Sistemi di DISEQUAZIONI

f (x) > 0

g(x) > 0

!"#

Risolvere il sistema significa trovare lasoluzione COMUNE ,

cioè un intervallo in cuitutte le disequazioni siano soddisfatte

Tutorial di Paola Barberis - 2011

Un sistema di disequazioni è formato da due o piùdisequazioni raggruppate con parentesi graffa

RISOLUZIONE sistema di DISEQUAZIONI

Risolvo separatamente le disequazioni etrascrivo a fianco i risultati S1 e S2

a b

Ora guardo se esiste un intervallo comune nel quale TUTTE le disequazioni sono soddisfatte : in questo caso la soluzione è: x>b

f (x) > 0

g(x) > 0

!"#

x > a

x > b

!"#

S1 =soluzione 1 diseq

S1S2

Rappresento lesoluzioni S1 e S2nel graficodi un sistema:

S2 =soluzione 2 diseq

SISTEMI DI DISEQUAZIONI - Esempio 1

Parte comune = Soluzione: x>5/3

3x ! 5 > 0

x + 7 " 0

#$%

x > 5 / 3

x ! "7

#$%

Per trovare S1 e S2 svolgo i calcoli da una parte:

Risolvo 1) 3x>5 x>5/3

Risolvo 2) x>7

S1

S2

5/3-7

Grafico del sistema con gli intervalli S1 e S2

S1S2

Esempio 2

Parte comune Soluzione={-4≤x<4/3}

6x + 24 ! 0

"6x + 8 > 0

#$%

x ! "4

x <4

3

#

$%

&%Per trovare S1 e S2 svolgo i calcoli da una parte:

Risolvo 1) 6x≥-24 x≥-24/6 x≥-4

Risolvo 2) 6x-8<0 6x<8 x<8/6 x<4/3

Soluzione della prima = S1

Soluzione della seconda = S2

-4Grafico del sistema con gli intervalli S1 e S2

4/3S1S2

Esempio 3

Parte comune S= {x≤-2}

x2 ! 4x + 3 > 0

!7x !14 " 0

#$%

x < 1! x > 3

x " #2

$%&

Risolvo 1)

Risolvo 2)

S1

S2

-2 1

x1,2

=4 ± 16 !12

2=4 ± 2

2" x

1= 1; x

2= 3" # > 0,concordanza : x < 1$ x > 3

cambio_ segni : 7x +14 ! 0" 7x ! #14" x !#14

7; x ! #2

3

S1S2

Grafico del sistema

Risolvi separatamete le disequazioni ( però tu fai tutti i passaggi !) :Attenzione la prima è di secondo grado, la risolvo con la regola del DELTA

Esempio 4

Parte comune S={ x≤-2 v x≥2 }

6x2 ! 7x +1 " 0

!x2 + 4 # 0

$%&

'&

x !1

6" x # 1

x ! $2 " x # +2

%

&'

('

Risolvo 1)

Risolvo 2)

S1

S2

-2Grafico del sistema 1/6

x1,2

=7 ± 49 ! 24

12=7 ± 5

12" x

1=1

6; x

2= 1" # > 0,conc : x $

1

6% x & 1

2S1S2

cambio_ segni! x2" 4 # 0;

pura; x2= 4; x = ±2! $ > 0,conc : x % "2 & x # +2

1

Risolvi separatamete le disequazioni (fai tutti i passaggi!)

Esempio 5

Parte comune S={ 0≤x<25/2 }

x2 !12x ! 45 < 0

!2x2 + 30x " 0

#$%

&%

!9

2< x <

25

2

0 " x " 15

#

$%

&%

Risolvo 1)

Risolvo 2)

S1

S2

-9/2Grafico del sistema 0

x1,2

=12 ± 144 +180

2=7 ±18

2! x

1= "

9

2; x

2=25

2

# > 0,discordanza! "9 / 2 < x < 25 / 2

25/2S1

S2

2x2! 30x " 0; spuria# 2x(x !15) = 0; x1 = 0, x2 = 15

$ > 0,discordanza : 0 " x " 15

15

Risolvi separatamete le disequazioni (fai sempre tutti i passaggi!)

Esempio 6

Parte comune S={ -8≤x≤-1 }

x2+ 9x + 8 ! 0

"5x2 +15x < 0

#$%

&%

!8 " x " !1

x < 0 # x > 3

$%&

Risolvo 1)

Risolvo 2)

S1

S2

-8Grafico del sistema -1

x1,2

=!9 ± 81! 32

2=!9 ± 7

2" x

1= !8; x

2= !1

" # > 0,discordanza :!8 $ x $ !1

0S1S2

5x2!15x > 0; spuria" 5x(x ! 3) = 0; x1 = 0, x2 = 3

" # > 0,concordanza : x < 0 $ x > 3

3

Risolvi separatamete le disequazioni di secondo grado (fai sempre tutti i passaggi!)

Esempio 7 ( con tre disequazioni)

soluzione comune a tutte: S={x>7}

4x2+ 4x +1 > 0

!x2 + x " 0

!7 ! x > 0

#

$%

&%

!x "R # #1 / 2 }{x $ 0 % x & 1

x > 7

'

()

*)

S1

S2

Grafico del sistema 0

x1,2

=!4 ± 16 !16

8= !

1

2" # = 0" concordanza;$x %R ! !1 / 2 }{

-1/2S1S2

x2! x " 0; spuria# x(x !1) = 0; x

1= 0, x

2= 1# x $ 0 % x " 1

1

!x + 7 > 0;cambio_ segni : x ! 7 < 0" x < 7

S3

Trovo S1:

Trovo S2:

Trovo S3:

7

S3

Risolvi separatamete le disequazioni facendo sempre tutti i passaggi!

Esempio 8 ( le disequazioni non sono in forma normale )

Parte comune S ={ -4≤x≤0 }

4x2 ! 9x " 8x2 + 7x

x(x + 5) # (x + 5)2$%&

'&

!4 " x " 0

x # !5

$%&

Trovo S1:

S1

S2

-5Grafico delsistema

-4

!4x2!16x " 0# 4x

2+16x $ 0# spuria

4x(x + 4) = 0;# x1= !4, x

2= 0# % > 0,discordanza :!4 $ x $ 0

S1S2

x2+ 5x ! x

2+10x + 25" #5x # 25 ! 0;cambio_ segni

" 5x + 25 $ 0" 5x $ #25" x $ #50

Trovo S2:

Devo svolgere calcoli, ordinare le disequazioni e poi risolverleEcco i passaggi essenziali

Esempio 9

S={ x<-9 v -1≤x<0 v x>0}

x2+10x > !9

x(!2x +13) < 13x

"#$

x < !9 " x > !1

#x $R ! 0 }{

%&'

('

S1

S2

-9Grafico del sistema 0

x2+10x + 9 > 0;! x

1,2="10 ± 100 " 36

2="10 ± 8

2!

x1= "9; x

2= "1! # > 0,concordanza : x < "9 $ x > "1

-1S1S2

!2x2+13x !13x < 0;" !2x

2< 0;monomia" 2x

2> 0;

x11,2

= 0" # = 0,concordanza"$x %R ! 0}{

Trovo S1:

Trovo S2:

Esempio 10

Parte comune S ={x≤-15 }

2x2+ 9 ! (x + 4)(x " 4)

x " 3

2#1

3x " 4

$

%&

'&

!x "R

x # $15

%&'

Trovo S1:

S1

S2

Grafico delsistema

2x2+ 9 > x

2!16" x

2+ 25 > 0; pura + +

" # < 0,concordanza :$x %R

S1S2

3x ! 9

6"2x ! 24

6# x +15 " 0# x " !15

Trovo S2:

-15

Esempio 11

Parte comune S ={ -4≤x≤-3 }

2x2 ! 8x " 2xi(4 ! x)

x(9x + 50) " 10xi(x + 5) ! 9

#$%

!4 " x " 0

x " !3# x $ 3

%&'

Trovo S1:

S1

S2

-4Grafico delsistema -3

2x2! 8x " 8x ! 2x

2# 4x

2!16x " 0# spuria

4x(x + 4) = 0; x = !4, x = 0# $ > 0,discordanza :!4 " x " 0

S1S2

3

9x2+ 50x ! 10x

2+ 50x " 9# "x

2+ 9 ! 0;# x

2" 9 $ 0, pura

x1= "3; x

2= 3# % > 0,concordanza : x ! "3& x $ 3

0

Trovo S2:

Esempio 12

Parte comune S ={ 1/2≤x≤1 }

3x(x !1) ! 8 " (x ! 3)(x + 3)

(x ! 2)2 ! 7 # xi(4 ! x)

$%&

1

2! x ! 1

"x #R

$

%&

'&

Trovo S1:

S1

S2

Grafico delsistema

1/2

3x2! 3x ! 8 " x

2! 9# 2x

2! 3x +1 $ 0# x

1,2=3 ± 9 ! 8

4=3 ±1

4

# x1= 1 / 2, x

2= 1# % > 0,discordanza :1 / 2 $ x $ 1

S1S2

3

x2! 4x + 4 ! 7 " 4x

2! 4x# !3x

2! 3 " 0;# 3x

2+ 3 $ 0,

x2+1 $ 0, pura + +# % < 0;concordanza :&x 'R

1

Trovo S2: