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Fenomenologia del Modello Standard – Prof. A. Andreazza

QCD: violazione scaling e getti

Lezione 8

Violazione dello scaling

•  Le funzioni di struttura non sono esattamente costanti in funzione di Q2: –  A basso x, crescono all’aumentare di Q2

–  Ad alto x, dinimuiscono all’aumentare di Q2

•  Aumentando il “potere risolutivo” della sonda, vedo sempre più irraggiamento e splitting di gluoni: –  Equazioni di Altarelli-Parisi –  Sempre più probabile trovare un quark a piccolo x, prodotto dallo

splitting di un quark a x maggiore.

•  La corretta descrizione dell’evoluzione delle funzioni di struttura è uno dei maggiori successi della QCD.

Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15 2

uv

uv

dv

us

us

Interazioni “anelastiche”

•  Sezione d’urto per il processo elastico di interazione con un partone i con frazione di momento α:

•  Possiamo scriverla nella forma:

•  Nel modello a partoni la sezione d’urto totale è data dall’integrale delle sezioni d’urto elementari:

•  Vogliamo vedere ora il contributo agli ordini successivi di QCD:


p α p i

p α p

dσ eqi → eqi( )dy

=M 2

16π ss = αs

dσ eqi → eqi( )dydx

=1αM 2

16π sδ 1− x( ) =

1αdσ i s( )dydx

dσ eqi → eqi( )dydx

=M 2

16π sδ 1− x( ) x = Q2

2αpk=xα

dσ eqi → eqig( )

dσ eN → e + X( )dydx

= dα fi α( )1αdσ i s( )dydx0

1

∫i∑

QCD: identità del gruppo

•  La struttura del tensore di campo e delle derivate covariante per QCD sono:

•  dove: –  A,B,C indici dei campi gluonici –  a,b,c indice di colore dei quark

•  Una possibile rappresentazione delle matrici t è data in figura.

•  Valgono le segueni relazioni:


FµνA = ∂µAν

A −∂νAµA − g f ABCAµ

BAνC#$ %&

Dµ( )ab = ∂µδab + igAµAtab

A

Tr t AtB = TRδAB, TR = 1

2

tabA tbc

A

A∑ =CFδac, CF = 4

3

f ABC f ABDA,B∑ =CAδ

CD, CA = 3

Regole di Feynman


Splitting: cinematica

•  Possiamo vedere la produzione del gluone aggiuntivo come dovuto ad uno splitting del quark iniziale in una coppia quark-gluone.

•  Consideriamo questo processo nel sistema di riferimento di Breit, dove il partone ha un momento grande e lo splitting avviene a piccoli angoli di emissione θ1,θ2≪1

•  Il partone iniziale ha tetramomento p:

•  Supponiamo che i prodotti dello splitting prendano rispettivamente una frazione z ed 1-z dell’energia del partone iniziale:


p

2p

1p

1θ

2θ

p2 = t p = E 0 0 E2 − t"#$

%&'

p1 = zE 1 sinθ1 0 cosθ1( )p2 = 1− z( )E 1 −sinθ2 0 cosθ2( )

•  È immediato verificare che:

•  dalla conservazione del momento trasverso abbiamo anche che:

t = 2z 1− z( )E2 1− cosθ( )

≈ z 1− z( )E2θ 2 θ = θ1 +θ2

θ =θ11− z

=θ2z

Splitting: q→qg

•  Nel caso di emissione di un gluone da un quark, l’elemento di matrice è dato da:

•  dove εC è il vettore di polarizzazione del gluone, di cui consideriamo le componenti nel piano di splitting e perperdicolari:

•  Il quadrato è dato da:


ap

Cγ2,

p

1,bp

M = −igu(p1)γγ tCu(p)εCγ

εC2 = −1 εC p2 = 0

εCin = 0 cosθ2 0 sinθ2( )εCout = 0 0 1 0( )

•  Tenendo i termini al primo ordine in θ:

p ⋅ p1 = zE2(1− cosθ1) = 12 z(1− z)

2E2θ 2

M 2 = g2 tCtCC∑ Tr /p1γµ /pγν( )εCµεCν

= g2CF 4 pµ p1,ν + pν p1,µ − gµν (p ⋅ p1)( )εCµεCν

= 4g2CF 2(εC ⋅ p)(εC ⋅ p1)+ (p ⋅ p1)( )

εCin ⋅ p = −E sinθ2 = −zEθεCin ⋅ p1 = −zE cosθ2 sinθ1 + sinθ2 cosθ1( )

= −zE θ1 +θ2( ) = −zEθ

εCout ⋅ p = εCout ⋅ p1 = 0

Splitting: q→qg

•  Otteniamo quindi: –  polarizzazione sul piano di splitting

–  polarizzazione perpendicolare al piano di splitting:

•  E la somma sulle polarizzazioni:

•  Notiamo che: –  L’elemento di matrice è proporzionale a E2θ2 ∝ t –  È preferita una polarizzazione sul piano di splitting.

Per una polarizzazione generica del gluone si ha:


ap

Cγ2,

p

1,bp

M 2 = 4g2CFE2θ 2 2z2 + 12 z(1− z)

2( )

M 2 = 4g2CFE2θ 2 12 z(1− z)

2( )

M 2 = 4g2CFE2θ 2 2z2 + z(1− z)2( ) = 4g2CFE2θ 2z 1+ z2( )

M 2 = 4g2CFE2θ 212z 1+ z2 + 2zcos2φ( )

Splitting: elementi di matrice

•  Supponiamo di aver calcolato un elemento di matrice per un processo con n particelle.

•  L’elemento di matrice con n+1 particelle si può ricavare come:

•  Nel nostro caso:


Mn

Mn+1 = Mn × propagatore

× ampiezza

di splitting

Mn+12 = Mn

2 1t2

Msplitting2

Mn+12 = Mn

2 1t24g2CFE2θ 2z 1+ z2( ) = Mn

2 1t

1z(1− z)E2θ 2

4g2CFE2θ 2z 1+ z2( )

= Mn2 4g2

tCF1+ z2

1− zL’elemento di matrice assorbe un propagatore. Riduce la divergenza collineare θ→0

= Mn2 4g2

tPqq (z)

Splitting: spazio delle fasi

•  Il termine di spazio delle fasi viene semplicemente modificato dall’aggiunta della particella p2:

•  Trasformiamolo in funzione di t e z che usiamo nell’elemento di matrice. –  Avvertenza: usare E=E1+E2 non separa le variabili di p2 da quelle di p1 che sono già

incluse in dΦn.


dΦn+1 = dΦnd3p2

(2π )32E2= dΦn

1(2π )22

E2dE2dφ22π

d cosθ2

E2 =1− zzE1

cosθ2 = 1−12z2θ 2 = 1− 1

2z2t

z(1− z)E2

dΦn+1 = dΦn1

(2π )22dφ22π

1− zzE1 det J dtdz

J =

∂E2∂z

= −E1z2

0

∂cosθ2∂z

∂cosθ2∂t

= −z3

2(1− z)E12

#

$

%%%%%

&

'

(((((= 1− 1

2z3t

(1− z)E12

= dΦn1

4(2π )2dφ22π

dtdz

Splitting: sezione d’urto

•  Mettendo insieme i risultati abbiamo che:

•  La sezione d’urto inclusiva elettrone-quark diventa quindi:

•  che si traduce in una sezione d’urto differenziale:


dσ n+1 = dσ n1t4g2

4(2π )2P(z)dtdzdφ2

2π = dσ ndttαs2π

P(z)dz dφ22π

∝ |Mn+1|2dΦn+1 ∝ |Mn|2dΦn

dσ eN → X( )dydx

= dα 1αqi(α)

dσ eq

dyδ 1− x

α#$%

&'(+

αs2π

dttPqq

xα#$%

&'(∫*

+,-./x

1

∫i∑

dσ eq

dy= 4π

eq2α2

q4s 12+(1− y)2

2−mN2

sxy

"

#$

%

&'dσ eqi → X( )

dydz=dσ eq

dyδ 1− z( ) +

αs2π

dttPqq (z)∫$

%&'()

Splitting: sezione d’urto

•  Integrando la δ, troviamo una correzione rispetto al modello a partoni:

•  L’espressione ha delle divergenze che devono venire regolarizzate

non ne tratteremo nel corso •  ma possiamo mettere in evidenza degli aspetti qualitativi:

–  L’integrale su t introduce una dipendenza da Q2 se introduciamo una scala di cut-off ΛQCD: (si noti che Q2 ha solo un valore rappresentativo)

–  I partoni con α>x contribuiscono mediante la funzione di splitting Pqq

–  Si può reinterpretare come una dipendenza delle densità partoniche dalla scala:


dσ eN → X( )dydx

=dσ eq

dyqi(x)+

αs2π

dtt∫ dα 1

αqi(α)Pqq

xα#$%

&'(

x

1

∫)

*++

,

-..i

∑

divergenza collineare t∝θ2→0

divergenza infrarosssa z→1

dtt= ln Q2

ΛQCD2∫

qi(x)→ qi(x,Q2 ) = qi(x)+αs2π

dtt

Λ2

Q2

∫ dα 1αqi(α)Pqq

xα$%&

'()

x

1

∫

Equazioni di Altarelli-Parisi

•  Le funzioni di densità partonica “bare” q(x), non sono misurabili: –  le misure sono tutte fatte ad un certo Q2

•  e non sono calcolabili a priori –  a basso Q2 le interazioni forti non sono calcolabili in via perturbativa –  ...forse in futuro tramite calcoli su reticolo –  comunque dipendenza dallo schema di regolarizzazione

•  La relazione:

•  si può interpretare in maniera differenziale

•  Date le densità di probabilità misurate ad una certa scala, si può integrare l’equazione e determinarle ad un’altra scala.


qi(x,Q2 ) = qi(x)+αs2π

dtt

Λ2

Q2

∫ dα 1αqi(α)Pqq

xα#$%

&'(

x

1

∫

∂qi(x, t)∂t

=αs2π1t

dα 1αqi(α, t)Pqq

xα"#$

%&'

x

1

∫ ⇒∂qi(x, t)∂ ln t

=αs2π

dα 1αqi(α, t)Pqq

xα#$%

&'(

x

1

∫

Equazioni di Altarelli-Parisi

•  La forma completa delle equazioni di Altarelli-Parisi (o DGLAP equations), deve tenere conto anche delle interazioni con i gluoni:

–  dove:

–  e la versione regolarizzata tiene anche conto dei partoni “persi” per splitting, oltre a quelli “guadagnati”.

•  Siccome le funzioni di strutture sono date da: F2(x,Q2)=2xF1(x,Q2)=xΣqeq

2q(x,Q2) si può misurare tale evoluzione!


∂qi(x, t)∂ ln t

=αs2π

dα 1α

qi(α, t)Pqqxα"#$

%&'+ g(α, t)Pqg

xα"#$

%&'

()*

+,-x

1

∫

∂g(x, t)∂ ln t

=αs2π

dα 1α

qi(α, t)i∑ Pgq

xα#$%

&'(+ g(α, t)Pgg

xα#$%

&'(

)

*+

,

-.

x

1

∫

Pqq (z) = CF1+ z2

1− z⇒ Pgq (z) = CF

1+ (1− z)2

1− z

Pqg(z) = TR z2 + (1− z)2"# $% Pgg(z) = CA1− zz

+z

1− z+ z(1− z)"

#$%&'

Stato attuale: violazione dello scaling


} µ

Confronto con le predizioni (NLO)


GETTI Due parole sui

Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15

Evidenza dei getti

•  Abbiamo trattato della scoperta di getti nelle passate lezioni: –  Interpretazione di e+e- in adroni come produzione di coppie quark-antiquark

Articolo 10.1: Mark I, “Evidence for jet structure in hadron production in e+e- annihilation”, Phys. Rev. Lett. 35 1609 (1975)

–  Evidenza del gluone Articolo 10.3: Tasso, “Evidence for planar events in e+e- annihilation at high energies”, Phys. Rev. B86 243 (1979)

•  A parole abbiamo implicato un concetto di dualità: –  partone ⟷ getto

•  Ma non abbiamo mai definito un getto: –  Variabili globali dell’evento (sfericità, aplanarità...) –  in grado di descrivere una certa collimazione del flusso di particelle


pp

Da partoni a getti S. Kluth, Rep. Prog. Phys. 69 (2006) 1771–1846


Da partoni a getti

•  Quark e gluoni prodotti dalle interazioni “sciamano”:

–  probabilità di splitting

•  Vengono create coppie per “chiudere” il potenziale di colore:

•  Nello stato finale esistono solo adroni. •  Osservabili devono essere insensibili a questi fenomeni.

–  In particolare le divergenze collineari ed infrarosse nello sciame –  Variabili di evento hanno spesso questa caratteristica –  Ma a volte si ha necessità di evidenziare singoli jet:

ad esempio per misurare il rate 3-jet/2-jet ∝ αs.


∝1tαs2π

P(z)

divergenza collineare t∝θ2→0

divergenza infrarosssa z→1

non perturbativa a basso t

Vqq (r) ≈ CF αs / r +…+σ r[ ]

Regi

me

pert

urba

tivo

Re

gim

e no

n-pe

rtur

bati

vo

Jet finder

•  Descrizioni operative su come raggruppare entità osservabili –  particelle ricostruite –  depositi di energia nel calorimetro

•  per formare dei jet –  identificati con i partoni dello stato iniziale

•  Algoritmi arbitrari: –  sia come metodi che come parametri –  devono essere robusti rispetto a emissioni soffici e collineari

•  “Contratto tra teorici e sperimentali” –  i valori delle osservabili dipendono dall’algoritmo


Jet finder in collisioni e+e-

•  Si definisce una distanza tra due particelle dell’evento: yij

•  ed una soglia: ycut

•  Se il valore minimo di yij tra tutte le coppie è minore di ycut

–  le particelle i e j vengono conglobate in una pseudoparticella con momento p=pi+pj

–  si ricalcolano yij con le particelle rimanenti e la nuova pseudoparticella –  si continua fino a quando tutte le distanze risultano maggiori di ycut

•  Le pseudoparticelle rimanenti sono i jet composti dalle particelle iniziali.

•  algoritmo JADE: –  massa invariante delle due particelle

•  algoritmo Durham: –  momento trasverso di una particella rispetto all’altra


yij = 2min Ei2,Ej2( ) 1− cosθij( ) / Eii∑( )

2

yij = 2EiEj 1− cosθij( ) / Eii∑( )2

Esempi a LEP


Jet rates in collisioni e+e-


diversi algoritmi

modelli di frammentazione ed adronizzazione

Jet rates in collisioni e+e-

•  La frazione di eventi a 3 e 4 jet permette di determinare αs ed il vertice a 3 gluoni.


αs

35 GeV

91 GeV

189 GeV

APPENDICE

Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 8- A. Andreazza - a.a. 2014/15

Splitting: g→qq

•  Nel caso di splitting di un gluone in una coppia di quark, l’elemento di matrice è dato da:

•  dove εA è il vettore di polarizzazione del gluone, di cui consideriamo le componenti nel piano di splitting e perperdicolari:

•  Il quadrato è dato da:


Aαp

2,cp

1,bp

M = −igu(p1)γαt Av(p2 )εAα

εAin = 0 1 0 0( )

εAout = 0 0 1 0( )

•  Tenendo i termini al primo ordine in θ:

p1 ⋅ p2 = 12 t =

12 z(1− z)E

2θ 2

M 2 = g2 Tr t AtA( )Tr /p1γµ /p2γν( )εAµεAν

= g2TR4 p2,µ p1,ν + p2,ν p1,µ − gµν (p2 ⋅ p1)( )εAµεAν

= 4g2TR 2(εA ⋅ p1)(εA ⋅ p2 )+ (p1 ⋅ p2 )( )

εAin ⋅ p1 = −zE sinθ1 = −z(1− z)Eθ

εAin ⋅ p2 = (1− z)E sinθ2 = z(1− z)Eθ

εCout ⋅ p1 = εCout ⋅ p2 = 0

Splitting: g→qq

•  Otteniamo quindi: –  polarizzazione sul piano di splitting

–  polarizzazione perpendicolare al piano di splitting:

•  E la somma sulle polarizzazioni:

•  Notiamo che: –  L’elemento di matrice è proporzionale a E2θ2 ∝ t –  Lo splitting avviene preferenzialmente sul piano perpendicolare alla

polarizzazione del gluone. Per una polarizzazione generica del gluone si ha:


Aαp

2,cp

1,bp

M 2 = 4g2TRE2θ 2 12 z(1− z)

2( ) 1− 4z(1− z)( )

M 2 = 4g2TRE2θ 2 12 z(1− z)( )

M 2 = 4g2TRE2θ 2z(1− z) 1− 2z(1− z)( ) = 4g2TRE2θ 2z(1− z) z2 + (1− z)2( )

M 2 = 4g2TRE2θ 2z(1− z) z2 + (1− z)2 − 2z(1− z)cos2φ( )

Splitting: elemento di matrice con g→qq

•  Usando la formula:

•  Otteniamo


Mn+12 = Mn

2 1t2

Msplitting2

Mn+12 = Mn

2 1t24g2TRE2θ 2z 1+ z( ) z2 + (1− z)2"# $% = Mn

2 1t24g2TR t z2 + (1− z)2( )

= Mn2 4g2

tTR z2 + (1− z)2"# $%

L’elemento di matrice assorbe un propagatore. Riduce la divergenza collineare θ→0 Non vi sono divergenze ulteriori.

= Mn2 4g2

tPqg(z)

Splitting: g→gg

•  Nel caso di splitting di un gluone in due gluoni, l’elemento di matrice è dato da:

•  dove gli εA,B,C sono i vettori di polarizzazione dei gluoni, e abbiamo considerato che nelle regole di Feynman i tre momenti sono considerati entranti, mentre nel nostro caso p1 e p2 sono uscenti.

•  La relazione si semplifica se si tiene conto della trasversalità della polarizzazione ε·p=0:

•  Il quadrato è:


Aαp

Cγ2,

p

Bβ1,

p

M = −g f ABC (p + p1)γ gαβ + (p2 − p1)α gβγ + (−p2 − p)β gγα"# $%εαAεβ

BεγC

M 2 = 4g2 f ABC f ABC( )B, C∑ (p1εC )(εAεB )− (p1εA )(εBεC )− (p2εB )(εCεA )#$ %&

2

M = −g f ABC (p2 + 2p1)γ gαβ + (p − 2p1)α gβγ + (−2p2 − p1)β gγα"# $%εαAεβ

BεγC

= −2g f ABC (p1 ⋅εC )(εA ⋅εB )− (p1 ⋅εA )(εB ⋅εC )− (p2 ⋅εB )(εC ⋅εA )#$ %&

= 4g2CA (p1εC )(εAεB )− (p1εA )(εBεC )− (p2εB )(εCεA )"# $%2

Splitting: g→gg

•  Anche in questo caso è utile analizzare le polarizzazioni dei gluoni, separando il caso di polarizzazione nel piano di splitting, o ortogonale ad esso:

•  È immediato che

•  e per angoli piccoli:


Aαp

Cγ2,

p

Bβ1,

p

εAin = 0 1 0 0( )εBin = 0 cosθ1 0 −sinθ1( )εCin = 0 cosθ2 0 sinθ2( )

•  Tenendo i termini al primo ordine in θ, gli unici prodotti non nulli sono: εCin ⋅ p1 = −zE sinθ1 cosθ2 + cosθ1 sinθ2( )

≈ −zEθ

εAin ⋅ p1 = −zE sinθ1 ≈ −z(1− z)Eθ

εAout = εB

out = εCout = 0 0 1 0( )

εXout ⋅εY

out = −1

εXout ⋅ pi = 0 = εXin ⋅εYout

εXin ⋅εY

in ≈ −1

εBin ⋅ p2 = −(1− z)E −sinθ1 cosθ2 − cosθ1 sinθ2( )

≈ (1− z)Eθ

Splitting: g→gg

•  Mediando sulle polarizzazioni:

•  Per polarizzazione generica


εA εB εC |M|2

in in in

in in out 0

in out in 0

in out out

out in in 0

out in out

out out in

out out out 0

4g2CAE2θ 2 z − z(1− z)+ (1− z)[ ]2

= 4g2CAE2θ 2 z2 + z2(1− z)2 + (1− z)2"# $%

4g2CAE2θ 2z2(1− z)2

4g2CAE2θ 2(1− z)2

4g2CAE2θ 2z2

M 2 = 4g2CAE2θ 2 z2 + z2(1− z)2 + (1− z)2"# $%

M 2 = 4g2CAE2θ 2 z2 + 2z2(1− z)2 + (1− z)2( )cos2φ + z2 + (1− z)2( )sin2φ"# $%

Splitting: elemento di matrice con g→gg

•  Usando la formula:

•  Otteniamo


Mn+12 = Mn

2 1t2

Msplitting2

Mn+12 = Mn

2 1t24g2CAE2θ 2 z2 + z2(1− z)2 + (1− z)2"# $%

= Mn2 1t

1z(1− z)E2θ 2

4g2CAE2θ 2 z2 + z2(1− z)2 + (1− z)2( )

= Mn2 4g2

tCA

z1− z

+ z(1− z)+ 1− zz

"#$

%&'

L’elemento di matrice assorbe un propagatore. Riduce la divergenza collineare θ→0 Rimangono poi le divergenze infrarosse

= Mn2 4g2

tPgg(z)

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