ESPONENZIALI E LOGARITMI

La legge esponenziale

nella natura

La riproduzione per scissione

Numero scissioni (s)

Numero di batteri (N)

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

Se indichiamo con N il numero dei batteri e con s il numero di scissioni, la legge che regola la riproduzione per scissione è: N=2s.

Sia dominio che codominio appartengono all’insieme dei numeri naturali.

La fissione nucleareProcesso che sta alla base dell’utilizzo della bomba atomica e dell’energia atomica. “Bombardando” un atomo di uranio U235 con un neutrone si ha la liberazione di 3 neutroni e di energia.Si innesca una reazione a catena.

Numero di urti (u)

Numero di neutroni (N)

0 1

1 3

2 9

3 27

4 81

Se indichiamo con N il numero di neutroni e con u il numero di urti, la legge che regola la fissione nucleare è: N=3u.Sia dominio che codominio appartengono all’insieme dei numeri naturali.

Decadimento radioattivodel carbonio 14

• Alcuni minerali emettono spontaneamente radiazioni e l’emissione di queste radiazioni provoca la trasformazione dei minerali in nuove sostanze.

• Se il carbonio14 contiene oggi una certa massa di sostanza radioattiva dopo 6000 anni metà di tale massa avrà subito il decadimento radioattivo e metà sarà rimasta inalterata.

Tempo di dimezzamento

(t)

Massa di (M)

0 1

1 0,5

2 0,25

3 0,125

-1 2

-2 4

Se M indica la massa di C14 ,t il tempo, misurata a partire dal numero di tempi di dimezzamento (ossia il tempo utilizzato per dimezzare la massa che nel caso del C14 è di 6000 anni) trascorsi, la legge che regola il decadimento radioattivo è: M=(1/2)t

In questo caso ha senso considerare la massa di C14 corrispondente a valori di t negativi, valori che indicano il “passato”e anche a valori di tempo non interi, come ad esempio t = 1/3 cioè circa 2000 anni.Possiamo quindi “infittire” quanto vogliamo la tabella che descrive il decadimento radioattivo ed ottenere un grafico come quello in figura.Si passa quindi da un grafico “ a scatti “a un grafico continuo.Il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali, mentre il codominio è quello dei numeri reali positivi.

La funzione esponenziale

Prefissato un numero reale a>0 è possibile associare

ad un numero reale qualsiasi x, il numero reale ax

F: R R+

x→ax

LA CURVA ESPONENZIALEse a >1

• Quando a>1 si viene a creare una curva crescente che non tocca mai l’asse delle ascisse e rimane nel semipiano delle ordinate positive.

• Più la base è grande, più ripida è la crescita;

• Tutte le curve passano per il punto (0; 1);,

x Y=2x

-2 0,25

-1 0,5

0 1

1 2

2 4

Y=3x

0,11

0,33

1

3

9

lim ax=+∞; lim ax =0+

x→+∞ x→-∞

LA CURVA ESPONENZIALE se 0<a<1

Con 0<a<1 si viene a formare una curva decrescente che

non tocca mai l’asse delle ascisse e rimane nel semipiano

positivo.

Più la base è piccola, più rapida è la decrescita.

Tutte le curve passano per il punto (0;1),

lim ax=+∞; lim ax =0+

x→-∞ x→+∞

LA CURVA ESPONENZIALE

se a =1

La curva degenera

in una retta parallela

all’asse delle ascisse

Simmetrie

Confrontando i grafici

di funzioni esponenziali

con basi reciproche

osserviamo che

sono simmetrici

rispetto all’asse delle ordinate.

LOGARITMI

Michael Stifel

in una sua famosa opera”Aritmetica integra” osservò che i termini della progressione geometrica corrispondono ai termini della progressione aritmetica formata dai loro esponenti.

John Napier

Approfondisce l’idea di logaritmo come progressione geometrica di ragione 10 nell’opera “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” e coniò il termine logaritmo.

Logaritmo: dal greco LOGON = ragione, intesa nel senso usato nelle progressioni geometriche, cioè rapporto e ARITHMOS = numero: numero razionale, nel senso di numero “artificiale” creato dalla ragione.

Henry Briggs

Nel 1615,durante una visita in Scozia,propose di utilizzare la potenza del 10 a Nepero,il quale però non portò avanti il progetto perché morì nel 1617 e la sua opera uscì postuma nel 1619.

Compilò le prime tavole dei logaritmi da 1 a 1000, più che sufficienti per le esigenze del tempo.

Leonard Eulero

Agli inizi del ‘700 con Eulero i logaritmi diventano oggetto matematico adottando un linguaggio e una notazione che per molti aspetti corrispondono a quelli usati oggi. Eulero fu il primo ad usare la lettera “e” per rappresentare la base del sistema dei logaritmi naturali o neperiani.

La funzione logaritmica Funzione che associa a ogni valore della variabile x

il valore y =logax,

dove “a” è un numero reale positivo diverso da 1 e x un numero reale maggiore di zero.

F: R+ R x→logax

Il dominio è l’insieme di tutti i numeri reali positivi x, il codominio è l’insieme di tutti i numeri reali.

Tutte le curve logaritmiche hanno la particolarità di passare per il punto del grafico A(1,0), perciò risulta loga1=0

Questa funzione è la funzione inversa della funzione esponenziale.

x Y=log2x

0,25 -2

0,5 -1

1 0

2 1

4 2

La curva occupa solo il semipiano x>0, dato che il suo dominio è R+.

Assegnando alla x valori sempre più vicini a 0, la curva tende ad avvicinarsi sempre più all’asse delle y senza però toccarlo. Si dice che l’asse delle ordinate è asintoto della funzione.

La funzione è crescente.

1° CASO: a>1

lim logax = -∞; lim logax=+∞

x→0+ x→+∞

2° CASO: 0<a<1

x Y=log1/2x

0,25 -2

0,5 -1

1 0

2 1

4 2

La curva occupa solo il semipiano x>0, dato che il suo dominio è R+.

Assegnando alla x valori sempre più vicini a 0 la curva tende ad avvicinarsi sempre più all’asse delle y senza però toccarlo. Si dice che l’asse delle ordinate è asintoto della funzione.

La funzione è decrescente.

lim logax =+∞; lim logax=-∞x→0+ x→+∞