LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

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DEFINIZIONE

Equazione goniometricaUn’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una funzione goniometrica dell’incognita.

1. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE

2x cos – 1 = 0 non è un’equazione goniometrica perché non contienefunzioni goniometriche dell’incognita x. L’espressione cos , che compare nell’equazione, è una quantità costante.

ESEMPIO

2 cos x – 1 = 0 è un’equazione goniometrica perché contiene la funzione cos x.


2. L’EQUAZIONE sen x = a

ESEMPIO

Risolviamo .

Percorrendo la circonferenza goniometrica,

.

E, in generale: ,

troviamo:,

.

ESEMPIO

Risolviamo .

ESEMPIO

Risolviamo .

: l’equazione non ha soluzione .


3. L’EQUAZIONE cos x = b

ESEMPIO

Risolviamo .

.

E, in generale: ,

Percorrendo la circonferenza goniometrica,troviamo:

,

.

ESEMPIO

Risolviamo .

: l’equazione non ha soluzione .


4. L’EQUAZIONE tg x = c

ESEMPIO

Risolviamo .

.

E, in generale: .

Percorrendo la circonferenza goniometrica,troviamo:

,


cos x = b

–1 ≤ b ≤ 1L’equazione è determinata.

sen x = a

–1 ≤ a ≤ 1L’equazione è determinata.

tg x = c

L’equazione è determinata.

5. LE EQUAZIONI ELEMENTARI IN SINTESI

Due serie di soluzioni distinte.

Periodicità: 2p.

a < –1 o a > 1L’equazione è impossibile.

Due serie di soluzioni distinte.

Periodicità: 2p.

b < –1 o b > 1L’equazione è impossibile.

Una serie disoluzioni distinte.

Periodicità: p.


L’equazione sen a = sen a'

6. EQUAZIONI PARTICOLARI

ESEMPIO

Risolviamo l’equazione .

a = a' + 2kp .

a + a' = p + 2kp .


sen a = – sen a'

Si riconduce asen b = sen b'

ponendob = a e b' = –a' .

sen a = cos a'

Equivale asen a = sen

e si riconduce asen b = sen b'

ponendob = a e b' = .

sen a = – cos a'

Equivale asen a = – sen

e si riconduce asen b = sen b'

ponendob = a e b' = – .



L’equazione cos a = cos a'


L’equazione cos a = –cos a' Si riconduce a

cos b = cos b'ponendo

b = a e b' = p – a' .



tg a = tg a'All’interno di un singolo giro, due angoli hanno la stessa tangente.

La loro differenza è p .In generale:

a' = a + kp .

tg a = tg –a'Si riconduce a

tg b = tg b'ponendo

b = a e b' = –a' .


7. ESERCIZI: L’EQUAZIONE sen x = a

Risolvi le seguenti equazioni in .


8. ESERCIZI: L’EQUAZIONE cos x = b


9. ESERCIZI: L’EQUAZIONE tg x = c

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

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