Esponenziali e Logaritmi. La funzione esponenziale a b =c x b = ya x = y a=00 x = 0 (indefinita per...

Esponenziali e Logaritmi

La funzione esponenziale

ab=c

xb = y ax = y

•a=0 0x = 0 (indefinita per

x=0)

•a=1 1x = 1

•a<0 ax (cambia segno di

continuo)


y=ax con a<0

=

=


y=ax a>0 e a≠1

0 < a < 1

1 < a < +∞

xR

L’equazione esponenziale

ax=q

y=ax

y=qq≤0 Nessuna

soluzioneq>0 1 soluzione

ax > 0, xR

L’equazione esponenziale

2x=4 x=2

5x=125 x=3

2x=⅛ x=-3

(¾)x=1 x=0

(⅞)x=5 x=?

Il logaritmo

(⅞)x=5 x = log⅞ 5

ax = y x =loga y

a>0 e a≠1

y > 0

base10, e

argomento

La funzione logaritmo

x Log x1 0

10 -1

100 -2

1/10 11/100 2

y= log 1/10 x

0 < a < 1y =loga x

x>0

La funzione logaritmo

1 < a < +∞

x Log x1 0

10 1

100 2

1/10 -11/100 -2

y= Log x

y =loga x

x>0

L’equazione logaritmica

logax=q

y=loga

xy=q

qR 1 soluzione

L’equazione logaritmica

3log 9y y=2

3

1log

9y y=-2

2log 1y y=0

2log 2y y=1

Proprietà del logaritmo

log 1a a 1a a

log 1 0a 0 1a

log xa a x x xa a

INFATTIloga xa x loga x

da dare ad a per ottenere x

è l’esponente


log log loga a aX Y X Y

log

loga

a

X x

Y y

x

y

X a

Y a

x y x yX Y a a a

log log log logx ya a a aX Y a x y X Y


log log loga a a

XX Y

Y

log

loga

a

X x

Y y

x

y

X a

Y a

:x y x yXa a a

Y

log log log logx ya a a a

Xa x y X Y

Y


log log ca ac X X

loga X x xX a

( )c x c xcX a a

log log logc cxa a aX a cx c X


loglog

logb

ab

XX

a

log

loga

b

X x

a y

x

y

X a

a b

( )x y x yxX a b b

log log log logxyb b a bX b xy X a

log log loga b bX a X

Esempio

32 3 5

5 5 5 5

1 13log log ln log 15

8 91

log 45 log 9 4log 3 log 751000

y e

Log

Equazioni esponenziali elementari

1 2x xa a

1 2x xa a

1 2x x

1 2x x


( ) ( )f x g xa a

( ) ( )f x g x

22 2 25 5x x

( ) ( )log logf x g xa aa a

2 8 3 13 9x x

( ) ( )f x g xa b

( ) ( )log logf x g xa aa b

3 32 3x x

( ) ( ) logaf x g x b

1 12 5x x


1 22 2 2 7x x x

19 3 2 0x x

Equazioni esponenziali riconducibili ad elementari

1 7 2 7 1

7 1 49 1 7 1

x x

x x x

Equazioni logaritmiche elementari

1 2log loga ax x

1 2log loga ax x

1 2x x

1 2x x

Equazioni logaritmiche elementari

log ( ) log ( )a af x g x

log ( ) log ( )a af x g xa a

3 3log ( 3) log (3 1)x x

( ) 0

( ) 0

f x

g x

ATTENZIONE:

3log (2 4) 2x ( ) ( )f x g x

2 4log 3log 10x x

2 2 2 2log (3 1) log ( 2) 2 log (9 4) logx x x x

23 3(log ) log 6 0x x

Equazioni logaritmiche riconducibili ad elementari

4 2 3

5log (2 3) log 4

2xx

Disequazioni esponenziali elementari

1 2x xa a

1 2x x

0<a<1

1xa

2xa

1x 2x


1 2x xa a

1 2x x

0<a<1

2xa1xa

2x 1x


1 2x xa a

1 2x x

a>1

1xa

2xa

1x2x


1 2x xa a

1 2x x

a>1

2xa1xa

2x1x

Disequazioni esponenziali

( ) ( )f x g xa a

( ) ( )f x g x

( ) ( )f x g xa a

( ) ( )f x g x

0<a<1

2 3 23 3

4 4

x x

Disequazioni esponenziali

( ) ( )f x g xa a

( ) ( )f x g x

( ) ( )f x g xa a

( ) ( )f x g x

a>1

1 4 13 9x x

Disequazioni esponenziali riconducibili ad elementari

1 22 2 2 7x x x

2 3 9 1x x

2 21

2 1 2 4

x x

x x

Disequazioni logaritmiche

1 2log loga ax x

1 2x x

0<a<1

1loga x

2loga x 1x

2x


1 2log loga ax x

1 2x x

a>1

1loga x

2loga x 1x

2x



( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x

0<a<1

1

2

log (3 5) 1x




( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x

a>1


22log (1 ) 1x

Disequazioni logaritmiche riconducibili ad elementari

23 3log log 6 0x x

2 15 0Log Log x

11

Logx

Logx

Disequazioni tra esponenziali aventi base diversa

( ) ( )f x g xa b

( ) ( )log logf x g xa aa b a>1

( ) ( ) logaf x g x b1 12 5x x

( ) ( )f x g xa b

( ) ( )log logf x g xa aa b 0<a<1

( ) ( ) logaf x g x b2 1

313

2

xx

Disequazioni tra esponenziali aventi base diversa

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