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Paolo Venini - Appunti di Teoria delle Strutture - 2002/2003

Indice

Capitolo 1. Introduzione all’Instabilita delle Strutture . . . . . . . . . . . . 11.1. Considerazioni qualitative introduttive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Sistemi discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1. Il metodo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2. Il metodo energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3. Il metodo statico in grandi deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4. Il metodo delle imperfezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.5. Sistemi a piu gradi di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.5.1. Un primo esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.6. Il metodo energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.7. Il rapporto di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Instabilita euleriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1. Aste compresse uniformemente di sezione costante . . . . . . . . . . . . . 91.3.2. Un problema iperstatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3. Il metodo delle imperfezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4. Metodo energetico per aste in campo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.5. Il metodo di Trefftz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.6. Analisi in grandi deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.7. Cenni su relazioni e interazioni tra stato limite elastico e di

instabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.8. Travi con vincoli elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.8.1. Metodo di Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.8.2. Metodo delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.9. Applicazioni a telai semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.9.1. Portale a nodi fissi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.9.2. Portale a nodi spostabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4. Instabilita flesso–torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.1. Descrizione qualitativa del fenomeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.2. Equazioni governanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3. Coesistenza di instabilita per carico di punta e flesso–torsionale 29

1.5. Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.1. Biforcazione simmetrica stabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.2. Biforcazione simmetrica instabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.3. Biforcazione asimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1


CAPITOLO 1

Introduzione all’Instabilita delle Strutture

1.1. Considerazioni qualitative introduttive

Intenderemo per instabilita strutturale il raggiungimento di uno stato di sollecitazionetale per cui la struttura in esame cambia radicalmente (e spesso repentinamente)il suo comportamento. Dal punto di vista statico accadra che uno stato di sforzorelativamente semplice, e.g. compressione semplice, venga bruscamente sostituito dauno piu complesso quale ad esempio la presso–flessione deviata. Inoltre, per quantoriguarda lo stato di deformazione e la valutazione del campo degli spostamenti, alsopraggiungere dell’instabilita si verifica spesso un incremento incontrollabile delladeformazione che porta all’inservibilita della struttura, pur in presenza di un regimedi sforzi ammissibile. Da un punto di vista analitico, l’insorgere di tali fenomeni sispieghera quasi sempre con cambiamenti della natura dell’operatore che governa ilsistema, la perdita di ellitticita essendo il caso piu frequente. I carichi critici instabi-lizzanti saranno dunque spesso opportuni autovalori di operatori, i cui autovettori,o autofunzioni, associati daranno le deformate critiche. Ci sara invece pochissimospazio per trattare fenomeni parimenti importanti quali l’instabilita dinamica e lostudio del comportamento post–critico che descrive la struttura nella fase che segueil manifestarsi dell’instabilita.

1.2. Sistemi discreti

1.2.1. Il metodo dinamico

Considerata l’asta rigida in Figura 1.1, l’equilibrio dinamico alla rotazione attornoalla cerniera a terra si scrive

µ`3

3θ + P`θ − kθ = 0, (1.1)

dove µ e la densita di massa per unita di lunghezza, k la rigidezza rotazionale dellamolla, ` la lunghezza dell’asta e P il carico di punta. Posto

α =3

µ`3(k − P`) ,

l’equazione normalizzata diventa

θ + αθ = 0. (1.2)

Fatto salvo il caso di confine α = 0, distinguiamo i seguenti due casi:

1


Figura 1.1. Il primo semplice sistema

1. ”Carichi piccoli”, ossia P < k` e α > 0. La soluzione dell’Equazione normalizzata

(1.2) e del tipo

θ(t) = C1 sin√αt+ C2 cos

√αt,

che, tra l’altro, indica come l’ampiezza delle oscillazioni θ(t) si mantenga limitatanel tempo.

2. ”Carichi grandi”, ossia P > k` e α < 0. La soluzione dell’Equazione normalizzata

(1.2) e ora del tipo

θ(t) = C1 exp(√−αt) + C2 exp(−

√−αt),

che, tra l’altro, indica come l’ampiezza delle oscillazioni θ(t) non sia limitata neltempo.

Osservazione 1.1. Puo sembrare strano che la soluzione del problema per α < 0non sia di tipo periodico come il problema fisico suggerisce. Cio e dovuto al fatto chel’Equazione (1.2) e la versione linearizzata dell’equazione governante il moto dellatrave. Fisicamente, linearizzare un’equazione significa limitarne la validita in unopportuno intorno del punto di linearizzazione. Torneremo piu avanti diffusamentesu questo concetto.

1.2.2. Il metodo energetico

L’energia potenziale V (θ) del sistema e la somma dell’energia del carico P e di quellaelastica immagazzinata nella molla. A meno di costanti, si ha

V (θ) =k

2θ2 − P`(1− cos θ). (1.3)

Si nota come l’energia del sistema non sia quadratica nella coordinata libera θ.Nello spirito dell’osservazione 1.1, procediamo quindi a ”quadratizzare” l’energiache equivale a linearizzare l’equazione dinamica governante. Ricordato lo sviluppo

2


di Taylor della funzione coseno, a meno di infinitesimi di ordine quattro, si scrive

V (θ) =1

2(k − P`)θ2. (1.4)

Pertanto se P < k/` allora ∆V > 0 e l’equilibrio e stabile, se P > k/` allora ∆V < 0e l’equilibrio e instabile, mentre per P = k/` si ottiene ∆V < 0 e l’equilibrio eindifferente.

Osservazione 1.2. Gli approcci di linearizzazione dell’equilibrio dinamico e dellaquadratizzazione dell’energia hanno in comune la rinuncia a priori della ricerca diposizioni di equilibrio diverse da quella di partenza. Lo scopo e limitato alla determi-nazione dell’intervallo di parametri per i quali la posizione di equilibrio nota a priorinon viene abbandonata. Si intuisce che rinunciando a linearizzare le equazioni di-namiche o a quadratizzare l’energia potenziale si perda in trattabilita analitica ma siguadagni la possibilita di ricercare nuove posizioni di equilibrio. Questo e l’oggettodei metodi delineati nel seguito.

1.2.3. Il metodo statico in grandi deformazioni

L’equilibrio statico alla rotazione attorno alla cerniera si scrive

P` sin θ − kθ = 0, (1.5)

le cui soluzioni sono:

1. θ = 0, gia incontrata in precedenza;

2. P`/k = θ/ sin θ .

Pertanto, per P < k/` esiste una sola soluzione che e quella di partenza con astaverticale mentre per P > k/` esistono anche altre due soluzioni come mostrato inFigura 1.2.

1.2.4. Il metodo delle imperfezioni

Per imperfezione intenderemo qui e altrove un fattore fisico effettivamente pre-sente ma non espressamente modellato all’interno delle equazioni risolventi. Tipicheimperfezioni sono date da

- travi non perfettamente rettilinee;- carichi non perfettamente centrati;- presenza di carichi normali all’asse della trave.

Consideriamo ancora l’asta della sezione 1.2.3, avendo pero aggiunto una com-ponente orizzontale di carico indicata con F . L’equilibrio a rotazione in grandideformazioni si scrive allora

P` sin θ − kθ + F` cos θ = 0 , (1.6)

che origina l’insieme di soluzioni di Figura 1.3 dove, con tratto leggero, e ancheriporatata la soluzione del sistema in assenza di imperfezioni.

3


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

P`K = θ

sin θ

Figura 1.2. Metodo statico in grandi deformazioni: biforcazionedella soluzione

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

P`K = θ

sin θ+0.2 cos θ

Figura 1.3. Metodo delle imperfezioni in grandi deformazioni:biforcazione della soluzione

4


1.2.5. Sistemi a piu gradi di liberta

1.2.5.1. Un primo esempio

Figura 1.4. Sistema a due gradi di liberta

Con riferimento alla Figura 1.4, operando in piccole deformazioni e indicata conθ1 la rotazione dell’asta i = 1, 2, 3, e scelte come coordinate libere le componen-ti di spostamento orizzontale delle cerniere interne x1 e x2, valgono le relazionigeometriche

θ1 =x1`, θ2 =

x1 − x2`

, θ3 =x2`,

e

θA = θ1 + θ2 =2x1 − x2

`

θB = θ3 − θ2 =2x2 − x1

`.

Le equazioni di equilibrio a rotazione parziale attorno ad A e B si scrivono in formamatriciale nella forma

[2K` − P −K

`−K

` 2K` − P

]x1x2

=

00

(1.7)

5


Oltre alla soluzione banale corrsispondente allo stato di equilibrio non deformato, l’e-sistenza di altre soluzioni e subordinata all’annullarsi del determinante della matricedei coefficienti che regge il sistema lineare (1.7). Si giunge cosı alla condizione

(

2K

`− P

)2

− K2

`2= 0,

che porta ai de autovalori

P1 =K

`, P2 =

3

`K,

cui sono associati i rispettivi autovettori normalizzati

Φ1 =1√2

11

, Φ2 =1√2

1−1

.

I due autovettori forniscono la deformata modale corrispondente ai meccanismi di in-stabilizzazione associati ai due carichi critici P1 e P2. E chiaro che il nostro interessee sulla prima deformata modale associata a P1 per la quale risulta x1 = x2.

1.2.6. Il metodo energetico

Consideriamo una struttura discreta (o discretizzata) olonoma a N gradi di liberta.Sia

x = (x1, x2, . . . , xN )

il vettore delle coordinate libere. Indicati con V (·) la funzione potenziale, con x0il vettore delle coordinate libere nella posizione iniziale e posto V (x0) = 0, vale losviluppo di Taylor

V (x) = V (x0) +∇V (x)|x=x0· (x− x0) +

+1

2(x− x0)T H(x)|x=x0

(x− x0) + o(||x− x0||3

), (1.8)

o, in forma indiciale

V (x) ≡ ∆V (x, x0) =N∑

i=1

δV |xi=x0i(xi − x0i) +

+1

2

N∑

i=1

N∑

j=1

δ2V | xi=x0ixj=x0j

(xi − x0i)(xj − x0j

)+ . . . (1.9)

Vale allora il

Teorema 1.3. Sia x0 una posizione di equilibrio. Allora ∇V (x0) = 0. La posizionex = x0 e poi di equilibrio stabile se e solo se x0 e un punto di minimo per V (x)ossia, con riferimento all’Equazione (1.8), se e solo se e definita positiva la matricehessiana i cui elementi sono dati da

Kij =∂2V

∂xi∂xj

∣∣∣∣x=x0

.

6


Essendo infatti x0 e una configurazione equilibrata, ossia ∇V (x)|x=x0≡ 0, il segno

della variazione ∆V (x, x0) e dato dal segno della variazione seconda

1

2

N∑

i=1

N∑

j=1

δ2V | xi=x0ixj=x0j

(xi − x0i)(xj − x0j

).

Si e pertanto ricondotti allo studio della (eventuale) definita positivita della matricehessiana K data da

Kij =∂2V

∂xi∂xj.

Nel caso dell’esempio precedente, indicate ancora con θA e θB le rotazioni relativedelle cerniere elastiche e con s l’abbassamento del punto di applicazione del caricoP , scritta l’energia potenziale nella forma

V

(x1x2

)

=1

2Kθ2A +

1

2Kθ2B − Ps,

e ricordate le espressioni

θA = θI + θII

θB = θIII − θII

θI = arcsinx1

`≈ x1

`

θII = arcsinx1 − x2

`≈ x1 − x2

`

θIII = arcsinx2

`≈ x2

`

s = `(3− cos θI − cos θII − cos θIII) ≈ `

[

3−(

1− θ2I

2

)

−(

1− θ2II

2

)

−(

1− θ2III

2

)]

,

si giunge alla relazione

V

(x1x2

)

=1

2`2

(x1x2

)T [5K − 2P` −(4K − P`)−(4K − P`) 5K − 2P`

](x1x2

)

.

Imponendo ai minori della matrice di essere positivi si trovano infine le condizioni

5K − 2P` > 0

(5K − 2P`)2 − (4K − P`)2 > 0 =⇒ P <K

`o P >

3K

`,

che coincide con il risultato ottenuto con il metodo statico. Ricapitolando, la definitapositivita della funzione potenziale coincide con la definita positivita della matricedi rigidezza

K =

[5K − 2P` −(4K − P`)−(4K − P`) 5K − 2P`

]

.

Decomposta la matrice di rigidezza globale K nella sua parte elastica KE

KE =

[5K −4K−4K 5K

]

(1.10)

e geometrica KG,

KG = P

[−2` `` −2`

]

, (1.11)

7


la definita positivita puo essere accertata controllando che il problema agli autovalorigeneralizzato

KEΦ = PKGΦ , (1.12)

dove gli autovalori sono i carichi P e gli autovettori associati Φ sono le deformatemodali, presenti solo autovalori positivi.

1.2.7. Il rapporto di Rayleigh

Accade spesso che l’interesse sia esclusivamente sul primo autovalore del Problema1.12 che rappresenta il carico critico Pcr oltre il quale si possono verificare fenomenidi instabilita. Una prima via e allora quella di risolvere il problema agli autovaloricon metodi numerici ormai diffusi capaci di calcolare solo un numero finito di auto-valori di un’assegnata matrice. Alternativamente, anziche risolvere il problema agliautovalori, si definisce il rapporto di Rayleigh

R(x) =U(x)

Ω(x),

in cui U(x) e Ω(x) sono rispettivamente le forme quadratiche associate a KE e KG,ossia

U(x) =1

2xTKEx, Ω(x) =

1

2xTKGx.

Si puo allora mostrare come valga la relazione

Pcr = minx∈X

R(x).

Come utile esempio di applicazione, consideriamo il problema precedente. Date ledefinizioni di KE e KG delle relazioni (1.10) e (1.11), si ha

xTKEx = K(5x21 − 8x1x2 + 5x22),

e

xTKGx = `(2x21 − 2x1x2 + 2x22).

Il criterio di Rayleigh fornisce dunque

Pcr = minx≡[x1,x2]

K(5x21 − 8x1x2 + 5x22)

`(2x21 − 2x1x2 + 2x22).

Posto α = x1

x2, ci si riconduce al problema di minimo in una variabile

minαf(α) =

K

`

5− 8α+ 5α2

2− 2α+ 2α2

Annullando la derivata prima f ′(α) si trovano i seguenti punti stazionari

min(R) ≡ Pcr =K

`per α = 1

max(R) = 3K

`per α = −1

Come gia calcolato per via statica ed energetica, anche il metodo del rapporto diRayleigh fornisce dunque il carico critico Pcr =

K` .

8

1.3. Instabilita euleriana


I sistemi ad aste rigide ed elasticita concentrata consentono di introdurre pressochetutti gli aspetti legati all’instabilita delle strutture. tra l’altro, verranno ripresi piuavanti per studiare alcune delle piu comuni forme di instabilizzazione, con parti-colare riferimento alla biforcazione simmetrica stabile e instabile e alla biforcazioneasimmetrica. Obiettivo delle sezioni che seguono e pero quello di ambientare il prob-lema dell’instabilita nell’ambito della meccanica delle travature elastiche introdottenei corsi di Scienza delle Costruzioni. La base di partenza e il problema dell’asta diEulero, ossia lo studio dell’instabilita di singole aste compresse. Verranno pero ancheconsiderati altri casi di interesse applicativo quali l’instabilita si semplici portali el’instabilita flesso–torsionale. Si rimanda invece al metodo degli elementi finiti perlo studio di problemi di instabilita di telai di grande dimensione.

1.3.1. Aste compresse uniformemente di sezione costante

Nel caso di asta incernierata a un estremo e vincolata da un carrello a taglio nelpunto di applicazione del carico normale, il problema governante in forma forte siscrive (vedi la Sezione 1.3.5)

EJv′′′′ + Pv′′ = 0, x ∈ (0, `)v(0) = 0v′′(0) = 0v(`) = 0v′′(`) = 0

, (1.13)

il cui integrale generale e del tipo

v(x) = a1 cosαx+ a2 sinαx+ a3x

`+ a4. (1.14)

Le condizioni al contorno di cui al problema (1.13) danno luogo al sistema lineareomogeneo

1 0 0 1cosα` sinα` 1 1

1 0 0 0cosα` sinα` 0 0

a1a2a3a4

=

0000

. (1.15)

Indicata con A la matrice dei coefficienti in (1.15), soluzioni diverse dalla banale sihanno per

detA ≡ sinα` = 0, (1.16)

ossia per αn = nπ` che rappresentano gli autovalori del problema (1.13). La defor-mata corrispondente ad αn e la curva di equazione

vn(x) = vn0 sinnπx

`, (1.17)

vn(x) essendo invece le autofunzioni associate a (1.13). Il caso fisicamente piuinteressante e quello n = 1 (primo autovalore) per cui si ha

Pcr = π2EJ

`2, vcr(x) = vE0 sin

πx

`.

9


Osserviamo che il problema in esame si presta a essere studiato da un punto divista puramente statico, senza pertanto ricorrere all’equazione della linea elastica delquarto ordine ma con una piu semplice equazione del secondo ordine. Quest’ultimastrategia, unita al metodo delle forze, viene usata nella sezione che segue per lostudio di un problema iperstatico. In generale, considerando aste compresse disezione costante variamente vincolate scriveremo

Pcr =π2EJmin

`20,

in cui `0 e la lunghezza di libera inflessione, ossia la distanza tra due flessi consecutivinella prima deformata critica del problema.

1.3.2. Un problema iperstatico

Consideriamo la struttura una volta iperstatica in Figura 1.5. Indicata con H

Figura 1.5. Sistema una volta iperstatico

la reazione iperstatica del carrello, l’equilibrio alla rotazione del concio di travee l’equazione di legame lineare elastico con inclusa la congruenza delle (piccole)deformazioni si scrivono rispettivamente

Py −H(`− x) =M(x),

M(x) = −EJy′′(x).Posto poi α2 = P

EJ e normalizzando si giunge al problema ai limiti

y′′(x) + α2y(x) = HEJ (`− x), x ∈ (0, `)

y(0) = 0y′(0) = 0y(`) = 0

(1.18)

10


-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

α` = tanα`

α`

Figura 1.6. Soluzione grafica del problema iperstatico

Scritta la soluzione y(x) del problema (1.18), somma dell’integrale particolare e dellasoluzione del problema omogeneo associato, nella forma

y(x) = C1 sinαx+ C2 cosαx+H

α2EJ(`− x),

le condizioni ai limiti (1.18)2, (1.18)3 e (1.18)4 danno luogo al sistema lineareomogeneo

0 1 `α2EJ

α 0 − 1α2EJ

sinα` cosα` 0

C1C2H

=

000

nelle tre incognite C1, C2 e H. Si hanno soluzioni diverse dalla banale a patto cheil determinante della matrice dei coefficienti sia nullo, condizione che fornisce

α` cosα`− sinα` = 0.

Osservato che cosα` = 0 non e soluzione, possiamo dividere per cosα` giungendoall’equazione algebrica non lineare

α` = tanα`,

che, risolta per via grafica nella Figura 1.6, fornisce α` ≈ 4.4934 rad, cui corrispondeun carico critico

Pcr = α2EJ =π2EJ(

√2

)2 .

11


1.3.3. Il metodo delle imperfezioni

Introduciamo un’imperfezione nella forma di una deformata iniziale assegnata y0(x)cui andra a sommarsi l’effetto del carico di punta applicato. In piccole deformazioni(ma grandi spostamenti) si ha dunque una curvatura χ = −(y′′− y′′0) che, unita alle

equazioni di equilibrio e legame e posto α2 = PEJ , consente di scrivere l’equazione

normalizzata

y′′ + α2y = y′′0y(0) = 0y(`) = 0

(1.19)

in cui abbiamo considerato condizioni di semplice appoggio. Consideriamo il ca-so in cui l’imperfezione coincida con la prima autofunzione dell’operatore D(·) =d2(·)/dx2 + α2(·) dotato delle condizioni di bordo y(0) = y(`) = 0, ossia

y0(x) = K1 sinπx

`.

Ipotizzando inoltre P < Pcr =π2EJmin

`2, la soluzione particolare sara di tipo

yP (x) = A sinπx

`,

che, sostituita nell’equazione (1.19)1 consente di calcolare

A =K1

1− PPcr

.

Osservato poi che la soluzione generale si scrive

y(x) = C1 sinαx+ C2 cosαx+A sinπx

`,

e che le condizione al contorno (1.19)2 e (1.19)3 implicano C1 = C2 = 0, si ottiene

y(x) =y0

1− PPcr

.

L’imperfezione iniziale y0(x) viene dunque amplificata dalla presenza del carico P e ilfattore di amplificazione tende all’infinito per P ↑ Pcr. Il fenomeno fisico di amplifi-cazione dell’imperfezione iniziale e del tutto generale mentre il fatto che la deformataconseguente all’applicazione del carico sia semplicemente un multiplo della deforma-ta iniziale e frutto dell’approssimazione adottata secondo cui lo spostamento inizialey0(x) coincide con un’autofunzione dell’operatore D. In generale, data una defor-mata iniziale congruente generica, avra senso svilupparla in serie di autofunzioni ecalcolare in tal modo la deformata complessiva come somma degli effetti dovuti alle(infinite) autofunzioni.

1.3.4. Metodo energetico per aste in campo elastico

Con riferimento alla configurazione deformata della trave, sia s l’ascissa curvilinea eθ l’angolo di rotazione. Posta pari a zero l’energia potenziale del sistema nella con-figurazione indeformata e indicata con y la componente di spostamento in direzione

12


ortogonale all’asse della trave, si scrive

V (s) =

energia di

deformazione︷︸︸︷

∆U +

energia potenziale

dei carichi︷︸︸︷

∆Ω ,

dove, dal teorema di Clapeyron,

∆U =1

2

∫

VσijεijdV =

1

2

∫ `

0M(s)χ(s)ds,

in cui χ indica la curvatura e sono stati considerati, per il momento, grandi sposta-menti e deformazioni. Passando a piccole deformazioni, ossia introducendo le ap-prossimazioni

χ =−y′′

(1 + y′2

)3/2≈ −y′′ e ds ≡ dx,

si ottiene

∆U =1

2

∫ `

0EJy′′

2dx.

Passando da grandi a piccole deformazioni anche nel calcolo dell’energia potenzialedei carichi si ha

∆Ω = −P∆`,con

∆` = `−∫ `

0cos θds =

∫ `

0(1− cos θ)ds ≈

∫ `

0

θ2

2ds ≈

∫ `

0

y′2

2ds.

In definitiva l’energia potenziale totale in piccole deformazioni si scrive nella forma

V (y) =1

2

∫ `

0EJ

(y′′)2dx− 1

2P

∫ `

0

(y′)2dx,

dove y ∈ Y , con Y insieme delle configurazioni congruenti. In base al principio delminimo dell’energia potenziale globale si ha stabilita per un assegnato P qualoravalga la condizione

∆V ≡ V (y) > 0 ∀y ∈ Y.

1.3.5. Il metodo di Trefftz

Il metodo di Trefftz e di fatto un approccio energetico al metodo statico. Partiamocon l’ipotesi di grandi spostamenti e deformazioni per cui, adottata come variabileindipendente l’angolo di rotazione θ, l’energia potenziale totale si scrive

∆V =1

2

∫ `

0EJ

(dθ

ds

)2

ds− P∫ `

0(1− cos θ)ds.

La condizione di stazionarieta ∂V∂θ δθ = 0 ∀ δθ diventa

∫ `

0EJ

dθ

dsdsδ

dθ

ds− P

∫ `

0sin θδθds =

[

EJdθ

dsδθ

]`

0

−

−∫ `

0EJ

d2θ

ds2δθds− P

∫ `

0sin θδθds = 0. (1.20)

13


La condizione (1.20) da luogo all’euleriana del problema che si scrive

EJd2θ

ds2+ P sin θ = 0,

che in forma normalizzata diventa

d2θ

ds2+ α2 sin θ = 0.

Dalla condizione[

EJdθ

dsδθ

]`

0

= 0

si ricavano le condizioni geometriche e naturali che si scrivono rispettivamente nellaforma

θ = 0,

EJdθ

ds= 0,

in cui vale la relazione M(s) ≡ EJ dθds . Passando al caso di piccole deformazioni

si guadagna ovviamente in trattabilita analitica. Scelta stavolta come variabile in-dipendente la componente di spostamento y normale all’asse della trave, l’espressionedel potenziale totale diventa

V (y) =1

2

∫ `

0EJy′′

2dx− 1

2P

∫ `

0y′2dx,

la cui variazione prima si scrive

δV =

∫ `

0EJy′′δy′′dx− P

∫ `

0y′δy′dx.

Integrando per parti una prima volta si ottiene poi

δV =[EJy′′δy′

]`

0−∫ `

0EJy′′′δy′dx− P

∫ `

0y′δy′dx.

Integrando ancora per parti si ha infine

δV =[EJy′′δy′

]`

0−[(EJy′′′ + Py′)δy

]`

0+

∫ `

0

[EJyIV + Py′′

]δydx.

Annullando la variazione prima sopra scritta si ottengono rispettivamente l’equazionedi stato, due condizioni geometriche e due naturali:

EJyIV + Py′′ = 0,

y = 0, y′ = 0,

EJy′′(≡M) = 0, [EJy′′′ + Py′](≡ T ) = 0.

Considerata un’asta incastrata a un estremo (x = 0) e libera all’altro (x = `), ossia ilcaso della mensola compressa, si ottiene il problema differenziale omogeneo di ordinequattro

yIV + α2y′′ = 0y(0) = 0y′(0) = 0y′′(`) = 0y′′′(`) + α2y(`) = 0

(1.21)

14


La soluzione generale del Problema 1.21 si scrive

y = C1 sinαx+ C2 cosαx+ C3x+ C4,

dove le costanti Ci, i = 1, . . . , 4 vengono determinate dal sistema omogeneo

0 1 0 1α 0 1 0

sinα` cosα` 0 00 0 1 0

C1C2C3C4

=

0000

Imponendo al solito che il determinante della matrice dei coefficienti sia nullo sigiunge alla condizione

α cosα` = 0,

che, scartata la soluzione banale α` = 0, fornisce per k intero

α` = (2k + 1)π

2.

Il primo autovalore e dunque α` = π2 da cui si ottiene

Pcr =π2EJ

4`2.

1.3.6. Analisi in grandi deformazioni

Torniamo al problema in grandi deformazioni che, indicata stavolta con l’apice laderivazione rispetto all’arco s, si scrive

EJθ′′ + P sin θ = 0θ(0) = 0θ′(`) = 0

Posto come sempre α2 = PEJ e introdotta la curvatura quale variabile ausiliaria, i.e.

u ≡ θ′,

si arriva a scrivere scrivere

θ′′ = u′ =du

ds=du

dθ

dθ

ds=du

dθθ′,

e dunquedu

dθθ′ + α2 sin θ = 0.

Separando le variabili

udu = −α2 sin θdθ,e integrando si ottiene l’espressione

u2

2= α2 cos θ + C.

Vale poi la condizione al contorno dθds

∣∣s=`≡ u(`) = 0 che, posto θ = θ(`), consente

di scrivereu2

2= α2(cos θ − cos θ),

15


da cui, estraendo la radice, si giunge a

u =dθ

ds= ±α

√

2(cos θ − cos θ).

Separando le variabili e usando elementari identita trigonometriche si ottiene

αds =dθ

√

2(cos θ − cos θ)=

dθ

2

√

sin2 θ2 − sin2 θ

2

,

che, integrata sull’intera asta, fornisce∫ `

0αds = α` =

∫ θ

0

dθ

2

√

sin2 θ2 − sin2 θ

2

.

Introdotta poi la nuova variabile ω tale per cui

sinθ

2= a, sin

θ

2= a sinω,

e calcolati i differenziali e gli estremi d’integrazione

1

2cos

θ

2dθ = a cosωdω,

θ = 0 ⇒ ω = 0

θ = θ → ω = π2

,

si ottiene

α` = K(a) =

∫ π2

0

dω√

1− a2 sin2 ω. (1.22)

Ricordando che la variabile a e legata alla rotazione massima θ dalla relazione a =

sin θ2 e che α =

√PEJ , l’equazione (1.22) stabilisce di fatto una relazione tra carico

applicato P e rotazione massima θ, ossia

P = P (θ).

Un ulteriore e utile relazione da individuare e quella che lega il carico P allaspostamento massimo ∆. Ricordato allora che dy = sin θds, si scrive

∆ =

∫ ∆

0dy =

∫ `

0sin θds =

∫ θ

0sin θ

ds

dθdθ,

da cui, passando alla variabile ω gia introdotta, si ottiene

∆ =

∫ π2

0

a sinω

αdω =

2a

α≡ 2

αsin

θ

2≡ 2√

PEJ

sinθ

2.

Si ha pertanto una relazione tra θ, PPcr

e ∆` di cui vengono tabulati in seguito alcuni

valori significativi. I risultati della Tabella 1.3.6 sono mostrati per maggior chiarezzaanche nella Figura 1.7. L’esame della struttura in grandi deformazioni sottolineapertanto come il comportamento post–critico sia caratterizzato da un carico di puntapressoche costante, con una stabilizzazione (ossia un incremento di carico a rotazioneo freccia costanti) che avviene solo per grandissime deformazioni in corrispondenzadelle quali la struttura cessa di fatto di essere un pilastro e si comporta come unatrave (angolo retto tra direzione del carico e asse della trave).

16


θ P/Pcr ∆/`20 1.1015 0.22040 1.1063 0.42260 1.1152 0.59380 1.293 0.719100 1.518 0.792120 1.884 0.803140 2.541 0.750160 4.029 0.625176 9.116 0.421

Tabella 1.1. Angolo di rotazione vs carico critico vs freccia

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

∆ / l

P /

Pcr

Comportamento post−critico di aste compresse in grandi deformazioni

Figura 1.7. Carico critico vs freccia in sommita in grandi deformazioni

1.3.7. Cenni su relazioni e interazioni tra stato limite elastico e di insta-

bilita

Data che sia un’asta compressa in campo elastico, il regime di semplice compres-sione elastica puo essere abbandonato o per sopraggiunta instabilita euleriana, ossiaquando il carico di punta P tende a Pcr, oppure per plasticizzazione, ossia quan-do P tende al valore P = σA, dove σ e la tensione di snervamento del materiale.

17


Riveste particolare interesse la determinazione delle condizioni fisiche che determi-nano quale dei due fenomeni prenda il sopravvento nei vari casi applicativi ed e a talfine opportuno spostare l’analisi dai carichi P alle tensioni σ. Il problema presentaperaltro una notevole complessita e si rimanda a testi specialistici per un esame ap-

profondito [1]. Ricordata dunque la formula del carico critico euleriano Pcr =π2EJ`20

,

normalizzando sull’area si giunge alla definizione di sforzo critico euleriano. Si scriveinfatti

σcr =PcrA

=π2EJminA`20

=π2E`20

Jmin/A

.

Indicato poi con

ρ2min =JminA

il quadrato del raggio giratore d’inerzia minimo della sezione e denotato lo scalareadimensionale

λ =`0ρmin

con il termine snellezza, si giunge alla relazione

σcr =π2E

λ2.

Va osservato che la snellezza λ dipende tramite `0 dalla lunghezza effettiva dellatrave e dai vincoli applicati e tramite ρmin dal tipo di sezione trasversale adottata.La dipendenza dal materiale e invece lasciata alla dipendenza esplicita di σcr dalmodulo elastico E. A livello di materiale e di verifica puntuale, la relazione

σ < σcr

assicurera la non insorgenza di fenomeni di instabilita. D’altro canto, i classici criteridi resistenza rispetto allo stato limite elastico si scrivono nella forma

σid < σ,

in cui σid e la tensione mono-assiale equivalente in senso da precisare allo stato ditensione reale e σ e la tensione di snervamento valutata di norma in laboratorio conuna classica prova di trazione. Nel piano (λ2, σ) risulta dunque individuata la regioneammissibile dove la struttura si comporta elasticamente e non insorgono fenomeni diinstabilita che e quella al di sotto delle linee a tratto pesante in Figura 1.8. Appareevidente che per snellezze piccole il fenomeno dell’instabilita non costituisce vincolorestrittivo al comportamento della struttura, e parleremo di aste tozze, a differenzadi quanto accade per valori elevati della snellezza λ, dove parleremo per l’appuntodi aste snelle.

1.3.8. Travi con vincoli elastici

Lo studio delle travi con vincoli elastici, oltre a presentare interesse di per se, rivestenotevole importanza nello studio dell’instabilita dei telai come si vedra in seguito.Considereremo in questo contesto aste con appoggi perfetti agli estremi. Riguardoa momenti e rotazioni, di volta in volta specificheremo se valga una relazione lineareelastica di tipo M = −Kθ come gia incontrato nello studio dei sistemi discreti,oppure i momenti siano “da calcolare altrove” nello spirito del metodo delle forze. Per

18


0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

σ

λ2

Figura 1.8. Stato limite elastico vs instabilizzazione materiale

partire, consideriamo una trave iperstatica di lunghezza ` cui associamo un’isostaticaprincipale semplicemente appoggiata con i momenti iperstatici in evidenza dovutialla presenza di incastri cedevoli elasticamente, vedi Figura 1.9. Detti A e B gli

Figura 1.9. Trave doppiamente incastrata con vincoli rotazionalielasticamente cedevoli

appoggi, l’assenza di carichi distribuiti assicura la linearita del momento flettentecosı da scrivere

M(x) =MA −MA +MB

`x+ Py = −EJy′′,

che, posto come al solito α2 = PEJ , diventa

y′′ + α2y =1

EJ

[MA +MB

`x−MA

]

,

la cui soluzione e di tipo

y(x) = C1 sinαx+ C2 cosαx+1

α2EJ

[MA +MB

`x−MA

]

.

Le condizioni al contorno sulla linea elastica cosı ottenuta si scrivono

y(0) = 0y(`) = 0

y′(0) = −MA

KA

y′(`) = −MB

KB

,

19


dando luogo al sistema omogeneo

0 1 − 1α2EJ

0sinα` cosα` 0 1

α2EJα 0 1

α2EJ`+ 1

KA

1α2EJ`

α cosα` −α sinα` 1α2EJ`

1α2EJ`

+ 1KB

C1C2MA

MB

=

0000

.

Posti ora p = α`, λA = EJKA`

e λB = EJKB`

, l’annullamento del determinante della

matrice dei coefficienti si scrive

p sin p(1− λA − λB − p2λAλB) + cos p(2 + λAp2 + λBp

2) = 2. (1.23)

Oltre a una soluzione numerica come ad esempio in Figura 1.10 dove si e consideratoλA = λB = 1, i metodi per la soluzione dell’equazione (1.23) sono

1. metodo di Newmark (approssimato e solo per telai a nodi fissi);2. metodo delle forze (considerando MA e MB come incognite iperstatiche).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

f(p) = p sin(p)(1− λA − λ

B − p2 λ

A λ

B) + cos(p)(2+λ

A p2 + λ

B p2) − 2

p = α L

f(p)

= d

et(M

)

Figura 1.10. Soluzione numerica dell’Equazione (1.23)

1.3.8.1. Metodo di Newmark

La soluzione di Newmark dell’Equazione 1.23 si scrive

P = C(λA, λB)π2EJ

`2,

dove

C(λA, λB) =(0.4 + λA)(0.4 + λB)

(0.2 + λA)(0.2 + λB).

Vale la pena controllare alcuni casi particolari quali ad esempio:

20


- assenza di molle, ossia KA = KB = 0 (trave in semplice appoggio). Per KA,KB ↓0, λA, λB ↑ ∞. Si ha poi

lim(λA,λB)↑(∞,∞)

C(λA, λB) = 1⇒ P =π2EJ

`2,

che e il risultato atteso secondo la teoria di Eulero con vincoli perfetti.- molle di rigidezza infinita, ossia Ka,KB ↑ ∞ (trave perfettamente incastrata).Per KA,KB ↑ ∞, λA, λB ↓ 0. Si ha poi C(0, 0) = 4 che fornisce la soluzione diEulero per aste perfettamente incastrate

P = 4π2EJ

`2.

1.3.8.2. Metodo delle forze

Considerando inveceMA eMB come parametri iperstatici da determinarsi ”altrove”,ci si riduce a un sistema non omogeneo nelle due sole incognite C1 e C2 che si scrivenella forma

[0 1

sinα` cosα`

]C1C2

=

MA

α2EJ

− MB

α2EJ

,

la cui soluzione e

C1 = −MB +MA cosα`

α2EJ sinα`,

C2 =MA

α2EJ.

Nell’ottica dell’instabilita eulerianaMA eMB sono imperfezioni il cui calcolo richiedeil metodo delle forze. In particolare, il calcolo di y′(0) ≡ ϕA e y′(`) ≡ ϕB fornisce

y′(0) = αC1 +MA+MB

α2EJ`

⇓ϕA = 1

α2EJ

[MA(−α cot(α`) + 1

` ) +MB(− αsinα` +

1` )],

che, sfruttando le ovvie condizioni di simmetria, consente di ottenere

ϕA = `EJ

[(1p2− 1

p tan p

)

MA +(1p2− 1

p sin p

)

MB

]

ϕB = `EJ

[(1p2− 1

p sin p

)

MA +(1p2− 1

p tan p

)

MB

]

.

Una forma piu familiare, che ricorda e generalizza relazioni utilizzate nell’ambito delmetodo degli spostamenti, e la seguente:

ϕA = `6EJ [2MAf1(p)−MBf2(p)]

ϕB = `6EJ [−MAf2(p) + 2MBf1(p)] ,

con

f1(p) = 3

(1

p2− 1

p tan p

)

, f2(p) = 6

(1

p2− 1

p sin p

)

. (1.24)

La rappresentazione grafica delle funzioni f1(p) e f2(p) si trova in Figura 1.11. In

21


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

p = α L

f 1(p)

f1(p) = 3[1/ p2 − 1/[p tan(p)]]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

p = α Lf 2(p

)

f2(p) = 6[1/ p2 − 1/[p sin(p)]]

Figura 1.11. Andamento delle funzioni f1(p) e f2(p) di cuiall’Equazione (1.24)

assenza di carico di punta si ha

ϕA = `6EJ [2MA −MB]

ϕB = `6EJ [−MA + 2MB] ,

e infatti limp↓0 f1(p) = limp↓0 f2(p) = 1. Nel caso poi di mensola incastrata al piede,si ha identicamente

ϕA = 0⇒MA =f2(p)

2f1(p)MB

Si ottiene infine

ϕB =`

4EJ

4f21 (p)− f22 (p)3f1(p)

MB.

I casi visti sopra saranno utili nello studio dell’instabilita di portali a nodi fissimentre il caso di portali a nodi spostabili richiedera lo studio della mensola convincoli elastici riportata in Figura 1.12. Viste le notazioni in Figura 1.12 e indicata

Figura 1.12. Mensola con vincolo rotazionale elasticamente cedevole

con f la freccia massima, l’equilibrio a rotazione consente di scrivere

y′′ + α2y =1

EJ(MB + Pf),

la cui soluzione e del tipo

y(x) = A sinαx+B cosαx+MB

EJα2+ f.

22


Le condizioni al contorno y(0) = 0, y(l) = f e y′(0) ≡ ϕA = MB+PfKA

consentono poi

di calcolare A,B, f grazie al sistema lineare non omogeneo

0 1 1sinα` cosα` 0

α 0 − PfKA

ABf

=MB

− 1EJα2

− 1EJα2

1KA

.

Nello spirito del metodo statico, la condizione di instabilita si ottiene nel caso disistema omogeneo, ossia per MB = 0. Annullando al solito il determinante dellamatrice dei coefficienti si ottiene

−α cos p+p sin p

KA= 0,

da cui

p tan p =KA`

EJ. (1.25)

Come casi particolari della (1.25), si noti che per KA ↑ ∞ si realizza un vincolo di

incastro perfetto e inoltre tan p ↑ ∞ e dunque Pcr =π2EJ4`2

. Per EJ ↑ ∞ si realizza

invece il caso di asta rigida e infatti Pcr =K` .

1.3.9. Applicazioni a telai semplici

1.3.9.1. Portale a nodi fissi

Consideriamo il portale simmetrico a nodi fissi simmetricamente caricato rappre-sentato in Figura 1.13. Sempre in Figura 1.13 viene rappresentato il meccanismo

Figura 1.13. Portale simmetrico a nodi fissi

23


di instabilita insieme al momento iperstatico comune ai pilastri e alla trave. Lerotazioni di pilastro e trave al nodo B si scrivono

ϕBAB =`

6EJ2MBf1(p)

ϕBCB =`1

3EJ1MB +

`16EJ1

MC =`1

2EJ1MB

, (1.26)

grazie a cui l’equazione di congruenza ϕBAB + ϕBCB = 0 consente di scrivere(`

3Jf1(p) +

`12J1

)

MB = 0.

Si ottiene in definitiva l’espressione

f1(p) = −3

2

J/`

J1/`1,

che puo essere calcolata per i vari casi di interesse applicativo come mostrato nelseguito.

1. Trave e pilastro di ugual sezione, ossia J` = J1

`1. Si ha dunque

f1(p) = −1.5⇒ p = α` ≈ 3.593

e

Pcr = 12.91EJ

`2=

π2EJ

(0.87`)2

2. Trave meno rigida del pilastro, e.g. J = J1, `1 = 2`⇒ f1(p) = −3. Il carico criticorisulta minore del precedente poiche il vincolo offerto dal traverso al pilastro emeno rigido. Si trova infatti

α` = 3.40⇒ Pcr = 11.56EJ

`2=

π2EJ

(0.92`)2

3. `1 ↑ ∞ ossia J1/`1 ¿ J/`. Il portale si riduce a due mensole indipendenti e sitrova

Pcr =π2EJ

`2

4. J/` ¿ J1/`1, ossia traverso molto piu rigido della trave. Ci si riduce al rittoiperstatico con carrello al piede e incastro in sommita per cui si e gia trovato`0 = `/

√2

In tutti i casi vale la condizione

1√2≤ `0

`≤ 1,

come si desume dai casi limite 3 e 4 descritti sopra.

1.3.9.2. Portale a nodi spostabili

Nel caso invece di telaio a nodi spostabili il meccanismo di instabilizzazione divieneanti–simmetrico come mostrato in Figura 1.14 ed e importante osservare come ladeformata del traverso presenti un nodo in mezzeria. Quest’ultima osservazioneconsente di concludere che il ritto AB puo essere studiato come asta incernierata

24

1.4. Instabilita flesso–torsionale

Figura 1.14. Portale simmetrico a nodi spostabili

al piede e vincolata in sommita da un traverso elastico di lunghezza `/2. Conriferimento all’equazione (1.25) si ha dunque

α` tanα` = 6J1/`1J/`

.

Nel caso particolare di portale omogeneo J1/`1 = J/` si trova α` = 1.35 da cui siricava

Pcr =π2EJ

(2.33`)2.

E opportuno osservare come in questo caso `0 = 2.33` > 2`, ossia la “spostabilita”dei nodi del telaio si paga a caro prezzo. Anzi, `0 = 2` si ha solo nel caso limiteJ1/`1 ↑ ∞ per cui il pilastro risulta risulta vincolato con carrello e pattino.


1.4.1. Descrizione qualitativa del fenomeno

Il fenomeno dell’instabilita trova nei pilastri la sua manifestazione naturale ma esi-stono altri casi di interesse applicativo per i quali altri aspetti dell’instabilita vannotenuti in conto in fase di modellazione e progettazione. Si consideri il caso di traviinflesse che molto di frequente vengono a priori studiate e progettate come sistemi pi-ani, senza in realta preoccuparsi dell’esistenza (o della progettazione) dei vincoli cheimpediscano lo svergolamento della trave, ossia la sua fuori–uscita dal piano cui in

25


condizioni normali appartiene. Lo svergolamento risulta facilitato dalla (frequente)scelta di travi per le quali Jmax À Jmin, ossia che ad una resistenza flessionale el-evata in una direzione ne fanno corrispondere una molto piu modesta nell’altra. Ilregime di riferimento di flessione retta diventa quindi, al manifestarsi del fenomenodi instabilita, un regime complesso di flessione deviata accompagnata da torsione,in analogia a quanto gia visto per le travi caricate di punta che, una volta in-stabili, abbandonano la semplice compressione verso la presso–flessione (deviata).La Figura 1.15 mostra il sistema di riferimento adottato e una trave deformata a“svergolamento” avvenuto.

Figura 1.15. Instabilita flesso–torsionale

1.4.2. Equazioni governanti

Con riferimento alla Figura 1.16 indichiamo con Mt il momento torcente, con Mil momento flettente principale, ossia quello presente anche in fase pre–critica, conϕ la rotazione flessionale attorno all’asse y e con u lo spostamento in direzione x.L’equilibrio alla rotazione intorno alla “normale alla faccia incrementata” si scrive

Mt + dMt −Mt cos dϕ+M sin dϕ = 0.

Passando a piccole deformazioni (ma grandi spostamenti) ossia per cos dϕ ≈ 1 esin dϕ ≈ dϕ si ottiene

dMt

ds=M

dϕ

ds,

che, ricordato che in piccole deformazioni ds ≈ dz, fornisce

dMt

dz=M

dϕ

dz.

26


Figura 1.16. Instabilita flesso–torsionale: notazioni

Grazie poi all’equazione di congruenza

dϕ

dz= −

d2udz2

(

1 +(dudz

)2)3/2

≈ −d2u

dz2,

si giunge all’equazione

dMt

dz= −Md2u

dz2. (1.27)

Passiamo ora al piano (x, y) e indichiamo con θ l’angolo di torsione attorno all’asse z.Nell’ipotesi di carico costante “non follower” il caricoM ≡Mx viene scomposto, conriferimento alla configurazione deformata di Figura 1.17, secondo le sue componenti

M∗ =M cos θ ≈M, M =M sin θ ≈Mθ.

Da un punto di vista fisico, M ∗ = M cos θ ≈ M implica che la flessione principalerimane invariata mentre ne compare una secondaria (e piccola) il cui carico e datoda M = M sin θ ≈ Mθ. Le equazioni di legame in piccole deformazioni flessionalenel piano orizzontale e torsionale si scrivono rispettivamente

M = −EJyd2u

dz2, (1.28)

Mt = −Cdθ

dz, (1.29)

dove la costante di rigidita torsionale e data da C = GJP` , JP essendo il momento

d’inerzia polare della sezione trasversale attorno al baricentro. Derivando l’equazionedi legame (1.29)

dMt

dz= −C d

2θ

dz2,

27


Figura 1.17. Instabilita flesso–torsionale: scomposizione della coppia

e sostituendo nell’equazione di equilibrio (1.27), si ottiene

Cd2θ

dz2=M

d2u

dz2. (1.30)

Il problema dell’instabilita flesso–torsionale e dunque governato dal sistema differen-ziale lineare di due equazioni

Md2u

dz2= C

d2θ

dz2

Mθ = −EJyd2u

dz2

(1.31)

nelle due incognite θ e u. Di norma un problema differenziale di due equazioni delsecondo ordine origina una singola equazione del quarto ordine. Il sistema (1.31)e invece piu semplice poiche consente di isolare la funzione θ che risulta governatadall’equazione

θ′′ + α2θ = 0 , (1.32)

dove α2 = M2

CEJy. L’equazione differenziale risulta a coefficienti costanti purche la

trave sia omogenea e caricata uniformemente ossia nel caso in cui il prodotto dellerigidezze CEJy e il carico M siano costanti. La soluzione e dunque di tipo

θ(z) = C1 sinαz + C2 cosαz.

Nel caso di trave di lunghezza ` i cui appoggi agli estremi vincolino gli spostamentinelle direzioni y e z e la rotazione attorno a x si hanno le condizioni al contorno

θ = 0, per z = 0, z = `,

28


che danno luogo al (solito) sistema lineare omogeneo

[0 1

sinα` cosα`

]C1C2

=

00

,

l’annullarsi del cui determinante porta alla condizione

sinα` = 0⇒ α` = π.

In analogia con il caso di aste compresse, si trova qui il momento critico nella forma

M2cr =

π2

`2CEJy.

1.4.3. Coesistenza di instabilita per carico di punta e flesso–torsionale

Qualora un’asta presso–inflessa sia interessata anche da instabilita flesso–torsionale esufficiente riscrivere il problema (1.31) includendo il contributo flessionale del caricodi punta P . Si ha dunque

Md2u

dz2= C

d2θ

dz2

Mθ + Pu = −EJyd2u

dz2

, (1.33)

che, per derivazione e sostituzione, da stavolta luogo all’equazione del quarto ordine

θIV +1

EJy

[M2

C+ P

]

θ′′ = 0 ,

relazione che vale anche per travi e carichi variabili. Nel caso poi di travi e carichi

costanti, posto α2 =M2

C+P

EJy, si ottiene a meno di costanti la soluzione

θ(z) = C1 sinαz + C2 cosαz + C3z + C4,

con le condizioni al contorno

θ(0) = 0, θ′′(0) = 0, θ(`) = 0, θ′′(`) = 0.

L’annullamento del determinante della matrice dei coefficienti 4× 4 porta alla con-

dizione abituale sinα` = 0, che implica α2 = π2

`2da cui

(M2

C+ P

)

cr

=π2EJy`2

, (1.34)

relazione che completa ed estende quella di Eulero gia determinata. Ponendo nella(1.34) M = 0 o P = 0 si ottengono rispettivamente i casi particolari di instabilitaper presso–flessione o flesso–torsione.

29

1.5. Complementi

1.5. Complementi

La presentazione dei fenomeni di instabilita delle sezioni precedenti e stata per lopiu condotta in piccole deformazioni, con lo scopo dichiarato di determinare il caricocritico euleriano quale grandezza fisica di rilevante importanza progettuale. Moltomeno spazio e stato invece riservato all’analisi del comportamento post–critico conparticolare riguardo allo studio della biforcazione dell’equilibrio. Un punto crucialeche e stato solo accennato in precedenza riguarda la relazione tra il carico criti-co calcolato con un’analisi in piccole deformazioni e quello effettivo derivante daun’analisi in grandi deformazioni. Sarebbe auspicabile che l’analisi in piccole de-formazioni fornisse una stima per difetto del carico critico effettivo, cosı da poterritenere conservativa una stima basata sull’analisi in piccole deformazioni. Purtrop-po le cose non vanno in questo caso come vorremmo. Riportiamo infatti nel seguitotre casi di studio, uno dei quali riprende un esempio gia analizzato in precedenza, chemostrano la varieta dei casi che si possono presentare. I sistemi sono ad aste rigidee parametri elastici concentrati ma riescono ad enucleare una (forse sorprendente)ricchezza di comportamenti. Vedremo in particolare che esistono casi in cui il caricocritico calcolato in piccole deformazioni sovrastima in maniera significativa il caricocritico reale. Cio deve far riflettere, caso per caso, sull’eventuale opportunita diprocedere ad un’analisi in grandi deformazioni. Approfondimenti su queste delicatequestioni si trovano tra gli altri riferimenti in [1] e [4]. La Figura 1.18 presenta i trecasi di studio analizzati nel seguito che riguardano rispettivamente:

- Figura 1.18 (a) - biforcazione simmetrica stabile;- Figura 1.18 (b) - biforcazione simmetrica instabile;- Figura 1.18 (c) - biforcazione asimmetrica.

Figura 1.18. Meccanismi di biforcazione: (a) simmetrica stabile -(b) simmetrica instabile - (c) asimmetrica

30

1.5. Complementi

-2 -1 0 1 20

1

2

P

q

P

q

Dominio Instabile

α > 0

α < 0

α < 0

α > 0

Figura 1.19. Biforcazione simmetrica stabile

1.5.1. Biforcazione simmetrica stabile

Riconsideriamo la colonna rigida gia analizzata nella sezione 1.2.1, in presenza perodi un’imperfezione costituita da una rotazione iniziale α, vedi Figura 1.18 (a). In-dicati con q l’angolo di rotazione dell’asta rispetto alla verticale, con U l’energiaelastica della molla rotazionale e con W l’energia potenziale del carico P , l’energiapotenziale totale Π si scrive a meno di costanti additive

Π = U −W =1

2C(q − α)2 − P`(cosα− cos q),

le cui derivate prima e seconda rispetto alla coordinata libera q valgono

∂Π

∂q= C(q − α)− P` sin q, ∂2Π

∂q2= C − P` cos q. (1.35)

Ponendo nello spirito del metodo di Trefftz ∂Π∂q = 0 si ottiene la condizione di

equilibrio

P =C

`

q − αsin q

. (1.36)

La Figura 1.19 presenta la relazione P = P (q) per diversi valori dell’imperfezione

iniziale α. Ponendo poi ∂2P∂q2

= 0, si ottiene la curva che separa nel piano (q, P ) la

regione di stabilita da quella di instabilita. Esplicitando si trova

Pαcr(q) =

C

` cos q, (1.37)

e la regione di instabilita e dunque quella che giace al di sopra della curva convessaa tratto leggero in Figura 1.19. Il carico critico nel caso di colonna perfetta (α = 0)

31

1.5. Complementi

-1 0 10

1

2

Pcr

α

Figura 1.20. Insensitivita alle imperfezioni nell’esempio di Figura1.18 (a)

si calcola

P 0cr = limq→0

Pα=0cr (q) =

C

`.

La stabilita dell’equilibrio si studia poi sostituendo la condizione di equilibrio (1.36)nell’espressione (1.35)2 ottenendo

∂2Π

∂q2= C [1− (q − α) cot q] , (1.38)

e l’equilibrio e stabile in corrispondenza di un minimo dell’energia potenziale totale

ossia per ∂2Π∂q2

> 0. Le condizioni di stabilita sono dunque date da

tan q > q − α per α < q < π2

tan q < q − α per −π2 < q < 0

La caratteristica principale di questo particolare esempio sta nel fatto che la colonnaperfetta presenta un punto di biforcazione per P = P 0cr oltre il quale il percorso post–critico nel piano (q, P ) risulta crescente indicando la possibilita di incrementare ilcarico un volta raggiunto lo stato critico. Da qui il nome biforcazione stabile chee poi anche simmetrica rispetto a un cambiamento del segno di q. Riguardo allasensitivita del comportamento strutturale alla presenza di imperfezioni, risulta utiledeterminare e rappresentare, anche se in via approssimata, il legame Pcr = Pcr(α).L’equazione (1.38) assicura che gli stati critici sono caratterizzati dalla relazioneq − α = tan q: Ricordati dunque gli sviluppi di Taylor

tan q ≈ q +1

3q3,

cos q ≈ 1− 1

2q2,

si ottiene sostituendo nell’Equazione (1.37)

Pcr(α) ≈C

`

[

1 +32/3

2

(

α2/3)]

,

relazione rappresentata in Figura 1.20. Poiche il carico critico per piccole imper-fezioni risulta maggiore di quello calcolato in assenza di imperfezioni parleremo distrutture non sensibili alle imperfezioni.

32

1.5. Complementi

-1 0 10

1

2

q

Dominio Stabileα > 0

α < 0

α < 0

α > 0

Figura 1.21. Biforcazione simmetrica instabile

1.5.2. Biforcazione simmetrica instabile

Con riferimento all’esempio precedente, sostituiamo la molla rotazionale al piedecon una molla traslazionale in sommita, vedi Figura 1.18 (b). Non vi e pero piuproporzionalita tra rotazione e coppia elastica di richiamo poiche al crescere del-la rotazione dell’asta decresce corrispondentemente il braccio della forza elasticaattorno alla cerniera a terra. L’energia potenziale totale vale

Π =1

2C`2(sin q − sinα)2 − P`(cosα− cos q),

le cui derivate prima e seconda valgono

∂Π

∂q= C`2(sin q − sinα) cos q − P` sin q (1.39)

∂2Π

∂q2= C`2(cos 2q + sinα sin q)− P` cos q. (1.40)

Annullando la derivata prima si ottiene la condizione di equilibrio

P = C`

(

1− sinα

sin q

)

cos q, (1.41)

mentre annullando al seconda si ottengono i carichi critici

Pcr = C`cos 2q + sinα sin q

cos q.

La condizione di equilibrio stabile e al solito fornita dalla positivita della derivata

33

1.5. Complementi

-1 0 10

1

2

Pcr

α

Figura 1.22. Sensitivita alle imperfezioni nell’esempio di Figura1.18 (b)

seconda valutata nella posizione di equilibrio. Si ottiene dunque

C`2

sin q(sinα− sin3 q) > 0. (1.42)

E fondamentale osservare che in questo esempio lo stato critico del sistema in pre-senza di imperfezioni si realizza per carichi minori di quello del sistema perfetto.Riguardo al legame tra carico critico Pcr e ampiezza dell’imperfezione α, l’Equazione(1.42) fornisce sin qcr = (sinα)1/3 che, sostituita nella relazione d’equilibrio (1.41),fornisce

Pcr = C`[

1− (sinα)2/3] [

1− (sinα)2/3]1/2≈ CL

(

1− 3

2α2/3

)

.

L’ultima espressione mostra come il carico critico decresca con potenza 2/3 rispettoall’ampiezza dell’imperfezione, vedi Fgura 1.22

1.5.3. Biforcazione asimmetrica

Esistono nelle strutture reali meccanismi di instabilizzazione di tipo symmetry break-ing, ovvero in base ai quali una struttura che presenta delle simmetrie si instabilizzasecondo una deformata non simmetrica. Il caso degli archi e dei gusci che presentanodue piani di simmetria e si instabilizzano in modo asimmetrico costituisce l’esempiopiu eclatante in tal senso. Il fenomeno e comunque riscontrabile gia per strutturepiu semplici ad aste rigide ed elementi elastici concentrati. Si consideri ad esempiouna colonna incernierata alla base e soggetta in sommita ad una forza elastica dirichiamo inclinata di 45. Indicata ancora con α la rotazione iniziale pre-carico cuil’asta e soggetta e con q la rotazione assoluta della colonna, calcolata la lunghezzadella molla di richiamo che vale

v = ` cos(π/4− α)− ` cos(π/4− q),l’energia potenziale totale assume la forma

Π =C

2`2[cos(π/4− q)− cos(π/4− α)]2 − P`(cosα− cos q), (1.43)

34

1.5. Complementi

-1 0 10

1

q

PDominio instabile

Dominio stabile

1/2

Figura 1.23. Biforcazione asimmetrica

e le derivate prima e seconda si scrivono

∂Π

∂q= C`2

[1

2cos 2q − sin(π/4− q) cos(π/4− α)

]

− P` sin q,

∂2Π

∂q2= C`2 [cos(π/4− α) cos(π/4− q)− sin 2q]− P` cos q.

Imponendo la condizione di equilibrio ∂Π∂q = 0 si ottengono le curve di equilibrio

Pα(q) =C`

sin q

[1

2cos 2q − sin(π/4− q) cos(π/4− α)

]

.

Imponendo poi l’annullamento della derivata seconda dell’energia potenziale totale,

ossia ∂2Π∂q2

= 0, si trovano i carichi critici P αcr(q) nella forma

Pαcr(q) = C`

[cos(π/4− α) cos(π/4− q)

cos q− 2 sin q

]

,

e il carico critico in assenza di imperfezioni e al solito dato da limq→0 P0cr(q) =

C`2 .

Riguardo alla dipendenza del carico critico dall’ampiezza dell’imperfezione vale la

35

1.5. Complementi

relazione

Pcr =C`

2(1−

√6√α).

La potenza 1/2 trovata in questo caso mostra come la sensitivita all’imperfezionedelle strutture a biforcazione asimmetrica sia maggiore di quella a biforcazionesimmetrica instabile per cui si aveva la potenza 2/3.

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Bibliografia

[1] Bazant Z.P. e Cedolin L., Stability of Structures, Oxford University Press, NewYork, 1991.

[2] Cinquini C., Lezioni di Complementi di Scienza delle Costruzioni, CLU, Pavia,1981.

[3] Corradi dell’Acqua L., Meccanica delle Strutture, vol. 3: la valutazione dellacapacita portante, Mc-Graw–Hill, Milano, 1994.

[4] Troger H. e Steindl A., Nonlinear Stability and Biforcation Theory, Springer–Verlag, Wien, 1991.

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