DisequazioniDisequazioniDisequazioniDisequazioni

Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo

Metodi di risoluzioneMetodi di risoluzioneMetodi di risoluzioneMetodi di risoluzione

2

Cosa rappresentano sul piano cartesiano le seguenti espressioni?

Cosa rappresentano sul piano cartesiano le seguenti espressioni?

x o

x = o

x > o

x < o

x o

y o

y = o

y > o

y < o

y o

3

Equazione asse y

Tutti i punti del piano con ascissa = 0

x = o

4

Equazione asse x

Tutti i punti del piano con ordinata = 0

y = o

5

Semipiano con ascisse positive

(esclusi i punti sull’asse y)

Tutti i punti del piano con ascissa > 0

x > o

6

Semipiano con ascisse positive o

nulle(compresi i punti sull’asse y)

Tutti i punti del piano con ascissa 0

x o

7

Semipiano con ordinate positive(esclusi i punti sull’asse x)

Tutti i punti del piano con ordinata > 0

y > o

8

Semipiano con ordinate positive o

nulle(inclusi i punti sull’asse x)

Tutti i punti del piano con ordinata 0

y o

9

Semipiano con ascisse negative

o nullecompresi i punti sull’asse y)

Tutti i punti del piano con ascissa 0

x o

10

Semipiano con ordinate negative(esclusi i punti sull’asse x)

Tutti i punti del piano con ordinata < 0

y < o

11

Semipiano con ordinate negative o

nulle(compresi i punti sull’asse x)

Tutti i punti del piano con ordinata 0

y o

12

Semipiano con ascisse negative(esclusi i punti sull’asse y)

Tutti i punti del piano con ascissa < 0

x < oBasta!!

13

Semipiano al di sotto della bisettrice del 1°

e 2° quadrante (compresi i punti della bisettrice

y=x)

Tutti i punti del piano con ordinata all’ascissa

y x

14

Soluzione di un equazioneSoluzione di un equazione

2x + 4 = 0 x²-5x+6 = 0Un numero (o un’espressione letterale) è soluzione di un’equazione se, sostituito all’incognita x, trasforma l’equazione in una uguaglianza vera.

y = 2x+4

y = 0

Risolvere un’equazione corrisponde alla risoluzione di un sistema:

y = x²-5x+6

y = 0

15

Soluzione di Soluzione di un’equazioneun’equazione

y=x²

-5x+

6y = x²-5x+6

y = 0

x²-5x+6=0

S=2;3

y=0y = 2x+4 y = 0

2x+4=0

S=-2

y=2x

-4

(x-2)(x-3)=0Per la legge di

annullamento del prodotto

16

Soluzione di una Soluzione di una disequazionedisequazione

y = 2x+4 y > 0

2x+4>0

2x > -4

4 2x > -

x > -2

S={xR|x > -2} (-2; + )

8

Notare il cerchietto vuoto che

indica l’esclusione del punto estremo.

17

Soluzione di una Soluzione di una disequazionedisequazione

y = 2x-5 y 0

2x-5 0

2x 5

5 2x

S={xR|x 5/2}

S: [5/2; + )8

Notare il cerchietto pieno che

indica l’inclusione del punto estremo.

18

Sistemi di disequazioniSistemi di disequazioni

2x-5 0x-6 < 0

La soluzione del sistema, se esiste, è l’insieme dei valori della x che rende contemporaneamente

vere le due disequazioni

5 2x

x < 6

S={xR | x< 6}52

y=2x

-5y=

x-6

soluzione del sistema

La fascia evidenzia le porzioni di rette che

corrispondono contemporaneamente ai valori di verità indicati

dalle disequazioni

[ ; 6 )52

oppure

19

Sistemi di disequazioniSistemi di disequazioni

2x-5 0x-6 < 0

5 2x

x < 6

S={xR | x < 6}52

[ ; 6 )52

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

x < 6

x>5/2

oppure

L’area campita in giallo indica la parte comune delle soluzioni delle due disequazioni ovvero l’insieme dei valori della x che rende le due

disequazioni due disuguaglianze contemporaneamente vere; la soluzione del

sistema è:

52

V

V

F

V

V

FIl sistema può essere risolto in modo molto

semplice rappresentando sulla linea dei numeri reali le due soluzioni e

considerando l’intersezione

20

Sistemi di disequazioniSistemi di disequazioni

2x-5 0x+1 < 0

5 2x

x < -1

y=2x

-5

y=x+

1

In questo caso le soluzioni delle due disequazioni non hanno sovrapposizioni per cui la loro intersezione è l’insieme

vuoto.

Il sistema non ha soluzione: è impossibile

21

Consideriamo la seguente espressione:

)2()1()2(

2

2

xxxx

E’ costituita da quattro fattori di cui due di secondo grado.

Il fattore F4 è un prodotto notevole scomponibile in (1+x)(1-x) mentre il fattore F3 non è scomponibile; scomponendo F4 l’espressione diventa:

F1

F2

F4

F3

3F2F5F4F1F

Disequazioni di grado superiore al primo Disequazioni di grado superiore al primo riconducibili a fattori di primo gradoriconducibili a fattori di primo grado

)2²x(x)x1()x1()2x(

Il segno dell’espressione

dipende quindi dal prodotto dei segni di

cinque fattori

22

Questi fattori non vanno posti =0 perchè si trovano a denominatore

0)2²x(x

)x1()x1()2x(

Consideriamo ora

la disequazione:

Per risolverla, cerchiamo in quale intervallo ciascun fattore risulta 0 (oppure>0 se nel testo non c’è

l’uguale)numeratore

denominato

re

N1 x 2 02x

N2 0x1 x -1

N3 0x1 x 1

D10x x>0

D2 022x x

23

N1 x 2

N2x -1

D2x

D1x>0

0)2²x(x

)x1()x1()2x(

N3x 1

Tracciamo un diagramma evidenziando con linea continua gli intervalli

dell’insieme dei numeri reali in cui ciascun fattore

è positivo e con linea discontinua il resto.

Gli estremi (capisaldi) saranno

indicati con un cerchietto pieno se

inclusi, vuoto se esclusi.

x210-1

--- + +

In ciascun intervallo

determiniamo il prodotto dei

segni.

24

0)2²x(x

)x1()x1()2x(

N1

N2

D1

D2

x 2

x -1

x

x>0N3

x 1

x210-1

--- + +

Se la disequazione richiede che

l’espressione sia 0, come in questo caso,

prendiamo gli intervalli positivi

inclusi i capisaldi con pallino pieno.

La nostra soluzione è

quindi:

S=xR-1x<0 V 1x2 S: [-1;0) [1;2]

25

Proviamo a rappresentare graficamente la relazione y=f(x) e determiniamo la

soluzione

La disequazione fratta che Abbiamo risolto corrisponde al seguente sistema:

0)22x(x

)2x1()2x(

(x-2)(1-x²) x(x²+2) y 0

y=S=xR-1x<0 V

1x2

26

0)2²x(x

)x1()x1()2x(

N1

N2

D1

D2

x 2

x -1

x

x>0N3

x 1

x210-1

--- + +

Se la disequazione richiede che

l’espressione sia < 0, prendiamo gli

intervalli negativi esclusi gli estremi.

In questo caso la soluzione è:

S=xRx<-1 V 0<x<1 V x>2 S: (-;-1) (0;1) (2;+)

27

|x| =-x se x<0

x se x0

Disequazioni con Disequazioni con modulimoduli

Il modulo o valore assoluto di un

numero reale x è definito come…

|9| = 9

|-9| = 9

28

Disequazioni con Disequazioni con modulimoduli

|x-5| = x-5 se x-5 0

Il modulo o valore assoluto di una espressione è uguale all’argomento

se l’argomento è 0, opposto dell’argomento se l’argomento è < 0

|x-5| = -(x-5) se x-5<0

|4| = 4se x=9:

|-9|= -(-9)=9se x=-4:

29

Disequazioni con Disequazioni con modulimoduliLa soluzione di una disequazione

contenente moduli corrisponde alla soluzione di due sistemi che

contemplano i due casi:

x-5 0x-5 < 2

Si considerano i due sistemi seguenti:per esempio se: |x-5| < 2

x-5 < 0-(x-5) < 2

x 5x < 7

x < 5x > 3

La soluzione è l’unione delle due:

S2: 3< x <5

S1: 5 x <7

3 < x < 7

30

Rappresentiamo la disequazione y=|x-5|-2 sul piano cartesiano e cerchiamo di individuare i punti della linea

che ricadono nel semipiano y<0:

y=|x-5|-2 y <0

Se nella disequazione |x-5|<2 portiamo tutti i termini

al primo membro, la disequazione diventa |x-5|-2<0. La disequazione corrisponde al seguente sistema:

y=|x-5|-2 y <0

3 < x < 7 3 7

La parte della linea che ricade al di sotto dell’asse x è compresa tra 3 e 7, estremi esclusi

31

Disequazioni con Disequazioni con modulimoduli

2x-3 02x-3 5

consideriamo i due sistemi: altro esempio: |2x-3| 5

2x-3 < 0-(2x-3)

5

x 3/2x 4

x < 3/2-2x 2

La soluzione è l’unione delle due soluzioni parziali:

x -1

x 4

(-;-1] [4;+)

| |40-1

|- +Sulla linea dei numeri:

32

Disequazioni letteraliDisequazioni letterali

consideriamo la disequazione letterale: a(x-3) 2

Per risolverla, non conoscendo il valore e il segno di a, occorre considerare tutti i casi possibili. Non ci sono regole precise ma

si deve operare con il criterio più opportuno, caso per caso

a(x-3) 2 ax-3a 2 ax 3a+2

Prima di dividere per a, dobbiamo valutare cosa succede se

a=0, a<0 oppure a>0

33

Disequazioni letteraliDisequazioni letterali

ax 3a+2

Per a=0, la disequazione risulta evidentemente impossibile.

se a=00x30+

2 0 + 2

Se invece di il verso della disequazione fosse oppure

< la disequazione sarebbe verificata per ogni x reale.

34

Disequazioni letteraliDisequazioni letterali

ax 3a+2

Se a<0 ricordiamo che dividendo per un numero negativo la disequazione cambia verso.

se a>0 3a+2 ax

se a<0 3a+2 ax

35

Proviamo a rappresentare sul piano cartesiano la retta y=ax-3a-2 al

variare di a.

La disequazione ax3a+2 corrisponde al seguente sistema:

y=ax-3a-2 y 0

a=0: impossibile

a=1

a=2a=3

a=-1

a=-2 a=-3Disequazioni letteraliDisequazioni letterali

3a+2 aa>0: x 3a+2

aa<0: x

36

Disequazioni letteraliDisequazioni letterali

consideriamo la disequazione letterale fratta:

Possiamo esplicitare la x al denominatore e risolverla come una comune disequazione fratta

Consideriamo i tre casi a=0, a<0 oppure a>0

(x-a) (x²+ax)

0

(x - a) x(x+a)

0

è verificata x>0 R se a=0 xx² 0

37

y=

y 0

xx²

xx² 0a=0

Equivale al sistema

x>0 R la soluzione è

38

Ricordiamo che i fattori a denominatore non vanno posti =0

Consideriamo ora il caso in cui a>0

oppure a<0:In entrambi i casi, cerchiamo in quale intervallo

ciascun fattore risulta 0numeratore

denominato

re

(x - a) x(x+a)

0

N1

x-a 0 x a

D1 x>0 x > 0

D2 x+a>0 x > -a

39

D1 x>0

-- + +

xa0-a

N1 x a

Se a>0 nella linea dei numeri reali è a destra

dello zero e –a è a sinistra

S=xR-a<x<0 V xaS: (-a;0) [a;+)

(x - a) x(x+a)

0

D2 x>-a

Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli in cui il prodotto dei fattori è

0:

Se a>0 la soluzione èovvero

40

D1 x>0

-- + +

x-a0 a

N1 x a

Se a<0 nella linea dei numeri reali è a sinistra dello zero e –a è a destra

S=xRax<0 V x>-aS: [a;0) (-a;+)

(x - a) x(x+a)

0

D2 x>-a

Ricerchiamo con il metodo grafico gli intervalli in cui il prodotto dei fattori è

0:

Se a<0 la soluzione èovvero

41

Sintetizziamo le diverse soluzioni

(x - a) x(x+a)

0

S=xR x>0se a=0 S: (0;+)

S=xR-a<x<0 V xa S: (-a;0)[a;+) se a>0

se a<0 S=xRax<0 V x>-a S: [a;0)(-a;+)

Abbiamo già visto la soluzione grafica per a=0; vediamo ora la soluzione grafica al

variare di a0

42

(x - a) x(x+a)

0a = 2>0

-2 2a

sin

toto

ve

rtic

ale

_+_ +

S=xR-a<x<0 V xa S: (-a;0)[a;+)

43

(x - a) x(x+a)

0a = -3<0

-3 3

asi

nto

to v

ert

ica

le

+_ _ +S=xRax<0 V x>-

a

S: [a;0)(-a;+)

44

FFFFFiFiFiFiFinFinFinFinFineFineFineFine

Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo