di gruppo sarete voi a risolvere equazioni trigonometriche elementari.
Attività 1. Risolvere equazioni goniometriche elementari
40 Daniela Valenti, Treccani scuola
Che cosa abbiamo ottenuto
41 Daniela Valenti, Treccani scuola
Soluzioni delle equazioni
42 Daniela Valenti, Treccani scuola
Soluzioni delle equazioni
43 Daniela Valenti, Treccani scuola
Soluzioni delle equazioni