Teorema derivabile almeno n volte (con n maggiore o uguale a 2) in x0 e sia x0 un punto stazionario per f tale che:

€

f : U x0( ) →R

€

′ ′ f x0( ) = ′ ′ ′ f x0( ) = .... = f n −1 x0( ) = 0; e f n x0( ) ≠ 0

allora:

€

se n è pari e f n x0( ) > 0⇒ x0 è un pto di minimo relativo forte per f

€

se n è pari e f n x0( ) < 0⇒ x0 è un pto di massimo relativo forte per f

€

se n è dispari ⇒ x0 non è un pto estremante per f

Esercizio

Si studi la natura del punto stazionario

€

x = 0

per funzione

€

f x( ) = x 2 + cos2 x

La funzione è derivabile infinite volte in R

€

′ f x( ) = 2x +

€

⇒ ′ f 0( ) = 0

€

′ ′ f x( ) = 2 +

€

′ ′ f x( ) = 2 + 2 sin2 x − 2cos2 x

€

⇒ ′ ′ f 0( ) = 0

€

′ ′ ′ f x( ) = 4 sin x⋅

€

′ ′ ′ f x( ) = 8 sin x cos x

€

⇒ ′ ′ ′ f 0( ) = 0

€

′ ′ ′ ′ f x( ) = 8cos x cos x + 8 sin x −sin x( )

€

′ ′ ′ ′ f x( ) = 8cos2 x − 8sin2 x

€

⇒ ′ ′ ′ ′ f 0( ) = 8 > 0

€

se n è pari e f n 0( ) > 0⇒

€

x = 0 è punto di min imo per f

€

2cos x⋅

€

−sin x( )

€

2 −sin x( )

€

−sin x( )

€

+2cos x

€

−cos x( )

€

cos x

€

−4 cos x⋅

€

−sin x( )

Esercizio

Si studi la natura del punto stazionario

€

x = 0

per funzione

€

f x( ) = ex − x −1

2x 2 −

1

6x 3 −

1

24x 4

La funzione è derivabile infinite volte in R

€

′ f x( ) = ex −1 − x −1

2x 2 −

1

6x 3

€

⇒ ′ f 0( ) = 0

€

′ ′ f x( ) = ex −1 − x −1

2x 2

€

⇒ ′ ′ f 0( ) = 0

€

′ ′ ′ f x( ) = ex −1− x

€

⇒ ′ ′ ′ f 0( ) = 0

€

′ ′ ′ ′ f x( ) = ex −1

€

⇒ ′ ′ ′ ′ f 0( ) = 0

€

se n è dispari e f n 0( ) ≠ 0⇒

€

x = 0 non è punto di estremo per f

€

f v x( ) = ex

€

⇒ f v 0( ) =1≠ 0

Funzioni convesse e concave f si dice convessa se il suo grafico ha la seguente proprietà: ogni segmento avente estremi su di esso non ha alcun punto al di sotto del grafico stesso

€

f : I →R

convessa in senso stretto convessa in senso lato

Funzioni convesse e concave f si dice concava se il suo grafico ha la seguente proprietà: ogni segmento avente estremi su di esso non ha alcun punto al di sopra del grafico stesso

€

f : I →R

concava in senso stretto convessa in senso lato

Funzioni convesse e concave f si dice convessa se

€

f : I →R

€

x1

€

x2

€

y − f x1( ) =f x2( ) − f x1( )

x2 − x1

x − x1( )equazione della retta passante per x1 e x2

€

f x( ) ≤ f x1( ) +f x2( ) − f x1( )

x2 − x1

x − x1( ) ∀x ∈ x1;x2( )

€

f x1( )

€

f x2( )

Funzioni convesse e concave f si dice concava in (x1; x2) se

€

f : I →R

€

x1

€

x2

€

y − f x2( ) =f x2( ) − f x1( )

x2 − x1

x − x2( )equazione della retta passante per x1 e x2

€

f x( ) ≥ f x2( ) +f x2( ) − f x1( )

x2 − x1

x − x2( ) ∀x ∈ x1;x2( )

€

a

€

b

€

a

€

b

Funzione convessa Funzione concava

€

a

€

b

Funzione convessa

€

x0€

f x0( )

€

x

€

f x( )

€

f x( ) − f x0( ) > 0

€

x − x0 < 0

€

f x( ) − f x0( )

x − x0

< 0

€

f : x →f x( ) − f x0( )

x − x0€

x

€

f x( ) − f x0( ) > 0

€

x − x0 > 0

€

f x( ) − f x0( )

x − x0

> 0

È una funzione crescente qualsiasi sia x0

€

f x( ) − f x0( )

x − x0

=x 2 − x0

2

x − x0

€

f x( ) = x 2

€

x0 =1

€

f : x →f x( ) − f x0( )

x − x0

€

f : x →x 2 − x0

2

x − x0

€

=x − x0( ) x + x0( )

x − x0

= x + x0

€

−3( ) → −3( ) +1 = −2

€

−2( ) → −2( ) +1 = −1

€

+2( ) → +2( ) +1 = +3

€

+3( ) → +3( ) +1 = +4

€

f : x →f x( ) − f x0( )

x − x0

Teorema: è convessa (concava) se e solo se

€

f : I →R

è crescente (decrescente)€

∀x0 ∈ I

€

la funzione x →f x( ) − f x0( )

x − x0

definita ∀x ∈ I \ x0{ }

Implicazioni: ogni funzione convessa (concava) è continua in ogni intervallo I; ogni funzione convessa (concava) in un intervallo chiuso e limitato è limitata; se l’intervallo non è chiuso non si può dire nulla; nei punti di frontiera è possibile che la funzione presenti delle discontinuità;

€

a

€

b

€

a

€

b

Possibile presenza di discontinuità alla frontiera

Se l’intervallo non è chiuso ma solo limitato la funzione

potrebbe non essere limitata

se è convessa in

€

f : I →R

Non è detto però che esista €

x0 ∈ I

€

′ f − x0( ) ≤ ′ f + x0( )

Se però f è derivabile in x0 allora:

€

′ f x0( )

€

f x( ) − f x0( )

x − x0

≥ ′ f x0( ) ∀x > x0

€

f x( ) − f x0( )

x − x0

≤ ′ f x0( ) ∀x < x0

€

⇒ f x( ) ≥ f x0( ) + ′ f x0( ) x − x0( ) ∀x ∈ I

€

a

€

b

€

f x( ) ≥ f x0( ) + ′ f x0( ) x − x0( ) ∀x ∈ I

Implicazioni: se f è convessa (concava) e derivabile e x0 è stazionario allora è un punto di minimo (massimo) globale per f; se f è strettamente convessa (concava) l’eventuale punto di minimo (massimo) globale è unico; se la funzione non è strettamente convessa (concava) potrebbe presentare infiniti punti di minimo (massimo);

Teorema (condizione del primo ordine) è convessa (concava) se e solo se la sua funzione derivata prima è crescente (decrescente) nell’intervallo. Inoltre la convessità (concavità) è stretta se e solo se la monotonia della derivata prima è stretta.

€

f : I →R

Teorema (condizione del secondo ordine) se f è due volte derivabile in I, condizione necessaria e sufficiente affinchè f sia convessa (concava) in I è che:

€

f : I →R

€

′ ′ f x( ) ≥ 0 ∀x ∈ I

€

′ ′ f x( ) ≤ 0 ∀x ∈ I

Definizione: una funzione derivabile in x0 appartenente all’intervallo (a; b); tale punto è detto di flesso della funzione f se:

€

f : a; b( ) →R

€

f è convessa in a; x0( ] e concava in x0; b[ )

€

f è concava in a; x0( ] e convessa in x0; b[ )

€

x0

Osservazione importante:

€

f : I →R

è convessa (concava) se e solo se la sua derivata prima è crescente (decrescente); quindi se f è derivabile due volte in I e x0 è punto di flesso, allora x0 sarà punto di massimo (minimo) per la funzione derivata prima; in tali ipotesi il teorema di Fermat applicato alla funzione derivata prima garantisce che

Teorema:

€

′ ′ f x0( ) = 0

€

f : I →R derivabile due volte in I

€

se x0 ∈ I è punto di flesso⇒ ′ ′ f x0( ) = 0

Nota bene: tale condizione non è sufficiente:

€

f x( ) = x 4

€

′ ′ f x( ) =12x 2 ⇒ ′ ′ f 0( ) = 0

€

ma x = 0 non è punto di flesso per f

Teorema derivabile almeno n volte (con n maggiore o uguale a 2) in x0, punto interno all’intervallo; se

€

f : a; b( ) →R

€

′ ′ f x0( ) = ′ ′ ′ f x0( ) = .... = f n −1 x0( ) = 0; e f n x0( ) ≠ 0

allora:

€

se n è dispari ⇒ x0 è un punto di flesso per f

Teorema derivabile almeno 2 volte.

€

f : a; b( ) →R

€

se ′ ′ f x( ) ≥ 0 per x ∈ a; x0( )

€

e se ′ ′ f x( ) ≤ 0 per x ∈ x0; b( )

€

⇒ x0 punto di flesso per f