Lezione 4Valore assoluto

Funzioni definite a tratti

Funzioni pari e dispari

Monotonia

Valore assoluto

• Funzione valore assoluto:𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ |𝑥|

𝑓 𝑥 = 𝑥 = ቊ𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

Valore assoluto

Disegnare il grafico della funzione:

𝑓: 𝑅 → 𝑅𝑝 ↦ |𝑝 − 4|

o anche 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4|

infatti

𝑓 𝑝 =ቊ𝑝 − 4 𝑠𝑒 𝑝 − 4 ≥ 0

− 𝑝 − 4 𝑠𝑒 𝑝 − 4 < 0

Esempio

𝑓: 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ |𝑥2 − 4𝑥 + 3|

𝑓 𝑥 = ቊ𝑥2 − 4𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≥ 0

−(𝑥2 − 4𝑥 + 3) 𝑠𝑒 𝑥2 − 4𝑥 + 3 < 0

Il grafico rosso è quello della funzione 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 (senza valore assoluto).

Il grafico verde è quello della funzione 𝑓 𝑥 = |𝑥2 − 4𝑥 + 3|

Esempio

Disegnare il grafico delle funzioni

• 𝑔: 𝑅 → R definita da 𝑔 𝑥 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 (nera)

• 𝑓: 𝑅 → R definita da 𝑓 𝑥 = | − 𝑥2 − 2𝑥 + 3| (verde)

Funzioni definite a tratti

𝑓 𝑥 =

2𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 < 23 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 5

−𝑥2

2+ 7𝑥 −

39

2𝑠𝑒 𝑥 ≥ 5

Esempio

Si disegni il grafico della funzione

𝑓 𝑥 = ቊ|𝑥2 − 4| 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 412 𝑠𝑒 𝑥 > 4

Funzioni e Traslazioni

Sia data la funzione 𝑓: 𝑅 → 𝑅. Allora

• il grafico di 𝑔(𝑥) = 𝑓 𝑥 + 𝑦0 si ottiene traslando il grafico di 𝑓(𝑥) verso l’alto di 𝑦0 unità

• il grafico di 𝑔(𝑥) = 𝑓 𝑥 − 𝑦0 si ottiene traslando il grafico di 𝑓(𝑥) verso il basso di 𝑦0 unità

• il grafico di 𝑔(𝑥) = 𝑓 𝑥 − 𝑥0 si ottiene traslando il grafico di 𝑓(𝑥) verso destra di 𝑥0 unità

• il grafico di 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑥0 si ottiene traslando il grafico di 𝑓(𝑥) verso sinistra di 𝑥0 unità

Esercizi: Determinare Dominio e Immagine delle seguenti funzioni e disegnare il grafico:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 4 2

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2

𝑓 𝑥 = |𝑥| 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑔 𝑥 = |𝑥 + 2|

EsempioTraslazione della funzione 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐

𝑔1 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑔2 𝑥 = 𝑥2 − 1

EsempioTraslazione della funzione 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐

𝑔3 𝑥 = 𝑥 − 1 2 𝑔4 𝑥 = 𝑥 + 1 2

Funzioni pari e dispari

• Sia 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 è una funzione pari se:

𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑅

e allora il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse 𝑦.

• Sia 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓 è una funzione dispari se:

𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑅

e allora il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine O.

Esempi

Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari.

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑔 𝑥 = 2𝑥2

Entrambe sono funzioni pari:

𝑓 −𝑥 = (−𝑥)2+1 = 𝑥2 + 1 = 𝑓 𝑥

𝑔 −𝑥 = 2(−𝑥)2 = 2𝑥2 = 𝑔(𝑥)

Esempi

Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari.

𝑓 𝑥 = |𝑥 − 1| 𝑔 𝑥 = 𝑥 ℎ 𝑥 = 𝑥 + 1

𝑓 −𝑥 = −𝑥 − 1 ≠ 𝑓 𝑥 ⇒ non è pari

𝑓 −𝑥 = −𝑥 − 1 ≠ −𝑓 𝑥 ⇒ non è dispari

𝑔 −𝑥 = −𝑥 = −𝑔 𝑥 ⇒ è dispari

ℎ −𝑥 = −𝑥 + 1 ≠ ℎ(𝑥) ⇒ non è né pari

ℎ −𝑥 = −𝑥 + 1 ≠ −ℎ(𝑥) ⇒ non è dispari

Funzioni crescenti e decrescenti

Data una funzione 𝑓: 𝐷 → 𝑅, con 𝐷 ⊆ 𝑅, essa è (monotona)

• crescente se ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓(𝑥2)

• strettamente crescente se ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)

• decrescente se ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓(𝑥2)

• strettamente decrescente se ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)

Esempio di funzioni monotone crescenti e decrescenti

Monotona crescente Monotona decrescente

Esempi di funzioni monotonestrettamente crescenti e decrescenti

strettamente decrescentestrettamente crescente

Esercizio 1 (come risolvere le equazioni col valore assoluto)

• Stabilisci per quali valori di 𝑝, la funzione 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4| assume valori uguali a 3.

ቊ𝑝 − 4 ≥ 0𝑝 − 4 = 3

∪ ቊ𝑝 − 4 < 0

−(𝑝 − 4) = 3

ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 = 4 + 3

∪ ቊ𝑝 < 4−𝑝 + 4 = 3

ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 = 7

∪ ቊ𝑝 < 4𝑝 = 1

soluzione: 𝑝 = 1 ∨ 𝑝 = 7𝑝

𝒇 𝒑 = 𝟑 ⇒ 𝒑 − 𝟒 = 𝟑𝑓 𝑝

Esercizio 2(come risolvere le disequazioni col valore assoluto)

• Stabilisci per quali valori di 𝑝, la funzione 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4| assume valori minori di 4.

ቊ𝑝 − 4 ≥ 0𝑝 − 4 < 4

∪ ቊ𝑝 − 4 < 0

− 𝑝 − 4 < 4

൜𝑝 ≥ 4𝑝 < 8

∪ ቊ𝑝 < 4−𝑝 < 0

ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 < 8

∪ ቊ𝑝 < 4𝑝 > 0

soluzione: p ∈ 4,8 ∪ 0,4 ⇒ 𝑝 ∈ (0,8)

𝒇 𝒑 < 𝟒 ⇒ 𝒑 − 𝟒 < 𝟒𝑓 𝑝

𝑝

Esercizio 3(come risolvere le disequazioni col valore assoluto)

• Stabilisci per quali valori di 𝑝, la funzione 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4| assume valori minori o uguali a 3.

൜𝑝 − 4 ≥ 0𝑝 − 4 ≤ 3

∪ ቊ𝑝 − 4 < 0

− 𝑝 − 4 ≤ 3

ቊ𝑝 ≥ 4

𝑝 ≤ 4 + 3∪ ቊ

𝑝 < 4−𝑝 + 4 ≤ 3

ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 ≤ 7

∪ ቊ𝑝 < 4𝑝 ≥ 1

soluzione: 𝑝 ∈ 4,7 ∪ 1,4 ⇒ 𝑝 ∈ [1,7]

𝒇 𝒑 ≤ 𝟑 ⇒ 𝒑 − 𝟒 ≤ 𝟑𝑓 𝑝

𝑝

Esercizi Grafici di funzioni

Disegnare i grafici delle seguenti funzioni:

𝑓 𝑥 = | − 3𝑥 + 6|, con 𝑥 ∈ (−7,10)

𝑧 𝑡 = |𝑡 − 3|, con 𝑡 ∈ (−4,7)

𝑔 𝑡 = |𝑡2 − 4|, con 𝑡 ∈ [−4,4]

𝑓 𝑡 = 𝑡2 − 4 − 1, con 𝑡 ∈ −4,4

Nota: osserva che 𝑓 𝑡 è una traslazione della funzione 𝑔 𝑡

EserciziDisequazioni

(𝑥−4)(𝑥+2)

𝑥+1≤ 0 Sol: 𝑥 ∈ (−∞,−2] ∪ (−1,4]

2𝑥+1

3𝑥> 𝑥 Sol: 𝑥 ∈ −∞,−

1

3∪ (0,1)

−𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑥 − 5 < 0 Sol: 𝑥 ∈ (5,+∞)

−𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑥2 − 5 ≥ 0 Sol: 𝑥 ∈ [− 5, 5]

𝑥2 − 𝑥 = 𝑥2 − 1 Sol: 𝑥 = 1

2𝑥2 + 3𝑥 = −2 Sol: impossibile

𝑥2 − 2𝑥 ≥ 1 Sol: 𝑥 ∈ −∞, 1 − 2 ∪ 1 ∪ (1 + 2,+∞)

Esercizi per casa

Disegnare i grafici delle seguenti funzioni e determinare l’immagine delle funzioni dal grafico. Osservando il grafico, stabilire se sono iniettive e/o suriettive (considerando 𝑅come codominio). Come si dovrebbe restringere il codominio per avere la suriettività?

• 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2𝑥2 − 4 𝑠𝑒 𝑥 < 2

Sol: né iniettiva né suriettiva Codominio: [−4,+∞)

• 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 03 𝑠𝑒 𝑥 < 0

Sol: né iniettiva né suriettiva Codominio: [3, +∞)

• 𝑓 𝑥 = ቊ−𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0𝑥2 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 0

Sol: bigettiva

Esercizi

Disegnare le seguenti funzioni definite su R.

Determinare la loro immagine osservando il grafico

Dire se sono pari o dispari (o né pari né dispari)

• 𝑓 𝑥 = 2𝑥 Sol: Im 𝑓=R, dispari

• 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 Sol: Im 𝑓 = [−1,+∞) pari

• 𝑓 𝑥 = 𝑥 Sol: Im 𝑓 = [0,+∞) pari

• 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 Sol: Im 𝑓 = [0,+∞) né pari né dispari

• 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 Sol: Im 𝑓 = [−1,+∞) pari

• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 Sol: Im 𝑓 = [0,+∞) pari

• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 2 Sol: Im 𝑓 = [0,+∞) né pari né dispari

Esercizi su monotonia e iniettività

Date le funzioni

𝑓1 𝑥 = −2𝑥 + 1 𝑓2 𝑥 = −𝑥2 + 1 𝑓3 𝑥 = |𝑥 − 2|

𝑓4 𝑥 = ቐ

𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [2, +∞)

2 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 0, 2𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 ∈ (−∞, 0]

• Stabilire per quali valori di 𝑥 le funzioni sono crescenti e decrescenti

• Dire se sono iniettive nel loro dominio

• Dopo averne determinato l’immagine, dire se sono suriettive considerando 𝑅 come codominio.